小学奥数工程问题综合
白茯苓的美容功效-玛蒂娜
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都<
br>要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是
——工作
量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.
举一个
简单例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.问两人合作几天
可以完成？ <
br>一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完
成的工作量
，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
再根据基本数量关系式，得到
工作效率×工作时间=工作总量
=6（天）
答：两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。
为了计算整
数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多
设份额.还是上题，10与
15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份，那么甲每天完成
2份，乙每天完成3份，两人合作所
需天数是 :
30÷（2+ 3）= 6（天）
如果用数计算，更方便.
3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶
15
=2∶3
工程问题方法总结
一：基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：基本特点：
设工作总量为“1”，工效=1时间
三：基本方法：
算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想：
分做合想、合做分想。
五：类型与方法：
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2..天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
工程问题
.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也
需时间是
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1
”的做法，
而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
●例1一件工作，甲做9天
可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工
作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全
部工作？
解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的13。
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-13）÷16=4（天）
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量
是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.
乙完成余下工作所需时间是
（18-
2 × 3）÷ 3= 4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
6∶
9= 2∶ 3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
●例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继
续做
了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：共做了6天后，
原来，甲做 24天，乙做 24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是 50天
如果甲独做，所需时间是 75天
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
●例3某工程先由甲独做63天，再
由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，
需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由
乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解：先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做
因此，乙还要做
28+28= 56 （天）.
答：乙还需要做
56天.
●例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，
其间甲
队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是
2+8+ 1= 11（天）.
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙
每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队
单独做2天之后，还需两队合作
（30- 3
× 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6<
br>（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
解四：
方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休
息.) 甲队
每天工作量为110，乙为130，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，
所以我们假设甲
休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）
那么这6天内甲独自完成
了这项工程的110×6=610，剩下的工作量为1-610=410，而这剩
下的410为甲乙两人
一起合作完成的工程量，所以，工程量的410
需要甲乙合作：
(410)÷(110+130)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）
●例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，
其间
甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是
（1÷20）×16+（1÷30）×16=43
由于两队休息期间未做的工作量是43-1=13
乙队休息期间未做的工作量是
13-120×3=1160
乙队休息的天数是 1160÷(130)=112
答：乙队休息了5天半.
解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16- 60= 20（份）.
因此乙休息天数是
（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数
是
16-6-4.5=5.5（天）.
●例6
有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单
独完成甲工作要 8天
，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两
项工作都完成最少需要多少天？
解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，
张先做乙
.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
答：这两项工作都完成最少需要12天.
●例7
一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他
要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两人合作，共完成
3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）. <
br>因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，
所以两人合
作的天数是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
●例8
甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
解：乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时，甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
答：甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理
.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的
计算简便.
例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每
有一点方便，但好处不大.不必多此一举.
多人的工程问题
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复
杂一些，但是解题的基本
思路还是差不多.
●例9 一件工作，甲、乙两人合作36天
完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人
合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
解：设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成
答：甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每
天完成
4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
●例10一件工作，甲独做要
12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了
若干天，然后由乙接着做，乙做的天数
是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数
是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用
了多少天？
解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
2+6+12=20（天）.
答：完成这项工作用了20天.
本题整
数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可
设全部工作量为
72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
●例11一项工程，甲、乙、丙
三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，
或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程
由甲独做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效
率的4÷2=2（倍），
甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工
作效率是乙的工
作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要
答：甲独做需要26天.
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶
1，就知甲做1天，相当于
乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化
为甲再做13天来
完成. ●例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工
作.问甲组2
人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
解一：设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答：合作3天能完成这项工作.
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；
乙组4人7天能完成，因此7人4天能
完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
小学算术要充分利用给出数据的特
殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较
好，很快就能得出答数.
●例13制
作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完
成.乙车间与丙车间一起
做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比
乙车间多制作零件2400个.问丙
车间制作了多少个零件？
解一：仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答：丙车间制作了4200个零件.
解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成
3份，甲、乙
一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
2400÷（12- 8） × 7=
4200（个）.
●例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要1
5小时.有同样的
仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又
转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间
是
答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运
两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，
设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运
6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.
三人共同搬完，需要
60 × 2÷
（6+ 5+ 4）= 8（小时）.
甲需丙帮助搬运
（60- 6×
8）÷ 4= 3（小时）.
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4=
5（小时）.
三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的
.水池的注水或排水相当于一项工
程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工
作效率.至于又有注
入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题
思路基
本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟
后
打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池
的容积是多少立方米？
解：甲每分钟注入水量是 ：（1-19× 3）÷10=115
乙每分钟注入水量是：19-115=245
因此水池容积是：0.6÷（115-245）=27（立方米）
答：水池容积是27立方米.
例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
打开其中若干根水管，经过预定的
时间的13，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如
果开始时就打开10
根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-13=23，23是13
的
2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。
设水池容量
是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，
那么预定时间的13（即前一段时间）的注水量是1（1+4）=15。
10根水管同
时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是110，预定时间的13，
每根水官的注水量是11
0×13=130
要注满水池的15，需要水管15÷130=6（根）
解：前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-13）÷13×2]=1：4
前段时间注水量是：1÷（1+4）=15
每根水管在预定13的时间注水量为：1÷10×13=130
开始时打开水管根数：15÷130=6（根）
答：开始时打开6根水管。
例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一
池水，单开甲管需
3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 4小，丁管需要6小时
，现在
水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多
少时间后水开始溢出水池？
分析：
，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
以后（20小时），池中的水已有
此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺
才能到达
井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？
看起来它每小时只往上爬3- 2=
1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺
已到达井口.
因此，答案是28小时，而不是30小时.
例18一个蓄水池，每分钟流入4立方米水
.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池
水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现
在打开13个水龙头，问要多
少时间才能把水放空？
解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水
4 × 60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
240 ÷ （ 5× 150-
8 × 90）= 8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8
× 8 × 90，
其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8
× 8 × 90-4 × 90= 5400
（立方米）.
打开13个水龙头每分钟
可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，
放空原存的5400，需要
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
水池中的水，有两部分，原存有水与新流
入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是
先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小
时可将满
池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将
水排空.问打开B，
C两管，要几小时才能将满池水排空？
解：设满水池的水量为1.
A管每小时排出
A管4小时排出
因此，B，C两管齐开，每小时排水量是
B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是
答： B， C两管齐开要 4 小时
48分才将满池水排完.
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数
量，像工程问题
不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.
事实上，
也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.
17世纪英国伟
大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”
问题，这是一道饶有趣味的算术
题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种
数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.
这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是
完全类同的.
例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一
草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？
解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头
牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
原有草+4星期新长的草=12×4.
原有草+9星期新长的草=7×9.
由此可得出，每星期新长的草是
（7×9-12×4）÷（9-4）=3.
那么原有草是
7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是
这些草能让
90×7.2÷18=36（头）
牛吃18个星期.
答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
例20与例19的解法稍有一点不一
样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新
长的”两种量统一起来计算.事实上，如果
例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时
可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“
原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，
是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理
吗？
“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.
例21画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人
数一
样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就
没有人排队.问第
一个观众到达时间是8点几分？
解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.
从9点至9点9分进入观众是3×9，
从9点至9点5分进入观众是5×5.
因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是
（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
9点前来的观众是
5×5-0.5×5=22.5.
这些观众来到需要
22.5÷0.5=45（分钟）.
答：第一个观众到达时间是8点15分.
挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这
条水渠的3
10，两队单独挖各需几天？
分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共310-16=430
2÷(310-16) =2÷430
=15(天)
1÷(16-115)=10(天)
答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 .
.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间
3天才完
成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲
乙二人合作，完成工作需
多长时间？
解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天
,乙一共做了
X天)
1(X-2)×2 + X(X+3)=1
X=12
规定要12天完成
1÷[1(12-2)+1(12+3)]
=1÷(16)
=6天
答:两人合作完成要6天. 例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙
合作
需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？
答：设甲的工效为x,乙的工效为y
63x+28y=1
48x+48y=1
x=184
y=1112
乙还要做（1-4284）÷（1112）=56（天）
例22有32吨货物，从甲城
运往乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是3
吨，每种大、小卡车的耗油量分别是10升和7
.2升，将这批货物运完，至少需要耗油多少
吨？
解：显然，为了省油，应尽量使用大
卡车运，大卡车运6次，还剩2吨，所以剩下一
次用小卡车运，耗油最少，共需6*10+7.2=67
.2升
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，
完成某项任务，完成某项工程等等，都
要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本
数量关系是 ——工作
量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.
举一个
简单例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.问两人合作几天
可以完成？ <
br>一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完
成的工作量
，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
再根据基本数量关系式，得到
工作效率×工作时间=工作总量
=6（天）
答：两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。
为了计算整
数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多
设份额.还是上题，10与
15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份，那么甲每天完成
2份，乙每天完成3份，两人合作所
需天数是 :
30÷（2+ 3）= 6（天）
如果用数计算，更方便.
3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶
15
=2∶3
工程问题方法总结
一：基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：基本特点：
设工作总量为“1”，工效=1时间
三：基本方法：
算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想：
分做合想、合做分想。
五：类型与方法：
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2..天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
工程问题
.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也
需时间是
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1
”的做法，
而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
●例1一件工作，甲做9天
可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工
作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全
部工作？
解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的13。
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-13）÷16=4（天）
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量
是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.
乙完成余下工作所需时间是
（18-
2 × 3）÷ 3= 4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
6∶
9= 2∶ 3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
●例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继
续做
了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：共做了6天后，
原来，甲做 24天，乙做 24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是 50天
如果甲独做，所需时间是 75天
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
●例3某工程先由甲独做63天，再
由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，
需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由
乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解：先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做
因此，乙还要做
28+28= 56 （天）.
答：乙还需要做
56天.
●例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，
其间甲
队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是
2+8+ 1= 11（天）.
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙
每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队
单独做2天之后，还需两队合作
（30- 3
× 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6<
br>（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
解四：
方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休
息.) 甲队
每天工作量为110，乙为130，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，
所以我们假设甲
休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）
那么这6天内甲独自完成
了这项工程的110×6=610，剩下的工作量为1-610=410，而这剩
下的410为甲乙两人
一起合作完成的工程量，所以，工程量的410
需要甲乙合作：
(410)÷(110+130)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）
●例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，
其间
甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是
（1÷20）×16+（1÷30）×16=43
由于两队休息期间未做的工作量是43-1=13
乙队休息期间未做的工作量是
13-120×3=1160
乙队休息的天数是 1160÷(130)=112
答：乙队休息了5天半.
解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16- 60= 20（份）.
因此乙休息天数是
（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数
是
16-6-4.5=5.5（天）.
●例6
有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单
独完成甲工作要 8天
，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两
项工作都完成最少需要多少天？
解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，
张先做乙
.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
答：这两项工作都完成最少需要12天.
●例7
一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他
要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两人合作，共完成
3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）. <
br>因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，
所以两人合
作的天数是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
●例8
甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
解：乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时，甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
答：甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理
.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的
计算简便.
例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每
有一点方便，但好处不大.不必多此一举.
多人的工程问题
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复
杂一些，但是解题的基本
思路还是差不多.
●例9 一件工作，甲、乙两人合作36天
完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人
合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
解：设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成
答：甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每
天完成
4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
●例10一件工作，甲独做要
12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了
若干天，然后由乙接着做，乙做的天数
是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数
是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用
了多少天？
解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
2+6+12=20（天）.
答：完成这项工作用了20天.
本题整
数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可
设全部工作量为
72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
●例11一项工程，甲、乙、丙
三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，
或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程
由甲独做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效
率的4÷2=2（倍），
甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工
作效率是乙的工
作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要
答：甲独做需要26天.
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶
1，就知甲做1天，相当于
乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化
为甲再做13天来
完成. ●例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工
作.问甲组2
人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
解一：设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答：合作3天能完成这项工作.
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；
乙组4人7天能完成，因此7人4天能
完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
小学算术要充分利用给出数据的特
殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较
好，很快就能得出答数.
●例13制
作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完
成.乙车间与丙车间一起
做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比
乙车间多制作零件2400个.问丙
车间制作了多少个零件？
解一：仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答：丙车间制作了4200个零件.
解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成
3份，甲、乙
一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
2400÷（12- 8） × 7=
4200（个）.
●例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要1
5小时.有同样的
仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又
转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间
是
答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运
两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，
设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运
6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.
三人共同搬完，需要
60 × 2÷
（6+ 5+ 4）= 8（小时）.
甲需丙帮助搬运
（60- 6×
8）÷ 4= 3（小时）.
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4=
5（小时）.
三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的
.水池的注水或排水相当于一项工
程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工
作效率.至于又有注
入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题
思路基
本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟
后
打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池
的容积是多少立方米？
解：甲每分钟注入水量是 ：（1-19× 3）÷10=115
乙每分钟注入水量是：19-115=245
因此水池容积是：0.6÷（115-245）=27（立方米）
答：水池容积是27立方米.
例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
打开其中若干根水管，经过预定的
时间的13，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如
果开始时就打开10
根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-13=23，23是13
的
2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。
设水池容量
是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，
那么预定时间的13（即前一段时间）的注水量是1（1+4）=15。
10根水管同
时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是110，预定时间的13，
每根水官的注水量是11
0×13=130
要注满水池的15，需要水管15÷130=6（根）
解：前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-13）÷13×2]=1：4
前段时间注水量是：1÷（1+4）=15
每根水管在预定13的时间注水量为：1÷10×13=130
开始时打开水管根数：15÷130=6（根）
答：开始时打开6根水管。
例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一
池水，单开甲管需
3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 4小，丁管需要6小时
，现在
水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多
少时间后水开始溢出水池？
分析：
，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
以后（20小时），池中的水已有
此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺
才能到达
井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？
看起来它每小时只往上爬3- 2=
1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺
已到达井口.
因此，答案是28小时，而不是30小时.
例18一个蓄水池，每分钟流入4立方米水
.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池
水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现
在打开13个水龙头，问要多
少时间才能把水放空？
解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水
4 × 60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
240 ÷ （ 5× 150-
8 × 90）= 8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8
× 8 × 90，
其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8
× 8 × 90-4 × 90= 5400
（立方米）.
打开13个水龙头每分钟
可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，
放空原存的5400，需要
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
水池中的水，有两部分，原存有水与新流
入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是
先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小
时可将满
池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将
水排空.问打开B，
C两管，要几小时才能将满池水排空？
解：设满水池的水量为1.
A管每小时排出
A管4小时排出
因此，B，C两管齐开，每小时排水量是
B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是
答： B， C两管齐开要 4 小时
48分才将满池水排完.
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数
量，像工程问题
不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.
事实上，
也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.
17世纪英国伟
大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”
问题，这是一道饶有趣味的算术
题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种
数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.
这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是
完全类同的.
例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一
草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？
解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头
牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
原有草+4星期新长的草=12×4.
原有草+9星期新长的草=7×9.
由此可得出，每星期新长的草是
（7×9-12×4）÷（9-4）=3.
那么原有草是
7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是
这些草能让
90×7.2÷18=36（头）
牛吃18个星期.
答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
例20与例19的解法稍有一点不一
样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新
长的”两种量统一起来计算.事实上，如果
例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时
可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“
原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，
是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理
吗？
“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.
例21画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人
数一
样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就
没有人排队.问第
一个观众到达时间是8点几分？
解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.
从9点至9点9分进入观众是3×9，
从9点至9点5分进入观众是5×5.
因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是
（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
9点前来的观众是
5×5-0.5×5=22.5.
这些观众来到需要
22.5÷0.5=45（分钟）.
答：第一个观众到达时间是8点15分.
挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这
条水渠的3
10，两队单独挖各需几天？
分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共310-16=430
2÷(310-16) =2÷430
=15(天)
1÷(16-115)=10(天)
答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 .
.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间
3天才完
成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲
乙二人合作，完成工作需
多长时间？
解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天
,乙一共做了
X天)
1(X-2)×2 + X(X+3)=1
X=12
规定要12天完成
1÷[1(12-2)+1(12+3)]
=1÷(16)
=6天
答:两人合作完成要6天. 例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙
合作
需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？
答：设甲的工效为x,乙的工效为y
63x+28y=1
48x+48y=1
x=184
y=1112
乙还要做（1-4284）÷（1112）=56（天）
例22有32吨货物，从甲城
运往乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是3
吨，每种大、小卡车的耗油量分别是10升和7
.2升，将这批货物运完，至少需要耗油多少
吨？
解：显然，为了省油，应尽量使用大
卡车运，大卡车运6次，还剩2吨，所以剩下一
次用小卡车运，耗油最少，共需6*10+7.2=67
.2升