宁波财税-讲规矩守纪律心得体会

第8讲 不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维< br>导引详解》五年级[第15讲 余数问题].
解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲讲解顺序：③< br>
包括1、2、3题

④

②

①包括4、 5题

③

包括6、7题，其中③④步
骤中加入百鸡问题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．
整数分拆问题：11、12、13、14、15．


1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为
ab
，则数字和为
ab
，这个数可以表达为
10 ab
，有

10ab



ab

4

即
10ab4a4b
，亦即
b2a
．
注意到
a
和
b
都是0到9的整数，且
a
不能为0，因此
a
只能为1、2、3或4，相应地
b
的取值为2、
4、6、8．
综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．


2．设A和B都是自然数，并且满足
AB17

,那么A+B等于多少?
11333

【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．


3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少
支?

【分析与解】设购买甲级铅笔
x
支，乙级铅笔
y
支．
有7
x
+3
y
=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种 利用余数的性质来求解的
方法：
将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：

1

得
x
=2(mod 3)，所以
x可以取2，此时
y
取12；
x
还可以取2+3=5，此时
y取5；

x2

x5
即

、

,对应
xy
为14、10
y12y5

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．


4．有纸币 60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100
元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，
列方程如下：
abcd60

1



由


a10b100c1000d100002



(2)(1)得
9b99c999d9940
③
注意到③式左边是9的 倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为
100元．


5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加 工损耗忽略不
计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度
必是12的倍数 ，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．
另一方面，374= 27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36 厘米
的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．
因此剩余部分的管子最少是2厘米．


6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各 带一个孩子参加．男职
工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了2 16棵树．那么其中有多
少名男职工?

【分析与解】设男职工
x人，孩子
y
人，则女职工3
y
-
x
人(注意，为何设孩 子数为
y
人，而不是设女
职工为
y
人)，
那么有13x10

3yx

6y
=216，化简为
3 x36y
=216，即
x12y
=72．
有



x12x24

x36

x48
< br>x60
.


y5

y4

y3

y2

y1


2

但是，女职工人数为
3yx
必须是自然数，所以只 有

那么男职工数只能为12名


x12
时，
3yx3
满足．
y5


7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木 条各若干根．如果从这些木条中取出一些接
起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7= 1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、
3.4米、3.9米、3.7米这 5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0 .7米，0.8米两种木条分别
x
，
y
根，则0.7
x
+0 .8
y
=3.4
3.6，„
即7
x
+8
y
=34，36，37，38，39
将系数，常数对7取模，有
y
≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是
y
最小分别取6,1,
2，3，4．
但是当
y
取6时，8×6=48超过34，
x
无法取值．
所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．


8.小萌 在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那
么小萌 寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的 总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最
后才是平信．但是挂号信、航空信的邮 费都是整数角不会产生几分．
所以，2分，10
n
+2分应该为平信的邮 费，
n
最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，
此时剩下的邮费为122- 32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．
于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．


9 .有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现
在要 取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克
的砝 码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18
„„4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7
k
克重．
设3克的砝码
x
个，5克的砝码
y
个，则
3x5y47k．
当
k
=0时，有
3x5y4
，无自然数解；
当
k
=1时，有
3x5y11
，有
x
=2，
y
=1，此时7克的砝码取17个，所以共

3

需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．
当
k
>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取
砝码情形．
所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．


10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品 ，那么有多少种不
同的选购方式?


【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)
件，则有

2.9

10bcde

4.7b7.2c10.6 d14.9e
=60．

18b43c77d120e
=310，显然
e
只能取0，1，2．
Ⅰ有
18b43c77d
=310，其中d可取0，1，2，3，4．
(1)当d=0时，有
18b43c
=310，将系数，常数对6取模得：

c
≡4(mod 6)，于是
c
最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然
数．所以d=0时。不满足；
(2)有
18b43c
=233，将系数，常数对6取模得：
最小,那么有18b=233-43×5=18,
c
≡5(mod 6),于是
；
(3)有
18b43c
=156，将系数，常数对6取模得：
c
≡O(mod 6)，于是
c
最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2
时，不满足；
(4)有
18b43c
=79，将系数、常数对6取模得：
最小那么有18b=79—43=36．
c
≡1(mod 6)，于是
(5)当d=4时，有
18b43c
=2，显然不满足．
Ⅱ< br>(1)
有
18b43c77d
=190，其中d可以取0、1、2．
有
18b43c
=190，将系数、常数对6取模有：
最小那么有18b=190-43×4=18,
c
≡4(mod 6)，于是
(2)当d=1时，有
18b43c
=113，将系数、常数对6取模有：

4

c
≡5(mod 6)，于是
c
最小取5，即1 8
b
+215=113，显然d=1时，不满足；
(3)
时 有
18b43c
=36,显然有
Ⅲ
有
18b43c77d
=70，
d
只能取0，
有
18b43c
=70，将系数、常数对6取模有：
c
≡4(rood 6)，于是
c
最小取4，那么有18
b
+172=70，显然不满足
最后可得到如下表的满足情况：

共有4种不同的选购方法．


11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱 各
自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买
的3分画片的总数是多少张?

【分析与解】 钱数除以5余0 ，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将
钱数8分至5角2分这4 5种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共
买10×9= 90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3
分画片的 总数是90-2-4=84张．


12．哥德巴赫猜想是说：“每个大 于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两
位质数的和，并且其中的一个数的个 位数字是1．

【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．
其中168-11=157，1 68-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有
168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．


5

13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然1 0个互不相等的质数和最
小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50．
所以，其中一定可以有某几个质数相等．
欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数 尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么
最大质数不超过50—2×9=32，而不超过3 2的最大质数为31．
又有
5022

2233 1
，所以满足条件的最大质数为31．

8个2
(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．
所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．
60÷7=8„„4，60=7+7+7+
．即8个7与2
+7+4+7+2+2
< br>，而4=2+2，恰好有
60=7+7+7+

8个78个7个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．


14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100 分外，其
他98种币值就可以两两配对了，即
(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；„；(49，51)；
每一对币值 中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的
币值是可以组 成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，„，48分和49分这49种情况．
1分和3分的币值显然不能构成．
2分，4分，6分，„，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．
5 分，7分，9分，„，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，„46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．
综合以上分析， 不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3
分，97分，99 分．


15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是 整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用
35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么 买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的
单价是多少元?
【分析与解】如下表

6

先枚举出所有可能的单价如表1．
再依次考虑： < br>首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．
然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18 元，一
共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．
所以，只有13+4的组合可 能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13
元．


1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个 小和尚每天
共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．

2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小 花狗叫两
声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了1 5天，
它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?

3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百 鸡，问鸡翁、
母、雏各几何?
















7

第8讲 不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维< br>导引详解》五年级[第15讲 余数问题].
解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲讲解顺序：③< br>
包括1、2、3题

④

②

①包括4、 5题

③

包括6、7题，其中③④步
骤中加入百鸡问题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．
整数分拆问题：11、12、13、14、15．


1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为
ab
，则数字和为
ab
，这个数可以表达为
10 ab
，有

10ab



ab

4

即
10ab4a4b
，亦即
b2a
．
注意到
a
和
b
都是0到9的整数，且
a
不能为0，因此
a
只能为1、2、3或4，相应地
b
的取值为2、
4、6、8．
综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．


2．设A和B都是自然数，并且满足
AB17

,那么A+B等于多少?
11333

【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．


3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少
支?

【分析与解】设购买甲级铅笔
x
支，乙级铅笔
y
支．
有7
x
+3
y
=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种 利用余数的性质来求解的
方法：
将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：

1

得
x
=2(mod 3)，所以
x可以取2，此时
y
取12；
x
还可以取2+3=5，此时
y取5；

x2

x5
即

、

,对应
xy
为14、10
y12y5

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．


4．有纸币 60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100
元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，
列方程如下：
abcd60

1



由


a10b100c1000d100002



(2)(1)得
9b99c999d9940
③
注意到③式左边是9的 倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为
100元．


5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加 工损耗忽略不
计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度
必是12的倍数 ，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．
另一方面，374= 27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36 厘米
的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．
因此剩余部分的管子最少是2厘米．


6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各 带一个孩子参加．男职
工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了2 16棵树．那么其中有多
少名男职工?

【分析与解】设男职工
x人，孩子
y
人，则女职工3
y
-
x
人(注意，为何设孩 子数为
y
人，而不是设女
职工为
y
人)，
那么有13x10

3yx

6y
=216，化简为
3 x36y
=216，即
x12y
=72．
有



x12x24

x36

x48
< br>x60
.


y5

y4

y3

y2

y1


2

但是，女职工人数为
3yx
必须是自然数，所以只 有

那么男职工数只能为12名


x12
时，
3yx3
满足．
y5


7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木 条各若干根．如果从这些木条中取出一些接
起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7= 1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、
3.4米、3.9米、3.7米这 5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0 .7米，0.8米两种木条分别
x
，
y
根，则0.7
x
+0 .8
y
=3.4
3.6，„
即7
x
+8
y
=34，36，37，38，39
将系数，常数对7取模，有
y
≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是
y
最小分别取6,1,
2，3，4．
但是当
y
取6时，8×6=48超过34，
x
无法取值．
所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．


8.小萌 在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那
么小萌 寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的 总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最
后才是平信．但是挂号信、航空信的邮 费都是整数角不会产生几分．
所以，2分，10
n
+2分应该为平信的邮 费，
n
最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，
此时剩下的邮费为122- 32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．
于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．


9 .有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现
在要 取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克
的砝 码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18
„„4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7
k
克重．
设3克的砝码
x
个，5克的砝码
y
个，则
3x5y47k．
当
k
=0时，有
3x5y4
，无自然数解；
当
k
=1时，有
3x5y11
，有
x
=2，
y
=1，此时7克的砝码取17个，所以共

3

需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．
当
k
>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取
砝码情形．
所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．


10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品 ，那么有多少种不
同的选购方式?


【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)
件，则有

2.9

10bcde

4.7b7.2c10.6 d14.9e
=60．

18b43c77d120e
=310，显然
e
只能取0，1，2．
Ⅰ有
18b43c77d
=310，其中d可取0，1，2，3，4．
(1)当d=0时，有
18b43c
=310，将系数，常数对6取模得：

c
≡4(mod 6)，于是
c
最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然
数．所以d=0时。不满足；
(2)有
18b43c
=233，将系数，常数对6取模得：
最小,那么有18b=233-43×5=18,
c
≡5(mod 6),于是
；
(3)有
18b43c
=156，将系数，常数对6取模得：
c
≡O(mod 6)，于是
c
最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2
时，不满足；
(4)有
18b43c
=79，将系数、常数对6取模得：
最小那么有18b=79—43=36．
c
≡1(mod 6)，于是
(5)当d=4时，有
18b43c
=2，显然不满足．
Ⅱ< br>(1)
有
18b43c77d
=190，其中d可以取0、1、2．
有
18b43c
=190，将系数、常数对6取模有：
最小那么有18b=190-43×4=18,
c
≡4(mod 6)，于是
(2)当d=1时，有
18b43c
=113，将系数、常数对6取模有：

4

c
≡5(mod 6)，于是
c
最小取5，即1 8
b
+215=113，显然d=1时，不满足；
(3)
时 有
18b43c
=36,显然有
Ⅲ
有
18b43c77d
=70，
d
只能取0，
有
18b43c
=70，将系数、常数对6取模有：
c
≡4(rood 6)，于是
c
最小取4，那么有18
b
+172=70，显然不满足
最后可得到如下表的满足情况：

共有4种不同的选购方法．


11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱 各
自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买
的3分画片的总数是多少张?

【分析与解】 钱数除以5余0 ，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将
钱数8分至5角2分这4 5种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共
买10×9= 90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3
分画片的 总数是90-2-4=84张．


12．哥德巴赫猜想是说：“每个大 于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两
位质数的和，并且其中的一个数的个 位数字是1．

【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．
其中168-11=157，1 68-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有
168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．


5

13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然1 0个互不相等的质数和最
小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50．
所以，其中一定可以有某几个质数相等．
欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数 尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么
最大质数不超过50—2×9=32，而不超过3 2的最大质数为31．
又有
5022

2233 1
，所以满足条件的最大质数为31．

8个2
(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．
所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．
60÷7=8„„4，60=7+7+7+
．即8个7与2
+7+4+7+2+2
< br>，而4=2+2，恰好有
60=7+7+7+

8个78个7个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．


14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100 分外，其
他98种币值就可以两两配对了，即
(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；„；(49，51)；
每一对币值 中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的
币值是可以组 成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，„，48分和49分这49种情况．
1分和3分的币值显然不能构成．
2分，4分，6分，„，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．
5 分，7分，9分，„，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，„46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．
综合以上分析， 不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3
分，97分，99 分．


15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是 整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用
35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么 买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的
单价是多少元?
【分析与解】如下表

6

先枚举出所有可能的单价如表1．
再依次考虑： < br>首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．
然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18 元，一
共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．
所以，只有13+4的组合可 能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13
元．


1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个 小和尚每天
共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．

2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小 花狗叫两
声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了1 5天，
它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?

3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百 鸡，问鸡翁、
母、雏各几何?
















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