澳洲护士-思想汇报2010

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1．和差倍问题

和差问题和倍问题差倍问题

已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的
差与倍数

一、和差倍问题

（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个
数。

方法①：（和－差）÷2= 较小数，和-较小数=较大数

方法②：（和+ 差）÷2=较大数，和- 较大数=较小数

例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。

方法：（15-5）÷2=5 ，（15+5）÷2=10 .

（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，
求这两个数。

方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

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或 和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数）

例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两
个数。

方法：50÷（4+1）=10 10×4=40

（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求
这两个数。

方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

或 和-倍数（较小数）=几倍数（较大数）

例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两
个数。

方法： 80÷（5-1）=20 20×5=100
和与差和与倍数差与倍数

2．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

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③两个人的年龄的倍数是发生变化的；两人年龄的倍数
关系是变化的量；

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差- 小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．

3． 归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一
般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”… …等
词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

4．植树问题

基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端 都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者
不封闭的曲线上植树，只有一 端植树封闭曲线上植树
三、植树问题

（一）不封闭型（直线）植树问题

1、直线两端植树： 棵数=段数+1=全长÷株距+1 ；

全长=株距×（棵数-1 ）；

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株距=全长÷（棵数-1 ）；

2、 直线一端植树： 全长=株距×棵数；

棵数=全长÷株距；

株距=全长÷棵数；

3 、直线两端都不植树： 棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ；

株距=全长÷（棵数+1 ）；

（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

棵数=总距离÷棵距；

总距离=棵数×棵距；

棵距=总距离÷棵数．

5．鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，
就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲
一样）：
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②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是
多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的
原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总
脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总
头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-
每只鸡的脚数）=兔数；
总头数- 兔数=鸡数。
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或者是（每只兔脚数×总头数- 总脚数）÷（每只兔脚数
-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、
兔各是多少只？”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比
兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+
每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡
的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡
的总脚数多时，可用公式。
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（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡
的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡
的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用
下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只
合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格 品数。或者是
总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）
÷（每只合格品得分 数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资 。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，
还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525
分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
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（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无
损者每只给运费××元，破损者不仅 不给运费，还需要赔成
本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，
求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次
总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差 ）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次
总脚数之差） ÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔
数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕
÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也
是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法-- 假设法，并
会将这种方法应用到一些实际问题中.

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数- 实际脚数）÷（每只
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兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔
子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

6．盈亏问题
基本思路：先将两种分配方案进行比较 ，分析由于标准
的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份
数，然后根据题意求 出对象的总量．

按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如
果有物 品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问
题的含义．

一般地，一批 物品分给一定数量的人，第一种分配方法
有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分 配
方法相差n个物品时，那就有：

盈数+亏数= 人数×n ，

这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．

解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
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(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数，

(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数，

(亏 -亏)÷两次分得之差= 人数或单位数．

解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？
什么 情况下亏，亏多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结
果不同的原因．

另外在解题后，应进行验算．
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本 思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两
次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这 种差
异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数- 较短时间×短时间
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牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8．周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律
循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期。

闰年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年
份必须能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但
不能被400整除；

9．平均数

基本公式：①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

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总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间 的关系，确定一个基准
数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以
基准数为标准 ，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差
的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基
准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，
那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三
个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也 就是说必有
一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中
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n>m，那么必有一个抽屉至少有：

①k=[nm]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽
屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。


10.1、方阵问题

在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列 ，如果行
数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的方阵
。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相
同．每向里一层，每边上的人数就少2 ，每层总数就少8 ．

②每边人（或物）数和每层总数的关系：

每层总数=[每边人（或物）数1]×4 ； 每边人（或物）
数=每层总数÷4+1 ．
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③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每
边人（或物）数．



11．定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号
包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代
入，转化为加减乘除的运算，然后按 照基本运算过程、规律
进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意
运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12．数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，
这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表
示；
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项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个 量：a1，an，d，n，
sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求
出第四 个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就
可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1)公差；

数列和公式：sn，=(a1+an)n2；

数列和＝（首项＋末项）项数2；

项数公式：n=(an+a1)d＋1；

项数=（末项-首项）公差＋1；

公差公式：d=（an－a1））（n－1）；

公差=（末项－首项）（项数－1）；
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关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13．二进制及其应用

十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位
上的数字表示不同的含义，十位上 的2表示20，百位上的2
表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。


=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310 n-4+An-4
10n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位
上的数字表示不同的含义。

（2）
=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5 +
An-62n-7

+……+A322+A221+A120

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，
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直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即
可。

②先 找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再
找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为 0，
按照二进制展开式特点即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方
法中有m1种不同方法， 在第二类方法中有m2种不同方
法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件
任务 共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，
做第1步有m1种方法，不管第1步 用哪一种方法，第2
步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步
总有mn种方 法，那么完成这件任务共有：
m1×m2.......×mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，
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形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×
列数

15．质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这
个数叫做质数，也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这
个数叫做合数。

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质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数
叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫
做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一 个合数分
解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、
a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做
互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，
b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是
互质数。

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2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约
数。

4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约
数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）
=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数
连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整
除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；
其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
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12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个
数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、
分解质因数的方法

17．数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个 整数a，除以一个自然数b，得到一
个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能
整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因
为符号“∵”，所以的符号“∴”；
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二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、
25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、
125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被
7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11
整除。

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③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整
除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被
13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能
被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被
b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被
c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小
公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得
a÷ b=q……r，且0---

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叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b
除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除
以c的余数的积除以c的余数。

19．余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对
于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b
对于模m同余，记作a≡b(modm)，读 作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(modm)；

②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
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③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则
a≡c(modm)；

④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a+c≡b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm)；

⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a×c≡b×d(modm)；

⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；

⑦同倍性：若a≡b(modm)，整数c，则
a×c≡b×c(modm×c)；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，
则M≡n(mod9)或（mod3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，
Y表示M的各个偶数数位上数字的和 ，则M≡Y-X或
M≡11-（X-Y）(mod11)；
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五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数 ，
且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

20．分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或
几份的数。

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的
数（0除外），分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份
的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）
进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的
直接对应关系。

③转化 思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进
行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不 同
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的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化 成同一
条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思 维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相
等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结
果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当 中，总有一个量
是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变
的。有以下三种情况 ：A、分量发生变化，总量不变。B、总
量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量
关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进
行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状
况。

21．分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分
数大小和分母的关系比较。

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②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分
数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行
比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，
分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数
的大小，除了运用以上方法外，可以 用同倍率的变化关系比
较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的
值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1
进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数
和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大
小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数
比较。

22．分数拆分
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一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
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完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24．比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的
前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数
（零除外），比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，
ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB
的商不变时），则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB
的积不变时），则A与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例
分配。

25．综合行程
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基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物
体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程
÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他
公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速- 水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公
式。

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过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公
式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程（相遇路程、追及 路程）、时间（相
遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个
量，求第三个量。


26．工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般 是它们完成工作
总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可
以简单地表示出工作 效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两
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对应关系。

经验简评：合久必分，分久必合。

27．逻辑推理

基本方法简介：

①条件分析—假设法：假设 可能情况中的一种成立，然
后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说
明该假设 情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。
例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾， 那么
a一定是奇数。

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假< br>设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把
题设的条件全部表示在一个长方形表格 中，表格的行、列分
别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断 。

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系
时，就可用连线表示 两个对象之间的关系，有连线则表示
“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例
如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认
识，没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推
理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为 推理提供
一个新的判断筛选条件。
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⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析
其中存在的规律和方法，并从特殊情 况推广到一般情况，并
递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

28．几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上，不能直接 运用公式的情况下，一
般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、
重叠等，使不 规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需
要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题
时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜
边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
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③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29．立体图形

长方体

8个顶点；6个面；相 对的面相等；12条棱；相对的棱
相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh

正方体

8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；
S=6a2V=a3

圆柱体

上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S
侧+2S底S侧=ChV=Sh

圆锥体

下底是圆；只有一个顶点；l：母线，顶点到底圆周上任
意一点的距离；S=S侧+S底

S侧=rlV=Sh

球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2V=r3
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30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题；
2、不同的表当成速度不同的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；
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五、流水行船奥数知识点

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1．和差倍问题

和差问题和倍问题差倍问题

已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的
差与倍数

一、和差倍问题

（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个
数。

方法①：（和－差）÷2= 较小数，和-较小数=较大数

方法②：（和+ 差）÷2=较大数，和- 较大数=较小数

例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。

方法：（15-5）÷2=5 ，（15+5）÷2=10 .

（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，
求这两个数。

方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

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或 和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数）

例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两
个数。

方法：50÷（4+1）=10 10×4=40

（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求
这两个数。

方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

或 和-倍数（较小数）=几倍数（较大数）

例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两
个数。

方法： 80÷（5-1）=20 20×5=100
和与差和与倍数差与倍数

2．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

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③两个人的年龄的倍数是发生变化的；两人年龄的倍数
关系是变化的量；

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差- 小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．

3． 归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一
般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”… …等
词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

4．植树问题

基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端 都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者
不封闭的曲线上植树，只有一 端植树封闭曲线上植树
三、植树问题

（一）不封闭型（直线）植树问题

1、直线两端植树： 棵数=段数+1=全长÷株距+1 ；

全长=株距×（棵数-1 ）；

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株距=全长÷（棵数-1 ）；

2、 直线一端植树： 全长=株距×棵数；

棵数=全长÷株距；

株距=全长÷棵数；

3 、直线两端都不植树： 棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ；

株距=全长÷（棵数+1 ）；

（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

棵数=总距离÷棵距；

总距离=棵数×棵距；

棵距=总距离÷棵数．

5．鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，
就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲
一样）：
---

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②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是
多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的
原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总
脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总
头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-
每只鸡的脚数）=兔数；
总头数- 兔数=鸡数。
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或者是（每只兔脚数×总头数- 总脚数）÷（每只兔脚数
-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、
兔各是多少只？”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比
兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+
每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡
的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡
的总脚数多时，可用公式。
---

--
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡
的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡
的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用
下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只
合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格 品数。或者是
总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）
÷（每只合格品得分 数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资 。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，
还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525
分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
---

--
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无
损者每只给运费××元，破损者不仅 不给运费，还需要赔成
本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，
求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次
总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差 ）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次
总脚数之差） ÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔
数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕
÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也
是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法-- 假设法，并
会将这种方法应用到一些实际问题中.

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数- 实际脚数）÷（每只
---

--
兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔
子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

6．盈亏问题
基本思路：先将两种分配方案进行比较 ，分析由于标准
的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份
数，然后根据题意求 出对象的总量．

按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如
果有物 品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问
题的含义．

一般地，一批 物品分给一定数量的人，第一种分配方法
有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分 配
方法相差n个物品时，那就有：

盈数+亏数= 人数×n ，

这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．

解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
---

--

(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数，

(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数，

(亏 -亏)÷两次分得之差= 人数或单位数．

解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？
什么 情况下亏，亏多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结
果不同的原因．

另外在解题后，应进行验算．
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本 思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两
次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这 种差
异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数- 较短时间×短时间
---

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牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8．周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律
循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期。

闰年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年
份必须能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但
不能被400整除；

9．平均数

基本公式：①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

---

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总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间 的关系，确定一个基准
数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以
基准数为标准 ，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差
的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基
准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，
那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三
个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也 就是说必有
一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中
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n>m，那么必有一个抽屉至少有：

①k=[nm]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽
屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。


10.1、方阵问题

在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列 ，如果行
数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的方阵
。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相
同．每向里一层，每边上的人数就少2 ，每层总数就少8 ．

②每边人（或物）数和每层总数的关系：

每层总数=[每边人（或物）数1]×4 ； 每边人（或物）
数=每层总数÷4+1 ．
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③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每
边人（或物）数．



11．定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号
包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代
入，转化为加减乘除的运算，然后按 照基本运算过程、规律
进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意
运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12．数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，
这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表
示；
---

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项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个 量：a1，an，d，n，
sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求
出第四 个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就
可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1)公差；

数列和公式：sn，=(a1+an)n2；

数列和＝（首项＋末项）项数2；

项数公式：n=(an+a1)d＋1；

项数=（末项-首项）公差＋1；

公差公式：d=（an－a1））（n－1）；

公差=（末项－首项）（项数－1）；
---

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关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13．二进制及其应用

十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位
上的数字表示不同的含义，十位上 的2表示20，百位上的2
表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。


=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310 n-4+An-4
10n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位
上的数字表示不同的含义。

（2）
=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5 +
An-62n-7

+……+A322+A221+A120

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，
---

--
直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即
可。

②先 找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再
找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为 0，
按照二进制展开式特点即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方
法中有m1种不同方法， 在第二类方法中有m2种不同方
法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件
任务 共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，
做第1步有m1种方法，不管第1步 用哪一种方法，第2
步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步
总有mn种方 法，那么完成这件任务共有：
m1×m2.......×mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，
---

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形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×
列数

15．质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这
个数叫做质数，也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这
个数叫做合数。

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质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数
叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫
做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一 个合数分
解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、
a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做
互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，
b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是
互质数。

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2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约
数。

4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约
数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）
=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数
连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整
除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；
其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
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12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个
数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、
分解质因数的方法

17．数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个 整数a，除以一个自然数b，得到一
个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能
整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因
为符号“∵”，所以的符号“∴”；
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二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、
25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、
125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被
7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11
整除。

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③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整
除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被
13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能
被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被
b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被
c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小
公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得
a÷ b=q……r，且0---

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叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b
除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除
以c的余数的积除以c的余数。

19．余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对
于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b
对于模m同余，记作a≡b(modm)，读 作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(modm)；

②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
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③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则
a≡c(modm)；

④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a+c≡b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm)；

⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a×c≡b×d(modm)；

⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；

⑦同倍性：若a≡b(modm)，整数c，则
a×c≡b×c(modm×c)；

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，
则M≡n(mod9)或（mod3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，
Y表示M的各个偶数数位上数字的和 ，则M≡Y-X或
M≡11-（X-Y）(mod11)；
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五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数 ，
且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

20．分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或
几份的数。

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的
数（0除外），分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份
的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）
进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的
直接对应关系。

③转化 思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进
行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不 同
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的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化 成同一
条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思 维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相
等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结
果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当 中，总有一个量
是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变
的。有以下三种情况 ：A、分量发生变化，总量不变。B、总
量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量
关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进
行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状
况。

21．分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分
数大小和分母的关系比较。

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②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分
数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行
比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，
分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数
的大小，除了运用以上方法外，可以 用同倍率的变化关系比
较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的
值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1
进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数
和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大
小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数
比较。

22．分数拆分
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一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
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完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24．比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的
前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数
（零除外），比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，
ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB
的商不变时），则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB
的积不变时），则A与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例
分配。

25．综合行程
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基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物
体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程
÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他
公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速- 水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公
式。

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过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公
式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程（相遇路程、追及 路程）、时间（相
遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个
量，求第三个量。


26．工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般 是它们完成工作
总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可
以简单地表示出工作 效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两
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对应关系。

经验简评：合久必分，分久必合。

27．逻辑推理

基本方法简介：

①条件分析—假设法：假设 可能情况中的一种成立，然
后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说
明该假设 情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。
例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾， 那么
a一定是奇数。

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假< br>设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把
题设的条件全部表示在一个长方形表格 中，表格的行、列分
别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断 。

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系
时，就可用连线表示 两个对象之间的关系，有连线则表示
“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例
如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认
识，没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推
理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为 推理提供
一个新的判断筛选条件。
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⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析
其中存在的规律和方法，并从特殊情 况推广到一般情况，并
递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

28．几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上，不能直接 运用公式的情况下，一
般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、
重叠等，使不 规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需
要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题
时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜
边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
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③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29．立体图形

长方体

8个顶点；6个面；相 对的面相等；12条棱；相对的棱
相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh

正方体

8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；
S=6a2V=a3

圆柱体

上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S
侧+2S底S侧=ChV=Sh

圆锥体

下底是圆；只有一个顶点；l：母线，顶点到底圆周上任
意一点的距离；S=S侧+S底

S侧=rlV=Sh

球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2V=r3
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30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题；
2、不同的表当成速度不同的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；
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五、流水行船奥数知识点

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专业文档 考试资料学习资
料 教育试题 方案设计


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