小学奥数专题之-几何专题
新乡事业单位招聘-公务员面试题
小学奥数几何专题
1、(★★)如图,已知四边形ABCD中,AB=13,BC=3
,CD=4,DA=12,并且BD与AD垂直,
则四边形的面积等于多少?
[思 路]:显然四边形ABCD的面积将由三角形ABD与三角形BCD的面积求和得到.三角形<
br>ABD是直角三角形,底AD已知,高BD是未知的,但可以通过勾股定理求出,进
而可以判定三
角形BCD的形状,然后求其面积.这样看来,BD的长度是求解本
题的关键.
解:由于B
D垂直于AD,所以三角形ABD是直角三角形.而AB=13,DA=12,由勾股
定理,BD =A
B-AD=13—12=25=5,所以BD=5.三角形BCD中BD=5,
BC=3,CD=4,又
3十4=5,故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形,BC
与CD垂直.那么:
四边形ABCD
=
S
ABD
+
BCD
=12×
5÷2+4×3÷2=36..
即四边形ABCD的面积是36.
2、(★★)如图四边形土地的总面积是48平方米,三条线把它分成了4个小三角形,其中
2
个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米.那么最大的一个三角形的面积是________
平方米
;
7
9
[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32
,是右侧两个三角形面积和的2
倍,故
左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍,最大三角形面积是 9×2=18。
3.(★★)将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图,其中的粗实线图形面积与原三角形面积
之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少?
222
222222
SS
[思
路]:小升初中常把分数,百分数,比例问题处理成份数问题,这个思想一定要养成。
解:粗线面积:黄面积=2:3
绿色面积是折叠后的重叠部分,减少的部分
就是因为重叠才变少的,这样可以设总
共3份,后来粗线变2份,减少的绿色部分为1份,所以阴影部分
为2-1=1份,
1
4、(★★)
求下图中阴影部分的面积:
【解】如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分
别
拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于
扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积:π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
5、(★★)下图中阴影部分的面积是多少厘米
2
?
分析与解:本题可以采用一般方法,也就是分别计算两块阴影部分面积,再加起来,但
不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法,将左上角一块阴影部分(弓形)翻折到半
圆的右上角(以
下图中虚线为折痕),把两块阴影部分合在一起,组成一个梯形(如下
图所示),这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°,到达右上角,得到同样的一个梯形。
2
6、
(★★)
如图6-1,每一个小方格的面积都是l平方
厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多
少平方厘米?
【分析与解】
方法一:正方形格点阵中多边形面积公式:(N+
积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.
有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:(4+
L
-1)×单位
正方形面
2
7
-1)×1=6.5(平方厘米)
2
方法二:如下图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,有①=3÷2=1.5,
②=2÷2=1,③=2÷2=1,④
=2÷2=1,⑤=2÷2=l,⑥=2÷2=1,还有三个小正方形,所以粗
实线外格点内的图形面积
为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所
以粗线围成
的图形的面积为:16-9.5=6.5平方厘米.
7
(★★)
,已知四
边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中
阴影三角形BFD
的面积为多少平方厘米?
【分析与解】 方法一:因为CEFG的边长题中未给出,显然阴影部分的面积与其有关.设
正方形CEFG的边长为x,有:
1110x-x
2
S
正方形ABCD=1010=100,
S
正方形CEFG
=x,
S
DGF<
br>=DGGF=(10-x)x=,
222
2
3
1
110x+x
2
.
又
S
AB
D
=1010=50,
S
BEF
=(10+x)x=
222
阴影部分的面积为:
S
正方形ABCD
S
正方形CEFG
S
DGF
S
ABD
S
BEF
10xx
2
10xx
2
100x5050
(平方
厘米).
22
2
方法二:连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.
有△DFB、
△DBC共底DB,等高,所以这两个三角形的面积相等,显然,△DBC的面积
1
101
050
(平方厘米).
2
阴影部分△DFB的面积为50平方厘米.
8、(
★★)
用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图
形的表面积是多少平
方厘米?
[方法一]:
[思
路]:整体看待面积问题。
解:不管叠多高,上下两面的表面积总是3×3;再看上下左右四个面,都是2×3+1,
所以,总计9×2+7×4=18+28=46。
[方法二]:
[思
路]:所有正方体表面积减去粘合的表面积
解:从图中我们可以发现,总共有14个正方体,这样我们
知道总共的表面积是:6×14=64,但
总共粘合了18个面,这样就减少了18×1=18,所以剩
下的表面积是64-18=46。
[方法三]:直接数数。
[思
路]:通过图形,我们可以直接数出总共有46个面,每个面面积为1,这样总共的表
面积就是46。
9、
(★★)
一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯内侧的底面积
是72cm,
在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?
2
4
解:水的体积为72×2.5=180(cm),放入铁
块后可以将水看做是底面积为72-6
×6=32(cm)的柱体,所以它的高为
3
2
180÷32=5(cm)。
10、
(★★)
有
一个棱长为1米的立方体,沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后,成为60
(06年三帆中学考试题
)
个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.
【解】原正方体表面积:1×1×6=6(平方米),一共切了2+3+4=9(次),
每切一次增加2个面:2平方米。所以表面积: 6+2×9=24(平方米)
二:提高题
11、(★★★)图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点,
Q点为正方形一
边的中点。已知正方形的边长为10,那么阴影部分面积是多少?(π取3.14.)
[方法一]:阴影面积的“加减法”。
[思
路]:因为阴影部分面积不是正规图形,所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。
解:过P点向AB作垂线,这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形,这样
阴影面积=整个面积-空白面积=(正方形ABCD+半圆)—(三角形+梯形)
=(10×10+π×5×5÷2)-[15×5÷2+(5+15)×5÷2]
=51.75
[总
结]:这种方法是小升初中最常用的方法,一定要学会这种处理思路。
[方法二]:面积的“加减法”和“切割法”综合运用
[思
路]:出现正方形,出现弧线时,注意两个考点:1.半叶形
2。14圆,所以我们可以先把
面积补上再减去补上的面积
解:S1=正方形-14圆=5×5-14×π×5×5
5
上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5-14×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPF-S2=
所以阴影面积=(15×5÷2-5×5-14×π×
5×5)+(10×5÷2-5×5-14×π×5×5)
=51.75
[方法三]:面积的“切割法”
[思
路]:出现正方形,出现弧线时,注意两个考点:1.半叶形
2。14圆,这样可以考虑把
阴影面积切成几个我们会算的规则图形
解:半叶形S1=正方形-14圆=5×5-14×π×5×5
上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+5×5—14×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+5×5—14×π×5×5
阴影面积=(
10×5÷2+5×5—14×π×5×5)+(5×5÷2+5×5—14×π×5×5)=51.75
12、(★★★)如图,ABCG是4×7的长方形,DEFG是2×10的长方
形,那么,三角形BCM的面
积与三角形DCM的面积之差是多少?
[方法一]:
[思
路]:公共部分的运用,这是小升初的常用方法,熟练找出公共部分是解题的关键。
解:
GC=7,GD=10推出HE=3;
6
BC=4,DE=2
阴影BCM面积-阴影MDE面积=(BCM面积+空白
面积)-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积
-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=
3
[总
结]:对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目
的.
[拓 展]:如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?
[方法二]:
[思 路]:画阴影的两个三角形都是直角三角形,而BC和DE均为已知的
,所以关键问题在于求
CM和DM.这两条线段之和CD的长是易求的,所以只要知道它们的长度比就可
以了,
这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得.
解: GC=7,GD=10
知道CD=3;
BC=4, DE=2 知道BC:DE=CM:DM
所以CM=2,MD=1。
阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3
[方法三]:连接BD
S
BCM
—S
DEM
=S
BCD
—S
BDE
=(3×4—2×3)÷2=3.
13.(★★★)如图所示,
在三角形ABC中,DC=3BD,DE=EA。若三角形ABC的面积是1,则阴
影部分的面积是多少
?
[方法一]:
[思
路]:阴影面积是两个不在一起的图形,我们先要通过等量代换,把两个图形拼成一个整
体
解
:连接FD,因为AE=DE,所以S1=S3,S2=S4,S1+S2=S3+S4,即三角形AFC=三角
形FCD,
阴影面积等于S3+S4的面积。
又因为DC=3BD,三角形FDC=3×三角形BDF,这样我们就可以设三角形DFB为1份,
则
三角形FDC=3份,三角形AFC=三角形FCD=3份,这样总共面积分成7份,
7
所以阴影面积为1÷7×3=37
[方法一]:
14、(★★★)如图,在△ABC中,AD是AC的三分之一,AE是AB的四分之一,若
△AED的面积
是2平方厘米,那么△ABC的面积是多大?
[分析]连结EC,如图,因为AC=3AD,△AED 与△AEC中AD,AC边上的高相同,所以
△AEC的面
积是△AED面积的3倍,即△AEC面积是6平方厘米,用同样方法可判断△ABC的面
积且
△AEC面积的四倍,所以△ABC的面积是6×4=24(平方厘米)。
15(★★★)从一块正方形木板锯下宽为
锯下的木条面积是多少平方米?
【分析与解】 我们画出示意图(a),则剩下的木块为图(b),将4块剩下的木块如下拼成一
个正方形得到图(c).
165
米的一个木条以后,剩下的面积是平方米.问
2
18
8
我们称AB为长,AD为宽,有长与宽的差为
11
,所
以图(c)中心的小正方形边长为,于是
22
大正方形AEHK的面积为
即,长+宽=
65
×4+×==×,所以AK长为.
2236
61866<
br>2311313
,已知:长-宽=,得长=,于是锯去部分的木条的面积为×
2666
1131
==1(平方米).
2122
16、(★★★)
将三角形ABC的BA边延长1倍到D;CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F,
如果三角形ABC
的面积等于1,那么三角形DEF的面积是_____。
[分析]
如图,连接CD、BF,则
三角形ADC的面积 = 三角形ABC的面积 = 1;
三角形BDE的面积 = 三角形BCD的面积×2 = (1+1)×2 = 4;
三角形CDF的面积 = 三角形ADC的面积×3 = 3;
三角形BCF的面积 =
三角形ABC的面积×3 = 3;
三角形BEF的面积 = 三角形BCF的面积×2 = 6;
三角形DEF的面积 =
三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角
形CDF的面积
+三角形BCF的面积 +三角形BEF的面积 = 1+1+4+3+3+6 = 18。
17、(★★★)如图,已知AE=AC5,CD=BC4,BF=AB6,那么
多少?
三角形DEF的面积
等于
三角形ABC的面积
9
[分析]这道题与例34很相像,但不同的是没有 一个现成的单位面积。要求出这样一个比例,要求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢?
如图,连接AD,那么
S
△CDE
=S
△ACD
×45=
S
△ABC
×14×45=S
△ABC
×15
同理,连接BE,那么
S
△AEF
=S
△ABE
×56=
S
△ABC
×15×56=S
△ABC
×16
连接CF,那么 <
br>S
△BDF
=S
△BCF
×34=S
△ABC
×16
×34=S
△ABC
×18
所以
61
三角形DEF的面积
=1-15-16-18=
三角形ABC的面积
120
18、(★★★)如图,已知D是BC中点,E
是CD中点,F是AC中点。三角形ABC由①~⑥这6
部分组成,其中②比⑤多6平方厘米。那么三角
形ABC的面积是多少?
[分析]仔细观察图形,我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是
一样的,并且EF是△ACD的中
位线,也就是EF:AD=1:2。那么②和⑤底和高的比都是2:1
(形状相同,高之比和底
之比是一样的),面积比自然就是4:1了。
②与⑤的面积比为4:1,并且相差6平方厘米,所以
⑤的面积=6÷(4-1)=2(平方厘米)
10
②的面积=2×4=8(平方厘米)
③与④的面积均为⑤的二倍,②的一半,即4平方厘米;
⑥的面积为④+⑤,即4+2=6(平方厘米)
①的面积为②+③+④+⑤+⑥,即8+4+4+2+6=24(平方厘米)
大三角形的面积为①的二倍,即
24×2=48(平方厘米)。
19、(★★★)在ΔABC中BD:DC=2:1,AE:EC=1:3 求BO:OE。
A
E
O
B
D
C
[分析]:
解法一,用按比例分配的方法,观察线段BE正好被AD分成BO与OE两部分,求这两部
分的比,可以
AD为底,B,E为顶点构造两个三角形,BAD与EAD,这样就可以面积比与
线段比之间架一座桥。
因为三角形BAD的三个顶点都在三角形ABC的边上,因此把三角
形ABC的面积看作单位“1”,就
可以用
2
来表示ABD的面积,用AE的长占AC的14,
3
CD的长占CB
的13,
111
=来表示AED的面积。
4312
21
:=8:1,所以BO:OE=8:1。
312
因为
:SΔABD:SΔAED=
解法二:这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图,但2个燕尾似乎少了
一个,因此
应该补全,所以第一步我们要连接OC,因为AE:EC=1:3 (条件)
所以SΔAOESΔCOE=1:3 若设SΔAOE=x,则SΔCOE=3x
SΔAOC=4x,根据燕尾定理 SΔAOB:SΔAOC=BD:DC=2:1
所以SΔAOB=8x BO:OE=SΔAOB:SΔAOE=8x:x=8:1。
20、(★★★)角形ABC中,C是直角,已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=B
M,那么三角形AMN(阴影
部分)的面积是多少?
11
[分析]:可以连接NB,由燕尾定理及条件可知CAN:ABN=2:1,不妨设ANM为1份,则ANB
为两
份,CAN就是4份,CND也是4份,全图就是10份,阴影就占全图的
1
10
21(★★★)在图中,直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点,
如果三角形BEF的面积
为6平方厘米,求三角形ADE的面积是多少?
[分析]
:连结AC,因为AB平得CD,AE是三角形ADE,ACE的公共底边,所以三角形ADE与三角
形
ACE的面积相等。又因为BC平行于AF,AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边,
所以三角
形ACF与三角形ABF的面积相等。从图中还可看出,三角形ACF的面积=三角
形ACE的面积+三
角形AEF的面积,三角形ABF的面积=三角形BEF的面积+三角形AEF
的面积。从上面两个等式
可以得到三角形ACE的面积=三角形BEF的面积,而三角形BEF
的面积为6平方厘米,所以三角形
ACE的面积也为6平方厘米,再根据三角形ADE与三
角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积
为6平方厘米。所以三角形ADE的面积为6
平方厘米。
2
2、(★★★)图中的四边形土地总面积为52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其
中2个小
三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
[分析]:我们不妨把四个小三角形看成四个元素,而不是整体的一部分。
如图,四个小三角
形面积中,两个是我们已知的,另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边,
所以它们的高之比就等于
面积比6:7;
S1与S2同样有共同的底边,并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同
,
也就是同样有6:7的关系。这样S1:S2=6:7;
这样,原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道
S1=(52-6-7)÷(6+7)×6=18(公顷)
S2=(52-6-7)÷(6+7)×7=21(公顷)
12
这样四个三角形的面积分别为6、7、18、21,最大的一个为21。
23、(★★★)如图,在三角形ABC中,,D为BC的中点,E为AB上的一点,且BE
=
1
AB,已知四
3
边形EDCA的面积是35,求三角形ABC的面积.
(06
年清华附中入学测试题)
【解】根据定理:
÷5×6=42。
24、(★★★)四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小
正方形
面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,那麽直角三角形中,最短的直角边长度是_____
_
米.
(06年实验中学入学
测试题)
BED111
==
,所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份,这样三角形35
ABC236
【解】小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,所以外边四个面积和是5-1=4,
所以每
个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”,所以长直角边和短直角边差就是中间
正方形的边长,所以求
出短边长就是1。
25、(★★★)如图在长方形ABCD中,△ABE、△ADF、四边形AECF
的面积相等。△AEF的面积是
长方形ABCD面积的______ (填几分之几)。
(03年资源
杯试题)
。
【解】连接AC,首先△ABC和△ADC的面积相等,
又△ABE和△ADF的面积相等,则△AEC和△AFC
13
的面积也相
等且等于ABCD的16,不难得△AEC与△ABE的面积之比为12,由于这两个三角形
同高,则E
C与BE之比为12,同理FC与DF之比也为12。从而△ECF相当于ABCD面积的118,
而四
边形AECF相当于ABCD面积的13,从而答案为13-118=518。
A
D
F
B
C
26、(★★★)如图1,一个长方
形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴
影部分的面积为_____
(01年同方杯)
【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b,因为△AED面积等于ABCD的一
半,则△ABE加上
△DEC的面积也等于ABCD的一半。而△FDC的面积也等于ABCD的一半,
即23+a+32+12+b=a+b+
阴影面积,可见阴影面积=23+32+12=67。
A
23
E
D
F
a
b
32
B
12
E
C
27(、★★★)右图中AB=3厘米,CD=12厘米,ED=8厘
米,AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平
方厘米.
【解】:四边形AFDC的面积=三角形AFD+三角形ADC=(
11
1
×
FD×AF)+(×AC×CD)=(FE+ED)
22
2
11111
(AB
+BC)×CD= (×FE×AF+×ED×AF)+(×AB×CD+×BC×CD)。
22222
111
所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE—三角形BCD=(
×FE×AF+×ED×AF)+(×AB×
222
1111111
CD+×BC×C
D)-×FE×AF-×BC×CD=×ED×AF+×AB×CD=×8×7+×3×
2222222
×AF+
12=28+18=46。
14
28、(★★★)如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是两个正方形重叠
部分,C,D,E是空出的部分,这些部分都是长方形,其中4个的面积比是A:B:C:D=1:2:3:4
。
那么这个长方形的长与宽之比是多少?
:
[方 法]:
29.(★★★)如图,长方形的面积是小于100的整数,它的内部有三个边长
是整数的正方形,
①号正方形的边长是长方形长的512,②号正方形的边长是长方形宽的18。那么,
图中阴影部
分的面积是多少?
[方法一]:从整除入手,我们可以推出长方形的面积只能是8×12=96,再入手就很简单可。
解:①的面积就是5×5=25
②的面积是1×1=1
最大的空白正方形面积=(8-1)×(8-1)=49
阴影面积=96-49-25-1=21
30、(★★★)图30-10是一个正方形,其
中所标数值的单位是厘米.问:阴影部分的面积是多
少平方厘米?
15
【分析与解】 如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接BG.
设△AEG的面积为x,显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x,则△ABF的面积为3x,
S
ABF
1100
2010100
即
x
,那么正方形内空白部分
23
的面积为
4x
【挑战题】
400400800
.
所以原题中阴影部分面积为
2020
(平方厘米).
333
1、(★
★★★)一块三角形草坪前,工人王师傅正在用剪草机剪草坪.一看到小灵通,王师傅热
情地招呼,说:
“小灵通,听说你很会动脑筋,我也想问问你,这块草坪我把它分成东、西、南、
北四部分(如图).修
剪西部、东部、南部各需10分钟,16分钟,20分钟.请你想一想修剪北部
需要多少分钟?
(05年101中学入学测
试题)
【解】如下所示:将北部分成两个三角形,并标上字母
北
西
南
东
A
y
16
C
A
B
那么有
D
10
F
20
x
E
B
D
E
G
F
C
(10x):20y
:16
5y404x
x20
,即有
,
解得
.
(16y):x20:10
2x16
y
y24
所以修剪北部草坪需要20+24=44分钟.
评注:在本题中使用到了比例关系,即:
S△ABG:S△AGC=S△AGE:S△GEC=BE:EC;
16
S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC;
S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB;
2、(★★★
★)如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,
四边形BGH
F的面积是________平方厘米。
解:
[方法一]:通过比列求解
解:延长EB到K,使BK=CD。 三角形EGK与三角形DGC成比例,DC:EK=2:3,所以
DG:GK=2:
3,由于三角形DEK=90,所以EGK=90÷35=54,所以四边形EBFG
=EGK-BKF=24。同理,EB:DC=1:
2,所以BH:HC=1:2,所以三角形EBH=
13EBD=10所以,四边形BGHF的面积是24-10=14
[方法二]:份数
解:120÷5=24(平方厘米) 可将该正方形的面积平均分成5份,每份为24(平方厘米)
120÷4=30(平方厘米) 是S△EBC=30(平方厘米) ,所以
S△HFC=30-24=6(平方厘
米)
在△EBG和△CDG中
EB:CD=1:2 (底的比) 高的比也是1:2
所以
S△EBG:S△CDG=1:4
设正方形的边长为, 所以
S△CDG=1×(23)÷2=13
而正方形的面积为 是120平方厘米, 所以
S△CDG=120×(13)=40(平方厘米)
S△DBC=120÷2=60(平方厘米)
S四边形BGHF=S△DBC-S△DCG- S△HFC
=60--40-6
=20-6
=14(平方厘米)
17
小学奥数几何专题
1、(★★)如图
,已知四边形ABCD中,AB=13,BC=3,CD=4,DA=12,并且BD与AD垂直,
则四
边形的面积等于多少?
[思 路]:显然四边形ABCD的面积将由三角形ABD与三
角形BCD的面积求和得到.三角形
ABD是直角三角形,底AD已知,高BD是未知的,但可以通过勾
股定理求出,进
而可以判定三角形BCD的形状,然后求其面积.这样看来,BD的长度是求解本
题的关键.
解:由于BD垂直于AD,所以三角形ABD是直角三角形.而AB=13,DA=1
2,由勾股
定理,BD =AB-AD=13—12=25=5,所以BD=5.三角形BCD中BD=
5,
BC=3,CD=4,又3十4=5,故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形,BC
与CD垂直.那么:
四边形ABCD
=
S
ABD
+
BCD
=12×5÷2+4×3÷2=36..
即四边形ABCD的面积是36.
2、(★★)如图四边形土地的总面积是48平方米,三
条线把它分成了4个小三角形,其中
2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米.那么最大的一个三
角形的面积是________
平方米;
7
9
[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ,是右侧两个三角形面积和的2
倍,故
左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍,最大三角形面积是 9×2=18。
3.(★★)将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图,其中的粗实线图形面积与原三角形面积
之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少?
222
222222
SS
[思
路]:小升初中常把分数,百分数,比例问题处理成份数问题,这个思想一定要养成。
解:粗线面积:黄面积=2:3
绿色面积是折叠后的重叠部分,减少的部分
就是因为重叠才变少的,这样可以设总
共3份,后来粗线变2份,减少的绿色部分为1份,所以阴影部分
为2-1=1份,
1
4、(★★)
求下图中阴影部分的面积:
【解】如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分
别
拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于
扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积:π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
5、(★★)下图中阴影部分的面积是多少厘米
2
?
分析与解:本题可以采用一般方法,也就是分别计算两块阴影部分面积,再加起来,但
不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法,将左上角一块阴影部分(弓形)翻折到半
圆的右上角(以
下图中虚线为折痕),把两块阴影部分合在一起,组成一个梯形(如下
图所示),这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°,到达右上角,得到同样的一个梯形。
2
6、
(★★)
如图6-1,每一个小方格的面积都是l平方
厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多
少平方厘米?
【分析与解】
方法一:正方形格点阵中多边形面积公式:(N+
积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.
有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:(4+
L
-1)×单位
正方形面
2
7
-1)×1=6.5(平方厘米)
2
方法二:如下图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,有①=3÷2=1.5,
②=2÷2=1,③=2÷2=1,④
=2÷2=1,⑤=2÷2=l,⑥=2÷2=1,还有三个小正方形,所以粗
实线外格点内的图形面积
为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所
以粗线围成
的图形的面积为:16-9.5=6.5平方厘米.
7
(★★)
,已知四
边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中
阴影三角形BFD
的面积为多少平方厘米?
【分析与解】 方法一:因为CEFG的边长题中未给出,显然阴影部分的面积与其有关.设
正方形CEFG的边长为x,有:
1110x-x
2
S
正方形ABCD=1010=100,
S
正方形CEFG
=x,
S
DGF<
br>=DGGF=(10-x)x=,
222
2
3
1
110x+x
2
.
又
S
AB
D
=1010=50,
S
BEF
=(10+x)x=
222
阴影部分的面积为:
S
正方形ABCD
S
正方形CEFG
S
DGF
S
ABD
S
BEF
10xx
2
10xx
2
100x5050
(平方
厘米).
22
2
方法二:连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.
有△DFB、
△DBC共底DB,等高,所以这两个三角形的面积相等,显然,△DBC的面积
1
101
050
(平方厘米).
2
阴影部分△DFB的面积为50平方厘米.
8、(
★★)
用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图
形的表面积是多少平
方厘米?
[方法一]:
[思
路]:整体看待面积问题。
解:不管叠多高,上下两面的表面积总是3×3;再看上下左右四个面,都是2×3+1,
所以,总计9×2+7×4=18+28=46。
[方法二]:
[思
路]:所有正方体表面积减去粘合的表面积
解:从图中我们可以发现,总共有14个正方体,这样我们
知道总共的表面积是:6×14=64,但
总共粘合了18个面,这样就减少了18×1=18,所以剩
下的表面积是64-18=46。
[方法三]:直接数数。
[思
路]:通过图形,我们可以直接数出总共有46个面,每个面面积为1,这样总共的表
面积就是46。
9、
(★★)
一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯内侧的底面积
是72cm,
在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?
2
4
解:水的体积为72×2.5=180(cm),放入铁
块后可以将水看做是底面积为72-6
×6=32(cm)的柱体,所以它的高为
3
2
180÷32=5(cm)。
10、
(★★)
有
一个棱长为1米的立方体,沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后,成为60
(06年三帆中学考试题
)
个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.
【解】原正方体表面积:1×1×6=6(平方米),一共切了2+3+4=9(次),
每切一次增加2个面:2平方米。所以表面积: 6+2×9=24(平方米)
二:提高题
11、(★★★)图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点,
Q点为正方形一
边的中点。已知正方形的边长为10,那么阴影部分面积是多少?(π取3.14.)
[方法一]:阴影面积的“加减法”。
[思
路]:因为阴影部分面积不是正规图形,所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。
解:过P点向AB作垂线,这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形,这样
阴影面积=整个面积-空白面积=(正方形ABCD+半圆)—(三角形+梯形)
=(10×10+π×5×5÷2)-[15×5÷2+(5+15)×5÷2]
=51.75
[总
结]:这种方法是小升初中最常用的方法,一定要学会这种处理思路。
[方法二]:面积的“加减法”和“切割法”综合运用
[思
路]:出现正方形,出现弧线时,注意两个考点:1.半叶形
2。14圆,所以我们可以先把
面积补上再减去补上的面积
解:S1=正方形-14圆=5×5-14×π×5×5
5
上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5-14×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPF-S2=
所以阴影面积=(15×5÷2-5×5-14×π×
5×5)+(10×5÷2-5×5-14×π×5×5)
=51.75
[方法三]:面积的“切割法”
[思
路]:出现正方形,出现弧线时,注意两个考点:1.半叶形
2。14圆,这样可以考虑把
阴影面积切成几个我们会算的规则图形
解:半叶形S1=正方形-14圆=5×5-14×π×5×5
上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+5×5—14×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+5×5—14×π×5×5
阴影面积=(
10×5÷2+5×5—14×π×5×5)+(5×5÷2+5×5—14×π×5×5)=51.75
12、(★★★)如图,ABCG是4×7的长方形,DEFG是2×10的长方
形,那么,三角形BCM的面
积与三角形DCM的面积之差是多少?
[方法一]:
[思
路]:公共部分的运用,这是小升初的常用方法,熟练找出公共部分是解题的关键。
解:
GC=7,GD=10推出HE=3;
6
BC=4,DE=2
阴影BCM面积-阴影MDE面积=(BCM面积+空白
面积)-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积
-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=
3
[总
结]:对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目
的.
[拓 展]:如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?
[方法二]:
[思 路]:画阴影的两个三角形都是直角三角形,而BC和DE均为已知的
,所以关键问题在于求
CM和DM.这两条线段之和CD的长是易求的,所以只要知道它们的长度比就可
以了,
这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得.
解: GC=7,GD=10
知道CD=3;
BC=4, DE=2 知道BC:DE=CM:DM
所以CM=2,MD=1。
阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3
[方法三]:连接BD
S
BCM
—S
DEM
=S
BCD
—S
BDE
=(3×4—2×3)÷2=3.
13.(★★★)如图所示,
在三角形ABC中,DC=3BD,DE=EA。若三角形ABC的面积是1,则阴
影部分的面积是多少
?
[方法一]:
[思
路]:阴影面积是两个不在一起的图形,我们先要通过等量代换,把两个图形拼成一个整
体
解
:连接FD,因为AE=DE,所以S1=S3,S2=S4,S1+S2=S3+S4,即三角形AFC=三角
形FCD,
阴影面积等于S3+S4的面积。
又因为DC=3BD,三角形FDC=3×三角形BDF,这样我们就可以设三角形DFB为1份,
则
三角形FDC=3份,三角形AFC=三角形FCD=3份,这样总共面积分成7份,
7
所以阴影面积为1÷7×3=37
[方法一]:
14、(★★★)如图,在△ABC中,AD是AC的三分之一,AE是AB的四分之一,若
△AED的面积
是2平方厘米,那么△ABC的面积是多大?
[分析]连结EC,如图,因为AC=3AD,△AED 与△AEC中AD,AC边上的高相同,所以
△AEC的面
积是△AED面积的3倍,即△AEC面积是6平方厘米,用同样方法可判断△ABC的面
积且
△AEC面积的四倍,所以△ABC的面积是6×4=24(平方厘米)。
15(★★★)从一块正方形木板锯下宽为
锯下的木条面积是多少平方米?
【分析与解】 我们画出示意图(a),则剩下的木块为图(b),将4块剩下的木块如下拼成一
个正方形得到图(c).
165
米的一个木条以后,剩下的面积是平方米.问
2
18
8
我们称AB为长,AD为宽,有长与宽的差为
11
,所
以图(c)中心的小正方形边长为,于是
22
大正方形AEHK的面积为
即,长+宽=
65
×4+×==×,所以AK长为.
2236
61866<
br>2311313
,已知:长-宽=,得长=,于是锯去部分的木条的面积为×
2666
1131
==1(平方米).
2122
16、(★★★)
将三角形ABC的BA边延长1倍到D;CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F,
如果三角形ABC
的面积等于1,那么三角形DEF的面积是_____。
[分析]
如图,连接CD、BF,则
三角形ADC的面积 = 三角形ABC的面积 = 1;
三角形BDE的面积 = 三角形BCD的面积×2 = (1+1)×2 = 4;
三角形CDF的面积 = 三角形ADC的面积×3 = 3;
三角形BCF的面积 =
三角形ABC的面积×3 = 3;
三角形BEF的面积 = 三角形BCF的面积×2 = 6;
三角形DEF的面积 =
三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角
形CDF的面积
+三角形BCF的面积 +三角形BEF的面积 = 1+1+4+3+3+6 = 18。
17、(★★★)如图,已知AE=AC5,CD=BC4,BF=AB6,那么
多少?
三角形DEF的面积
等于
三角形ABC的面积
9
[分析]这道题与例34很相像,但不同的是没有 一个现成的单位面积。要求出这样一个比例,要求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢?
如图,连接AD,那么
S
△CDE
=S
△ACD
×45=
S
△ABC
×14×45=S
△ABC
×15
同理,连接BE,那么
S
△AEF
=S
△ABE
×56=
S
△ABC
×15×56=S
△ABC
×16
连接CF,那么 <
br>S
△BDF
=S
△BCF
×34=S
△ABC
×16
×34=S
△ABC
×18
所以
61
三角形DEF的面积
=1-15-16-18=
三角形ABC的面积
120
18、(★★★)如图,已知D是BC中点,E
是CD中点,F是AC中点。三角形ABC由①~⑥这6
部分组成,其中②比⑤多6平方厘米。那么三角
形ABC的面积是多少?
[分析]仔细观察图形,我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是
一样的,并且EF是△ACD的中
位线,也就是EF:AD=1:2。那么②和⑤底和高的比都是2:1
(形状相同,高之比和底
之比是一样的),面积比自然就是4:1了。
②与⑤的面积比为4:1,并且相差6平方厘米,所以
⑤的面积=6÷(4-1)=2(平方厘米)
10
②的面积=2×4=8(平方厘米)
③与④的面积均为⑤的二倍,②的一半,即4平方厘米;
⑥的面积为④+⑤,即4+2=6(平方厘米)
①的面积为②+③+④+⑤+⑥,即8+4+4+2+6=24(平方厘米)
大三角形的面积为①的二倍,即
24×2=48(平方厘米)。
19、(★★★)在ΔABC中BD:DC=2:1,AE:EC=1:3 求BO:OE。
A
E
O
B
D
C
[分析]:
解法一,用按比例分配的方法,观察线段BE正好被AD分成BO与OE两部分,求这两部
分的比,可以
AD为底,B,E为顶点构造两个三角形,BAD与EAD,这样就可以面积比与
线段比之间架一座桥。
因为三角形BAD的三个顶点都在三角形ABC的边上,因此把三角
形ABC的面积看作单位“1”,就
可以用
2
来表示ABD的面积,用AE的长占AC的14,
3
CD的长占CB
的13,
111
=来表示AED的面积。
4312
21
:=8:1,所以BO:OE=8:1。
312
因为
:SΔABD:SΔAED=
解法二:这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图,但2个燕尾似乎少了
一个,因此
应该补全,所以第一步我们要连接OC,因为AE:EC=1:3 (条件)
所以SΔAOESΔCOE=1:3 若设SΔAOE=x,则SΔCOE=3x
SΔAOC=4x,根据燕尾定理 SΔAOB:SΔAOC=BD:DC=2:1
所以SΔAOB=8x BO:OE=SΔAOB:SΔAOE=8x:x=8:1。
20、(★★★)角形ABC中,C是直角,已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=B
M,那么三角形AMN(阴影
部分)的面积是多少?
11
[分析]:可以连接NB,由燕尾定理及条件可知CAN:ABN=2:1,不妨设ANM为1份,则ANB
为两
份,CAN就是4份,CND也是4份,全图就是10份,阴影就占全图的
1
10
21(★★★)在图中,直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点,
如果三角形BEF的面积
为6平方厘米,求三角形ADE的面积是多少?
[分析]
:连结AC,因为AB平得CD,AE是三角形ADE,ACE的公共底边,所以三角形ADE与三角
形
ACE的面积相等。又因为BC平行于AF,AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边,
所以三角
形ACF与三角形ABF的面积相等。从图中还可看出,三角形ACF的面积=三角
形ACE的面积+三
角形AEF的面积,三角形ABF的面积=三角形BEF的面积+三角形AEF
的面积。从上面两个等式
可以得到三角形ACE的面积=三角形BEF的面积,而三角形BEF
的面积为6平方厘米,所以三角形
ACE的面积也为6平方厘米,再根据三角形ADE与三
角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积
为6平方厘米。所以三角形ADE的面积为6
平方厘米。
2
2、(★★★)图中的四边形土地总面积为52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其
中2个小
三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
[分析]:我们不妨把四个小三角形看成四个元素,而不是整体的一部分。
如图,四个小三角
形面积中,两个是我们已知的,另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边,
所以它们的高之比就等于
面积比6:7;
S1与S2同样有共同的底边,并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同
,
也就是同样有6:7的关系。这样S1:S2=6:7;
这样,原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道
S1=(52-6-7)÷(6+7)×6=18(公顷)
S2=(52-6-7)÷(6+7)×7=21(公顷)
12
这样四个三角形的面积分别为6、7、18、21,最大的一个为21。
23、(★★★)如图,在三角形ABC中,,D为BC的中点,E为AB上的一点,且BE
=
1
AB,已知四
3
边形EDCA的面积是35,求三角形ABC的面积.
(06
年清华附中入学测试题)
【解】根据定理:
÷5×6=42。
24、(★★★)四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小
正方形
面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,那麽直角三角形中,最短的直角边长度是_____
_
米.
(06年实验中学入学
测试题)
BED111
==
,所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份,这样三角形35
ABC236
【解】小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,所以外边四个面积和是5-1=4,
所以每
个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”,所以长直角边和短直角边差就是中间
正方形的边长,所以求
出短边长就是1。
25、(★★★)如图在长方形ABCD中,△ABE、△ADF、四边形AECF
的面积相等。△AEF的面积是
长方形ABCD面积的______ (填几分之几)。
(03年资源
杯试题)
。
【解】连接AC,首先△ABC和△ADC的面积相等,
又△ABE和△ADF的面积相等,则△AEC和△AFC
13
的面积也相
等且等于ABCD的16,不难得△AEC与△ABE的面积之比为12,由于这两个三角形
同高,则E
C与BE之比为12,同理FC与DF之比也为12。从而△ECF相当于ABCD面积的118,
而四
边形AECF相当于ABCD面积的13,从而答案为13-118=518。
A
D
F
B
C
26、(★★★)如图1,一个长方
形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴
影部分的面积为_____
(01年同方杯)
【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b,因为△AED面积等于ABCD的一
半,则△ABE加上
△DEC的面积也等于ABCD的一半。而△FDC的面积也等于ABCD的一半,
即23+a+32+12+b=a+b+
阴影面积,可见阴影面积=23+32+12=67。
A
23
E
D
F
a
b
32
B
12
E
C
27(、★★★)右图中AB=3厘米,CD=12厘米,ED=8厘
米,AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平
方厘米.
【解】:四边形AFDC的面积=三角形AFD+三角形ADC=(
11
1
×
FD×AF)+(×AC×CD)=(FE+ED)
22
2
11111
(AB
+BC)×CD= (×FE×AF+×ED×AF)+(×AB×CD+×BC×CD)。
22222
111
所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE—三角形BCD=(
×FE×AF+×ED×AF)+(×AB×
222
1111111
CD+×BC×C
D)-×FE×AF-×BC×CD=×ED×AF+×AB×CD=×8×7+×3×
2222222
×AF+
12=28+18=46。
14
28、(★★★)如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是两个正方形重叠
部分,C,D,E是空出的部分,这些部分都是长方形,其中4个的面积比是A:B:C:D=1:2:3:4
。
那么这个长方形的长与宽之比是多少?
:
[方 法]:
29.(★★★)如图,长方形的面积是小于100的整数,它的内部有三个边长
是整数的正方形,
①号正方形的边长是长方形长的512,②号正方形的边长是长方形宽的18。那么,
图中阴影部
分的面积是多少?
[方法一]:从整除入手,我们可以推出长方形的面积只能是8×12=96,再入手就很简单可。
解:①的面积就是5×5=25
②的面积是1×1=1
最大的空白正方形面积=(8-1)×(8-1)=49
阴影面积=96-49-25-1=21
30、(★★★)图30-10是一个正方形,其
中所标数值的单位是厘米.问:阴影部分的面积是多
少平方厘米?
15
【分析与解】 如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接BG.
设△AEG的面积为x,显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x,则△ABF的面积为3x,
S
ABF
1100
2010100
即
x
,那么正方形内空白部分
23
的面积为
4x
【挑战题】
400400800
.
所以原题中阴影部分面积为
2020
(平方厘米).
333
1、(★
★★★)一块三角形草坪前,工人王师傅正在用剪草机剪草坪.一看到小灵通,王师傅热
情地招呼,说:
“小灵通,听说你很会动脑筋,我也想问问你,这块草坪我把它分成东、西、南、
北四部分(如图).修
剪西部、东部、南部各需10分钟,16分钟,20分钟.请你想一想修剪北部
需要多少分钟?
(05年101中学入学测
试题)
【解】如下所示:将北部分成两个三角形,并标上字母
北
西
南
东
A
y
16
C
A
B
那么有
D
10
F
20
x
E
B
D
E
G
F
C
(10x):20y
:16
5y404x
x20
,即有
,
解得
.
(16y):x20:10
2x16
y
y24
所以修剪北部草坪需要20+24=44分钟.
评注:在本题中使用到了比例关系,即:
S△ABG:S△AGC=S△AGE:S△GEC=BE:EC;
16
S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC;
S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB;
2、(★★★
★)如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,
四边形BGH
F的面积是________平方厘米。
解:
[方法一]:通过比列求解
解:延长EB到K,使BK=CD。 三角形EGK与三角形DGC成比例,DC:EK=2:3,所以
DG:GK=2:
3,由于三角形DEK=90,所以EGK=90÷35=54,所以四边形EBFG
=EGK-BKF=24。同理,EB:DC=1:
2,所以BH:HC=1:2,所以三角形EBH=
13EBD=10所以,四边形BGHF的面积是24-10=14
[方法二]:份数
解:120÷5=24(平方厘米) 可将该正方形的面积平均分成5份,每份为24(平方厘米)
120÷4=30(平方厘米) 是S△EBC=30(平方厘米) ,所以
S△HFC=30-24=6(平方厘
米)
在△EBG和△CDG中
EB:CD=1:2 (底的比) 高的比也是1:2
所以
S△EBG:S△CDG=1:4
设正方形的边长为, 所以
S△CDG=1×(23)÷2=13
而正方形的面积为 是120平方厘米, 所以
S△CDG=120×(13)=40(平方厘米)
S△DBC=120÷2=60(平方厘米)
S四边形BGHF=S△DBC-S△DCG- S△HFC
=60--40-6
=20-6
=14(平方厘米)
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