三八节放假规定-知识竞赛拉拉队口号

5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标
1. 学习完全平方数的性质；
2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
3. 掌握完全平方数的综合运用。

知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数< br>p
整除完全平方数
a
2
，则
p
能被
a
整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数< br>N
为完全平方数

自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方 数的质因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自然数，
N
是完全平方数，且
p
2n1
|N
，则
p
2n
|N
．
性质4：完全平方数的个位是6

它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全 平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个
位是5，则其十位一 定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余 1.即被4除余2或3的数一定
不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自 然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09， 29，49，
69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字 不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数
不是完全平方数；个位数字为1，4 ，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)

例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：21×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 我们不易 直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝
11
2
；
12321＝
111
2
；1234321＝
1111
2
……，于是，我们归纳为1234…
n
…4321=
(1111)
2
，所以，
n个1
21：11111112；则，21×49=111111 12×72=77777772．所以，题中
原式乘积为7777777的平方．
【答案】7777777

【例 2】
21(1234567654321)
是 的平方．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
【解析】
211111111
2
，
12345676543217
2
，
原式
(11111117)
2
7777777
2
．
【答案】7777777

【例 3】 已知自然数
n
满足：12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第9题
【解析】 （法1）先将
12
！分解 质因数：
12!2
10
3
5
5
2
711
，由于
12!
除以
n
得到一个完全平方数，那
42
5
，
么这个完全平方数是
12!
的约数，那么最大可以为
2
10
3
所以
n
最小为
12!2
10
34
5
2
3711
231
。
（法2）
12!
除以
n
得到一个完全平方数，
12!
的质因数分解式中3
、
7
、
11
的幂次是奇数，所以
n
的
最小值是
3711231
。
【答案】
231


【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 平方数的 末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道
14443838
， 所以满足条件的最小正
整数是
1444
．
【答案】1444

【例 5】
A
是由2002个“4”组成的多位数，即
444
20 02个4
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；
如果不是，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】
A44442
2
1111
．如果
A
是某个自然数的平方，则
1111
也应是某个自然数的平方，
2002个42002个1
2002个1
并且是某个奇数 的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，
而
11111 11110
不是
4
的倍数，矛盾，所以
A
不是某个自然数的平方．
2002个12001个1

【巩固】
A
是由2008个“4”组成的多位数，即
444
，
A
是不是某个 自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；
2008个4
如果不是 ，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】不是．
A4442
2
111
假设
A
是某个自然数的平方，则
111
也应是某个自然数的平方，并且
2008个4
2008个1
2008个1
是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的 余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而
11111110
不是4的倍数，与假设矛 盾．所以
A
不是某个自然数的平方．
2008个12007个1

【例 6】 计算
1111
－
222
2004个11002个22
=
A
×
A
，求
A
．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 此题的显著特征是式子都含有
1111
，从而找出突破口.
n个1
1111
－
222
2004个11002个2
2
=
1111
000
1002个1
1002个0
0
－
1111

1002个1
=
1111
×（
1000
10 02个1
1002个0
0
-1）
9
） =
1111
×（
999
1002个1
1002个9
=
1111
×（
1111
×3×3）=
A
2

1002个11002个1
所以，
A
＝
3333
.
1002个3
【答案】
3333

1002个3

【例 7】 ①
444
2004个4
488889A
2
， 求
A
为多少?
2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
注意到有
444
2004个4
488889
可以看成
444
n个4
4888
n-1个8
89
，其中
n
＝2004； < br>2003个8
寻找规律：当
n
=1时，有
497
2
；





当
n
=2时，有
448967
2
；
当
n
=3时，有
444889667
2
……
于是，类推有
444
2004个4
488889
=
6 6667
2

2003个8
2003个6
方法二：下面给出严格计算：


444
2004个4
48888 9
=
444
2004个4
4000
2004个0
0
+
8888
+1；
0
+8）+1
9
+1）+8］+1
9
）+12］+1
2003个82004个8
则
444
2 004个4
4000
2004个0
0
+
8888
+1＝1111
×（4×
1000
2004个1
2004个02004个8＝
1111
×［4×（
999
2004个1
2004个9
＝
1111
×［4×（
999
2004个1
2004个9
＝
(1111)
2
×36+12×
1111
+1
2004个1
2004个1

＝
(1111)
2
×36+2×（6×
1111
）+1
2004个1
2004个1
＝
(666
② 由①知
444
n个4
661)
2
(66667)
2

2004个62 003个6
4888
n-1个8
89
＝
666
4888166个8
67
2
，于是数字和为(4
n
+8
n
-8+9)=12
n
+1；令12
n
+1=2005
67
2
。所以存在这样的数，是
444
167个4
n-1个6
解得
n
=167，所以
444
167个4
89
=
666
4888
166个8
89

166个6
【答案】（1）
66667
2
,（2）
444< br> 167个4
4888
166个8
89
=
66667
2

2003个6166个6
模块二、平方数特征
（1） 平方数的尾数特征
【例 8】 下面是一个算式：
1121231234 12345123456
，这个算式的得数
能否是某个数的平方？
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少 ．平方数的个位数只能是0，1，4，
5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和
的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定 是0，因此，这个0算式得数的个位数
是3，不可能是某个数的平方．
【答案】不是

【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方 和等于49的四位
数共有________个．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第10题
【解析】 4914925
，
1,2,3,5
全排列共有
24
个。
【答案】
24


【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成 一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平
方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题
【解析】 四位完全平方数≥1234＞352
＝1225，所以至少是36
2
＝1296．当四位完全平方数是1296时， 另两
个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经 使用．当
四位完全平方数是37
2
＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4, 5，个位为5的平方数的十位
一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为28
2
． 所以，其中的四位完全平方数最小是1369．
【答案】
1369


【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角 数，又是完
全平方数，N= 。
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题
【解析】 N=k×(1+k)2=m^2，4位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n
与2n+1 互质 ，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。 23<=n<=70 发
现没有：k=2n-1， n×(2n-1)=N 同上，满足要求是1650找到25 所以 k=49， N=1225， m=35。
【答案】
1225

（2） 奇数个约数——指数是偶数
【例 12】 在
2 24
，
339
，
4416
，
5525，
6636
，……等这些算是中，4，9，16，25，
36，……叫做完全 平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分
【解析】 45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936.
【答案】
1936


【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个 质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.
如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的 约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包
括1和它自身)
如 果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇
数,所 得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)
有奇 数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324 ,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为
192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中 有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
【答案】361,400,441,484,529,576,625

【例 14】 1016与正整数
a
的乘积是一个完全平方数，则
a
的最小值是__ ______．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 先将1016分解质因数：
10162
3
127
，由 于
1016a
是一个完全平方数，所以至少为
2
4
127
2
，故
a
最小为
2127254
．
【答案】254

【巩固】 已知
3528a
恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是 。
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 < br>35282
3
3
2
7
2
，要使
352 8a
是某个自然数的平方，必须使
3528a
各个不同质因数的个数为偶数，
由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以
a
为2可以使
3528a是完全平方数，故
a
至
少为2．
【答案】2

【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而
722
3
3
2< br>266
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于
231 3119222008232322048
，所以
21
2
、
22
2
、……、
231
2
都满足题意，即
所求 的满足条件的数共有31个．
【答案】31

【例 16】 已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】 （法1）先将
12
！分解质因数：
12!2
10
3
5
5
2
7 11
，由于
12!
除以
n
得到一个完全平方数，那么
4< br>这个完全平方数是
12!
的约数，那么最大可以为
2
10
3 5
，所以
n
最小为

12!2
10
3
4
5
2
3711
231
。
（法2）
12!
除以
n
得到一个完全平方数，
12!
的质因数分解式中
3
、
7
、
11
的幂次是奇数，所以n
的
最小值是
3711231
。
【答案】231

【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的
最小值为 ．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：
一般是 设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
设中间数是
x
,则它们的和为
5x
, 中间三数的和为
3x
．
5x
是平方数，设
5x5
2
a
2
, 则
x5a
2
，
3x15a
2
35a
2< br>是立方数，所以
a
2
至少含有3和5的质因数各2个, 即
a
2
至少是225,中间的数
至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．
【答案】1123

【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方
数．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 为使 所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为
2
a3
b
5
c
，
由于它乘以2以后是完全平方数，即
2
a1
3
b
5
c
是完全平方数，则
(a1)
、
b
、
c
都是2的倍数；
同理可知
a
、
(b1)
、
c
是3的倍数，
a
、
b
、< br>(c1)
是5的倍数．
所以，
a
是3和5的倍数，且除以2余1；
b
是2和5的倍数，且除以3余2；
c
是2和3的倍数，
c
的最小值分别为15、且除以5余4．可以求得
a
、20、24，所以这样的自然数最小为2
15
3
20
5
24
．
b
、< br>【答案】
2
15
3
20
5
24


【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为 “美妙数”．问：
所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】
60345
是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60． 任何三个连续正整数，必有一
个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是 完全平方数，必定能为4
整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子 4．另外，由于完
全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数 能被5整除；若其
个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除． 所以，任何
美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故 所有美妙数
的最大公约数至少是60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少 是60，
所以，只能是60．
【答案】60

【例 20】 考虑下列3 2个数：
1!
，
2!
，
3!
，……，
32!
，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为
一个完全平方数，划去的那个数是 ．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设这32个数的乘积为
A
．
A1!2!3!32!(1!)
2
2(3!)
2
4(31!)
2
32

(1!3!31!)
2
(2432)(1!3!31!)
2
2
16
16!
，
所以，只要划去
16!
这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．
另外，由于
16!1615!
，而16也是完全平方数，所以划去
15!
也满足题意．
【答案】
16!
或
15!
，答案不唯一

【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设该数为
p
1
a
1< br>p
2
a
2
p
n
a
n
，那么它 的平方就是
p
1
2a
1
p
2
2a
2p
n
2a
n
，
因此

2a
1< br>1



2a
2
1


2a
n
1

39
．
由于
39139313
，
⑴所以，
2a
1
13
，
2a
2
113
，可得
a
1
1
，
a
2
6
；
故该数的约数个数为
11



61

14
个；
⑵或者，
2a
1
139
，可得
a
1
19，那么该数的约数个数为
19120
个．
所以这个数的约数个数为14个或者20个．
【答案】14个或者20个

1
1
【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的
是一个立方数，它的是一 个平方数，则这个数最小
2
3
是 ．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分
1
【解析】 设为
2a
3
b
c
（
c
为不含质因子2，3的整数），则它的< br>是
2
a1
3c
是立方数，所以
a1
是3的倍数，
b
2
1
是3的倍数，另外它的即
2
a
3
b 1
c
是一个平方数，所以
a
是偶数，
b
是奇数，符合以上 两个条件的
a
3
的最小值为4，
b
的最小值为
3
， 这个数最小为432．
【答案】432
（3） 平方数的整除特性
【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问
所有的小于 2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第11题，10分
①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．
【解析】
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，
则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5 、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，
若其个位是1和6，则第一个数必能被5 整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所
以，任何“美妙数”必有因子5．
④ 上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是
60 ．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既
不 能大于60，又至少是60，只能是60。
【答案】
60


【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除 ．现
在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

【例 25】 记
S(123n)(4k3)
，这里
n3< br>．当
k
在1至100之间取正整数值时，有 个
不同的
k
，使得
S
是一个正整数的平方．

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】少年数学智力冬令营
【解析】 一个平方数除以4的余数是0或1 ．当
n4
时，
S
除以4余3，所以
S
不是平方数；当n3
时，
S4k9
，当
k
在1至100之间时，
S
在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：
5
2
，
7< br>2
，
9
2
，
11
2
，
13
2
，
15
2
，
17
2
，
19
2< br>，其中每1个平方数对应1个
k
，所以答案为8．
【答案】8

【例 26】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与
2002
的 和都是完全平方数吗？若能
够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方
n
2
被4除余0或1．
2，3，4，ij)
．又
2002
被4除 余2，
假设存在四个正整数
n
1
、n
2
、n
3、n
4
，使得
n
i
n
j
2002m
2
(i，j1，
故
n
i
n
j
被4除余2或3．
若
n
1
、n
2
、n
3
、n
4中有两个偶数，如
n
1
、n
2
是偶数，那么
n
1
n
2
是4的倍数，
n
i
n
j
2002
被4除余2，，
所以不可能是完全平方数；
因此
n
1
、n
2
、n
3
、n
4
中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设
n
1
、n
2
、n
3
为奇数，
n
4
为偶数，那么
n
1
、n
2
、n
3
被4除余 1或3，所以
n
1
、n
2
、n
3
中至少有两个数余 数相同．如
n
1
、n
2
被4除余数相同，同
为1或3，那么
n
1
n
2
被4除余1，所以
n
1
n
2
2002
被4除余3，不是完全平方数；
综上，
n
i
n
j

2002
不可能全是完全平方数．

【例 27】
1351991
的末三位数是多少？
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 首 先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于
135991
的平方再乘以
993 995997999
的
末三位．而
993995997999993 999995997



993000993



9950009953



993000993



9950002985

，
其末三位为
715105
；然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为

5k
(
k
为奇数)，由于
2

5k


5k

【答案】625

2
25k
2
2525

k
2
1

，而奇数的平方除以8余1， 所以
k
2
1
是8的倍数，则
25

k
2
1

是
200的倍数，设
25k
2
1200 m
，则

5k

2525k
2
1252 00m
，所以它与105的乘积
2

2

105< br>
25200m

10521000m2625
，所以不论< br>m
的值是多少，所求的末三位都是625．
【例 28】 求所有的质数
P< br>，使得
4p
2
1
与
6p
2
1
也 是质数．
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 如果
p5
，则
4p
2
1101
，
6p
2
1151
都是质数，所以5符合题意．如果
P
不 等于5，那么
P
除
以5的余数为1、2、3或者4，
p
2
除 以5的余数即等于
1
2
、
2
2
、
3
2或者
4
2
除以5的余数，即1、4、
9或者16除以5的余数，只有1和 4两种情况．如果
p
2
除以5的余数为1，那么
4p
2
1
除以5的
余数等于
4115
除以5的余数，为0，即此时
4p
2
1
被5整除，而
4p
2
1
大于5，所以此时
4p
2
1
4p
2
1
与
6p
2
1
不是质数；如果
p
2
除以5的余数为4，同理可知
6p
2
1
不是质数，所以
P
不等于5，
至少有一个不是质数， 所以只有
p5
满足条件．
【答案】5

【例 29】 古时候 有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们
把所得的钱买 回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果

第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____文钱。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第15题
【解析】 根据题意，设每头牛的价钱为10a +b（a、b不同为0，a、b为自然数），因为题目中明显给出“每
头牛卖的钱数正好等于牛的头数” 可知买牛人所得到钱数为：

10a+b

100a
2
 20abb
2
，由题意
2
得这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平 分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人
得到了那只小羊”，而
100a
220ab
的十位必为偶数，所以只要看
b
2
的值，尝试得到只有16和 36
满足条件，所以小羊的价格应该为6，那么第一个人应该补给第二个人：

10 6

2=2
（文）
【答案】
2
文钱

5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标
1. 学习完全平方数的性质；
2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
3. 掌握完全平方数的综合运用。

知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数< br>p
整除完全平方数
a
2
，则
p
能被
a
整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数< br>N
为完全平方数

自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方 数的质因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自然数，
N
是完全平方数，且
p
2n1
|N
，则
p
2n
|N
．
性质4：完全平方数的个位是6

它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全 平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个
位是5，则其十位一 定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余 1.即被4除余2或3的数一定
不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自 然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09， 29，49，
69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字 不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数
不是完全平方数；个位数字为1，4 ，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)

例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：21×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 我们不易 直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝
11
2
；
12321＝
111
2
；1234321＝
1111
2
……，于是，我们归纳为1234…
n
…4321=
(1111)
2
，所以，
n个1
21：11111112；则，21×49=111111 12×72=77777772．所以，题中
原式乘积为7777777的平方．
【答案】7777777

【例 2】
21(1234567654321)
是 的平方．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
【解析】
211111111
2
，
12345676543217
2
，
原式
(11111117)
2
7777777
2
．
【答案】7777777

【例 3】 已知自然数
n
满足：12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第9题
【解析】 （法1）先将
12
！分解 质因数：
12!2
10
3
5
5
2
711
，由于
12!
除以
n
得到一个完全平方数，那
42
5
，
么这个完全平方数是
12!
的约数，那么最大可以为
2
10
3
所以
n
最小为
12!2
10
34
5
2
3711
231
。
（法2）
12!
除以
n
得到一个完全平方数，
12!
的质因数分解式中3
、
7
、
11
的幂次是奇数，所以
n
的
最小值是
3711231
。
【答案】
231


【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 平方数的 末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道
14443838
， 所以满足条件的最小正
整数是
1444
．
【答案】1444

【例 5】
A
是由2002个“4”组成的多位数，即
444
20 02个4
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；
如果不是，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】
A44442
2
1111
．如果
A
是某个自然数的平方，则
1111
也应是某个自然数的平方，
2002个42002个1
2002个1
并且是某个奇数 的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，
而
11111 11110
不是
4
的倍数，矛盾，所以
A
不是某个自然数的平方．
2002个12001个1

【巩固】
A
是由2008个“4”组成的多位数，即
444
，
A
是不是某个 自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；
2008个4
如果不是 ，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】不是．
A4442
2
111
假设
A
是某个自然数的平方，则
111
也应是某个自然数的平方，并且
2008个4
2008个1
2008个1
是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的 余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而
11111110
不是4的倍数，与假设矛 盾．所以
A
不是某个自然数的平方．
2008个12007个1

【例 6】 计算
1111
－
222
2004个11002个22
=
A
×
A
，求
A
．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 此题的显著特征是式子都含有
1111
，从而找出突破口.
n个1
1111
－
222
2004个11002个2
2
=
1111
000
1002个1
1002个0
0
－
1111

1002个1
=
1111
×（
1000
10 02个1
1002个0
0
-1）
9
） =
1111
×（
999
1002个1
1002个9
=
1111
×（
1111
×3×3）=
A
2

1002个11002个1
所以，
A
＝
3333
.
1002个3
【答案】
3333

1002个3

【例 7】 ①
444
2004个4
488889A
2
， 求
A
为多少?
2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
注意到有
444
2004个4
488889
可以看成
444
n个4
4888
n-1个8
89
，其中
n
＝2004； < br>2003个8
寻找规律：当
n
=1时，有
497
2
；





当
n
=2时，有
448967
2
；
当
n
=3时，有
444889667
2
……
于是，类推有
444
2004个4
488889
=
6 6667
2

2003个8
2003个6
方法二：下面给出严格计算：


444
2004个4
48888 9
=
444
2004个4
4000
2004个0
0
+
8888
+1；
0
+8）+1
9
+1）+8］+1
9
）+12］+1
2003个82004个8
则
444
2 004个4
4000
2004个0
0
+
8888
+1＝1111
×（4×
1000
2004个1
2004个02004个8＝
1111
×［4×（
999
2004个1
2004个9
＝
1111
×［4×（
999
2004个1
2004个9
＝
(1111)
2
×36+12×
1111
+1
2004个1
2004个1

＝
(1111)
2
×36+2×（6×
1111
）+1
2004个1
2004个1
＝
(666
② 由①知
444
n个4
661)
2
(66667)
2

2004个62 003个6
4888
n-1个8
89
＝
666
4888166个8
67
2
，于是数字和为(4
n
+8
n
-8+9)=12
n
+1；令12
n
+1=2005
67
2
。所以存在这样的数，是
444
167个4
n-1个6
解得
n
=167，所以
444
167个4
89
=
666
4888
166个8
89

166个6
【答案】（1）
66667
2
,（2）
444< br> 167个4
4888
166个8
89
=
66667
2

2003个6166个6
模块二、平方数特征
（1） 平方数的尾数特征
【例 8】 下面是一个算式：
1121231234 12345123456
，这个算式的得数
能否是某个数的平方？
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少 ．平方数的个位数只能是0，1，4，
5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和
的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定 是0，因此，这个0算式得数的个位数
是3，不可能是某个数的平方．
【答案】不是

【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方 和等于49的四位
数共有________个．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第10题
【解析】 4914925
，
1,2,3,5
全排列共有
24
个。
【答案】
24


【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成 一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平
方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题
【解析】 四位完全平方数≥1234＞352
＝1225，所以至少是36
2
＝1296．当四位完全平方数是1296时， 另两
个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经 使用．当
四位完全平方数是37
2
＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4, 5，个位为5的平方数的十位
一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为28
2
． 所以，其中的四位完全平方数最小是1369．
【答案】
1369


【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角 数，又是完
全平方数，N= 。
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题
【解析】 N=k×(1+k)2=m^2，4位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n
与2n+1 互质 ，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。 23<=n<=70 发
现没有：k=2n-1， n×(2n-1)=N 同上，满足要求是1650找到25 所以 k=49， N=1225， m=35。
【答案】
1225

（2） 奇数个约数——指数是偶数
【例 12】 在
2 24
，
339
，
4416
，
5525，
6636
，……等这些算是中，4，9，16，25，
36，……叫做完全 平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分
【解析】 45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936.
【答案】
1936


【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个 质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.
如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的 约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包
括1和它自身)
如 果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇
数,所 得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)
有奇 数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324 ,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为
192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中 有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
【答案】361,400,441,484,529,576,625

【例 14】 1016与正整数
a
的乘积是一个完全平方数，则
a
的最小值是__ ______．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 先将1016分解质因数：
10162
3
127
，由 于
1016a
是一个完全平方数，所以至少为
2
4
127
2
，故
a
最小为
2127254
．
【答案】254

【巩固】 已知
3528a
恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是 。
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 < br>35282
3
3
2
7
2
，要使
352 8a
是某个自然数的平方，必须使
3528a
各个不同质因数的个数为偶数，
由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以
a
为2可以使
3528a是完全平方数，故
a
至
少为2．
【答案】2

【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而
722
3
3
2< br>266
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于
231 3119222008232322048
，所以
21
2
、
22
2
、……、
231
2
都满足题意，即
所求 的满足条件的数共有31个．
【答案】31

【例 16】 已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】 （法1）先将
12
！分解质因数：
12!2
10
3
5
5
2
7 11
，由于
12!
除以
n
得到一个完全平方数，那么
4< br>这个完全平方数是
12!
的约数，那么最大可以为
2
10
3 5
，所以
n
最小为

12!2
10
3
4
5
2
3711
231
。
（法2）
12!
除以
n
得到一个完全平方数，
12!
的质因数分解式中
3
、
7
、
11
的幂次是奇数，所以n
的
最小值是
3711231
。
【答案】231

【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的
最小值为 ．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：
一般是 设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
设中间数是
x
,则它们的和为
5x
, 中间三数的和为
3x
．
5x
是平方数，设
5x5
2
a
2
, 则
x5a
2
，
3x15a
2
35a
2< br>是立方数，所以
a
2
至少含有3和5的质因数各2个, 即
a
2
至少是225,中间的数
至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．
【答案】1123

【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方
数．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 为使 所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为
2
a3
b
5
c
，
由于它乘以2以后是完全平方数，即
2
a1
3
b
5
c
是完全平方数，则
(a1)
、
b
、
c
都是2的倍数；
同理可知
a
、
(b1)
、
c
是3的倍数，
a
、
b
、< br>(c1)
是5的倍数．
所以，
a
是3和5的倍数，且除以2余1；
b
是2和5的倍数，且除以3余2；
c
是2和3的倍数，
c
的最小值分别为15、且除以5余4．可以求得
a
、20、24，所以这样的自然数最小为2
15
3
20
5
24
．
b
、< br>【答案】
2
15
3
20
5
24


【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为 “美妙数”．问：
所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】
60345
是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60． 任何三个连续正整数，必有一
个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是 完全平方数，必定能为4
整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子 4．另外，由于完
全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数 能被5整除；若其
个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除． 所以，任何
美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故 所有美妙数
的最大公约数至少是60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少 是60，
所以，只能是60．
【答案】60

【例 20】 考虑下列3 2个数：
1!
，
2!
，
3!
，……，
32!
，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为
一个完全平方数，划去的那个数是 ．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设这32个数的乘积为
A
．
A1!2!3!32!(1!)
2
2(3!)
2
4(31!)
2
32

(1!3!31!)
2
(2432)(1!3!31!)
2
2
16
16!
，
所以，只要划去
16!
这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．
另外，由于
16!1615!
，而16也是完全平方数，所以划去
15!
也满足题意．
【答案】
16!
或
15!
，答案不唯一

【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设该数为
p
1
a
1< br>p
2
a
2
p
n
a
n
，那么它 的平方就是
p
1
2a
1
p
2
2a
2p
n
2a
n
，
因此

2a
1< br>1



2a
2
1


2a
n
1

39
．
由于
39139313
，
⑴所以，
2a
1
13
，
2a
2
113
，可得
a
1
1
，
a
2
6
；
故该数的约数个数为
11



61

14
个；
⑵或者，
2a
1
139
，可得
a
1
19，那么该数的约数个数为
19120
个．
所以这个数的约数个数为14个或者20个．
【答案】14个或者20个

1
1
【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的
是一个立方数，它的是一 个平方数，则这个数最小
2
3
是 ．
【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分
1
【解析】 设为
2a
3
b
c
（
c
为不含质因子2，3的整数），则它的< br>是
2
a1
3c
是立方数，所以
a1
是3的倍数，
b
2
1
是3的倍数，另外它的即
2
a
3
b 1
c
是一个平方数，所以
a
是偶数，
b
是奇数，符合以上 两个条件的
a
3
的最小值为4，
b
的最小值为
3
， 这个数最小为432．
【答案】432
（3） 平方数的整除特性
【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问
所有的小于 2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第11题，10分
①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．
【解析】
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，
则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5 、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，
若其个位是1和6，则第一个数必能被5 整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所
以，任何“美妙数”必有因子5．
④ 上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是
60 ．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既
不 能大于60，又至少是60，只能是60。
【答案】
60


【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除 ．现
在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

【例 25】 记
S(123n)(4k3)
，这里
n3< br>．当
k
在1至100之间取正整数值时，有 个
不同的
k
，使得
S
是一个正整数的平方．

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】少年数学智力冬令营
【解析】 一个平方数除以4的余数是0或1 ．当
n4
时，
S
除以4余3，所以
S
不是平方数；当n3
时，
S4k9
，当
k
在1至100之间时，
S
在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：
5
2
，
7< br>2
，
9
2
，
11
2
，
13
2
，
15
2
，
17
2
，
19
2< br>，其中每1个平方数对应1个
k
，所以答案为8．
【答案】8

【例 26】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与
2002
的 和都是完全平方数吗？若能
够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方
n
2
被4除余0或1．
2，3，4，ij)
．又
2002
被4除 余2，
假设存在四个正整数
n
1
、n
2
、n
3、n
4
，使得
n
i
n
j
2002m
2
(i，j1，
故
n
i
n
j
被4除余2或3．
若
n
1
、n
2
、n
3
、n
4中有两个偶数，如
n
1
、n
2
是偶数，那么
n
1
n
2
是4的倍数，
n
i
n
j
2002
被4除余2，，
所以不可能是完全平方数；
因此
n
1
、n
2
、n
3
、n
4
中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设
n
1
、n
2
、n
3
为奇数，
n
4
为偶数，那么
n
1
、n
2
、n
3
被4除余 1或3，所以
n
1
、n
2
、n
3
中至少有两个数余 数相同．如
n
1
、n
2
被4除余数相同，同
为1或3，那么
n
1
n
2
被4除余1，所以
n
1
n
2
2002
被4除余3，不是完全平方数；
综上，
n
i
n
j

2002
不可能全是完全平方数．

【例 27】
1351991
的末三位数是多少？
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 首 先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于
135991
的平方再乘以
993 995997999
的
末三位．而
993995997999993 999995997



993000993



9950009953



993000993



9950002985

，
其末三位为
715105
；然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为

5k
(
k
为奇数)，由于
2

5k


5k

【答案】625

2
25k
2
2525

k
2
1

，而奇数的平方除以8余1， 所以
k
2
1
是8的倍数，则
25

k
2
1

是
200的倍数，设
25k
2
1200 m
，则

5k

2525k
2
1252 00m
，所以它与105的乘积
2

2

105< br>
25200m

10521000m2625
，所以不论< br>m
的值是多少，所求的末三位都是625．
【例 28】 求所有的质数
P< br>，使得
4p
2
1
与
6p
2
1
也 是质数．
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 如果
p5
，则
4p
2
1101
，
6p
2
1151
都是质数，所以5符合题意．如果
P
不 等于5，那么
P
除
以5的余数为1、2、3或者4，
p
2
除 以5的余数即等于
1
2
、
2
2
、
3
2或者
4
2
除以5的余数，即1、4、
9或者16除以5的余数，只有1和 4两种情况．如果
p
2
除以5的余数为1，那么
4p
2
1
除以5的
余数等于
4115
除以5的余数，为0，即此时
4p
2
1
被5整除，而
4p
2
1
大于5，所以此时
4p
2
1
4p
2
1
与
6p
2
1
不是质数；如果
p
2
除以5的余数为4，同理可知
6p
2
1
不是质数，所以
P
不等于5，
至少有一个不是质数， 所以只有
p5
满足条件．
【答案】5

【例 29】 古时候 有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们
把所得的钱买 回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果

第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____文钱。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第15题
【解析】 根据题意，设每头牛的价钱为10a +b（a、b不同为0，a、b为自然数），因为题目中明显给出“每
头牛卖的钱数正好等于牛的头数” 可知买牛人所得到钱数为：

10a+b

100a
2
 20abb
2
，由题意
2
得这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平 分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人
得到了那只小羊”，而
100a
220ab
的十位必为偶数，所以只要看
b
2
的值，尝试得到只有16和 36
满足条件，所以小羊的价格应该为6，那么第一个人应该补给第二个人：

10 6

2=2
（文）
【答案】
2
文钱