江西工程学院-爱的交响曲

数论：1、奇偶；
2、整除；
3、余数；
4、质数合数‘
5、约数倍数；
6、平方；
7、进制；
8、位值。

一、 奇偶：
一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：
（1）奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数 偶数±奇数=奇数
（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和 （或差）为偶数，任意
多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是 偶数，则积是偶数；如果所有的因数
都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个 整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇
数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数） 个奇数，那么结果
一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。

二、 整除：
掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.
被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能
被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7×11×13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两
个独立的数，取它们的 差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321.判定N是否被11整除。

因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。
例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。

1

由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11 整除，因此N能
被13整除，不能被7、11整除。
此方法的优点在于当判定一个较大的 数能否被7或11或13整除时，可用减
法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001＝7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。对于质数17：17×59=1003，
因此，判 定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与
前面隔出数的3倍的差（大减小） 是否被17整除。
例：N=31428576，判定N能否被17整除。


而429=25×17+4，所以N不能被17整除。
例：N＝2661027能否被17整除？

又935=55×17。
所以N可被17整除。
下面来推导被19整除的简易判别法。
寻找关键性式子： 19×53=1007.
因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三 位
与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。
例：N＝123456789可否被19整除？

又603＝31×19+14，所以N不能被19整除。
例：N=6111426可否被19整除？

2

又57=3×19，所以N可被19整除：321654×19=6111426。
下面来推导被23、29整除的简易判别法。
寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，
现有
23×435＝10005，29×345=10005，
因此，判定一个数可否被23或29整 除，只要将其末四位与前面隔开，看末
四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。
例：N＝6938801能否被23或29整除？

又5336＝23×232＝23×29×8，
所以很快判出N可被23及29整除。

三、余数
三大余数定理：
（1）余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c
的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再
除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等
于3+4=7除以5的余数为2
（2）余数的减法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余 数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，
两个余数差3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23 －14＝9除以5的余数等于4，两
个余数差为3＋5－4＝4
（3）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积
除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于
3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

3

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余 数等于3×4
除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么
a< br>与
b
除以m的余数也相同．
（4）应用 ：弃九法、同余定理
应用一、弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算 术》，
他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢
失而经常 检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
12341898 18922678967178902889923

1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就 是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个
等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除 以9的余数一定与等式
右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时 ，常常不用去列除法竖式进行计
算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算 的时候
往往就是一个9一个9的找并且划去，所 以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一 个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再
求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和
乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错
误的。 < br>但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法
的规律。这个思想 往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
应用二、同余定理：若两个整数a、b被自然数m除 有相同的余数，那么称
a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
同余定理重要性质及推论：若 两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则
（1711）
a，b的差一定能被m整除。 例如：
17
与
11
除以
3
的余数都是
2
， 所以能
nn
被
3
整除．
（用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a
－b)

4

余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数， 但当被除
位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被
m除的 余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由
于R是一个较简单的数，所 以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的
余数．
1) 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
2) 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
3) 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
4) 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
5) 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11
除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
6) 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三
位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数
就是原数被7，1 1或13除的余数．

四、质数与合数
（1）质数与合数定义
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
（2）质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
（
3
）部分特殊数的分解

111337
；
1 00171113
；
1111141271
；
1000173 137
；
199535719
；
1998233337< br>；
200733223
；
2008222251
；10101371337
.
（
4
）判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小 于
p
的质数
q(
均为整数
)
，使得
q
能够 整除
p
，那么
p
就不是质数，所以我们只要拿所有小于
p
的 质数去除
p
就可以
了；但是这样的计算量很大，对于不太大的
p
，我 们可以先找一个大于
且接近
p
的平方数
K
2
，再列出所有不 大于
K
的质数，用这些质数去除
p
，
如没有能够除尽的那么
p
就为质数
.
例如：
149
很接近
1441212< br>，根据整除的性质
149
不能被
2
、
3
、
5
、
7
、
11
整除，所以
149
是质数。




5

五、约数和倍数
（1）求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
22
例如：
2313711
，
252237
， 所以
(231,252)3721
；
21812
396
32
，所以②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
(12,18)23
；
6

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求 的
最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数
除大的一个数 ，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三 个余数；这样逐次用后一个余数去除前一
个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最 大公约数．(如
果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和151 5的最大公约数：
15156002315
；
6003151285
；
315285130
；
28530915
；
3015 20
；所以1515和600的最大公约数
是15．
（2） 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约
数乘以
n
．
（3）求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母 的最小公倍数a；
b
求出各个分数的分子的最大公约数b；
a
即为所求．
（4）求一个数约数的个数
分解质因数，之后将不同质因数的次数均加1，之后相乘。所得结 果就是这个数
22
不同约数的个数。如：
252237
，则
2 52
的不同约数的个数为
(21)(21)(11)33218

（5）求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
22
231,252< br>
2
2
3
2
7112772

2 52237
2313711
例如：，，所以；
②短除法求最小公倍数；

6

21812
396
32
，所以

18,12

233236
； 例如：
[a,b]
③
ab
(a,b)
．
（6）最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较
大的数．

六、平方
1、完全平方数特征
（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。
（4）若质数p整除完全平方数
a
，则p能被
a
整除。
2、性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N 为完全平方数

自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方
数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n
2n12n
p|Np|N
． 是 自然数，N是完全平方数，且，则
2
性质4：完全平方数的个位是6

它的十 位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如
果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中
的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3、 一些重要的推论
（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被< br>4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平
方数。 （3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，
84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
（7）凡个位数字是5但末两位 数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有
奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1 ，4，9而十位数字为奇数的

7

自然数不是完全平方数。
22
ab(ab)(ab)
4、 重点公式回顾：平方差公式：

七、进制
1、（1）十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在 实际生活中，除了十进
制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进< br>制等。
（2）二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因 此，二进制中
123
只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、2、2、2、……，二 进制数
也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)
2< br>=1×2
5
+0
×2
4
+0×2
3
+1×2
2
+1×2
1
+0×2
0
。
二进制的运算法则： “满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得
零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n
0
=1。
（3）
k
进制：
（k1）
一般地，对于k进位制，每个数是由0 ，1，2，，共k个数码组成，
kk1）
且“逢k进一”．
（
进位制计数单 位是
k
，
k
，
k
，．如二进位制的计数单
0
1
2
位是
2
0
，
2
1
，
22
，，八进位制的计数单位是
8
，
8
，
8
，．
（4）
k
进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
（a
n< br>a
n1
nn1
a
1
a
0
）
k
a
n
ka
n1
k
0
1
2
a
1
ka
0

a
0
10
0
；
a
0
2
0
；
nn1
十进制表示形式：
Na
n
10a
n1
10
nn1
Na2a2 
nn1
二进制表示形式：
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上
k
，表示是
k
进位制的数
（3145）
（1010）
（ 352）
12
,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
2
，8
，如：
（5）
k
进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
2、 进制间的转换：
一般地，十进制整数化为
k
进制数的方法是：除以
k
取余数，一直除 到被除
数小于
k
为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为
k
进制 数．反过来，
k
进
制数化为十进制数的一般方法是：首先将
k
进制数 按
k
的次幂形式展开，然后按
十进制数相加即可得结果．
如右图所示:


8

八进制

十进制 二进制
十六进制


八、位值
1、位值原理的定义：
同一个 数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就
是说，每一个数字除了有自身的一个 值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个
位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这 种数字和数位结合起来表
示数的原则，称为写数的位值原理。
2、 位值原理的表达形式：
以六位数为例：
abcdef
a×100000+b×10000+c×1000+ d×100+e×10+f。
3、 解位值一共有三大法宝：
（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答


9

数论：1、奇偶；
2、整除；
3、余数；
4、质数合数‘
5、约数倍数；
6、平方；
7、进制；
8、位值。

一、 奇偶：
一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：
（1）奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数 偶数±奇数=奇数
（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面 几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇
数的个数所确定；如果算式中 共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果
一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结 果一定是奇数。

二、 整除：
掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.
被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能
被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7×11×13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两
个独立的数，取它们的 差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321.判定N是否被11整除。

因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。
例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。

1

由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11 整除，因此N能
被13整除，不能被7、11整除。
此方法的优点在于当判定一个较大的 数能否被7或11或13整除时，可用减
法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001＝7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。对于质数17：17×59=1003，
因此，判 定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与
前面隔出数的3倍的差（大减小） 是否被17整除。
例：N=31428576，判定N能否被17整除。


而429=25×17+4，所以N不能被17整除。
例：N＝2661027能否被17整除？

又935=55×17。
所以N可被17整除。
下面来推导被19整除的简易判别法。
寻找关键性式子： 19×53=1007.
因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三 位
与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。
例：N＝123456789可否被19整除？

又603＝31×19+14，所以N不能被19整除。
例：N=6111426可否被19整除？

2

又57=3×19，所以N可被19整除：321654×19=6111426。
下面来推导被23、29整除的简易判别法。
寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，
现有
23×435＝10005，29×345=10005，
因此，判定一个数可否被23或29整 除，只要将其末四位与前面隔开，看末
四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。
例：N＝6938801能否被23或29整除？

又5336＝23×232＝23×29×8，
所以很快判出N可被23及29整除。

三、余数
三大余数定理：
（1）余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c
的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再
除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等
于3+4=7除以5的余数为2
（2）余数的减法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余 数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，
两个余数差3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23 －14＝9除以5的余数等于4，两
个余数差为3＋5－4＝4
（3）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积
除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于
3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

3

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余 数等于3×4
除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么
a< br>与
b
除以m的余数也相同．
（4）应用 ：弃九法、同余定理
应用一、弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算 术》，
他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢
失而经常 检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
12341898 18922678967178902889923

1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就 是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个
等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除 以9的余数一定与等式
右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时 ，常常不用去列除法竖式进行计
算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算 的时候
往往就是一个9一个9的找并且划去，所 以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一 个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再
求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和
乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错
误的。 < br>但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法
的规律。这个思想 往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
应用二、同余定理：若两个整数a、b被自然数m除 有相同的余数，那么称
a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
同余定理重要性质及推论：若 两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则
（1711）
a，b的差一定能被m整除。 例如：
17
与
11
除以
3
的余数都是
2
， 所以能
nn
被
3
整除．
（用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a
－b)

4

余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数， 但当被除
位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被
m除的 余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由
于R是一个较简单的数，所 以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的
余数．
1) 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
2) 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
3) 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
4) 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
5) 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11
除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
6) 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三
位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数
就是原数被7，1 1或13除的余数．

四、质数与合数
（1）质数与合数定义
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
（2）质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
（
3
）部分特殊数的分解

111337
；
1 00171113
；
1111141271
；
1000173 137
；
199535719
；
1998233337< br>；
200733223
；
2008222251
；10101371337
.
（
4
）判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小 于
p
的质数
q(
均为整数
)
，使得
q
能够 整除
p
，那么
p
就不是质数，所以我们只要拿所有小于
p
的 质数去除
p
就可以
了；但是这样的计算量很大，对于不太大的
p
，我 们可以先找一个大于
且接近
p
的平方数
K
2
，再列出所有不 大于
K
的质数，用这些质数去除
p
，
如没有能够除尽的那么
p
就为质数
.
例如：
149
很接近
1441212< br>，根据整除的性质
149
不能被
2
、
3
、
5
、
7
、
11
整除，所以
149
是质数。




5

五、约数和倍数
（1）求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
22
例如：
2313711
，
252237
， 所以
(231,252)3721
；
21812
396
32
，所以②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
(12,18)23
；
6

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求 的
最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数
除大的一个数 ，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三 个余数；这样逐次用后一个余数去除前一
个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最 大公约数．(如
果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和151 5的最大公约数：
15156002315
；
6003151285
；
315285130
；
28530915
；
3015 20
；所以1515和600的最大公约数
是15．
（2） 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约
数乘以
n
．
（3）求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母 的最小公倍数a；
b
求出各个分数的分子的最大公约数b；
a
即为所求．
（4）求一个数约数的个数
分解质因数，之后将不同质因数的次数均加1，之后相乘。所得结 果就是这个数
22
不同约数的个数。如：
252237
，则
2 52
的不同约数的个数为
(21)(21)(11)33218

（5）求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
22
231,252< br>
2
2
3
2
7112772

2 52237
2313711
例如：，，所以；
②短除法求最小公倍数；

6

21812
396
32
，所以

18,12

233236
； 例如：
[a,b]
③
ab
(a,b)
．
（6）最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较
大的数．

六、平方
1、完全平方数特征
（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。
（4）若质数p整除完全平方数
a
，则p能被
a
整除。
2、性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N 为完全平方数

自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方
数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n
2n12n
p|Np|N
． 是 自然数，N是完全平方数，且，则
2
性质4：完全平方数的个位是6

它的十 位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如
果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中
的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3、 一些重要的推论
（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被< br>4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平
方数。 （3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，
84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
（7）凡个位数字是5但末两位 数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有
奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1 ，4，9而十位数字为奇数的

7

自然数不是完全平方数。
22
ab(ab)(ab)
4、 重点公式回顾：平方差公式：

七、进制
1、（1）十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在 实际生活中，除了十进
制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进< br>制等。
（2）二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因 此，二进制中
123
只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、2、2、2、……，二 进制数
也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)
2< br>=1×2
5
+0
×2
4
+0×2
3
+1×2
2
+1×2
1
+0×2
0
。
二进制的运算法则： “满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得
零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n
0
=1。
（3）
k
进制：
（k1）
一般地，对于k进位制，每个数是由0 ，1，2，，共k个数码组成，
kk1）
且“逢k进一”．
（
进位制计数单 位是
k
，
k
，
k
，．如二进位制的计数单
0
1
2
位是
2
0
，
2
1
，
22
，，八进位制的计数单位是
8
，
8
，
8
，．
（4）
k
进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
（a
n< br>a
n1
nn1
a
1
a
0
）
k
a
n
ka
n1
k
0
1
2
a
1
ka
0

a
0
10
0
；
a
0
2
0
；
nn1
十进制表示形式：
Na
n
10a
n1
10
nn1
Na2a2 
nn1
二进制表示形式：
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上
k
，表示是
k
进位制的数
（3145）
（1010）
（ 352）
12
,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
2
，8
，如：
（5）
k
进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
2、 进制间的转换：
一般地，十进制整数化为
k
进制数的方法是：除以
k
取余数，一直除 到被除
数小于
k
为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为
k
进制 数．反过来，
k
进
制数化为十进制数的一般方法是：首先将
k
进制数 按
k
的次幂形式展开，然后按
十进制数相加即可得结果．
如右图所示:


8

八进制

十进制 二进制
十六进制


八、位值
1、位值原理的定义：
同一个 数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就
是说，每一个数字除了有自身的一个 值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个
位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这 种数字和数位结合起来表
示数的原则，称为写数的位值原理。
2、 位值原理的表达形式：
以六位数为例：
abcdef
a×100000+b×10000+c×1000+ d×100+e×10+f。
3、 解位值一共有三大法宝：
（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答


9