莲作文-买年货日记

几何计数


知识框架图
7 计数综合

7-8 几何计数

教学目标
1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数 法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用
容斥原理的计数思想．

知识要点
一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算 线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图
分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没 有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些
处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和 乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成
223……n
1
2< br>(nn2)
个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多 分
2
成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… < br>在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有 关；组合问题与各事物所在的先
后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（ 或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条
线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+ 2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用 数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两
端点与点A相 连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中
共有30 个三角形．

数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若 其横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．

例题精讲


【例 1】 下图的两个图形(实线)是分别用10根和16 根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一
层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60 多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小
棍？（4级）



【例 2】 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等 边三
角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级）



【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图 所示形状的大三角形，请你数一数共有多

少个三角形？（4级）

【例 3】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的 边都由一根火柴棍组成，
那么一共需用多少根火柴棍?（4级）



【例 4】 图中共有多少个长方形？（4级）
















【例 5】 下面的
55
和
64
图中共有____个正方形．（4级）

【例 6】 在图中(单位：厘米)：
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?（6级）
5
1281
2
4
7
3


【巩固 】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、
2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．（6级）

【例 7】 下图中共有____个正方形．（4级）


【巩固】 图中有______个正方形．（4级）


【例 8】 如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个．（6级）


【巩固】 在下图中，不包含☆的长方形有________个．（6级）


【例 9】 图中含有“※”的长方形总共有________个．（6级）
※
※

< br>【巩固】由20个边长为1的小正方形拼成一个
45
长方形中有一格有“☆”图中含有 “☆”的所有长方形(含正
方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)（6级）














☆

【例 10】 如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼 成较大的
正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．（4级）
*


【例 11】 如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?（6级）


【例 12】 图中共有多少个三角形？（6级）



【例 13】 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个 ），以其
中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大
小面积的有多少个？（6级）


【例 14】 (第十二届全国“华罗庚 金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有
多少个等腰三角形(包括等边三 角形)？（8级）

【例 15】 (第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有 个正方形．（8级）


【巩固】这幅图中有 个三角形．（10级）



【例 16】 一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形， ……，
共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？（8级）






【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向 右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，
剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这 张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？（8级）

几何计数


知识框架图
7 计数综合

7-8 几何计数

教学目标
1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数 法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用
容斥原理的计数思想．

知识要点
一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算 线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图
分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没 有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些
处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和 乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成
223……n
1
2< br>(nn2)
个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多 分
2
成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… < br>在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有 关；组合问题与各事物所在的先
后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（ 或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条
线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+ 2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用 数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两
端点与点A相 连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中
共有30 个三角形．

数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若 其横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．

例题精讲


【例 1】 下图的两个图形(实线)是分别用10根和16 根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一
层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60 多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小
棍？（4级）



【例 2】 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等 边三
角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级）



【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图 所示形状的大三角形，请你数一数共有多

少个三角形？（4级）

【例 3】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的 边都由一根火柴棍组成，
那么一共需用多少根火柴棍?（4级）



【例 4】 图中共有多少个长方形？（4级）
















【例 5】 下面的
55
和
64
图中共有____个正方形．（4级）

【例 6】 在图中(单位：厘米)：
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?（6级）
5
1281
2
4
7
3


【巩固 】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、
2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．（6级）

【例 7】 下图中共有____个正方形．（4级）


【巩固】 图中有______个正方形．（4级）


【例 8】 如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个．（6级）


【巩固】 在下图中，不包含☆的长方形有________个．（6级）


【例 9】 图中含有“※”的长方形总共有________个．（6级）
※
※

< br>【巩固】由20个边长为1的小正方形拼成一个
45
长方形中有一格有“☆”图中含有 “☆”的所有长方形(含正
方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)（6级）














☆

【例 10】 如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼 成较大的
正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．（4级）
*


【例 11】 如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?（6级）


【例 12】 图中共有多少个三角形？（6级）



【例 13】 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个 ），以其
中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大
小面积的有多少个？（6级）


【例 14】 (第十二届全国“华罗庚 金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有
多少个等腰三角形(包括等边三 角形)？（8级）

【例 15】 (第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有 个正方形．（8级）


【巩固】这幅图中有 个三角形．（10级）



【例 16】 一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形， ……，
共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？（8级）






【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向 右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，
剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这 张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？（8级）