中考满分记叙文-工作报告格式

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

一、等积变换模型——很重要，小学常考
⑴等底等高的两个三角形面积相等；
⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图
S
1
:S
2
a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图
S
△
ACD
=S
△< br>BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD，则可知直线
AB
平行于
CD
。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；







S
1
S
2



经典例题：





解析：连接
CE
，如图。
AE=3AB,
所以
S
△AEC
=3S
△ ABC=3


所以

S
△BCE
=2






又因为：
BD=2BC,
所以
S
△BDE
=2 S
△BCE
=4


点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用










1

二、鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点(如图1)或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上(如图2)， 则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)
图1 图2


此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！
因为S
△
ABC=
AB×ACsinA，S
△
ADE=
AD×AEsinA
所以：S
△
ABC：
S
△
ADE=
（AB×ACsinA）：（AD×AEsinA）=（AB×AC）：
（AD×AE）

经典例题：


S
△
ADF：
S
△ABC=
（AD×AF）：（AB×AC）=（2BD×AF）：（3BD×4AF）=1：6


S
△
BDE：
S
△
ABC=
（BD×BE）：（AB×BC）=（BD×BE）：（3BD×2BE）=1：6

S△
CEF：
S
△
ABC=
（CE×CF）：（CB×CA）=（ CE×3AF）：（2CE×4AF）=3：8

1-16-16-38=724 S
△
ABC
=7÷724=24(平方厘米).

点评：本题直 接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S
△
ABC

的比例， 再求出S
△
DEF
占S
△
ABC
的比例，就能直接求出S< br>△
ABC
的面积。





2

三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4

②
AO:OC
S
1
S
2

:

S
4
S
3



蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一< br>个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系
与四边形内的三角形相联系；另一 方面，也可以得到与面积对应
的对角线的比例关系。
蝴蝶定理实际上也是由三角形的等级变换 模型推导而出的，即高相等的两个
三角形面积比等于底的比
因为：
S
1
:S
2
=DO:BO ，S
4
:S
3
=DO:BO 所以：S
1
:S
2
= S
4
:S
3
=DO:BO
所以，由等比性质得：（S
1< br>+S
4
）：（S
2
:S
3
）=DO:BO
同理可得：结论②（S
1
+S
2
）：（S
4
:S
3
）=AO:CO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①
S
1
:S
22
3
a:b

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a< br>2
:b
2
:ab:ab
；
② 梯形
S
的对应份数为

ab

2
。
梯 形由于其是特殊的四边形，所以不但对普通四边形的蝴蝶定理适用外，还有
上面几个特殊的结论。

经典例题：



解析：S
△
ABD
：
S
△
BCD
=AO：CO=1：3 AO=2,所以 CO=6=2DO

点评：此题直接应用了蝴蝶模型的结论





3

四、相似模型
相似三角形性质：
金字塔模型 沙漏模型

①
AD
AB

AE
AC

DEAF
BC< br>
AG
；
②
S
△ADE
:S
△ABCAF
2
:AG
2
。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小 不同的三角形(只要其形状不
改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及
定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
相似模型实际就是初中的相似三角形，最常见 的就上上面的“A”型和“X”型
（也称沙漏）两种。

经典例题：


解析：四边形ABCD是平行四边形，所以DC=AB=16,BC=AD=10

BECD构成一个沙漏模型：所以有：DC:BE=CF:BF 即

16:4=CF:(10-CF)

解得CF=8

点评：此题直接应用了相似模型中的沙漏模型，同学们做题的时

候只要注意观察就很容易能发现这个模型。





4

五、燕尾定理模型

S
△
ABG
:
S
△
AGC

S
△
B GE
:
S
△
EGC

BE
:
EC
S
△
BGA
:
S
△
BGC

S
△
AGF
:
S
△
FGC

AF
:
FC
S
△
AGC
:
S
△
BCG

S
△
ADG
:
S
△
DGB

AD
:
DB
燕尾模型实际也可以由三角形的等积变换模型推导而出，即高相等的三角形面
积比等于底的比
此处进行简单的证明：
如图，因为：
S
△AGB
:S
△GEB
=AG:GE

S
△AGC：
S
△GEC
=AG:GE

所以：S
△AGB
:S
△GEB
= S
△AGC
:S
△GEC
所以：S
△AGB
:S
△AGC
= S
△GEB
:S
△GEC
=BE:EC

（此处用到更比性质，以后我们
会学到）
经典例题解析：

燕尾模型
解析：连接FC,设S
△
ABD
=x,则，S
△
ABD
=2x，
S
△
ABF
：
S
△BCF
=CE：AE=3：2,所以S
△
ABF
=2x，所以S
△
AFC
=4x，所以
S
△
F
EC
=12x5，


2

所以S
四边形DFEC
=2x+12x5 =22，得：X=5,所以S
△
ABC
=9X=45(cm)






5

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

一、等积变换模型——很重要，小学常考
⑴等底等高的两个三角形面积相等；
⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图
S
1
:S
2
a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图
S
△
ACD
=S
△< br>BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD，则可知直线
AB
平行于
CD
。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；







S
1
S
2



经典例题：





解析：连接
CE
，如图。
AE=3AB,
所以
S
△AEC
=3S
△ ABC=3


所以

S
△BCE
=2






又因为：
BD=2BC,
所以
S
△BDE
=2 S
△BCE
=4


点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用










1

二、鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点(如图1)或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上(如图2)， 则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)
图1 图2


此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！
因为S
△
ABC=
AB×ACsinA，S
△
ADE=
AD×AEsinA
所以：S
△
ABC：
S
△
ADE=
（AB×ACsinA）：（AD×AEsinA）=（AB×AC）：
（AD×AE）

经典例题：


S
△
ADF：
S
△ABC=
（AD×AF）：（AB×AC）=（2BD×AF）：（3BD×4AF）=1：6


S
△
BDE：
S
△
ABC=
（BD×BE）：（AB×BC）=（BD×BE）：（3BD×2BE）=1：6

S△
CEF：
S
△
ABC=
（CE×CF）：（CB×CA）=（ CE×3AF）：（2CE×4AF）=3：8

1-16-16-38=724 S
△
ABC
=7÷724=24(平方厘米).

点评：本题直 接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S
△
ABC

的比例， 再求出S
△
DEF
占S
△
ABC
的比例，就能直接求出S< br>△
ABC
的面积。





2

三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4

②
AO:OC
S
1
S
2

:

S
4
S
3



蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一< br>个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系
与四边形内的三角形相联系；另一 方面，也可以得到与面积对应
的对角线的比例关系。
蝴蝶定理实际上也是由三角形的等级变换 模型推导而出的，即高相等的两个
三角形面积比等于底的比
因为：
S
1
:S
2
=DO:BO ，S
4
:S
3
=DO:BO 所以：S
1
:S
2
= S
4
:S
3
=DO:BO
所以，由等比性质得：（S
1< br>+S
4
）：（S
2
:S
3
）=DO:BO
同理可得：结论②（S
1
+S
2
）：（S
4
:S
3
）=AO:CO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①
S
1
:S
22
3
a:b

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a< br>2
:b
2
:ab:ab
；
② 梯形
S
的对应份数为

ab

2
。
梯 形由于其是特殊的四边形，所以不但对普通四边形的蝴蝶定理适用外，还有
上面几个特殊的结论。

经典例题：



解析：S
△
ABD
：
S
△
BCD
=AO：CO=1：3 AO=2,所以 CO=6=2DO

点评：此题直接应用了蝴蝶模型的结论





3

四、相似模型
相似三角形性质：
金字塔模型 沙漏模型

①
AD
AB

AE
AC

DEAF
BC< br>
AG
；
②
S
△ADE
:S
△ABCAF
2
:AG
2
。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小 不同的三角形(只要其形状不
改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及
定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
相似模型实际就是初中的相似三角形，最常见 的就上上面的“A”型和“X”型
（也称沙漏）两种。

经典例题：


解析：四边形ABCD是平行四边形，所以DC=AB=16,BC=AD=10

BECD构成一个沙漏模型：所以有：DC:BE=CF:BF 即

16:4=CF:(10-CF)

解得CF=8

点评：此题直接应用了相似模型中的沙漏模型，同学们做题的时

候只要注意观察就很容易能发现这个模型。





4

五、燕尾定理模型

S
△
ABG
:
S
△
AGC

S
△
B GE
:
S
△
EGC

BE
:
EC
S
△
BGA
:
S
△
BGC

S
△
AGF
:
S
△
FGC

AF
:
FC
S
△
AGC
:
S
△
BCG

S
△
ADG
:
S
△
DGB

AD
:
DB
燕尾模型实际也可以由三角形的等积变换模型推导而出，即高相等的三角形面
积比等于底的比
此处进行简单的证明：
如图，因为：
S
△AGB
:S
△GEB
=AG:GE

S
△AGC：
S
△GEC
=AG:GE

所以：S
△AGB
:S
△GEB
= S
△AGC
:S
△GEC
所以：S
△AGB
:S
△AGC
= S
△GEB
:S
△GEC
=BE:EC

（此处用到更比性质，以后我们
会学到）
经典例题解析：

燕尾模型
解析：连接FC,设S
△
ABD
=x,则，S
△
ABD
=2x，
S
△
ABF
：
S
△BCF
=CE：AE=3：2,所以S
△
ABF
=2x，所以S
△
AFC
=4x，所以
S
△
F
EC
=12x5，


2

所以S
四边形DFEC
=2x+12x5 =22，得：X=5,所以S
△
ABC
=9X=45(cm)






5