小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小品剧本-中秋节主题班会
小学奥数重叠问题专题
日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常
常出现其中的一部分数
据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情
况，这类
问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数
重要知识点。学生学习奥数，
一定要掌握容斥原理。下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有
重复
包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件
入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图
形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需
要要求的是哪一部分，从而找出解答
方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内
部代表集合和集合之间的关系。这种图称
为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重
叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分
加起来，再从它们的和中排除
重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这
个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理
。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A
类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
1 6
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象
的总个数=A
类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-
同时属
于A类和C类元素个数-
同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个
数。
2 6
一、重叠问题之长度：
（1）
拼接（对接）
（2） 搭接
（3） 打结
题目1：（搭接正问题：求总长度）
把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更
长的纸条。中间重叠的部分是6厘
米，粘好的纸条长多少厘米？
题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度） 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间
重叠的部
分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？
题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）
两根木棍放在一起，从头到
尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12
厘米。另一根木棍长是多少厘米？
题目4：（搭接反问题二：求粘合长度，或重叠长度）
把两段同样是15厘米长的纸条粘合在
一起，形成一段24厘米长的纸条，请问中间粘合的
长度是多少厘米？
3 6
题目5：（打结正问题：求总长）
用3根9米的短绳子打结连接成一根长绳子
，打结时两端的绳子各用去的1米，请问打结
后的长绳子长度是多少米？
题目6：（打结反问题：求原绳长）
用3根打结连接成一根12米的长绳子，打结时两端的绳子各用去的1米，请问原来每根绳
子的长度是多
少米？
题目7：（打结反问题：求打结长度）
用3根8米长的绳子打结成一根16米的长绳子，打结
时两端绳子用去的长度相同，请问用
去了多少米？
二、重叠问题之排队：
题目8：
三（2）班同学
排队做操，每行人数同样多，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4
个，从前数是第2个，从后数
是第4个。三（2）班共有多少个人？
4 6
三、重叠问题之重复统计：
题目9：（正问题）
三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有
29人，每天至少写
完一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人？
题目10：（正问题）
一（5）班有
48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份
报都订，那么：
（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人？
（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人？
（3）有多少人两种报都没订？
题目11：（反问题）
某班同学参加运动会，每
人限报两项。其中40人参加了长跑，32人参加了跳高，既参加长
跑又参加跳高的有18人，这两项都
没有参加的有20人。这个班共有学生多少人？
5 6
题目12：（理解：韦恩图）
一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班
10人两题都对，8人两题都错，第二道题
有15人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？
题目13：（正问题）
100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。
（1）懂中文和英语的一共有多少人？
（2）既懂英语又懂中文的有多少人？
（3）只懂中文不懂英语的有多少人？
（4）只懂英文不懂中文的有多少人？
6 6
小学奥数重叠问题专题
日常生活或数学问题
中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数
据同时属于两种或两种以上不同的类别
，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类
问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到
的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。学生学习奥数，
一定要掌握容斥原理。下面小编
给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即
当两个计数部分有
重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答
重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图
形进行思考，找出哪些
是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答
方法。
3. 在数学中，
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。这种图称
为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这
个原理叫
做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则
：被计数对象的总个数=A
类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
1 6
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A
、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A
类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-
同时属于A类和B类元素的个数-同时属
于A类和C类元素个数-
同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个
数。
2 6
一、重叠问题之长度：
（1）
拼接（对接）
（2） 搭接
（3） 打结
题目1：（搭接正问题：求总长度）
把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更
长的纸条。中间重叠的部分是6厘
米，粘好的纸条长多少厘米？
题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度） 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间
重叠的部
分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？
题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）
两根木棍放在一起，从头到
尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12
厘米。另一根木棍长是多少厘米？
题目4：（搭接反问题二：求粘合长度，或重叠长度）
把两段同样是15厘米长的纸条粘合在
一起，形成一段24厘米长的纸条，请问中间粘合的
长度是多少厘米？
3 6
题目5：（打结正问题：求总长）
用3根9米的短绳子打结连接成一根长绳子
，打结时两端的绳子各用去的1米，请问打结
后的长绳子长度是多少米？
题目6：（打结反问题：求原绳长）
用3根打结连接成一根12米的长绳子，打结时两端的绳子各用去的1米，请问原来每根绳
子的长度是多
少米？
题目7：（打结反问题：求打结长度）
用3根8米长的绳子打结成一根16米的长绳子，打结
时两端绳子用去的长度相同，请问用
去了多少米？
二、重叠问题之排队：
题目8：
三（2）班同学
排队做操，每行人数同样多，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4
个，从前数是第2个，从后数
是第4个。三（2）班共有多少个人？
4 6
三、重叠问题之重复统计：
题目9：（正问题）
三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有
29人，每天至少写
完一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人？
题目10：（正问题）
一（5）班有
48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份
报都订，那么：
（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人？
（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人？
（3）有多少人两种报都没订？
题目11：（反问题）
某班同学参加运动会，每
人限报两项。其中40人参加了长跑，32人参加了跳高，既参加长
跑又参加跳高的有18人，这两项都
没有参加的有20人。这个班共有学生多少人？
5 6
题目12：（理解：韦恩图）
一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班
10人两题都对，8人两题都错，第二道题
有15人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？
题目13：（正问题）
100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。
（1）懂中文和英语的一共有多少人？
（2）既懂英语又懂中文的有多少人？
（3）只懂中文不懂英语的有多少人？
（4）只懂英文不懂中文的有多少人？
6 6