四川水利职业技术学院-肇庆工商职业学院

奥数题一

1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：
（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992
2.一个等腰 梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。
那么，这个等 腰梯形的周长是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来 了一个人要坐在这排长
椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有 __人已经就
座。
4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。a=__，r=__。
5.“重 阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以
后，这25位 老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年____岁。
6.学校买来历史、文艺、科 普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少____个学
生中一定有两人所借的图书属于 同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手 得90
分。那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。（每位选手的得分都是整数）
8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。
9.名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比 10人的平均分少
20分，这10名同学的平均分是________分.
10. 某文具店 用16000元购进4种练习本共6400本。每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙
种2元，丁种1 ．4元。如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那麽丁种练习本
共买了_________ 本。

1.解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）
=83×3×8
=1992
或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）
=83×2×12
=1992
（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）
说明：在 四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟
悉的“算式谜”题。而 这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把
1992分解为三个数连乘积的形 式，1992=83×3×2×2×2，因为83、3、2、2、2组成三个乘
积为1992的数有多种 组合形式，所以填法就不唯一了。
2.解：55+15+25×2=120（厘米）
说 明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。容易判断：下底最长，应为55
厘米。关键是判 断腰长是多少，如果腰长是15厘米，15×2+25=55，说明上底与两腰长度之
和恰好等于下底长 ，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是25厘米。读者从本报190期第
三版《任意三根小棒都能围 成三角形吗》一文中应当受到启发。
3.解：最少有
说明：根据题意，可推知这排 长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。但
仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座 位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一
个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在 左边（右边）起第二个座位上（如
图16所排出的两种情况，“●”表示已经就座的人，“○”表示空位 ）”。
不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每< br>组中有一人已经就座。
（1）●○○●○○●„„
（2）○●○○●○○●○„„
图16
4.解法一：由 1992÷46=43„„14
立即得知：a=43，r=14
解法二：根据带余除法的基本关系式，有
1992=46a+r（0≤r＜a）
由 r=1992-46a≥0，推知
由r=1992-46a＜a，推知
因为 a是自然数，所以 a=43
r=1992-46×43=14
说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。解法一是根据 1992
÷a的商是 46，因而直接用 1992÷46得到了a和r。解法二用的是“估值法”。
5.解法一：先算出这25位老人今年的岁数之和为
2000-25×2=1950
年龄最大的老人的岁数为
[1950+（1+2+3+4+„„+24）]÷25
=2250÷25
=90（岁）
解法二：两年之后，这25位老人的平均年 龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为2000÷25=80
（岁）
两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁）
年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）
说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报 241期第一版《“削平”与“补齐”》一文）。

当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24。解法二着眼于 25人的平
均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。
6.解：根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
说明：本题是抽 屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。从历史、文艺、科普三种
图书若干本中任意借两本，共 有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、
（文，科）这六种情况，可把 它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情
况之一。换句话说，如果把借书的学生看 作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能
有两个苹果放在同一个抽屉内。本题是由本报234 期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。
7.解：得分最低者最少得
404-（90+89+88+87）=50（分）
得分最低者最多得
[404-90-（1+2+3）]÷4=77（分）
说明：解这道题要考虑两种极端情形：
（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四
名 领先于第五名的分数尽可能多才行。第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四
名的得分尽 可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分
时，第五名得分最 少。
（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、< br>四、五名的得分尽可能接近。考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的
得分 为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。
本题是根据《数学之友》（7）第46页第13题改编的。
8.解：设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有
38X+90Y+（X+Y-1）=1000
39X+91Y=1001
要使损耗最少 ，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y
尽可能大。由于X、Y都必 须是自然数，因而不难推知：X=7，Y=8。即38毫米的铜管锯7
段，90毫米的铜管锯8段时，损 耗最少。
说明：选手们读题之后，可以马上想到：要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，
但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米”两个条件，
这样算起来就不那么简单了。这种题目，借助等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程
时可别忘掉 那损耗的1毫米，而且损耗了几个“1毫米”也不能算错，应该是“总段数-1”。
列出方程式之后 ，还有两点应当讲究：（1）变形要合理；（2）要选用简便算法。如上面解法
中，把1001写成7× 11×13，39写成3×13，91写成7×13，使分子部分和分母部分可以约
分，对于迅速推知最 后结果是大有帮助的。
本题是《数学之友》（7）第51页练习六中的原题。
9. 【解】：设10人的平均分为a分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程：
[ 10a-6×（a-20）]÷4=150 解得：a=120。
10. 【解】：设甲、丙数目各为a，那么乙、丁数目为（6400-2a）2，所以列方程
4a+3×（6400-2a）2+2a+1．4×（6400-2a）2=16000 解得：a=1200。

奥数题一

1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：
（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992
2.一个等腰梯形有三条边 的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。
那么，这个等腰梯形的周长 是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐 在这排长
椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有__人已经就
座。
4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。a=__，r=__。 < br>5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以
后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年____岁。
6.学校买来 历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少____个学
生中一定有两人 所借的图书属于同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中 得分最高的选手得90
分。那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。（每位选手的得 分都是整数）
8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都 要损耗1毫
米铜管。那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时 ，所损耗的
铜管才能最少。
9.名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名 同学平均得分比10人的平均分少
20分，这10名同学的平均分是________分.
10. 某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。每本的单价是：甲种4元，乙种3元， 丙
种2元，丁种1．4元。如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那麽丁种练习本
共买了_________本。

1.解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）
=83×3×8
=1992
或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）
=83×2×12
=1992
（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）
说明：在四个数字之间填上三个运 算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟
悉的“算式谜”题。而这道题却不容易一下子判 断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把
1992分解为三个数连乘积的形式，1992=83×3 ×2×2×2，因为83、3、2、2、2组成三个乘
积为1992的数有多种组合形式，所以填法就不 唯一了。
2.解：55+15+25×2=120（厘米）
说明：要算周长，需要知道 上底、下底、两条腰各是多长。容易判断：下底最长，应为55
厘米。关键是判断腰长是多少，如果腰长 是15厘米，15×2+25=55，说明上底与两腰长度之
和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形， 所以，腰长只能是25厘米。读者从本报190期第
三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当 受到启发。
3.解：最少有
说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相 邻的两人之间都有两个空位。但
仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最 左边一个（最右边一
个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在左边（右边）起第二个座 位上（如
图16所排出的两种情况，“●”表示已经就座的人，“○”表示空位）”。
不过 ，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每
组中有一人已经就 座。
（1）●○○●○○●„„
（2）○●○○●○○●○„„
图16
4.解法一：由 1992÷46=43„„14
立即得知：a=43，r=14
解法二：根据带余除法的基本关系式，有
1992=46a+r（0≤r＜a）
由 r=1992-46a≥0，推知
由r=1992-46a＜a，推知
因为 a是自然数，所以 a=43
r=1992-46×43=14
说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。解法一是根据 1992
÷a的商是 46，因而直接用 1992÷46得到了a和r。解法二用的是“估值法”。
5.解法一：先算出这25位老人今年的岁数之和为
2000-25×2=1950
年龄最大的老人的岁数为
[1950+（1+2+3+4+„„+24）]÷25
=2250÷25
=90（岁）
解法二：两年之后，这25位老人的平均年 龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为2000÷25=80
（岁）
两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁）
年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）
说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报 241期第一版《“削平”与“补齐”》一文）。

当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24。解法二着眼于 25人的平
均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。
6.解：根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
说明：本题是抽 屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。从历史、文艺、科普三种
图书若干本中任意借两本，共 有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、
（文，科）这六种情况，可把 它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情
况之一。换句话说，如果把借书的学生看 作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能
有两个苹果放在同一个抽屉内。本题是由本报234 期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。
7.解：得分最低者最少得
404-（90+89+88+87）=50（分）
得分最低者最多得
[404-90-（1+2+3）]÷4=77（分）
说明：解这道题要考虑两种极端情形：
（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四
名 领先于第五名的分数尽可能多才行。第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四
名的得分尽 可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分
时，第五名得分最 少。
（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、< br>四、五名的得分尽可能接近。考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的
得分 为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。
本题是根据《数学之友》（7）第46页第13题改编的。
8.解：设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有
38X+90Y+（X+Y-1）=1000
39X+91Y=1001
要使损耗最少 ，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y
尽可能大。由于X、Y都必 须是自然数，因而不难推知：X=7，Y=8。即38毫米的铜管锯7
段，90毫米的铜管锯8段时，损 耗最少。
说明：选手们读题之后，可以马上想到：要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，
但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米”两个条件，
这样算起来就不那么简单了。这种题目，借助等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程
时可别忘掉 那损耗的1毫米，而且损耗了几个“1毫米”也不能算错，应该是“总段数-1”。
列出方程式之后 ，还有两点应当讲究：（1）变形要合理；（2）要选用简便算法。如上面解法
中，把1001写成7× 11×13，39写成3×13，91写成7×13，使分子部分和分母部分可以约
分，对于迅速推知最 后结果是大有帮助的。
本题是《数学之友》（7）第51页练习六中的原题。
9. 【解】：设10人的平均分为a分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程：
[ 10a-6×（a-20）]÷4=150 解得：a=120。
10. 【解】：设甲、丙数目各为a，那么乙、丁数目为（6400-2a）2，所以列方程
4a+3×（6400-2a）2+2a+1．4×（6400-2a）2=16000 解得：a=1200。