小学奥数——用割补法求面积
初一数学教案-春节对联集锦
小学奥数解析十三 用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由
圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边
形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积
，常常需要变动图形的位
置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是
在多边
形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：
分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影
部分分为两部分，然后按照右下
图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分
等于右下图中
AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右
边正方形的阴影部分是半径为5的四分
之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部
分正好等
于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的
线段将三角形的两条边等分成三段
（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法
将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，
注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任
意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去
一个三角形后，剩下一个上底
长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角
三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上
页右下图），图
中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所
求梯形面积的4倍。所以所求梯形
面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米
2
）。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
分析与解：题中给出了两个
似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给
这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（
见右上图）。因为A与A′，B与B′
面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，
即所求矩形的面积也是24。
例5下图中，甲
、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面
积大40厘米
2
。求
乙正方形的面积。
分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙
，所剩的A，
B，C三部分之和就是40厘米
2
（见左下图）。
把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一
个长20厘米的矩形，
面积是40厘米
2
，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正
方形的边长之
差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方
形的面积为9×9=81
（厘米
2
）。
第二坊教育五年级奥数课堂练习
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1）
（2）
2.以等腰直角三
角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘
米，求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后
，剩下的部分是一个直角
梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米
2
，上底为3
厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米
2
，BE长3厘米，求CD的长。
5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲
的面积比乙的面积
大45厘米
2
。求甲、乙的面积之和。
6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习22
1.（1）25；（2）ab。
提示：（1）
2.4.56厘米
2
。
（2）
提示：如左下图所示，所求面积等于右
下图中圆面积减去正方形面积，等于（4÷2）
2
π-4×4÷2=
4.56（厘米
2
）。
3.下底9厘米，高6厘米。
解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大正方形的面积
为36×2+3×3=
81（厘米
2
）。边长为9厘米。所求梯形的下底为9厘米，高为9-3=6
（厘米）
。
4.6厘米。
提示：与例4类似，右上图中甲、乙的面积相等，所以，CD=18÷3=6（厘米）。
5.117厘米
2
。
提示：与例5类似，下图中丙与乙相同，C与C
＇相同。甲、乙的边长和等于45
÷3=15（厘米），甲的边长为（l5+3）÷2=9（厘米）。
甲、乙的面积和为9×9×2-45=117（厘米
2
）。
6.20厘米
2
。
解：将AD，BC分别延长，相交于E（见右图）
。四边形ABCD的面积等于等腰
直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7×7÷2
-3×3÷2=20（厘米
2
）。
小学奥数解析十三
用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边
形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位
置或对图
形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边
形的组合图形中，为了计算
面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：
分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下
图所示，将这两部分分
别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中
AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形O
AB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分
之一个圆
，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左
边正方形中。可以看出，原题图的阴影部
分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段
（见右图）
，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法
将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，
注意，后两种方
法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任
意三角形，其它条件不变，结论仍然成
立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底
长
5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
分析与解：因为
不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角
三角形与正方形之间的联系上考虑。将
四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上
页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的
两个正方形面积之差，也是所
求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（
厘米
2
）。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给
这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′
面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，
即所求矩
形的面积也是24。
例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形
的面
积大40厘米
2
。求乙正方形的面积。
分析与解：如果
从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，
B，C三部分之和就是40厘米
2
（见左下图）。
把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A
，B，C三块就合并成一
个长20厘米的矩形，面积是40厘米
2
，宽是40÷20=
2（厘米）。这个宽恰好是两个正
方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9
（厘米），从而乙正方
形的面积为9×9=81（厘米
2
）。
第二坊教育五年级奥数课堂练习
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1）
（2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧
（见下图），直角边长4厘
米，求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角
梯形（阴影
部分）。已知梯形的面积为36厘米
2
，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米
2
，BE长3厘米，求CD的长。
5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲
的面积比乙的面积
大45厘米
2
。求甲、乙的面积之和。
6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习22
1.（1）25；（2）ab。
提示：（1）
2.4.56厘米
2
。
（2）
提示：如左下图所示，所求面积等于右
下图中圆面积减去正方形面积，等于（4÷2）
2
π-4×4÷2=
4.56（厘米
2
）。
3.下底9厘米，高6厘米。
解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大正方形的面积
为36×2+3×3=
81（厘米
2
）。边长为9厘米。所求梯形的下底为9厘米，高为9-3=6
（厘米）
。
4.6厘米。
提示：与例4类似，右上图中甲、乙的面积相等，所以，CD=18÷3=6（厘米）。
5.117厘米
2
。
提示：与例5类似，下图中丙与乙相同，C与C
＇相同。甲、乙的边长和等于45
÷3=15（厘米），甲的边长为（l5+3）÷2=9（厘米）。
甲、乙的面积和为9×9×2-45=117（厘米
2
）。
6.20厘米
2
。
解：将AD，BC分别延长，相交于E（见右图）
。四边形ABCD的面积等于等腰
直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7×7÷2
-3×3÷2=20（厘米
2
）。