朴茨茅斯大学-鄞州高级中学

5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标

1. 学习完全平方数的性质；
2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
3. 掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数< br>p
整除完全平方数
a
2
，则
p
能被
a
整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数< br>N
为完全平方数

自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方 数的质因数分解
中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自然数，
N
是完全平
方数，且
p
2n1
|N
，则
p
2n
|N
．
性质4：完全平方数的个位是6

它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全 平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完
全平方数的个位是5，则其十位一 定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余 1.即被4除余2或3
的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自 然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09， 29，
49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字 不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的
自然数不是完全平方数；个位数字为1，4 ，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)

例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：21×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?


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【例 2】
21(1234567654321)
是 的平
方．








【例 3】 已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得 到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。








【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最
小的正整数．







【例 5】
A
是 由2002个“4”组成的多位数，即
444
142
L
43
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？
2002个4
如果是， 写出
B
；如果不是，请说明理由．






L
3
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？【巩固】
A
是由2008个“4”组成的多位数，即
44
12< br>2008个4
如果是，写出
B
；如果不是，请说明理由．
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【例 6】 计算
111
12
L
3
1
－
2 22
142
L
43
2
=
A
×
A
， 求
A
．
2004个11002个2









2
【例 7】 ①
444142
L
43
4888
142
L
43
89A
，求
A
为多少?
2004个4
2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？





模块二、平方数特征
（1） 平方数的尾数特征
【例 8】 下面是一个算式：< br>112123123412345123456
，< br>这个算式的得数能否是某个数的平方？







【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方
和等于49的四位数共有________个．









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【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个 三位完全平方数，
一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．







【例 11】 称能表示 成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角
数，又是完全平方数，N = 。








（2） 奇数个约数——指数是偶数
【例 12】 在
224
，
339
，
4416
，
5525
，
6636
，……等这些算是中，4，
9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么， 不超过2007的最大的完全平方数
是_________。







【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．








【例 14】 1016与正整数
a
的乘积是一个完 全平方数，则
a
的最小值是________．







【巩固】 已知
3528a
恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是 。


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【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？



【例 16】 已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。








【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个
数中最小数的最小值为 ．








【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以
5后是5次方数．









【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为
“ 美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？









【例 20】 考虑下列32个数：
1 !
，
2!
，
3!
，……，
32!
，请你去掉其中的 一个数，使得其余
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各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ．








【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？






1
1
【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的是一个立方 数，它的是一个平方数，则这个
2
3
数最小是 ．






（3） 平方数的整除特性
【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为
“美妙数”。问所 有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？








【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。







【例 25】 记
S(123Ln) (4k3)
，这里
n3
．当
k
在1至100之间取正整数值时，
有 个不同的
k
，使得
S
是一个正整数的平方．



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【例 26】 能够找到这样的 四个正整数，使得它们中任意两个数的积与
2002
的和都是完全平
方数吗？若能够， 请举出一例；若不能够，请说明理由．








【例 27】
135L1991
的末三位数是多少？








【例 28】 求所有的质数
P
，使得
4p
2
1
与
6p
2
1
也是质数．








【例 29】 古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得 的钱数正好等
于牛的头数。他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了
一 只小羊。他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那
只小羊。为了公平，第一个 人应补给第二个人____文钱。
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5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标

1. 学习完全平方数的性质；
2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
3. 掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数< br>p
整除完全平方数
a
2
，则
p
能被
a
整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数< br>N
为完全平方数

自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方 数的质因数分解
中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自然数，
N
是完全平
方数，且
p
2n1
|N
，则
p
2n
|N
．
性质4：完全平方数的个位是6

它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全 平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完
全平方数的个位是5，则其十位一 定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余 1.即被4除余2或3
的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自 然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09， 29，
49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字 不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的
自然数不是完全平方数；个位数字为1，4 ，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(ab)(ab)

例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：21×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?


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【例 2】
21(1234567654321)
是 的平
方．








【例 3】 已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得 到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。








【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最
小的正整数．







【例 5】
A
是 由2002个“4”组成的多位数，即
444
142
L
43
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？
2002个4
如果是， 写出
B
；如果不是，请说明理由．






L
3
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？【巩固】
A
是由2008个“4”组成的多位数，即
44
12< br>2008个4
如果是，写出
B
；如果不是，请说明理由．
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【例 6】 计算
111
12
L
3
1
－
2 22
142
L
43
2
=
A
×
A
， 求
A
．
2004个11002个2









2
【例 7】 ①
444142
L
43
4888
142
L
43
89A
，求
A
为多少?
2004个4
2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？





模块二、平方数特征
（1） 平方数的尾数特征
【例 8】 下面是一个算式：< br>112123123412345123456
，< br>这个算式的得数能否是某个数的平方？







【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方
和等于49的四位数共有________个．









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【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个 三位完全平方数，
一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．







【例 11】 称能表示 成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角
数，又是完全平方数，N = 。








（2） 奇数个约数——指数是偶数
【例 12】 在
224
，
339
，
4416
，
5525
，
6636
，……等这些算是中，4，
9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么， 不超过2007的最大的完全平方数
是_________。







【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．








【例 14】 1016与正整数
a
的乘积是一个完 全平方数，则
a
的最小值是________．







【巩固】 已知
3528a
恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是 。


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【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？



【例 16】 已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是 。








【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个
数中最小数的最小值为 ．








【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以
5后是5次方数．









【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为
“ 美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？









【例 20】 考虑下列32个数：
1 !
，
2!
，
3!
，……，
32!
，请你去掉其中的 一个数，使得其余
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各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ．








【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？






1
1
【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的是一个立方 数，它的是一个平方数，则这个
2
3
数最小是 ．






（3） 平方数的整除特性
【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为
“美妙数”。问所 有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？








【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。







【例 25】 记
S(123Ln) (4k3)
，这里
n3
．当
k
在1至100之间取正整数值时，
有 个不同的
k
，使得
S
是一个正整数的平方．



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【例 26】 能够找到这样的 四个正整数，使得它们中任意两个数的积与
2002
的和都是完全平
方数吗？若能够， 请举出一例；若不能够，请说明理由．








【例 27】
135L1991
的末三位数是多少？








【例 28】 求所有的质数
P
，使得
4p
2
1
与
6p
2
1
也是质数．








【例 29】 古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得 的钱数正好等
于牛的头数。他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了
一 只小羊。他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那
只小羊。为了公平，第一个 人应补给第二个人____文钱。
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