小学奥数——三角形的等积变形(附答案)
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小学奥数 三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公
式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，
高越大（小），三
角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积
也就越大（小）．这说明
；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，
当三角形的底和高同时发生变
化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的
乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数
多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的
各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两
个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个
三角形的几倍，那
么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
，它们所对的顶
点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如
在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底
BC平
行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．
例如右图中，
△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D
是AB中点
，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1
用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法2
：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC
等积．然
后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△
DCE、△ADE等积．
例2
用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法
1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、
△
ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3
如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面
积相
等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，
把顶点A移到CB的
延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边
形ABCD面积也相
等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是
依据三角形等积
变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3A
E，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面
积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例6
如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴
S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7
如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面
积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；
又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴
S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE
，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1
所以S△
CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结A
C之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1
，求△BEF
的面积．
解：连结AC，∵ABCD，∴S△ADE=S△ACE
又∵ADBC，∴S△ACF=S△ABF
而
S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴
S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
小学奥数
三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如
果三角形的底不变，
高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小）
，三角形面积
也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化
．但是，
当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
<
br>角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的
各种形
状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个
点或在与底平行的直线上，这两
个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，
其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那
么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几
倍．
，它们所对的顶
点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如
在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底
BC平
行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．
例如右图中，
△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D
是AB中点
，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1
用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法2
：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC
等积．然
后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△
DCE、△ADE等积．
例2
用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法
1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、
△
ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3
如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面
积相
等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，
把顶点A移到CB的
延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边
形ABCD面积也相
等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是
依据三角形等积
变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3A
E，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面
积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例6
如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴
S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7
如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面
积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；
又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴
S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE
，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1
所以S△
CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结A
C之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1
，求△BEF
的面积．
解：连结AC，∵ABCD，∴S△ADE=S△ACE
又∵ADBC，∴S△ACF=S△ABF
而
S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴
S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．