盱眙县教育局-不怕困难的名言

竞博教育
不规则图形面积计算（1）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四 边形、梯形、
菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积
及周长都有相 应的公式直接计算.如下表：

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实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些
基本 图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这
些图形通过实施割补、剪拼等方 法将它们转化为基本图形的和、差关
系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分
别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
思路导航：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”
三角形 （△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长 为6厘米，△ABE、△ADF
与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：

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∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD
的。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米
和6厘米。如右图那样重合.求 重合部分（阴影部分）的面积。
C
1
3
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB- AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC
（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
B

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思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方
厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15
平方厘米。

二、巩固训练
1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积
是8平方 厘米，它是三角形DEC的面积的，求正方
形ABCD的面积。
解：过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.
在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=BC.求阴影部分的面积。
解：连结DF。∵AE=ED，
D
4
5
2
3

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∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED
3. 如右图，正 方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形
DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少 厘米？
解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，
DC=4（A D上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。
4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△ AED
的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2
即45=（AD+BC）×6÷2，
45=（AD+10）×6÷2，
∴AD=45×2÷6-10=5米。
∴△ADE的高是2米。
△ EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，

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5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面
积相等.
证明：连结CE，
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，
而
∴
DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
ABCD的面积与



（一） 不规则图形面积计算（2）
不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形 、弓形与三角形、
正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则
图形，为 了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当
的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图 形的和、差关系，同时
还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S
A∪B
＝S
A
＋S
b
-S
A
∩B
DEFG的面积相等。
）合并使用才能解决。
一、例题与方法指导

例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向
内作三个半圆.求阴影部分的面积。

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解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆， 得
到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状
完全一样，因此它们的面积相等. 所以上图中阴影部分的面
积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间 切开，分别补贴在下半圆的
上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一
半。 < br>解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两
侧，如右图所示.阴影部分的 面积是正方形的一半.
例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆
心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理 S
阴影
＝S
扇形ACB
＋S
扇形ACD
-S
正方形ABCD

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例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形
ABE 半径AE＝6厘
的半CB=4厘米，
的面积。






例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝2 0
厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求
BC长。
分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就
是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又 知半圆直径
AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就
可求出三角形AB C的面积，进而求出三角形的底BC的长.


米，扇形CBF
求阴影部分

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二、巩固训练
1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部
分的面积。
分析 阴影部分的面 积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图
中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的 正方形的面积减
去以6为半径的圆的面积。




2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB
到达AC的位置，求阴影部分的面积（ 取π=3）.
解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径
的半圆被 弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，
由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓 形后，两个半
1
4

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圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：




3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.






4. 如下页右上图，ABC是 等腰直角三角形，D是半圆
周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部
分 面积（π取3.14）。
解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等

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的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。







总结：对于不规则图形面积的计算问 题一般将它转化为若干基本规则
图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.
常用的基本方法有：
一、 相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形 ，分别
计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，
要求整个图形的面积， 只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方
形的面积，然后把它们相加就可以了.

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二、 相减法：
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规< br>则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求
出正方形面积再减去里面圆的面 积即可.
三、 直接求法：
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形< br>面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就
是一个底是2，高为4的三角形， 面积可直接求出来。
四、 重新组合法：
这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况 和计算上的需要，
重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲
求右图中 阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4
个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.

五、 辅助线法：
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相

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减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可
以用相减 法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、 割补法：
这种方法是把原图 形的一部分切割下来补在图形中的另一部
分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图 ，欲
求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴
影部分面积恰是正方形 面积的一半.
七、 平移法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当< br>位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如
右图，欲求阴影部分面积，可 先沿中间切开把左边正
方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个
阴影部分恰是一个正 方形。
八、 旋转法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本
规则的图形，便于求出面积.例 如，欲求图（1）中阴影部分的面积，

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可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构
成如右图 （2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去
中间等腰直角三角形的面积.
九、 对称添补法：
这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则
图形.原来图形 面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴
影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对 称轴的对称扇形ABD.
弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：
这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然
后运用“容斥原理”（SA ∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求右
图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减 去正方形面积，
因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.

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不规则图形面积计算（1）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四 边形、梯形、
菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积
及周长都有相 应的公式直接计算.如下表：

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实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些
基本 图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这
些图形通过实施割补、剪拼等方 法将它们转化为基本图形的和、差关
系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分
别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
思路导航：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”
三角形 （△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长 为6厘米，△ABE、△ADF
与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：

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∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD
的。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米
和6厘米。如右图那样重合.求 重合部分（阴影部分）的面积。
C
1
3
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在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB- AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC
（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
B

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取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方
厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15
平方厘米。

二、巩固训练
1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积
是8平方 厘米，它是三角形DEC的面积的，求正方
形ABCD的面积。
解：过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.
在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=BC.求阴影部分的面积。
解：连结DF。∵AE=ED，
D
4
5
2
3

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∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED
3. 如右图，正 方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形
DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少 厘米？
解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，
DC=4（A D上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。
4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△ AED
的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2
即45=（AD+BC）×6÷2，
45=（AD+10）×6÷2，
∴AD=45×2÷6-10=5米。
∴△ADE的高是2米。
△ EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，

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5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面
积相等.
证明：连结CE，
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，
而
∴
DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
ABCD的面积与



（一） 不规则图形面积计算（2）
不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形 、弓形与三角形、
正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则
图形，为 了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当
的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图 形的和、差关系，同时
还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S
A∪B
＝S
A
＋S
b
-S
A
∩B
DEFG的面积相等。
）合并使用才能解决。
一、例题与方法指导

例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向
内作三个半圆.求阴影部分的面积。

竞博教育


解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆， 得
到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状
完全一样，因此它们的面积相等. 所以上图中阴影部分的面
积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间 切开，分别补贴在下半圆的
上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一
半。 < br>解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两
侧，如右图所示.阴影部分的 面积是正方形的一半.
例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆
心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理 S
阴影
＝S
扇形ACB
＋S
扇形ACD
-S
正方形ABCD

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例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形
ABE 半径AE＝6厘
的半CB=4厘米，
的面积。






例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝2 0
厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求
BC长。
分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就
是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又 知半圆直径
AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就
可求出三角形AB C的面积，进而求出三角形的底BC的长.


米，扇形CBF
求阴影部分

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二、巩固训练
1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部
分的面积。
分析 阴影部分的面 积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图
中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的 正方形的面积减
去以6为半径的圆的面积。




2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB
到达AC的位置，求阴影部分的面积（ 取π=3）.
解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径
的半圆被 弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，
由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓 形后，两个半
1
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圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：




3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.






4. 如下页右上图，ABC是 等腰直角三角形，D是半圆
周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部
分 面积（π取3.14）。
解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等

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的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。







总结：对于不规则图形面积的计算问 题一般将它转化为若干基本规则
图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.
常用的基本方法有：
一、 相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形 ，分别
计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，
要求整个图形的面积， 只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方
形的面积，然后把它们相加就可以了.

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二、 相减法：
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规< br>则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求
出正方形面积再减去里面圆的面 积即可.
三、 直接求法：
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形< br>面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就
是一个底是2，高为4的三角形， 面积可直接求出来。
四、 重新组合法：
这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况 和计算上的需要，
重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲
求右图中 阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4
个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.

五、 辅助线法：
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相

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减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可
以用相减 法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、 割补法：
这种方法是把原图 形的一部分切割下来补在图形中的另一部
分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图 ，欲
求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴
影部分面积恰是正方形 面积的一半.
七、 平移法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当< br>位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如
右图，欲求阴影部分面积，可 先沿中间切开把左边正
方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个
阴影部分恰是一个正 方形。
八、 旋转法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本
规则的图形，便于求出面积.例 如，欲求图（1）中阴影部分的面积，

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可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构
成如右图 （2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去
中间等腰直角三角形的面积.
九、 对称添补法：
这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则
图形.原来图形 面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴
影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对 称轴的对称扇形ABD.
弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：
这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然
后运用“容斥原理”（SA ∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求右
图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减 去正方形面积，
因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.