西安铁路职业技术学院-暨大招生

圆面积的典型题和解法
一、半径r
2
替代法
题的特点：一 般将正方形，三角形和圆放到一起，一般已知条件是正方形或三角形面积，求
圆的面积。
，
解法：一般设法求出r，或者求出r
2
★注意：园内直角三角形一般为等腰直角三角形，两腰等长，斜边是斜边上高的2倍。
例1：已知下图阴影部分面积为8平方米，求圆的面积：
解：由已知条件可得r
2
=8，
因此，圆的面积为：

r
2
3.148


例2：ABCD为正方形，已知AC长6m，求阴影部分面积：
解：△ACD为等腰直角三角形，则S△ACD=6*32=9㎡
AD=DC=r
AD*DC2=9
因此，r
2
=18, 扇形DAC的面积为：
r
2
43.14184
因此，阴影部分面积为：18-

r
2
43.14184


例3：求圆与圆内最大正方形的面积比值。
解：△ABC为等腰直角三角形，则S△ABC=
2rr2r
2

正方形的面积是两个三角形面积和，为：
2r
2

圆的面积 为：

r
2
，则圆与圆内最大正方形的比为：

2


练习题：
1、已知下图阴影部分面积为5平方米，求圆的面积：




2:、在右图扇形中，正方形面积为30平方米，求阴影部分面积：



3：求正方形与正方形内最大圆的面积比值。

二、图像平移填补法
题的特点：一般圆内由多个阴影部分面积构成，阴影由弧 线和弧线构成，或者由弧线和直线
构成。
解法：注意观察面积相同的部分，将相同的部分移动替换，
，
若遇到轴对称图形可尝试旋转图形，记住常见的面积平移图例。

例1：求阴影部分的面积：
解：正方形外三角形底为6，和正方形内三角形底相同，
由于顶角相同，所以两个三角形可以互换。
阴影部分面积则为：正方形面积-14圆的面积


例2：求阴影部分的面积：
解：平移得到下图：
则阴影部分面积为扇形面积-三角形面积

4
2
44228.56cm
2


例3：求阴影部分的面积：
解：注意观察，：






阴影部分面积为：1*1-1*12=12

练习题：求阴影部分面积：

三、图像关联扩张法
题的特点：图有好几个部分组合而成，各部分之间存在着一定的关系。
解法：注意观察图形，将图形分开或者联合起来考虑问题。可以尝试补充图形或者删减图形。
例1：甲比乙的面积大6cm
2
，求阴影部分面积。
解：甲和乙单独考虑难解决问题，将甲、乙和直角梯形放到一起考虑
甲=乙+6，甲+直角梯形面积=乙+直角梯形面积+6。
可得，S长方形ABEF=S三角形BDF+6
S长方形ABEF=4*6=24 所以S△BDF=18
BF*DF2=18 DF=6
BF=DF 所以S△BDF为直角等腰三角形
S扇形DFG=3.14*6*68
阴影部分面积为：S△BDF-S扇形DFG

例2：正方形边长为10cm，求阴影部分面积。
解：直接难以求解，可尝试将图形分解开解决问题，如下图：
可以看小正方形两块空白区域相等。
因此，大正方形外部空白区域和内部空白区域相等
空白区域的面积：（10*10-3.14*5*5）*2
阴影部分面积：10*10-（10*10-3.14*5*5）*2


例3、求阴影部分面积
解：观察，阴影部分面积需要用两个小半圆面积- 两个空白圆弧面积。
两个空白圆弧面积=空白半圆的面积-三角形面积。
因此：两个空白圆弧面积=3.14*2.5
2
2- 3*42
阴影部分面 积=3.14*2
2
2+3.14*1.5
2
2-两个空白圆弧面积


练习题：
2
1、△ABC为直角三角形，1比2小28cm，AB长40cm，BC长多少？



2、扇形ABC的面积是半圆ADB面积的43倍，求
CAB
的度数。

3、求阴影部分面积：

圆面积的典型题和解法
一、半径r
2
替代法
题的特点：一般将正方形，三角形和圆放到一起，一般 已知条件是正方形或三角形面积，求
圆的面积。
，
解法：一般设法求出r，或者求出r
2
★注意：园内直角三角形一般为等腰直角三角形，两腰等长，斜边是斜边上高的2倍。
例1：已知下图阴影部分面积为8平方米，求圆的面积：
解：由已知条件可得r
2
=8，
因此，圆的面积为：

r
2
3.148


例2：ABCD为正方形，已知AC长6m，求阴影部分面积：
解：△ACD为等腰直角三角形，则S△ACD=6*32=9㎡
AD=DC=r
AD*DC2=9
因此，r
2
=18, 扇形DAC的面积为：
r
2
43.14184
因此，阴影部分面积为：18-

r
2
43.14184


例3：求圆与圆内最大正方形的面积比值。
解：△ABC为等腰直角三角形，则S△ABC=
2rr2r
2

正方形的面积是两个三角形面积和，为：
2r
2

圆的面积 为：

r
2
，则圆与圆内最大正方形的比为：

2


练习题：
1、已知下图阴影部分面积为5平方米，求圆的面积：




2:、在右图扇形中，正方形面积为30平方米，求阴影部分面积：



3：求正方形与正方形内最大圆的面积比值。

二、图像平移填补法
题的特点：一般圆内由多个阴影部分面积构成，阴影由弧 线和弧线构成，或者由弧线和直线
构成。
解法：注意观察面积相同的部分，将相同的部分移动替换，
，
若遇到轴对称图形可尝试旋转图形，记住常见的面积平移图例。

例1：求阴影部分的面积：
解：正方形外三角形底为6，和正方形内三角形底相同，
由于顶角相同，所以两个三角形可以互换。
阴影部分面积则为：正方形面积-14圆的面积


例2：求阴影部分的面积：
解：平移得到下图：
则阴影部分面积为扇形面积-三角形面积

4
2
44228.56cm
2


例3：求阴影部分的面积：
解：注意观察，：






阴影部分面积为：1*1-1*12=12

练习题：求阴影部分面积：

三、图像关联扩张法
题的特点：图有好几个部分组合而成，各部分之间存在着一定的关系。
解法：注意观察图形，将图形分开或者联合起来考虑问题。可以尝试补充图形或者删减图形。
例1：甲比乙的面积大6cm
2
，求阴影部分面积。
解：甲和乙单独考虑难解决问题，将甲、乙和直角梯形放到一起考虑
甲=乙+6，甲+直角梯形面积=乙+直角梯形面积+6。
可得，S长方形ABEF=S三角形BDF+6
S长方形ABEF=4*6=24 所以S△BDF=18
BF*DF2=18 DF=6
BF=DF 所以S△BDF为直角等腰三角形
S扇形DFG=3.14*6*68
阴影部分面积为：S△BDF-S扇形DFG

例2：正方形边长为10cm，求阴影部分面积。
解：直接难以求解，可尝试将图形分解开解决问题，如下图：
可以看小正方形两块空白区域相等。
因此，大正方形外部空白区域和内部空白区域相等
空白区域的面积：（10*10-3.14*5*5）*2
阴影部分面积：10*10-（10*10-3.14*5*5）*2


例3、求阴影部分面积
解：观察，阴影部分面积需要用两个小半圆面积- 两个空白圆弧面积。
两个空白圆弧面积=空白半圆的面积-三角形面积。
因此：两个空白圆弧面积=3.14*2.5
2
2- 3*42
阴影部分面 积=3.14*2
2
2+3.14*1.5
2
2-两个空白圆弧面积


练习题：
2
1、△ABC为直角三角形，1比2小28cm，AB长40cm，BC长多少？



2、扇形ABC的面积是半圆ADB面积的43倍，求
CAB
的度数。

3、求阴影部分面积：