小学奥数第24讲 最值问题(含解题思路)

巡山小妖精
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2020年08月02日 12:40
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24、数的组成
【数字组数】
例1 用1、2、3、4、5、6、 7、8、9这九个数字组成质数,如果每个数字
都要用到,并且只能用一次,那么这九个数字最多能组成 ______个质数。
(1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:自然 数1至9这九个数字中,2、3、5、7本身就是质数。于是只剩
下1、4、6、8、9五个数字,它们 可组成一个两位质数和一个三位质数:41和
689。所以,最多能组成六个质数。
例2 用0、1、2、„„9这十个数字组成五个两位数,每个数字只用一次,
要求它们的和是一个奇数,并且 尽可能的大。那么,这五个两位数的和是
______。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:组成的五个两位数,要求和尽可能大,则必须使每个数尽可能大。
所以它们的十位上分别 是9、 8、7、6、5,个位上分别是0、1、2、3、4。但
要求五个两位数和为奇数,而1+2+3+4= 10为偶数,所以应将4与5交换,使和
为:
(9+8+7+6+4)×10+(1+2+3+5)=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数,如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上
的数字,那么就称它被另一个 三位数“吃掉”。例如,241被342吃掉,123被
123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉 ),但240和223互不被吃掉。
现请你设计出6个三位数,它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉 ,并且它
们的百位上数字只允许取1、2;十位上数字只允许取1、2、3;个位上数字只
允许 取1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:六个三位数中,任取两个数a和b,则同数位上的数 字中,a中至少
有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时,十 位上可从1开始依次增加1,而个位上从4开始依次
减少1。即:114,123,132。当百位上为 2时,十位上从1开始依次增加1而


个位上只能从3开始依次减少1。即:213,22 2,231。经检验,这六个数符合
要求。
例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这 八个数字排成一个八位数,使得两个1
之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字 ;两个4之
间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。
(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:两个4之间有四个数字,则在两个4之间必 有一个数字重复,而又
要求两个1之间有一个数,于是可推知,这个重复数字必定是1,即412134 或
421314。然后可添上另一个2和3。
经调试,得23421314,此数即为所答。
【条件数字问题】
例1 某商品的 编号是一个三位数,现有五个三位数:874,765,123,364,
925。其中每一个数与商品 编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个
三位数是_______
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:将五个数按百位、十位、个位上的数字分组 比较,可发现:百位上
五个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。故所求< br>的数的个位数字一定是4或5,百位上一定是2或6。经观察比较,可知724符
合要求。
例2 给一本书编页码,共用了1500个数字,其中数字“3”共用了
_______个
(首届《现代小学数学)》邀请赛试题)
讲析:可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页,共用去9个数字;从第10页到 第99页,共用去2×
90=180(个)数字;余下的数字可编(1500-189)÷3=437( 页)
所以,这本书共有536页。
l至99页,共用20个“3”,从100至1 99页共用20个“3”,从200至
299页共用20个“3”,从300至399页共用去120个 “3”,从400至499页
共用去20个“3”,从500到536页共用去11个“3”。所以,共 用去211个
数字3。
例3 在三位数中,数字和是5的倍数的数共有_______个。


(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:可把三位数100至999共900个数,从100起,每10个数分为一组,

(100,101、„„109),(110、111、„„119),„„(990、
991、„„、 999)
共分成了90组,而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数,所以一共
有2×90=180(个)。
例4 有四个数,取其中的每两个数相加,可以得到六个和。这六个和中最
小的四个数是8 3、87、92、94,原因数中最小的是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:设原四个数从小到大为a、b、c、d,则有a+b=83,a+c=87,所以c
比b大4。而对于和为92和94时,或者是b+c=92,或者是b+c=94。
当b+c=92时,因c比b大4,可得b=45,进而可求得a=38。
当b+c=94时,因c比b大4,可得b=44,进而可求得a=39。
所以,原四数中最小的数是38或39。

abcd=______
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:原四位数增加8倍后得新的四位数,也就是原四位数乘以9, 得新
四位数(如图5.29)。从而可知,a一定为1,否则积不能得四位数。则



例6 有两个两位数,它们的个位数字相同,十位数字之和是11。这两个数
的积的十位数字肯定不会是哪两个数字?
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)


讲析:由题意可知,两个数的十位上为(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个数的
积,那是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c,十位数字分别为a、b,则a+b=11,两数分别
为(10 a+c),(10b+c)。


字。

能是6、8。
例7 期的记法是用6个数字,前两个数字表示年份,中间两个数字表示月
份,后两个数字表示日(如1976年4月5日记为760405)。
第二届小学“祖杯 赛”的竞赛日期记为921129。这个数恰好左右对称。因
此这样的日期是“吉祥日”。问:从87年 9月1日到93年6月30日,共有
_______个吉祥日。(第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题 )
讲析:一个六位数从中间分开,要求左右对称,则在表示月份的两个数中,
只有11月 份。而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日:901109、911119、921129。




24、数的组成
【数字组数】
例1 用1、2 、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数,如果每个数字
都要用到,并且只能用一次,那么这 九个数字最多能组成______个质数。
(1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:自然数1至9这九个数字中,2、3、5、7本身就是质数。于是只剩
下1、4、6 、8、9五个数字,它们可组成一个两位质数和一个三位质数:41和
689。所以,最多能组成六个质 数。
例2 用0、1、2、„„9这十个数字组成五个两位数,每个数字只用一次,
要求 它们的和是一个奇数,并且尽可能的大。那么,这五个两位数的和是
______。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:组成的五个两位数,要求和尽可能大,则必须使每个数尽可能大。
所以它们的十位上分别 是9、 8、7、6、5,个位上分别是0、1、2、3、4。但
要求五个两位数和为奇数,而1+2+3+4= 10为偶数,所以应将4与5交换,使和
为:
(9+8+7+6+4)×10+(1+2+3+5)=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数,如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上
的数字,那么就称它被另一个 三位数“吃掉”。例如,241被342吃掉,123被
123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉 ),但240和223互不被吃掉。
现请你设计出6个三位数,它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉 ,并且它
们的百位上数字只允许取1、2;十位上数字只允许取1、2、3;个位上数字只
允许 取1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:六个三位数中,任取两个数a和b,则同数位上的数 字中,a中至少
有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时,十 位上可从1开始依次增加1,而个位上从4开始依次
减少1。即:114,123,132。当百位上为 2时,十位上从1开始依次增加1而


个位上只能从3开始依次减少1。即:213,22 2,231。经检验,这六个数符合
要求。
例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这 八个数字排成一个八位数,使得两个1
之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字 ;两个4之
间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。
(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:两个4之间有四个数字,则在两个4之间必 有一个数字重复,而又
要求两个1之间有一个数,于是可推知,这个重复数字必定是1,即412134 或
421314。然后可添上另一个2和3。
经调试,得23421314,此数即为所答。
【条件数字问题】
例1 某商品的 编号是一个三位数,现有五个三位数:874,765,123,364,
925。其中每一个数与商品 编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个
三位数是_______
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:将五个数按百位、十位、个位上的数字分组 比较,可发现:百位上
五个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。故所求< br>的数的个位数字一定是4或5,百位上一定是2或6。经观察比较,可知724符
合要求。
例2 给一本书编页码,共用了1500个数字,其中数字“3”共用了
_______个
(首届《现代小学数学)》邀请赛试题)
讲析:可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页,共用去9个数字;从第10页到 第99页,共用去2×
90=180(个)数字;余下的数字可编(1500-189)÷3=437( 页)
所以,这本书共有536页。
l至99页,共用20个“3”,从100至1 99页共用20个“3”,从200至
299页共用20个“3”,从300至399页共用去120个 “3”,从400至499页
共用去20个“3”,从500到536页共用去11个“3”。所以,共 用去211个
数字3。
例3 在三位数中,数字和是5的倍数的数共有_______个。


(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:可把三位数100至999共900个数,从100起,每10个数分为一组,

(100,101、„„109),(110、111、„„119),„„(990、
991、„„、 999)
共分成了90组,而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数,所以一共
有2×90=180(个)。
例4 有四个数,取其中的每两个数相加,可以得到六个和。这六个和中最
小的四个数是8 3、87、92、94,原因数中最小的是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:设原四个数从小到大为a、b、c、d,则有a+b=83,a+c=87,所以c
比b大4。而对于和为92和94时,或者是b+c=92,或者是b+c=94。
当b+c=92时,因c比b大4,可得b=45,进而可求得a=38。
当b+c=94时,因c比b大4,可得b=44,进而可求得a=39。
所以,原四数中最小的数是38或39。

abcd=______
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:原四位数增加8倍后得新的四位数,也就是原四位数乘以9, 得新
四位数(如图5.29)。从而可知,a一定为1,否则积不能得四位数。则



例6 有两个两位数,它们的个位数字相同,十位数字之和是11。这两个数
的积的十位数字肯定不会是哪两个数字?
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)


讲析:由题意可知,两个数的十位上为(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个数的
积,那是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c,十位数字分别为a、b,则a+b=11,两数分别
为(10 a+c),(10b+c)。


字。

能是6、8。
例7 期的记法是用6个数字,前两个数字表示年份,中间两个数字表示月
份,后两个数字表示日(如1976年4月5日记为760405)。
第二届小学“祖杯 赛”的竞赛日期记为921129。这个数恰好左右对称。因
此这样的日期是“吉祥日”。问:从87年 9月1日到93年6月30日,共有
_______个吉祥日。(第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题 )
讲析:一个六位数从中间分开,要求左右对称,则在表示月份的两个数中,
只有11月 份。而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日:901109、911119、921129。



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