小学奥数-页码问题

玛丽莲梦兔
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2020年08月02日 13:05
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我和动物交朋友-许愿池


奥数:页码问题(数论问题)
页码问题与图书的页码有密切联系.事实上,页码问题就 是根据书的页码而编制出来的
一类应用题.编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?反过来,知道编一 本书的页码所需
的数码数量,求这本书的页数.这是页码问题中的两个基本内容。
页码问题是 现在的奥数竞赛以及公务员考试中常见的、经常考试的知识点。页码问题实
际上是数论的问题。
为了顺利地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系.一位
数共有9个 ,组成所有的一位数需要9个数码;两位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90
=180(个) 数码;三位数共有900个,组成所有的三位数需要3×900=2700(个)数码。
为了清楚起见 ,我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大
于n位的数需要的数码个数之间 的关系列表如下:

由上表可以看出,如果一本书不足100页,那么排这本书的页码所需的 数码个数不会超
过189个;如果某本书排的页码用了10000个数码,因为 2889<10000<38889,所以这
本书肯定是上千页。

例1 一本书共204页,需多少个数码编页码?
分析与解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码
1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码
2×90=180(个);
100~204页每页上的页码是三位数,共需数码
(204-100+1)×3=105×3=315(个).
综上所述,这本书共需数码
9+180+315=504(个).

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例2 一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码.问:这本书共有多少页?
分析:因为189<22 11<2889,所以这本书有几百页.由前面的分析知道,这本书在排
三位数的页码时用了数码(22 11-189)个,所以三位数的页数有 (2211-189)÷3=674(页).
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有:99+674=773(页).
解:99+(2211-189)÷3=773(页).
答:这本书共有773页.

例3 一本书的页码从1至62,即共有62页.在把这本书的各页的页码累加起来时,有
一个页码被错误地多加了一次.结果,得到的和数为2000.问:这个被多加了一次的页码是
几?
分析与解:因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1+2+…+61+62
=62×(62+1)÷2
=31×63
=1953.
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去195 3就是多加了一次
的那个页码,是
2000-1953=47.

例4 有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131.老师说小
明计算错了,你知 道为什么吗?
分析与解:48页书的所有页码数之和为
1+2+…+48
=48×(48+1)÷2
=1176.

按照小明的计算,中间缺的这 一张上的两个页码之和为1176-1131=45.这两个页码应
该是22页和23页.但是按照印刷 的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数
页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是 奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数
大.小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的.


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例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1112…问:左起
第2000位上的数字是多少?
分析与解:本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000-189)÷3=603……2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题 的第2000
位数是0.

例6 排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
分析与解:将1~400分为四组:
1~100,101~200,201~300,301~400.
在1~100中共出现1 1次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次
0.所以共需要数码“0”

典型例题:
例1、131995 化成小数后是一个无限小数,问在这个无限小数 的小数点后面,从第一位
到1995位,在这1995个数中,数字6共出现了多少次?
解答 :这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节,然后再统计
每个周期的数字总数和 每个周期中6的个数。
131995=0.8170426……,循环节是170426共18位,
每个循环节数字6出现4次,(1995-1)÷18=110……14,前14位6出现3次,
所以一共有110×4+3=443个。

例2、有一本96页的书,中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶
数吗?
解:假设可能得到偶数,那么计算如下:
如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是:1+...+96=4656。
由于书中 的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是
奇数。那么:
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述:不可能得到偶数。



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例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1112…问:左起
第1000位上的数字是 多少?
解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);
因为(1000-189)÷3=270……1,所以1000个数码排到第:
99+270+1=370(个)数的第1个数码“3”.
所以本题的第1000位数是3。

例4、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。如果第一页为
图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。如
果第一页为 文字,那么第二、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,
依此类推。试问:
(1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?
(2)假如这本书有99页,那么多少页有图画?
解:(1)将每4页看作是一组,每一组中有3页是图画:96÷4=24
24×3=72(页)
这本书有72页是图画。
(2)99÷4=24…3
24×3+3=75(页)
这本书有75页是图画。

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奥数:页码问题(数论问题)
页码问题与图书的页码有密切联系.事实上,页 码问题就是根据书的页码而编制出来的
一类应用题.编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?反过来, 知道编一本书的页码所需
的数码数量,求这本书的页数.这是页码问题中的两个基本内容。
页 码问题是现在的奥数竞赛以及公务员考试中常见的、经常考试的知识点。页码问题实
际上是数论的问题。
为了顺利地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系.一位
数共 有9个,组成所有的一位数需要9个数码;两位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90
=180 (个)数码;三位数共有900个,组成所有的三位数需要3×900=2700(个)数码。
为了清 楚起见,我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大
于n位的数需要的数码个 数之间的关系列表如下:

由上表可以看出,如果一本书不足100页,那么排这本书的页码 所需的数码个数不会超
过189个;如果某本书排的页码用了10000个数码,因为 2889<10000<38889,所以这
本书肯定是上千页。

例1 一本书共204页,需多少个数码编页码?
分析与解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码
1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码
2×90=180(个);
100~204页每页上的页码是三位数,共需数码
(204-100+1)×3=105×3=315(个).
综上所述,这本书共需数码
9+180+315=504(个).

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例2 一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码.问:这本书共有多少页?
分析:因为189<22 11<2889,所以这本书有几百页.由前面的分析知道,这本书在排
三位数的页码时用了数码(22 11-189)个,所以三位数的页数有 (2211-189)÷3=674(页).
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有:99+674=773(页).
解:99+(2211-189)÷3=773(页).
答:这本书共有773页.

例3 一本书的页码从1至62,即共有62页.在把这本书的各页的页码累加起来时,有
一个页码被错误地多加了一次.结果,得到的和数为2000.问:这个被多加了一次的页码是
几?
分析与解:因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1+2+…+61+62
=62×(62+1)÷2
=31×63
=1953.
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去195 3就是多加了一次
的那个页码,是
2000-1953=47.

例4 有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131.老师说小
明计算错了,你知 道为什么吗?
分析与解:48页书的所有页码数之和为
1+2+…+48
=48×(48+1)÷2
=1176.

按照小明的计算,中间缺的这 一张上的两个页码之和为1176-1131=45.这两个页码应
该是22页和23页.但是按照印刷 的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数
页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是 奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数
大.小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的.


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例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1112…问:左起
第2000位上的数字是多少?
分析与解:本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000-189)÷3=603……2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题 的第2000
位数是0.

例6 排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
分析与解:将1~400分为四组:
1~100,101~200,201~300,301~400.
在1~100中共出现1 1次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次
0.所以共需要数码“0”

典型例题:
例1、131995 化成小数后是一个无限小数,问在这个无限小数 的小数点后面,从第一位
到1995位,在这1995个数中,数字6共出现了多少次?
解答 :这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节,然后再统计
每个周期的数字总数和 每个周期中6的个数。
131995=0.8170426……,循环节是170426共18位,
每个循环节数字6出现4次,(1995-1)÷18=110……14,前14位6出现3次,
所以一共有110×4+3=443个。

例2、有一本96页的书,中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶
数吗?
解:假设可能得到偶数,那么计算如下:
如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是:1+...+96=4656。
由于书中 的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是
奇数。那么:
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述:不可能得到偶数。



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例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1112…问:左起
第1000位上的数字是 多少?
解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);
因为(1000-189)÷3=270……1,所以1000个数码排到第:
99+270+1=370(个)数的第1个数码“3”.
所以本题的第1000位数是3。

例4、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。如果第一页为
图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。如
果第一页为 文字,那么第二、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,
依此类推。试问:
(1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?
(2)假如这本书有99页,那么多少页有图画?
解:(1)将每4页看作是一组,每一组中有3页是图画:96÷4=24
24×3=72(页)
这本书有72页是图画。
(2)99÷4=24…3
24×3+3=75(页)
这本书有75页是图画。

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