中考录取通知书-小娃娃

5-1-3-1.数阵图

教学目标

1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题


知识点拨

.
一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻 方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵 图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关 键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关
键点上所填数的范围 ；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方
法的综合运用．

例题精讲
模块一、封闭型数阵图

【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第6题
【解析】
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1
6
3
8
4
7
5
2

【答案】
1
6
3
8
4
7
5
2

【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于 14，且
数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？

（1）
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
a
h
g
f
（2）
bc
d
e

a+b+c=14（1）
c+d+e=14 （2）
e+f+g=14 （3）
a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b +c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，
d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，
又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.
又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.
又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5.
a，c，e，g可取到1，4，7，8
若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，





4，7，8中，不行.
若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.
若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.
若g=1，则a=8，c=4，e=7.

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 2 of 12

说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶 点所应填的数为封闭型数阵
的解题突破口.
【答案】

【例 3】 在如 图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若
A
、
B
、
C
的和为18，
则三个顶点上的三个数的和是 。

A
C
B
【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分
【解析】 设三个顶点为
D
,
E
,
F
，求
D
,
E
,
F
。观察容易发现，三条边的和为36，即
D
+
A
+E
+
E
+
C
+
F
+
F
+B
+
D
=36
18+2(
D
+
E+
F
)=36，所以
D
+
E
+
F
=9
【答案】
9


【例 4】 将
1
至
6< br>这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那
么， 每条边上的数字和是 ．
a
d
e
7
f
8
c

9
8
7
b
9
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为
abc
，由于
abc
最小为
1236
，最大为 
129abc

315
3
4561 5
，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为
17 和20时的填法．
1
5
9
2
4
8
6
7
3

4
2
9
51
8
3
7
6

而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下．
如果每条边上的数字 和为18，那么
abc

1815

39
，而
abd918
，即
abd9
，
得到
cd< br>，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18．如果每条边上的数字和为19，类似分
析可得 到
be
，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19．
所以每条边上的数字和为17或20．
【答案】17或20

【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的
8
个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都 相
等，那么
A
和
B
两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是___ ___．
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 3 of 12

A
B
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题
【解析】 方法一：如图
a
A
b
c
B
e
f
d


用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为
s
，那么
a bcdef2s
，
aAebAdcBf3s
，所以< br>2ABs
，
abcdefAB2sAB5A3B
，而
abcd efAB12836
，所以
5A3B36
，那么
A< br>是3的倍数.如果
A3
，
得
B7
；如果
A6< br>，得
B2
，这两种情况下
A
和
B
的差都为4，所以
A
和
B
两个圆圈中所填的数
之差(大数减小数)是4.
方 法二：设各条直线上的三个数之和都为
s
，
2(1238)B5s
，即
72B5s
，

B7

B2
所以

，

，由于
(1238)A3s
，即
36A3s
，
s13
s14



B 2

B7

s14

s13

因此有

,

,综合有

s14
，
< br>s13
，

A6

A3

A6< br>
A3

所以
A
和
B
两个圆圈中所填的 数之差(大数减小数)是4.
【答案】4

【例 6】 如图所示，圆圈中分别填 人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间
两个数
A
与
B
的和是________。
A
B
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分
【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中
A
、
B
各多算了一次，
故
A
+
B
=9。
【答案】
9


【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10 个方格中，每格内填一个数，要求图中3个
22
的正方形中的4
个数之和相等．那么 ，这个和数的最小值是多少？

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11
8
3
2
10
5
7
9
6
4

【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；
第二步：计算三个
22
正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计
算了两次， 而
231165
，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数< br>取2、5时，这个和取得最小值；
第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个
22
正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个
正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和 为24，如图，所以所求的最小值是24．
【答案】24

【例 8】 下图中有 五个正方形和
12
个圆圈，将
1~12
填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆 圈中的数字之和
都相等．那么这个和是多少?
8
1
12
10
3
5
6
2
11
7
9
4
【考点】封闭型数 阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为
x
，则由
5
个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相
加，再将 中间四个圆圈中的数加两遍，可得：解得
x26
，即这个和为26．具

1 212

2x5x
，
体填法如右上图。
【答案】26

【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数 分别填在大正方形的
四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6 、8分别填在小正
方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三 角形顶点
上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
2

4
8
2
4
2
6
6
8
8
4

【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 ⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于
S
．
考察外面的4 个三角形，每个三角形顶点上的数的和是
S
，在它们的和
4S
中，大正方形的 2、4、6、
8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即
4S
2468

360
．得到
S60415
，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不
可能都相等．
⑵由于三角形3个顶点上的数字之和最小为
2226
，最大为< br>88824
，可能为6、8、
10、……22、24，共有10个可能的值，而三 角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点
上数字之和互不相同的．
根据对称性，不 妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、
22) 作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．
6
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2
4
8
2
4
2
6
6
8
8
4
【答案】

【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之
和都为3 4，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
6
【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：






9+15+a+c=34，5+10+e+g= 34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34，
化简得：a+c=10 4+6=10.
e+g=19 3+16=19，6+13=19
b+d=13 1+12=13，
f+h=15 2+13=15，3+12=15.
a，b，c，d，e，f，g，h应分别从1，2，3，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10， 所以只
能选a+c=4+6； b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选e+g=3 +16；f+h=15，只能选f+h=2+13
若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.
若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e、f无值可取，使其和为27.
若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2.
若d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13.
解：共有三个解（见图）.

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【答案】

【例 11】 一个3

3的方格表中 ，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格
子中都有12枚棋子，去掉4枚 棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4
个角上的棋子数仍然相等（画图表示） 。
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这 一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋
子数。具体操作如图：


【答案】

【例 12】 如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】 根据题目给的数字计 算所有的数字和为：
9412561191491083100
，分 成四块
的，每块的数字和为：
100425
，，所以
941225
，
511925
，
691025
，
831 425
，具体分法如上图。

【答案】


模块二、辐射型数阵图
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 7 of 12

【例 13】 把1991，1992，1993，1994，1995分别 填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数
的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中 能填的数是____________。
【考点】辐射型数阵图 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第10题
【解析】 由题意，横行两端两 个数的和应该等于竖列两端两个数的和，也就是除去中间方格中的数，其余的
四个数可以分为和相等的两 组。所以中间方格中能填的数为：
1991
，
1993
，
1995< br>。
【答案】中间方格能填的数可以为：
1991
，
1993
，
1995
，答案不唯一

【例 14】 请你把1～7这七个自然数，分 别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.
应怎样填？

（1）
【考点】辐射型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如下图（2），
b
g
f
（2）
a
e
c
d








设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，
则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k
3a+b+c+d+e+f+g=3k
2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k
2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k
2a+28=3k
a为1、4或7，若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在 2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，
因此得到一个解为：a=1，b=2，c= 3，d=4，e=7，f=6，g=5.
若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8 .在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得
到第二个解为：a=4，b=1 ，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.
若a=7，则k=14，直线上另外两个数的 和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得
到第三个解为：a=7， b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.
解：共得到三个解：如下图.


例2为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k.
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 8 of 12

【答案】

【例 15】 右边的一排 方格中，除
9
、
8
外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同 的数)，
已知其中任何
3
个连续方格中的数相加起来都为
22
，则“ 走”+“进”+“数”+“学”+“花”+
“园”=
【考点】复合型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 “走”+“进”
922

9
“数”+“学”
22

“花”
8
“园”
22

所以“走”+“进”+“数” +“学”+“花”+“园”

22922922840

【答案】
40


【例 16】 请在下图中每个方格中填一个数， 使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意三
个相邻方格内的数字之和都是18． 33
8
7
3
552
8
5
2
8
7
3
88
5
285

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 竖列任意三个 相邻方格内的数字之和都是18，从上至下第二个数与第三个数的和是
18315
，第二个数+第三个数+第四个数
18
，第四个数等于3，以此类推，从上至下第一个数等于 第四个数等
于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以竖行从上至下依次为3、8、7、3 、8、7、
3、8；同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，由左至右第六个数是8，所以 横行由左
至右依次为5、2、8、5、2、8、5、2、8、5，如右上图所示．
3
8
7
3
52
8
5
2
8
7
3
8
5
285
【答案】

【例 17】
2000
个数写成一行，任意三个相邻的数的和均相等，总和
53324
。去掉左起第
1、第
1949
、第
1975
及最后一个数，和成为
53236< br>，问剩下的数中左起第
50
个数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第12题，12分
【解析】 第一个数

第二个数

第三个数

第二 个数

第三个数

第四个数，所以第一个数

第四个数，同
理第二个数

第五个数，第三个数

第六个数，也就是这个数列是以
3
为周期的一个周期数列。
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 9 of 12

194936492
，
197536581
，
200036662
，也就是第一个数
2

第二个数
所以第一个数

第二个数
44
，又因为
2000
个数的和为
53324
，（第
53324
2
=
533245323688
，
一个数

第二个数

第三 个数）
666

第一个数

第二个数，从而求出第一个数

第二个数

第三
个数
80
，所以第三个数
8 04436
，而
503162
，所以剩下的数中左起第
50
个数就是原
数列中的第
51
个数，即原数列中的第
3
个 数，等于
36
。
【答案】
36


【例 18】 如图，在2006年的3月的日历上，
ABCD52
，那么，3月份的第一个星期日是 ___号。
2006年3月
日
一
二
三
四五
六A
B
C
D
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分
【解析】
B
比
A
大
8
，
C
比
B
大
8
，则C
比
A
大
16
，
D
比
C
大< br>8
，则
D
比
A
大
24
，则有
，A
是星期三，则第一个星期日是
145
号．
A（52816）244
【答案】
5
号

【例 19】 右图中，从第二层（从下往上数）起，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的 和。
最上面的方框中填的数是 。

885262
670
283
⑤
885④
③②670
262①2 83387
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分，4年级，决赛，第3题，8分
【解析】 如右图所示，
885
③

②，③
262
①，②

①
283
，
则
885262
①

①
283
，
则①
170
，②
170283453
，③
262170 432
，
则④

②
6704536701123
，⑤
885
④
88511232008
．
【答案】
2008


【巩固】 将0，1，2，3，4，5任意填 入最下一行（每个数出现一次）的6个方格中．其它每个方格中的数
等于下一行与它相邻的两个数的和． 最上面的一个数的最大值是 ，最小值是 ．

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分
【解析】 要使最上面的一个数最大， 则必使
0
、
1
、
2
、
3
、
4、
5
数字中最大数尽可能多地相加，即将大数
尽可能放在中间位置，即如下图所示 ：

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 10 of 12

要使最上层的值最小，则必使
0
、
1
、< br>2
、
3
、
4
、
5
数字中最小值尽可能多地相 加，最大值尽可能少地相加，
即将最小数尽可能放在中间位置，如下图所示：
44
2 3
21
15
813
9
11
44
6
831< br>3
530124
116
57
59
25
3227
9
161611
279
74
025431
【答案】116；44。

【例 20】 请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是 上一行与它相邻
的两个圆圈中所填数的和．
7
8
11
20
20
1
3
9
2
6
4

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 第一步：由于 每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出第
一行的四个数字就能 得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是
x
、
y
、
z
、
w
，则
xw3

yz

20
， 由于
xw
至少为3，所以
yz
不超过5；第二步：由于
yz< br>的和不超过5，

所以，
y
和
z
只可能为1和2、1 和3、1和4或者2和3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面
的答案是其中一个．
78
11
20
1
3
9
2
6
4
【 答案】

【例 21】 把
1.2
，
3.7
，
6 .5
，
2.9
，
4.6
分别填在右图的5个圆圈内，然后在每个方框 中填上和它相连的3
个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填 法，使三角形
中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 11 of 12

【解析】 设5个小圆中的数依次为
a
1
、
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
，则三个方框中的数依次为
a
1
a
2
a
3
a
2
a
3
a
4
、、
33
a
3< br>a
4
a
5
a2a
2
3a
3
2a
4
a
5
，继而求出三角形中的数为
1
．为使这个数 最小，
a
3
应该填入最
39
小的数
1.2
，
a
2
、
a
4
应该填入次小的
2.9
和
3 .7
，
a
1
、
a
5
填入
4.6
和
6.5
．可得三角形中的数最小为
3.1
．
【答案】
3.1



5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 12 of 12

5-1-3-1.数阵图

教学目标

1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题


知识点拨

.
一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻 方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵 图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关 键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关
键点上所填数的范围 ；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方
法的综合运用．

例题精讲
模块一、封闭型数阵图

【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第6题
【解析】
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 1 of 12

1
6
3
8
4
7
5
2

【答案】
1
6
3
8
4
7
5
2

【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于 14，且
数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？

（1）
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
a
h
g
f
（2）
bc
d
e

a+b+c=14（1）
c+d+e=14 （2）
e+f+g=14 （3）
a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b +c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，
d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，
又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.
又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.
又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5.
a，c，e，g可取到1，4，7，8
若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，





4，7，8中，不行.
若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.
若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.
若g=1，则a=8，c=4，e=7.

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 2 of 12

说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶 点所应填的数为封闭型数阵
的解题突破口.
【答案】

【例 3】 在如 图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若
A
、
B
、
C
的和为18，
则三个顶点上的三个数的和是 。

A
C
B
【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分
【解析】 设三个顶点为
D
,
E
,
F
，求
D
,
E
,
F
。观察容易发现，三条边的和为36，即
D
+
A
+E
+
E
+
C
+
F
+
F
+B
+
D
=36
18+2(
D
+
E+
F
)=36，所以
D
+
E
+
F
=9
【答案】
9


【例 4】 将
1
至
6< br>这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那
么， 每条边上的数字和是 ．
a
d
e
7
f
8
c

9
8
7
b
9
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为
abc
，由于
abc
最小为
1236
，最大为 
129abc

315
3
4561 5
，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为
17 和20时的填法．
1
5
9
2
4
8
6
7
3

4
2
9
51
8
3
7
6

而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下．
如果每条边上的数字 和为18，那么
abc

1815

39
，而
abd918
，即
abd9
，
得到
cd< br>，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18．如果每条边上的数字和为19，类似分
析可得 到
be
，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19．
所以每条边上的数字和为17或20．
【答案】17或20

【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的
8
个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都 相
等，那么
A
和
B
两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是___ ___．
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 3 of 12

A
B
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题
【解析】 方法一：如图
a
A
b
c
B
e
f
d


用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为
s
，那么
a bcdef2s
，
aAebAdcBf3s
，所以< br>2ABs
，
abcdefAB2sAB5A3B
，而
abcd efAB12836
，所以
5A3B36
，那么
A< br>是3的倍数.如果
A3
，
得
B7
；如果
A6< br>，得
B2
，这两种情况下
A
和
B
的差都为4，所以
A
和
B
两个圆圈中所填的数
之差(大数减小数)是4.
方 法二：设各条直线上的三个数之和都为
s
，
2(1238)B5s
，即
72B5s
，

B7

B2
所以

，

，由于
(1238)A3s
，即
36A3s
，
s13
s14



B 2

B7

s14

s13

因此有

,

,综合有

s14
，
< br>s13
，

A6

A3

A6< br>
A3

所以
A
和
B
两个圆圈中所填的 数之差(大数减小数)是4.
【答案】4

【例 6】 如图所示，圆圈中分别填 人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间
两个数
A
与
B
的和是________。
A
B
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分
【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中
A
、
B
各多算了一次，
故
A
+
B
=9。
【答案】
9


【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10 个方格中，每格内填一个数，要求图中3个
22
的正方形中的4
个数之和相等．那么 ，这个和数的最小值是多少？

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 4 of 12

11
8
3
2
10
5
7
9
6
4

【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；
第二步：计算三个
22
正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计
算了两次， 而
231165
，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数< br>取2、5时，这个和取得最小值；
第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个
22
正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个
正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和 为24，如图，所以所求的最小值是24．
【答案】24

【例 8】 下图中有 五个正方形和
12
个圆圈，将
1~12
填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆 圈中的数字之和
都相等．那么这个和是多少?
8
1
12
10
3
5
6
2
11
7
9
4
【考点】封闭型数 阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为
x
，则由
5
个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相
加，再将 中间四个圆圈中的数加两遍，可得：解得
x26
，即这个和为26．具

1 212

2x5x
，
体填法如右上图。
【答案】26

【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数 分别填在大正方形的
四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6 、8分别填在小正
方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三 角形顶点
上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
2

4
8
2
4
2
6
6
8
8
4

【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 ⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于
S
．
考察外面的4 个三角形，每个三角形顶点上的数的和是
S
，在它们的和
4S
中，大正方形的 2、4、6、
8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即
4S
2468

360
．得到
S60415
，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不
可能都相等．
⑵由于三角形3个顶点上的数字之和最小为
2226
，最大为< br>88824
，可能为6、8、
10、……22、24，共有10个可能的值，而三 角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点
上数字之和互不相同的．
根据对称性，不 妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、
22) 作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．
6
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2
4
8
2
4
2
6
6
8
8
4
【答案】

【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之
和都为3 4，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
6
【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：






9+15+a+c=34，5+10+e+g= 34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34，
化简得：a+c=10 4+6=10.
e+g=19 3+16=19，6+13=19
b+d=13 1+12=13，
f+h=15 2+13=15，3+12=15.
a，b，c，d，e，f，g，h应分别从1，2，3，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10， 所以只
能选a+c=4+6； b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选e+g=3 +16；f+h=15，只能选f+h=2+13
若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.
若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e、f无值可取，使其和为27.
若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2.
若d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13.
解：共有三个解（见图）.

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 6 of 12

【答案】

【例 11】 一个3

3的方格表中 ，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格
子中都有12枚棋子，去掉4枚 棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4
个角上的棋子数仍然相等（画图表示） 。
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这 一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋
子数。具体操作如图：


【答案】

【例 12】 如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】 根据题目给的数字计 算所有的数字和为：
9412561191491083100
，分 成四块
的，每块的数字和为：
100425
，，所以
941225
，
511925
，
691025
，
831 425
，具体分法如上图。

【答案】


模块二、辐射型数阵图
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 7 of 12

【例 13】 把1991，1992，1993，1994，1995分别 填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数
的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中 能填的数是____________。
【考点】辐射型数阵图 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第10题
【解析】 由题意，横行两端两 个数的和应该等于竖列两端两个数的和，也就是除去中间方格中的数，其余的
四个数可以分为和相等的两 组。所以中间方格中能填的数为：
1991
，
1993
，
1995< br>。
【答案】中间方格能填的数可以为：
1991
，
1993
，
1995
，答案不唯一

【例 14】 请你把1～7这七个自然数，分 别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.
应怎样填？

（1）
【考点】辐射型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如下图（2），
b
g
f
（2）
a
e
c
d








设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，
则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k
3a+b+c+d+e+f+g=3k
2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k
2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k
2a+28=3k
a为1、4或7，若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在 2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，
因此得到一个解为：a=1，b=2，c= 3，d=4，e=7，f=6，g=5.
若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8 .在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得
到第二个解为：a=4，b=1 ，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.
若a=7，则k=14，直线上另外两个数的 和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得
到第三个解为：a=7， b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.
解：共得到三个解：如下图.


例2为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k.
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 8 of 12

【答案】

【例 15】 右边的一排 方格中，除
9
、
8
外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同 的数)，
已知其中任何
3
个连续方格中的数相加起来都为
22
，则“ 走”+“进”+“数”+“学”+“花”+
“园”=
【考点】复合型数阵图 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 “走”+“进”
922

9
“数”+“学”
22

“花”
8
“园”
22

所以“走”+“进”+“数” +“学”+“花”+“园”

22922922840

【答案】
40


【例 16】 请在下图中每个方格中填一个数， 使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意三
个相邻方格内的数字之和都是18． 33
8
7
3
552
8
5
2
8
7
3
88
5
285

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 竖列任意三个 相邻方格内的数字之和都是18，从上至下第二个数与第三个数的和是
18315
，第二个数+第三个数+第四个数
18
，第四个数等于3，以此类推，从上至下第一个数等于 第四个数等
于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以竖行从上至下依次为3、8、7、3 、8、7、
3、8；同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，由左至右第六个数是8，所以 横行由左
至右依次为5、2、8、5、2、8、5、2、8、5，如右上图所示．
3
8
7
3
52
8
5
2
8
7
3
8
5
285
【答案】

【例 17】
2000
个数写成一行，任意三个相邻的数的和均相等，总和
53324
。去掉左起第
1、第
1949
、第
1975
及最后一个数，和成为
53236< br>，问剩下的数中左起第
50
个数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第12题，12分
【解析】 第一个数

第二个数

第三个数

第二 个数

第三个数

第四个数，所以第一个数

第四个数，同
理第二个数

第五个数，第三个数

第六个数，也就是这个数列是以
3
为周期的一个周期数列。
5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 9 of 12

194936492
，
197536581
，
200036662
，也就是第一个数
2

第二个数
所以第一个数

第二个数
44
，又因为
2000
个数的和为
53324
，（第
53324
2
=
533245323688
，
一个数

第二个数

第三 个数）
666

第一个数

第二个数，从而求出第一个数

第二个数

第三
个数
80
，所以第三个数
8 04436
，而
503162
，所以剩下的数中左起第
50
个数就是原
数列中的第
51
个数，即原数列中的第
3
个 数，等于
36
。
【答案】
36


【例 18】 如图，在2006年的3月的日历上，
ABCD52
，那么，3月份的第一个星期日是 ___号。
2006年3月
日
一
二
三
四五
六A
B
C
D
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分
【解析】
B
比
A
大
8
，
C
比
B
大
8
，则C
比
A
大
16
，
D
比
C
大< br>8
，则
D
比
A
大
24
，则有
，A
是星期三，则第一个星期日是
145
号．
A（52816）244
【答案】
5
号

【例 19】 右图中，从第二层（从下往上数）起，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的 和。
最上面的方框中填的数是 。

885262
670
283
⑤
885④
③②670
262①2 83387
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分，4年级，决赛，第3题，8分
【解析】 如右图所示，
885
③

②，③
262
①，②

①
283
，
则
885262
①

①
283
，
则①
170
，②
170283453
，③
262170 432
，
则④

②
6704536701123
，⑤
885
④
88511232008
．
【答案】
2008


【巩固】 将0，1，2，3，4，5任意填 入最下一行（每个数出现一次）的6个方格中．其它每个方格中的数
等于下一行与它相邻的两个数的和． 最上面的一个数的最大值是 ，最小值是 ．

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分
【解析】 要使最上面的一个数最大， 则必使
0
、
1
、
2
、
3
、
4、
5
数字中最大数尽可能多地相加，即将大数
尽可能放在中间位置，即如下图所示 ：

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 10 of 12

要使最上层的值最小，则必使
0
、
1
、< br>2
、
3
、
4
、
5
数字中最小值尽可能多地相 加，最大值尽可能少地相加，
即将最小数尽可能放在中间位置，如下图所示：
44
2 3
21
15
813
9
11
44
6
831< br>3
530124
116
57
59
25
3227
9
161611
279
74
025431
【答案】116；44。

【例 20】 请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是 上一行与它相邻
的两个圆圈中所填数的和．
7
8
11
20
20
1
3
9
2
6
4

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 第一步：由于 每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出第
一行的四个数字就能 得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是
x
、
y
、
z
、
w
，则
xw3

yz

20
， 由于
xw
至少为3，所以
yz
不超过5；第二步：由于
yz< br>的和不超过5，

所以，
y
和
z
只可能为1和2、1 和3、1和4或者2和3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面
的答案是其中一个．
78
11
20
1
3
9
2
6
4
【 答案】

【例 21】 把
1.2
，
3.7
，
6 .5
，
2.9
，
4.6
分别填在右图的5个圆圈内，然后在每个方框 中填上和它相连的3
个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填 法，使三角形
中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空

5-1-3-1.数阵图.题库 教师版 page 11 of 12

【解析】 设5个小圆中的数依次为
a
1
、
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
，则三个方框中的数依次为
a
1
a
2
a
3
a
2
a
3
a
4
、、
33
a
3< br>a
4
a
5
a2a
2
3a
3
2a
4
a
5
，继而求出三角形中的数为
1
．为使这个数 最小，
a
3
应该填入最
39
小的数
1.2
，
a
2
、
a
4
应该填入次小的
2.9
和
3 .7
，
a
1
、
a
5
填入
4.6
和
6.5
．可得三角形中的数最小为
3.1
．
【答案】
3.1



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