大年初七-四则运算教案

小学奥数举一反三A版

第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设
来改变题目的条件，然后再和已知条件配合
推算。 有些题目用假设法思考，能找到巧妙
的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设
某个量的分率与另一个量的分率一样，再根
据乘 法分配律求出这个分率对应的和，最后
依据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14
与乙数的15的和是42，求两数各是多少？ 【思路导航】假设将题中“甲数的
14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩
大4倍， 则变成了“甲数与乙数的45的和
为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15
×4）＝85
答：甲数是100，乙数是85。
练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12
与乙的110的钱数和是35元 ，求甲、乙两
人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽
调甲队人数 的17，乙队人数的13，共抽
调78人，甲、乙两个消防队原来各有多少
人？
3． 海洋化肥厂计划第二季度生产一批
化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，
五月份完成总数 的25少70吨，还有420
吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如
果彩色电视机卖出19，则比黑白电视机多
5台。问： 两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】从图中可以看出：假设黑
白电视机增加5台，就和 彩色电视机卖出
19后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电
视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台）
250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视
机原有115台。
练习2：
1． 姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉
17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了
多少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借
出13后，比足球少1个，原来篮球和足球
各 有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如
果将鸡卖掉120，还比鸭多17只，小 明家
原来养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件
105个， 已知师傅加工零件个数的38与徒
弟加工零件个数的47的和为49个，师、
徒各加工零件多少 个？
【思路导航】假设师、徒两人都完成了
47，一个能完成（105×47）＝60个，和
实际相差（60－49）＝11个，这11个就是
师傅完成将零件的38与完成加工零件的47相差的个数。这样就可以求出师傅加工
- 1 -

姓名：__________________
了【11÷（47－38）】＝56个。即：
师傅：（105×47－49）÷（47－38）
＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个）
答：师傅加工了56个，徒弟加工了49
个。
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机
共136台，卖出彩色电视机的25 和黑白电
视机的37，共卖出57台。问：原来彩色
电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个消防队共有336人，抽
调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽
调188 人参加灭火。问：甲、乙两个消防队
原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从 中
借出排球个数的14和足球个数的13后，
还剩下46个，买来排球和足球各是多少
个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲
数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25
的和就是甲、乙两数的25，是300 ×25
＝120，因为甲数的25比乙数的14多55，
所以从120中减去55所得的差就可 以看成
是乙数的14与乙数的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝
100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4：
1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山
羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧
- 2 -
场有山羊、绵羊各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师
傅加工零件的个 数的58比徒弟加工零件
个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零
件多少个？
3． 某校六年级甲、乙两个班共种100
棵树，乙班种的110比甲班种的13少16
棵，两个班各 种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生
750人，本学期男学生增加16，女学生减
少15，共有710人，本学期男、女学生各
有多少人？
【思路导航】假设本学期女 学生不是减
少15，而是增加16，半学期应该有750
×（1+16）＝875人，比实际多 875－710
＝165人，这165人是假设女学生也增加16
多出的人数，而实际女学生减 少15，所以，
这165人对应着女学生的（15+16）＝
1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】
÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360
（人）
本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有
360人。
练习5：
1．金放在 水里称，重量减轻119，银
放在水里称，重量减少110，一块重770
克的金银合金，放在 水里称是720克，这块
合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年< br>共招新生640人，其中初中招的新生比去年
增加48％，高中招的新生比去年增加20％，

今年初、高中各招收新生多少人？
3．袋子里原有红球和黄球共119个。
将红球 增加38，黄球减少25后，红球与
黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球
和黄球各多少 个？
第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几，又知 甲与乙各
改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，
要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称
为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两
数同减、一增一减等各种情况。 虽然其中的
数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确
定哪个量为单位“1”，然后通过假设， 找出
变化前后的相差数相当于单位“1”的几分
之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝，第一根长度是第
二根 的3倍，两根各用去6米，第一根剩下
的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根
原来有多少米 ？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝
18米，那么第一根剩下的长度仍是第二根
剩下长度的3倍，而事实上第一根比假设的
少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第
二根 剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓
书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书
多少 本？
2．在植树劳动中，光明中学植树的棵
数是光明小学的3倍，如果中学增加450
棵，小学增加400棵，则中学是小学的2
倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3．两堆煤 ，第一堆是第二堆的2倍，
第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一
堆剩下的重量是第二堆的 4倍。求第二堆煤
原来是多少吨？
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱
比陈刚的3 倍多6.40元，若两个人各买了
一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈
刚的8倍，陈刚 原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比
陈刚的3倍多6.40元，则王 明要相应地花
去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了
4.40元，比13.20元 少13.20－4.40＝8.80
元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱
的3倍多6.4 0+8.80＝15.20元，而题中已
告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，
15.2 0元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－
3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）
+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍 多
50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，
则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙< br>两个书架原来各有多少本书？
2．上学年，马村中学的学生比牛庄小
学的学生的2倍多 54人，本学年马村中学
增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马
村中学的学生比牛庄小学的 学生的4倍少
- 3 -

姓名：__________________
26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学
生多少人？
3．箱子里有红、白两种玻璃 球，红球
比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7
粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩
下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白
球原有多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝 数是小刚的
12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是
小刚的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小
红的彩笔仍为小刚的12，则小红只需买（5
× 12）＝2又12枝，但实际上小红买了5
枝，多买了5－2又12＝2又12 枝。将
小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买
了2又12 ，相当于（23－12）＝16。
小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）
－5＝10（枝）
小红原来：10×12＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来
有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今 年的年龄是爸爸年龄的16，
四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和
爸爸今年的年龄各是多 少岁？
2．小红今年的年龄是妈妈的38，10
年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多< br>少岁？
3．甲书架上的书是乙书架上的57，
甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书 架
上的书是乙书架上的45，甲、乙两各书架
原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫
的45，两人各捐给“希望工程”10本后，
- 4 -
则王芳的图书的本数是李卫的710，两人
原来各有图书多少本？
【思路导航】假设 李卫捐了10本后，
王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐
10×45＝8本，实际王芳捐 了10本，多捐
了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书
看作“1”，着2本书相当于45 －710＝
110。
（10－10×45）÷(45－710)=30(本)
30×45＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图
书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，
从这两个书架上各借出112本后， 甲书架上
的书是乙书架上的47，原来甲、乙两个书
架上各有多少本书？
2．小明今 年的年龄是爸爸的611，10
年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸
今年各多少岁？ < br>3．甲车间的工人是乙车间的14，从
甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的
工人只 占乙车间的16，甲、乙两个车间原
来各有多少名工人？
【例题5】某校六年级男生人数是女 生
的23，后来转进2名男生，转走3名女生，
这时男生人数是女生的34，现在男、女生各有多少人？
【思路导航】假设转走3名女生后，男
生人数仍是女生的23，则男生应转 走3×
23＝2人，实际上男生却转进2人，与应
转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生
后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当
于现在女生的34－23。

（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）
48×34＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5：
1．甲车间的工人是乙车间的2 5，后
来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这
样甲车间的人数是乙车间的79，现在甲、
乙两个车间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的23，
现在取走12粒黑子 ，添上18粒白子后，黑
子是白子的512，现在白子、黑子各有多
少粒？
3．爱华 小学和曙光小学的同学参加小
学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一
等奖的人数是曙光小学 的2.5倍。今年的比
赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1
人，曙光小学增加了6人，这时 曙光小学得
一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年
的一等奖的同学各有多少人？
第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比
较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的
结果 出发，运用加与减、乘与除之间的互逆
关系，从后到前一步一步地推算，这种思考
问题的方法叫 倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看
了全书的13，第二 天看了余下的35，还
剩下48页，这本书共有多少页？
【思路导航】从“剩下48页”入手 倒
着往前推，它占余下的1－35＝25。第一
天看后还剩下48÷25＝120页，这120 页
占全书的1－13＝23，这本书共有120÷
23＝180页。即
48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中37
的人打扫礼堂，剩下队员中的58打 扫操
场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少
名少先队员？
２．一辆汽车从甲地出 发，第一天走了
全程的38，第二天走了余下的23，第三
天走了250千米到达乙地。甲、乙 两地间的
路程是多少千米？
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了
其中的16，乙拿 走了余下的25，丙拿走
这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，
这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修
了全长的15又100米，第二天修了余下的
2 7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒
着往前 推，它占余下的1－27＝57，第一
天修后还剩500÷57＝700米，如果第一天
正好修 全长的15，还余下700+100＝800
米，这800米占全长的1－15＝45，这段
路 全长800÷45＝1000米。列式为：
【500÷（1－27）+100】÷（1－15）
＝1000米
答：这段公路全长1000米。
练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的< br>比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还
没有运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这
- 5 -

姓名：__________________
块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的
1 2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共
有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了12多1
吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下
16吨，原来这批水泥有多少吨？
【例题 3】有甲、乙两桶油，从甲桶中
倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15
给甲桶，这时两桶油各 有24千克，原来甲、
乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，< br>甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙
桶没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24
÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有
48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了
乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）
＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千
克。
甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1
－13）＝27（千克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油
21千克。
练习3：
１．小华拿出 自己的画片的15给小
强，小强再从自己现有的画片中拿出14
给小华，这时两人各有画片12 张，原来两
人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲
拿出15给乙 后，乙又拿出14给甲，这时
他们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一瓶酒精，第一次 倒出13，然后
倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的
59，第三次倒出180克，瓶中好 剩下60
- 6 -
克，原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币
168元，第一 次甲拿出与乙相同的钱数给
乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第
三次丙拿出与这时甲相同 的钱数给甲。这
样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比
乙多多少元钱？
【思路导 航】根据题意，由最后甲钱数
是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与
乙同样的钱数给乙 后，甲剩下的钱是56÷2
＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、 乙、丙三个班共有学生144
人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙
班，再从乙班调出与丙班 相同的人数到丙
班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给
甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数 相等。
原来甲班比乙班多多少人？
２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小
球，从甲盒 拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿
出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数
相等。原来乙盒比丙 盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比
是6：9：5，如果从乙仓库拿出400 袋平均
分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数
量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？ 【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若
干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从
乙仓库运 出14到甲仓库，这时甲、乙两仓
库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙
仓库的几分之几？
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮

食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运
出14到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的
12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库
占两仓库和的几分之几？
12÷（1－14）＝23
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－23＝13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之
几？
13÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝45
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的
45。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各 有粮食若干吨，
从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库
运出13到甲仓库，这时甲、乙两仓 库的粮
食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的
几分之几？
２．甲、乙两个仓库各 有粮食若干吨，
从甲仓库运出15到乙仓库后，又从乙仓库
运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓 库的粮
食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的
几分之几？
３．甲、乙两个仓库各 有粮食若干吨，
从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库
运出25到甲仓库，这时乙仓库的粮 食是甲
仓库的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？
第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用
题，用算术方法解答 比较繁、难，甚至无法
列式算式，这时我们可根据题中的等量关系
列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，
生产的甲种零件比乙种零件多 12个，乙种
零件全部合格，甲种零件只有45合格，两
种零件合格的共有42个，两种零件个 生产
了多少个？
【思路导航】本体用算术方法解有一定
难度，可以根据两种零件合格 的一共有42
个，列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种
零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
45x+9+x＝42
95x＝42－9又35
x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件
生产了18个。
练习1：
1．某校 参加数学竞赛的女生比男生多
28人，男生全部得优，女生的34得优，
男、女生得优的一共有 42人，男、女生参
赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15
个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25
是红球，已知红球一共有69个，两盒球共
有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人 ，甲班有
13的人、乙班有14的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲 、
乙两班共有多少人？
- 7 -

姓名：__________________
【例题2】阅览室看书的学生中，男生
比女生 多10人，后来男生减少14，女生
减少16，剩下的男、女生人数相等，原来
一共有多少名学 生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相
等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）
人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看
书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学
比参加航模小组的同学多5人。今年 参加无
线电小组的同学减少15，参加航模小组的
人数减少110，这样，两个组的同学一样< br>多。去年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图书900
本，将甲书 架上的书增加58，乙书架上的
书增加310，这样，两个书架上的书就一
样多。原来甲、乙两 个书架各有图书多少
本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种
零件多700个。今 天生产的甲种零件比昨天
少110，生产的乙种零件比昨天增加320，
两种零件共生产了20 65个。昨天两种零件
共生产了多少个？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加
竞赛 ，甲校参加人数的15比乙校参加人数
的14少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲
×15＝乙×14－1
- 8 -
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22
－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参
加。
练习3：
1．学校图书馆买 来文艺书和连环画共
126本，文艺书的比连环画的少7本，图书
馆买来的文艺书和连环画各是 多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比
男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅和李师傅共加工零件62个，
王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，
两 人各加工了多少个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的
56，两个书架上各借出154本 后，甲书架
上的书是乙书架上的47，甲、乙两书架上
原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲
书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上
原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252
252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原
有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4
年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多
少岁 ？
2．某校六年级男生是女生人数的23，

后来转进2名男生，转走3名女生，这时男
生人数是女生的34。原来男、女生各有多
少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间
人数的910，第一车间比第二车间多50人。
两个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的
23多4人，如果男生减 少3人，女生增加
4人，男、女生人数正好相等。这个班男、
女生各有多少人？
【思 路导航】抓住“如果男生减少3
人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”
这个等量关系列方 程。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）
人。
x－3＝23x+4+4
x＝33
23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26
人。
练习5：
1．某学校的男教师 比女教师的38多
8人。如果女教师减少4人，男教师增加8
人，男、女教师人数正好相等。这 个学校男、
女教师各有多少人？


2．某无线电厂有两个仓库。第一仓库 储存
的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓
库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的49。两个仓库原来各有电
视机多少台？



3．某工厂第一车间的人数比第二车间
的人数的45少30人。如果从第二车间调
10人到第 一车间，则第一车间的人数就是
第二车间的34。求原来每个车间的人数。




第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比 的知识，都知道比和分
数、除法其实是一回事，所有比与分数能互
相转化。运用这种方法解决一 些实际问题可
以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是
丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：
（ ）：（ ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的
58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的
49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2
又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【例题2】光明小学将五年级的140名
学生，分成三个小组进行植树活动，已知第
- 9 -

姓名：__________________
一小组和第二小组人数的比是2：3，第二
小 组和第三小组人数的比是4：5。这三个
小组各有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连
比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3

【例题3】甲、乙两校原有 图书本数的
比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、
乙两校图书本数的比就是3：4。原来 甲校
有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本
二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×835＝32（人）
④第二组：140×1235＝48（人）
⑤第三组：140×1535＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48
人，第三小组有60人。
练习2：
1．某农场把61600公亩耕地划归为粮
田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与
其他作 物面积的比6：1。每种作物各是多
少公亩？


2．黄山小学六年级的同 学分三组参加
植树。第一组与第二组的人数的比是5：4，
第二组与第三组人数的比是3：2。 已知第
一组的人数比二、三组人数的总和少15人。
六年级参加植树的共有多少人？


3．科技组与作文组人数的比是9：10，
作文组与数学组人数的比是5：7。已知 数
学组与科技组共有69人。数学组比作文组
多多少人？


- 10 -
数的比是7：5可知 ，原来甲校图书的本数
是两校图书总数的7（7+5），由于甲校给
了乙校650本，这时甲校 的图书占两校图书
总数的3（3+4），甲校给乙校的650本图
书，相当于两校图书总数的7 （7+5）－3
（3+4）＝1384。
650÷（7（7+5）－3（3+4））×7
（7+5）＝2450（本）
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页
数比是1：5。如果再读30页，则已读和未
读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？


2．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从
甲包取出130克放入乙包后， 甲、乙两包糖
的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？


3．五年级三 个班举行数学竞赛。一班
参加比赛的占全年级参赛总人数的13，二
班与三班参加比赛人数的比 是11：13，二
班比三班少8人。一班有多少人参加了数学
竞赛？
【例题4】从前 有个农民，临死前留下
遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大
儿子分得12，二儿子分得1 3，小儿子分

得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子
按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻
居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底
是怎么回事吗？
【思路导航】因为12+13+1 9＝
1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全
部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头 数
的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：12：
13：19＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×
917＝9（头）17×617＝6（头）17×217
＝2（头）
答：大儿子分得9头，二儿子分得6
头，小儿子分得2头。
练习4：
1．图书室取出一批书，按照一年级得
12，二年级得13，三年级得17 ，正好是
41本，各年级各得多少本？


2．古罗马富豪约翰逊再临终前 ，对怀
孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是
个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲< br>拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产
的三分之一给女儿，三分之二给母亲。结果
他 的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没
有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产
分给三个继 承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例
来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：
（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，
儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
3．甲、乙、丙三人共做零件900个。
甲做总数的30％，乙比丙多 做13。三人各
做多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶
液。一个瓶中酒精 与水的体积之比是3：1，
另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。
若把两瓶酒精溶液混合， 混合液中酒精与水
的体积之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关
系，分别 求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的
几分之几再解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
3（1+3）＝ 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
4（1+4）＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的
比 34+45 ＝ 3120
④ 水占一个瓶子容积的比 2－
3120 ＝ 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120：
920＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合金中铜
与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的
比是 1：3。现将两块合金合成一块，求出
锌合金中铜与锌的比。


2．将一 条公路平均分给甲、乙两个工
程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，
乙队已修的与剩下的 比是5：2。这条公路
- 11 -

姓名：__________________
已修了全长的几分之几？

第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式， 也
是解数学题的一种重要工具，有了它，我们
处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活
得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是
应用题。
二、精讲精练
【例题1】甲 、乙两个学生放学回家，
甲要比乙多走15的路，而乙走的时间比甲
少111，求甲、乙两人速 度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，
所以，甲、乙速度的比＝甲路程甲时间：
乙路程乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+15）：1＝6：
5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－111）
＝11：10
（3）甲、乙速度的比：611：510=12：
11
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走 的
路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多
18。求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多13，乙用的时
间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3．一个 人步行每小时走5千米，如果
骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个
人骑自行车的速度和步 行速度的比是多
少？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，
乙需5分钟，丙需4. 5分钟。现在有1590
- 12 -
个零件的制造任务分配给他们三个人，要求
在相同的时间内完成，每人应该分配到多少
个零件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然
后根据同一时间内，工作总量的比等于工作< br>效率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 16：15：
11.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×1553＝450（个）
乙 ：1590×1853＝540（个）
丙 ：1590×2053＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是
450个、540个、600个。
练习2： < br>1．加工一个零件，甲需3分钟，乙需
3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零
件 需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同
样的时间完成任务，那么各应加工多少个？
2．甲、 乙、丙三人在同一时间里共制
造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，
比乙制造一个零件所 用的时间多25％，丙
制造一个零件所用的时间比甲少25。甲、
乙、丙各制造了多少个零件？
3．加工某种零件要三道工序，专做第
一、二、三道工序的工人每小时分别能完成
零件 48个，32个，28个，现有118名工人，
要使每天三道工序完成的零件个数相同，每
道工 序应安排多少工人？
【例题3】两个服装厂一个月内生产服
装的数量是6：5，两厂西服价格 的比是11：
10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。
两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量，

所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：
（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）
＝66：50
甲厂产值为：6960×66（66+50）＝3960
（元）
乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000
（元）
答：两厂的产值分别是3960万元和
3000万元。
练习3：
1．甲、 乙两个长方形长的比是4：5，
宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。
求甲、乙两个长 方形的面积分别是多少平方
厘米？
2．苹果和梨的单价的比是6：5，王大
妈买的苹 果和梨的重量的比是2：3，共花
去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少
元？
3． 大、小两种苹果，其单价比是5：4，
重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100
千克的混 合苹果，单价为每千克4.40元。
大、小两种苹果原来每千克各是多少元？
【例题4】A、 B两种商品的价格比是7：
3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的
价格比就是7：4，这 两种商品原来的价格
各是多少元？
【思路导航】
解法一：因为A、B两种商品涨价 的数
值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。
由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比
＝7：4＝28：16
【这样前后项的差都是12，价格涨了
（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元 A：10×
21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选
两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的几个是价格差的几
倍 7÷（7－3）＝74
（2）后来A商品的价格是价格差的几
倍 7÷（7－4）＝73
（3）A、B两种商品的价格差是
70÷（73－74）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元）
（5） 原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是
210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的
比是4：3。甲 队给乙队54吨水泥后，甲、
乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有
水泥多少吨？

2．甲书架上的书是乙书架上的47，
两书架上各增加154本后，甲书架上的书是
乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少
本书？

3．兄弟两人，每年收 入的比是4：3，
每年支出的比是18：13。从年初到年底，
他们都结余720元。他们每年 的收入各是多
- 13 -

姓名：__________________
少元？
【例题5】如图是甲、乙、丙三地的 线
路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地
的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的
速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时
10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他
比王刚 早1小时到达丙地。甲、乙两地相距
多少千米？
【思路导航】
解法一：根据路程的 比和速度的比求出
时间的比，从而求出王刚和李华所用的时
间，再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 14：210
＝5：4
王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5
（小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝20（千
米）
甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝
60（千米）
解法二：如果李华每小 时行4×2＝8
千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每
小时多行10－8＝2千米。在王刚 从甲地到
丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行
了10×1＝10千米。据此，可求出王刚 从甲
地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷
（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60
（千米）
解法三：如果王刚每小时行1 0÷3＝5
千米，就能和李华同时到达。由此可见，王
刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千 米
的速度和每小时5千米的速度相比，所用的
- 14 -
时间相差1小时。再根据1千米的路程，两
种速度所用的时间相差 14－15＝ 120
小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（14－1（10
÷÷2）＝20（千米）
甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千
米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5：
1．一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往
返一次共用去4小时（停车时间不算 在内）。
汽车去时每小时行45千米，返回时每小时
行30千米。甲、乙两地相距多少千米？


2．甲做3000个零件比乙做2400个零
件多用1小时，甲、乙工作 效率的比是6：
5。甲、乙每小时各做多少个？


3．下图是甲、乙、丙 三地的路线图。
已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路
程的比是2：3。一辆货车以每小时4 0千米
的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每
小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车< br>比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的
路程？

第16讲 用“组合法”解工程问
题
一、知识要点
在解答工程问题时， 如果对题目提供的
条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明
确的解题途径，若用“组合法”把 具有相依
关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一
个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立
刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲、乙两 队合作
15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，
只能完成工程的730，乙队单独完成全部< br>工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工
作效率和是115，只要求出甲 队货乙队的
工作效率，则问题可解，然而这正是本题的
难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙 队
独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，
甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2
天的工作量730－115×3＝130，从而求
出甲队的工作效率。所以
1÷【115－（730－115×3）÷（5
－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1：
1．师、徒二人合做一批零件， 12天可
以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒
弟接着做1天，共完成任务的320。如果
这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？


2．某项工程，甲、乙合做 1天完成全
部工程的524。如果这项工程由甲队独做2
天，再由乙队独做3天，能完成全部工 程的
13124。甲、乙两队单独完成这项工程各需
多少天？


3．甲、乙两队合做，20天可完成一项
工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做
12天，还剩 这项工程的815。甲、乙两队
独做各需几天完成？
【例题2】一项工程，甲队独做12天< br>可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2
天，则能完成这项工程的12。现在甲、乙
两 队合做若干天后，再由乙队单独做。做完
后发现两段所用时间相等。求两段一共用了
几天？ < br>【思路导航】此题很容易先求乙队的工
作效率是：（12－112×3）÷2＝18；再
由条件“做完后发现两段所用时间相等”的
题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做
需若干天 完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的（12
－112×3）÷2＝18
（2）两段时间一共是1÷（18×
2+112）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
练习2：
1．一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工
程的815。现由甲、乙两队合做若干天后，
再 由乙队单独做。做完后发现，两段时间相
等。这两段时间一共是几天？



- 15 -

姓名：__________________
2．一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果先 让甲独做6天，再由乙独做，完成任
务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程
要几天完成？


3．某工作，甲单独做要12天，乙单独
做要18天，丙单独做要24天 。这件工作先
由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天
数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天 数是
乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用
了多少天？
【例题3】移栽西红柿苗 若干棵，如果
哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了
3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩 总棵
数的1116没有栽，已知哥哥每小时比弟弟
每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，
弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了< br>1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以
求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几（1－
1116－18×1）÷（3－1）＝332
一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷
【332－（18－332）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3：
1．加工一批机器零件，师、徒合做1 2
小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着
再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的
35。已知师傅每小时比徒弟多做10个零
件。这批零件共有多少个？

- 16 -
2．修一条公路，甲、乙两 队合做6天
可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3
天，还剩这条公路的310没有修。已知 甲
队每天比乙队多修20米。这条公路全长多
少米？

3．修一段公路，甲 队独修要40天，乙
队独修要用24天。两队同时从两端开工，
结果在距中点750米处相遇。 这段公路全长
多少米？
【例题4】一项工作，甲、乙、丙3人
合做6小时可以完成。 如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的
23；如果甲、乙合做3小时后 ，丙做6小
时，也可以完成这项工作的23。如果由甲、
丙合做，需几小时完成？
【 思路导航】将条件“甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的
23”组合成“ 甲工作4小时，甲、乙、丙
合做2小时可以完成这项工作的23”，则
求出甲的工作效率。同理 ，运用“组合法”
再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（23－16×2）÷（6－2）＝112
丙每小时完成这项工程的几分之几
（23－16×3）÷（6－3）＝118
甲、丙合做需完成的时间为：1÷
（112+118）＝7由15（小时）
答：甲、丙合做完成需要7有15小时。
练习4：
1．一项工作，甲、乙、丙三人 合做，4
小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙
合做2小时，可以完成这项工作的1318 ；
如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，

可以完成这项工作的1118。这项工作如果
由甲、丙合做需几小时完成？

2．一项工程，甲、乙合做6天可以完
成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由
甲、乙、丙 合做3天后，余下的乙再做6
天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可
以完成？


3．一项工程，甲、乙两队合做10天完
成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙 、
丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做
5又12天完成。乙队单独做这项工程需多
少天可以完成？

4．一件工作，甲、乙合做4小时完成，
乙、丙合做5小时完成 。现在由甲、丙合做
2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做
这件工作需几小时才能完成？
【例题5】一条公路，甲队独修24天
可以完成，乙队独修30天可以完成。先由
甲、 乙两队合修4天，再由丙队参加一起修
7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同
时开工修这条 公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队
合修4天，再由丙队参加一起修 7天后全部
完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝
11天后，再由丙队单独修了7天才全 部完
成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的【1－
（124+130）】×（4+7）＝140
三队合修完成时间为1÷
（124+130+140）＝10（天）
答：10天可以完成。
练习5：
1．一件工作，甲单独做12小时完成。
现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才
完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可
以完成？



2．一条水渠，甲队独挖120天完成，
乙队独挖40天完成 。现在两队合挖8天，
剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。
这条水渠由丙队单独挖，多 少天可以完成？


3．一件工作，甲、乙合做6天可以完
成，乙、丙合做 10天可以完成。如果甲、
丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能
完成。如果全部工作由3 人合做，需几天可
以完成？

4．一项工程，甲、乙两队合做30天完
成， 甲队单独做24天后，乙队加入，两队
又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继
续做了15天 才完成。甲队独做这项工程需
要多少天？
- 17 -

姓名：__________________
第17讲 浓度问题
一、知识要点 < br>在百分数应用题中有一类叫溶液配比
问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水
就得到了 糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，
糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得
越多，糖水就越甜 ，也就是说糖水甜的程度
是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二
者质量的比值决定的。这个 比值就叫糖水的
含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，
纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫 酒精
含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的
比值，通常用百分数表示，即，
浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝
溶质质量（溶质质量＋溶剂质量）×100%
解答浓度问题，首先要弄清什么是浓
度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解
答比较容易，在 列方程时，要注意寻找题目
中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，< br>计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐
一分析，也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖量为7％的糖水600
克，要使其含糖量加大到10％，需要再加
入 多少克糖？
【思路导航】根据题意，在7％的糖水
中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量
增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量
并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中
的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的
浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质
量减去原 来糖水的质量就是增加的糖的质
量。
- 18 -
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）
＝558（克）
现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）
＝620（克）
加入糖的质量 ：620－600＝20
（克）
答：需要加入20克糖。
练习1：
1． 现在有浓度为20％的糖水300克，
要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖
多少克？

2．有含盐15％的盐水20千克，要使
盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？


3．有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200
毫升清水，乙瓶里装了200 毫升纯酒精。第
一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第
二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶 ，此时
甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？
【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓
度为35％的农药加多少千克水，才能配成
1 .75％的农药800千克？
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶
剂变为浓度低的溶液的过 程称为稀释。在这
种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是
解这类问题的关键。
800千克1.75％的农药含纯农药的质
量为800×1.75％＝14（千克）
含14千克纯农药的35％的农药质量为
14÷35％＝40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应

加水的质量为800－40＝760（千克）
答：用40千克的浓度为35％的农药中
添加760千克水，才能配成浓度为1.75％
的农药800千克。
练习2：
1 ．用含氨0.15％的氨水进行油菜追
肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置时
需加水多少 千克？


2．仓库运来含水量为90％的一种水果
100千克。一星期后 再测，发现含水量降低
到80％。现在这批水果的质量是多少千
克？

< br>3．一容器内装有10升纯酒精，倒出
2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水
加满 。这时容器内溶液的浓度是多少？
【例题3】现有浓度为10％的盐水20
千克。再加入多少 千克浓度为30％的盐水，
可以得到浓度为22％的盐水？
【思路导航】这是一个溶液混合问 题。
混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶
质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的
溶质的量。
20千克10％的盐水中含盐的质量20×
10％＝2（千克）
混合成22％时，20千克溶液中含盐的
质量20×22％＝404（千克）
需加30％盐水溶液的质量（4.4－2）
÷（30％－22％）＝30（千克）
答：需加入30千克浓度为30％的盐水，
可以得到浓度为22％的盐水。
练习3：
1．在100千克浓度为50％的硫酸溶液
中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液
就可以配制成25％的硫酸溶液？

2．浓度为70％的酒精溶液500克与浓
度为 50％的酒精溶液300克混合后所得到
的酒精溶液的浓度是多少？

3．在20％ 的盐水中加入10千克水，
浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为
25％？
【例 题4】将20％的盐水与5％的盐水
混合，配成15％的盐水600克，需要20％
的盐水和5 ％的盐水各多少克？
【思路导航】根据题意，将20％的盐
水与5％的盐水混合配成15％的 盐水，说明
混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐
水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间
的相等关系列方程解答。
解：设20％的盐水需x克，则5％的盐
水为600－x克，那么
20％x+（600－x）×5％＝600×15％
X ＝400
600－400＝200（克）
答：需要20％的盐水400克，5％的盐
水200克。
练习4：
1．两 种钢分别含镍5％和40％，要得
到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢
和含镍40％ 的钢各多少吨？


- 19 -

姓名：__________________
2．甲、乙两种酒各含酒精75％和55％，
要配制含酒精65％的酒3000克，应当从这
两种酒中各取多少克？
3．甲、乙两只装糖水 的桶，甲桶有糖
水60千克，含糖率为40％；乙桶有糖水40
千克，含糖率为20％。要使两 桶糖水的含
糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千
克？
【例题5】甲、乙、丙3 个试管中各盛
有10克、20克、30克水。把某种质量分数
的盐水10克倒入甲管中，混合后 取10克倒
入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒
入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数 为
0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是
多少？
【思路导航】混合后甲、乙、 丙3个试
管中应有的盐水分别是20克、30克、40
克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质 量。
又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐
是从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而乙管
里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出
的，由 此可求出甲管里20克盐水中盐的质
量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的
盐，这样就可得到 最初倒入甲管中盐水的质
量分数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝
02（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×
【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×
【（10+10）÷10】＝1.2（克）
1.2÷10＝12％
答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是
- 20 -
12％。
练习5：
1．从装满100克80％的盐水中倒出40
克盐水后 ，再用清水将杯加满，搅拌后再倒
出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如
此反复三次后，杯 中盐水的浓度是多少？


2．甲容器中又8％的盐水300克，乙
容器中 有12.5％的盐水120克。往甲、乙
两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中
盐水的浓度 一样。每个容器应倒入多少克
水？


3．甲种酒含纯酒精40％，乙种酒 含纯
酒精36％，丙种酒含纯酒精35％。将三种
酒混在一起得到含酒精38.5％的酒11千
克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲
种酒有多少千克？

第18讲 面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时，有些问题乍 一
看，在已知条件与所求问题之间找不到任何
联系，会使你感到无从下手。这时，如果我
们能认真观察图形，分析、研究已知条件，
并加以深化，再运用我们已有的基本几何知
识，适 当添加辅助线，搭一座连通已知条件
与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到
目的。有些平面 图形的面积计算必须借助于
图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平
移旋转、剪拼组合等方法 ，对图形进行恰当
合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出
解题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已知如图，三角形ABC的面
积为8平方厘米，AE＝ED ，BD=23BC，求
阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角
形，但三 角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF
（ 等底等高），采用移补的方法，将所求
阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2 3BC，所以S△BDF＝2S△
DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF
＝ 2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC
＝8平方厘米，所以S △DCF＝8÷5＝1.6（平
方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝
3.2（平方厘米 ）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，
BC=3BD，S△ABC＝30平
方厘米。求阴影部分的面
积。

2．如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S △ABC
＝21平方厘米。求阴影
部分的面积。







3．如图所示，DE＝12AE，BD＝2DC，S
△EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。





< br>【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割
成四个三角形，如图所
示，已知两个三角形的
面积，求另两个三角形
的面积各是多少？
【思路导航】已
知S△BOC是S △DOC的2倍，且高相等，可
知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相
等（等底等高 ）可知：S△ABO等于6，
而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD
的2倍。所以△A OD的面积为6÷2＝3。
- 21 -

姓名：__________________
因为S△ABD与S△ACD等底等高
所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍
所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个< br>三角形，（如图所示），已知两个三角形的面
积，求另
两个三角
形的面积
是多少？




2．已知AO
＝13OC，求梯形
ABCD的面积（如
图所示）。



3．已知三角形AOB的面积为15平方厘
米，线段OB的长 度为OD
的3倍。求梯形ABCD的
面积。（如图所示）。




【例题3】四边形ABCD的对角线BD被
E、F两点三等分，且四边形AECF的 面积为
- 22 -
15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图
所示）。
【思路导航】由于E、F三 等分BD，所
以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角
形，它们的面积相等。同理， 三角形BEC、
CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角
形ABD的面积是三角形AEF 面积的3倍，三
角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，
从而得出四边形ABCD的面积 是四边形AECF
面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角 线BD被E、F、G
三点四等分，且四边形AECG
的面积为15平方厘米。求四
边形 ABCD的面积（如图）。




2．已
知四
阴影部分面积为15平方厘米。求
四边形ABCD的面积（如图
所示）。




3．如图所示，求阴影
部分的面积（ABCD为正方
形）。
边形
ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且

【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影
部分的 面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD
的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2 DO，取BO中
点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相
等的性质，可知S△DBC＝S△ CDA；S△COB
＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。
所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S
△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方
厘米，OC＝2AO。求梯形面积。




2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘
米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平
方厘米。OC＝3AO，求梯形
的面积（如图所示）。


积是


【例题5】如图所示，长方形ADEF的面< br>16，三
角形
ADB的
面积是
3，三角形ACF的面积
是4， 求三角形ABC的
面积。
【思路导航】连接
AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可
有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长
方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3
得到 三角形ABE的面积为5。同理，用8减
去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可
知三角形 AEC与三角形ACF等底等高，C为
EF的中点，而
三角形ABE与
三角形BEC等
底，高是三角
形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2
＝2.5，所以，三角形 ABC的面积为16－3
－4－2.5＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形 ABCD的面积是
20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方
厘米，三角形ABE的面积为7 平方厘
米，求三角形AEF的面积。



- 23 -

姓名：__________________

2．如图所示，长方形ABCD的面积为2 0
平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝
6平方厘米，求三
角形AEF的 面积。





3．如图所示，长方
形ABC D的面积为24平方
厘米，三角形ABE、AFD
的面积均为4平方厘米，
求三角形A EF的面积。

米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积
（单位：厘米）。



2．求下面各个图形中阴影部分的面积
（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的
面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单
位：厘米）。



【思路导航】阴影部分通过翻折移动位
置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于
大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.1 4×
4
2

－4×4÷2÷2＝8.56（平
方厘米）
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。


1
4
第19讲 面积计算（二）

一、知识要点
在进 行组合图形的面积计算时，要仔细
观察，认真思考，看清组合图形是由几个基
本单位组成的，还 要找出图中的隐蔽条件与
已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部
1
分的面积可以拼成圆的面积。
4
62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.26平方厘
- 24 -
1
4

2．计算下面图形中阴影部分的面积（单
位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单
位：厘米，正方形边长4）。



【例题3】如图19－10所示，两圆半径
都是1厘米，且图 中两个阴影部分的面积相
等。求长方形ABO1O的面积。



【思路导航】因为两圆的半径相等，所
以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中
两个阴影部分 的面积相等，所以扇形的面积
等于长方形面积的一半（如图19－10右图
所示）。所以3.1 4×12×14×2＝1.57（平
方厘米）
答：长方形ABO1O的面积是1.57平方
厘米。
练习3：
1．如图所示，圆的周长为12.56厘米
2．，AC两点把圆分成相等的两段弧，
阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面
积相等，求平行四边形ABCD的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝
AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。


3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部
分的面积。




【例题4】如图19－14所示，求阴影部
分的面积（单
位：厘米）。




【思路导航】我们可以把三角形ABC
看成是长方形的一部分 ，把它还原成长方形
后（如图所示）。
I和II的面积相等。




因为原大三角形的面积与后加上的三


角形面积相等，并且空白部分的两组三
角形面积分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。

- 25 -

姓名：__________________


2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD
面积是38平方厘米。求CD的长度。




3．图是两个完全一样的直角三角形重
叠在一起， 按照图中的已知条件求阴影部分
的面积（单位：厘米）。




【例题5】如图所示，图中圆的直径AB是4
厘米，平行四边形ABCD 的面积是7平方厘
米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得
数保留两位小数）。




【思路导航】阴影部分的面积等于平行
四边形的面 积减去扇形AOC的面积，再减去
三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）
＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60360≈
2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平
方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
- 26 -
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1．如图所示，∠1＝15度 ，圆的周长位
62.8厘米，平行四边形的面积为100平方
厘米。求阴影部分的面积（得数保 留两位小
数）。



2．如图所示，三角形ABC的面积是31 .2
平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：DC
＝3：1。求阴影部分的面积。





3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米。得数保留两位小数）。





4、如图所示，求阴影部分的面积（单
位：厘米。得数保留两位小数）。

第20讲 面积计算
一、知识要点
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其
中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难
为易 。有些图形可以根据“容斥问题“的原
理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求
出时，可以把 “r2”整体地代入面积公式求
面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分
的面积。



【 思路导航】解法一：阴影部分的一半，
可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角
形（如图），等 腰直角三角形的斜边等于圆
的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的
半径为20÷2＝10厘 米
[3.14×102×14－10×（10÷2）]×2
＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心
点。 把图的右半部分向下旋转90度后，阴
影部分的面积就变为从半径为10厘米的半
圆面积中，减 去两直角边为10厘米的等腰
直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×12－（20÷2）2×12
＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单
位：厘米）



2．如图所示，用一张斜边为29厘米的
红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米
的蓝色直角 三角形纸片，一张黄色的正方形
纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三
角形纸片面积之和是 多少？

- 27 -

姓名：__________________
【例题2】如图所示，求图中阴影部分
的面积（单位：厘米）。


【思路导航】解法一：先用长方形的面
积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的
面积，再用 大扇形的面积减去空白部分（a）
的面积。如图所示。




3.14×62×14－（6×4－3.14×42×
14）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）
两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形
面积 相加，刚好多计算了空白部分和阴影
（1）的面积，即长方形的面积。



3.14×42×14+3.14×62×14－4×6
＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘
米。
练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角
形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．如图所示，三角形ABC是直角三角
形，AC长4厘米， BC长2厘米。以AC、BC
- 28 -
为直径画半圆，两个半圆
的交点在AB边上。求图中
阴影部分的面积。




3．如图所示，图中平行四边形的一个
角为600 ，两条边的长分别为6厘米和8厘
米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。



【例题3】在图中，正方形的边长是10厘
米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：先用正方形的面
积减去一个整圆的面积，得空部分的一半
（如图所示）， 再用正方形的面积减去全部
空白部分。



空白部分的一半：10×10－（10÷2）2
×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝
57（平方厘米）
解法二：把图中8 个扇形的面积加在一
起，正好多算了一个正方形（如图所示），
而8个扇形的面积又正好等于两 个整圆的
面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平
方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：

1．求下面各图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




2．求下面各图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




3．求下面各图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6
厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】 这道题的难点在于正方形
的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，AC是等 腰直角三角形ACD
的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可
知，斜边上的高等于斜边的一半（ 如图所
示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的
面积，进而求出正方形ABCD的面积，即 扇
形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可
以求出半径的平方，也可以把半径的平方直
接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方
为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4
＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4：
1．如图所示，图形中正方形 的面积是
50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部
分的面积。



2．如图所示，图形中正方形的面积是
50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部< br>分的面积。


3．如图所示，正方形中对角线长10
厘米，过正方 形两个相对的顶点以其边长为
半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积
（试一试，你能想出几种 办法）。



【例题5】在图的扇形中，正方形的面
积
是
30
平
方厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分的面积等于扇 形
的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径
未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的
面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以
扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图
所示） ，从图中可以看出，新正方形的面积
是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方
等于60。 这样虽然半径未求出，但能求出
- 29 -

姓名：__________________
半径的平方，再把半径的平等直接代入公式
计算。



3.14×（30×2）×14－30＝17.1（平
方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习5：
1．如图所示，平行四边形的面积是100
平方厘米，求阴影部分的面积。




2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂
直于AB,三角形A BC的面积是45平方厘米，
求阴影部分的面积。




3．如图所示，半圆的面积是62.8平方
厘米，求阴影部分的面积。













- 30 -

小学奥数举一反三A版

第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设
来改变题目的条件，然后再和已知条件配合
推算。 有些题目用假设法思考，能找到巧妙
的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设
某个量的分率与另一个量的分率一样，再根
据乘 法分配律求出这个分率对应的和，最后
依据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14
与乙数的15的和是42，求两数各是多少？ 【思路导航】假设将题中“甲数的
14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩
大4倍， 则变成了“甲数与乙数的45的和
为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15
×4）＝85
答：甲数是100，乙数是85。
练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12
与乙的110的钱数和是35元 ，求甲、乙两
人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽
调甲队人数 的17，乙队人数的13，共抽
调78人，甲、乙两个消防队原来各有多少
人？
3． 海洋化肥厂计划第二季度生产一批
化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，
五月份完成总数 的25少70吨，还有420
吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如
果彩色电视机卖出19，则比黑白电视机多
5台。问： 两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】从图中可以看出：假设黑
白电视机增加5台，就和 彩色电视机卖出
19后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电
视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台）
250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视
机原有115台。
练习2：
1． 姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉
17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了
多少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借
出13后，比足球少1个，原来篮球和足球
各 有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如
果将鸡卖掉120，还比鸭多17只，小 明家
原来养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件
105个， 已知师傅加工零件个数的38与徒
弟加工零件个数的47的和为49个，师、
徒各加工零件多少 个？
【思路导航】假设师、徒两人都完成了
47，一个能完成（105×47）＝60个，和
实际相差（60－49）＝11个，这11个就是
师傅完成将零件的38与完成加工零件的47相差的个数。这样就可以求出师傅加工
- 1 -

姓名：__________________
了【11÷（47－38）】＝56个。即：
师傅：（105×47－49）÷（47－38）
＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个）
答：师傅加工了56个，徒弟加工了49
个。
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机
共136台，卖出彩色电视机的25 和黑白电
视机的37，共卖出57台。问：原来彩色
电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个消防队共有336人，抽
调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽
调188 人参加灭火。问：甲、乙两个消防队
原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从 中
借出排球个数的14和足球个数的13后，
还剩下46个，买来排球和足球各是多少
个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲
数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25
的和就是甲、乙两数的25，是300 ×25
＝120，因为甲数的25比乙数的14多55，
所以从120中减去55所得的差就可 以看成
是乙数的14与乙数的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝
100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4：
1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山
羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧
- 2 -
场有山羊、绵羊各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师
傅加工零件的个 数的58比徒弟加工零件
个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零
件多少个？
3． 某校六年级甲、乙两个班共种100
棵树，乙班种的110比甲班种的13少16
棵，两个班各 种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生
750人，本学期男学生增加16，女学生减
少15，共有710人，本学期男、女学生各
有多少人？
【思路导航】假设本学期女 学生不是减
少15，而是增加16，半学期应该有750
×（1+16）＝875人，比实际多 875－710
＝165人，这165人是假设女学生也增加16
多出的人数，而实际女学生减 少15，所以，
这165人对应着女学生的（15+16）＝
1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】
÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360
（人）
本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有
360人。
练习5：
1．金放在 水里称，重量减轻119，银
放在水里称，重量减少110，一块重770
克的金银合金，放在 水里称是720克，这块
合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年< br>共招新生640人，其中初中招的新生比去年
增加48％，高中招的新生比去年增加20％，

今年初、高中各招收新生多少人？
3．袋子里原有红球和黄球共119个。
将红球 增加38，黄球减少25后，红球与
黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球
和黄球各多少 个？
第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几，又知 甲与乙各
改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，
要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称
为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两
数同减、一增一减等各种情况。 虽然其中的
数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确
定哪个量为单位“1”，然后通过假设， 找出
变化前后的相差数相当于单位“1”的几分
之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝，第一根长度是第
二根 的3倍，两根各用去6米，第一根剩下
的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根
原来有多少米 ？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝
18米，那么第一根剩下的长度仍是第二根
剩下长度的3倍，而事实上第一根比假设的
少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第
二根 剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓
书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书
多少 本？
2．在植树劳动中，光明中学植树的棵
数是光明小学的3倍，如果中学增加450
棵，小学增加400棵，则中学是小学的2
倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3．两堆煤 ，第一堆是第二堆的2倍，
第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一
堆剩下的重量是第二堆的 4倍。求第二堆煤
原来是多少吨？
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱
比陈刚的3 倍多6.40元，若两个人各买了
一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈
刚的8倍，陈刚 原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比
陈刚的3倍多6.40元，则王 明要相应地花
去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了
4.40元，比13.20元 少13.20－4.40＝8.80
元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱
的3倍多6.4 0+8.80＝15.20元，而题中已
告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，
15.2 0元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－
3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）
+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍 多
50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，
则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙< br>两个书架原来各有多少本书？
2．上学年，马村中学的学生比牛庄小
学的学生的2倍多 54人，本学年马村中学
增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马
村中学的学生比牛庄小学的 学生的4倍少
- 3 -

姓名：__________________
26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学
生多少人？
3．箱子里有红、白两种玻璃 球，红球
比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7
粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩
下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白
球原有多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝 数是小刚的
12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是
小刚的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小
红的彩笔仍为小刚的12，则小红只需买（5
× 12）＝2又12枝，但实际上小红买了5
枝，多买了5－2又12＝2又12 枝。将
小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买
了2又12 ，相当于（23－12）＝16。
小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）
－5＝10（枝）
小红原来：10×12＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来
有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今 年的年龄是爸爸年龄的16，
四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和
爸爸今年的年龄各是多 少岁？
2．小红今年的年龄是妈妈的38，10
年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多< br>少岁？
3．甲书架上的书是乙书架上的57，
甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书 架
上的书是乙书架上的45，甲、乙两各书架
原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫
的45，两人各捐给“希望工程”10本后，
- 4 -
则王芳的图书的本数是李卫的710，两人
原来各有图书多少本？
【思路导航】假设 李卫捐了10本后，
王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐
10×45＝8本，实际王芳捐 了10本，多捐
了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书
看作“1”，着2本书相当于45 －710＝
110。
（10－10×45）÷(45－710)=30(本)
30×45＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图
书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，
从这两个书架上各借出112本后， 甲书架上
的书是乙书架上的47，原来甲、乙两个书
架上各有多少本书？
2．小明今 年的年龄是爸爸的611，10
年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸
今年各多少岁？ < br>3．甲车间的工人是乙车间的14，从
甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的
工人只 占乙车间的16，甲、乙两个车间原
来各有多少名工人？
【例题5】某校六年级男生人数是女 生
的23，后来转进2名男生，转走3名女生，
这时男生人数是女生的34，现在男、女生各有多少人？
【思路导航】假设转走3名女生后，男
生人数仍是女生的23，则男生应转 走3×
23＝2人，实际上男生却转进2人，与应
转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生
后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当
于现在女生的34－23。

（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）
48×34＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5：
1．甲车间的工人是乙车间的2 5，后
来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这
样甲车间的人数是乙车间的79，现在甲、
乙两个车间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的23，
现在取走12粒黑子 ，添上18粒白子后，黑
子是白子的512，现在白子、黑子各有多
少粒？
3．爱华 小学和曙光小学的同学参加小
学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一
等奖的人数是曙光小学 的2.5倍。今年的比
赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1
人，曙光小学增加了6人，这时 曙光小学得
一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年
的一等奖的同学各有多少人？
第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比
较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的
结果 出发，运用加与减、乘与除之间的互逆
关系，从后到前一步一步地推算，这种思考
问题的方法叫 倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看
了全书的13，第二 天看了余下的35，还
剩下48页，这本书共有多少页？
【思路导航】从“剩下48页”入手 倒
着往前推，它占余下的1－35＝25。第一
天看后还剩下48÷25＝120页，这120 页
占全书的1－13＝23，这本书共有120÷
23＝180页。即
48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中37
的人打扫礼堂，剩下队员中的58打 扫操
场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少
名少先队员？
２．一辆汽车从甲地出 发，第一天走了
全程的38，第二天走了余下的23，第三
天走了250千米到达乙地。甲、乙 两地间的
路程是多少千米？
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了
其中的16，乙拿 走了余下的25，丙拿走
这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，
这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修
了全长的15又100米，第二天修了余下的
2 7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒
着往前 推，它占余下的1－27＝57，第一
天修后还剩500÷57＝700米，如果第一天
正好修 全长的15，还余下700+100＝800
米，这800米占全长的1－15＝45，这段
路 全长800÷45＝1000米。列式为：
【500÷（1－27）+100】÷（1－15）
＝1000米
答：这段公路全长1000米。
练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的< br>比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还
没有运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这
- 5 -

姓名：__________________
块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的
1 2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共
有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了12多1
吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下
16吨，原来这批水泥有多少吨？
【例题 3】有甲、乙两桶油，从甲桶中
倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15
给甲桶，这时两桶油各 有24千克，原来甲、
乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，< br>甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙
桶没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24
÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有
48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了
乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）
＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千
克。
甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1
－13）＝27（千克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油
21千克。
练习3：
１．小华拿出 自己的画片的15给小
强，小强再从自己现有的画片中拿出14
给小华，这时两人各有画片12 张，原来两
人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲
拿出15给乙 后，乙又拿出14给甲，这时
他们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一瓶酒精，第一次 倒出13，然后
倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的
59，第三次倒出180克，瓶中好 剩下60
- 6 -
克，原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币
168元，第一 次甲拿出与乙相同的钱数给
乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第
三次丙拿出与这时甲相同 的钱数给甲。这
样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比
乙多多少元钱？
【思路导 航】根据题意，由最后甲钱数
是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与
乙同样的钱数给乙 后，甲剩下的钱是56÷2
＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、 乙、丙三个班共有学生144
人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙
班，再从乙班调出与丙班 相同的人数到丙
班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给
甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数 相等。
原来甲班比乙班多多少人？
２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小
球，从甲盒 拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿
出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数
相等。原来乙盒比丙 盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比
是6：9：5，如果从乙仓库拿出400 袋平均
分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数
量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？ 【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若
干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从
乙仓库运 出14到甲仓库，这时甲、乙两仓
库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙
仓库的几分之几？
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮

食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运
出14到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的
12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库
占两仓库和的几分之几？
12÷（1－14）＝23
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－23＝13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之
几？
13÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝45
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的
45。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各 有粮食若干吨，
从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库
运出13到甲仓库，这时甲、乙两仓 库的粮
食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的
几分之几？
２．甲、乙两个仓库各 有粮食若干吨，
从甲仓库运出15到乙仓库后，又从乙仓库
运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓 库的粮
食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的
几分之几？
３．甲、乙两个仓库各 有粮食若干吨，
从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库
运出25到甲仓库，这时乙仓库的粮 食是甲
仓库的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？
第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用
题，用算术方法解答 比较繁、难，甚至无法
列式算式，这时我们可根据题中的等量关系
列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，
生产的甲种零件比乙种零件多 12个，乙种
零件全部合格，甲种零件只有45合格，两
种零件合格的共有42个，两种零件个 生产
了多少个？
【思路导航】本体用算术方法解有一定
难度，可以根据两种零件合格 的一共有42
个，列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种
零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
45x+9+x＝42
95x＝42－9又35
x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件
生产了18个。
练习1：
1．某校 参加数学竞赛的女生比男生多
28人，男生全部得优，女生的34得优，
男、女生得优的一共有 42人，男、女生参
赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15
个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25
是红球，已知红球一共有69个，两盒球共
有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人 ，甲班有
13的人、乙班有14的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲 、
乙两班共有多少人？
- 7 -

姓名：__________________
【例题2】阅览室看书的学生中，男生
比女生 多10人，后来男生减少14，女生
减少16，剩下的男、女生人数相等，原来
一共有多少名学 生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相
等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）
人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看
书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学
比参加航模小组的同学多5人。今年 参加无
线电小组的同学减少15，参加航模小组的
人数减少110，这样，两个组的同学一样< br>多。去年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图书900
本，将甲书 架上的书增加58，乙书架上的
书增加310，这样，两个书架上的书就一
样多。原来甲、乙两 个书架各有图书多少
本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种
零件多700个。今 天生产的甲种零件比昨天
少110，生产的乙种零件比昨天增加320，
两种零件共生产了20 65个。昨天两种零件
共生产了多少个？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加
竞赛 ，甲校参加人数的15比乙校参加人数
的14少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲
×15＝乙×14－1
- 8 -
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22
－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参
加。
练习3：
1．学校图书馆买 来文艺书和连环画共
126本，文艺书的比连环画的少7本，图书
馆买来的文艺书和连环画各是 多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比
男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅和李师傅共加工零件62个，
王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，
两 人各加工了多少个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的
56，两个书架上各借出154本 后，甲书架
上的书是乙书架上的47，甲、乙两书架上
原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲
书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上
原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252
252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原
有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4
年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多
少岁 ？
2．某校六年级男生是女生人数的23，

后来转进2名男生，转走3名女生，这时男
生人数是女生的34。原来男、女生各有多
少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间
人数的910，第一车间比第二车间多50人。
两个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的
23多4人，如果男生减 少3人，女生增加
4人，男、女生人数正好相等。这个班男、
女生各有多少人？
【思 路导航】抓住“如果男生减少3
人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”
这个等量关系列方 程。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）
人。
x－3＝23x+4+4
x＝33
23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26
人。
练习5：
1．某学校的男教师 比女教师的38多
8人。如果女教师减少4人，男教师增加8
人，男、女教师人数正好相等。这 个学校男、
女教师各有多少人？


2．某无线电厂有两个仓库。第一仓库 储存
的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓
库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的49。两个仓库原来各有电
视机多少台？



3．某工厂第一车间的人数比第二车间
的人数的45少30人。如果从第二车间调
10人到第 一车间，则第一车间的人数就是
第二车间的34。求原来每个车间的人数。




第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比 的知识，都知道比和分
数、除法其实是一回事，所有比与分数能互
相转化。运用这种方法解决一 些实际问题可
以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是
丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：
（ ）：（ ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的
58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的
49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2
又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【例题2】光明小学将五年级的140名
学生，分成三个小组进行植树活动，已知第
- 9 -

姓名：__________________
一小组和第二小组人数的比是2：3，第二
小 组和第三小组人数的比是4：5。这三个
小组各有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连
比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3

【例题3】甲、乙两校原有 图书本数的
比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、
乙两校图书本数的比就是3：4。原来 甲校
有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本
二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×835＝32（人）
④第二组：140×1235＝48（人）
⑤第三组：140×1535＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48
人，第三小组有60人。
练习2：
1．某农场把61600公亩耕地划归为粮
田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与
其他作 物面积的比6：1。每种作物各是多
少公亩？


2．黄山小学六年级的同 学分三组参加
植树。第一组与第二组的人数的比是5：4，
第二组与第三组人数的比是3：2。 已知第
一组的人数比二、三组人数的总和少15人。
六年级参加植树的共有多少人？


3．科技组与作文组人数的比是9：10，
作文组与数学组人数的比是5：7。已知 数
学组与科技组共有69人。数学组比作文组
多多少人？


- 10 -
数的比是7：5可知 ，原来甲校图书的本数
是两校图书总数的7（7+5），由于甲校给
了乙校650本，这时甲校 的图书占两校图书
总数的3（3+4），甲校给乙校的650本图
书，相当于两校图书总数的7 （7+5）－3
（3+4）＝1384。
650÷（7（7+5）－3（3+4））×7
（7+5）＝2450（本）
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页
数比是1：5。如果再读30页，则已读和未
读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？


2．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从
甲包取出130克放入乙包后， 甲、乙两包糖
的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？


3．五年级三 个班举行数学竞赛。一班
参加比赛的占全年级参赛总人数的13，二
班与三班参加比赛人数的比 是11：13，二
班比三班少8人。一班有多少人参加了数学
竞赛？
【例题4】从前 有个农民，临死前留下
遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大
儿子分得12，二儿子分得1 3，小儿子分

得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子
按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻
居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底
是怎么回事吗？
【思路导航】因为12+13+1 9＝
1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全
部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头 数
的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：12：
13：19＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×
917＝9（头）17×617＝6（头）17×217
＝2（头）
答：大儿子分得9头，二儿子分得6
头，小儿子分得2头。
练习4：
1．图书室取出一批书，按照一年级得
12，二年级得13，三年级得17 ，正好是
41本，各年级各得多少本？


2．古罗马富豪约翰逊再临终前 ，对怀
孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是
个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲< br>拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产
的三分之一给女儿，三分之二给母亲。结果
他 的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没
有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产
分给三个继 承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例
来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：
（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，
儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
3．甲、乙、丙三人共做零件900个。
甲做总数的30％，乙比丙多 做13。三人各
做多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶
液。一个瓶中酒精 与水的体积之比是3：1，
另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。
若把两瓶酒精溶液混合， 混合液中酒精与水
的体积之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关
系，分别 求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的
几分之几再解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
3（1+3）＝ 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
4（1+4）＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的
比 34+45 ＝ 3120
④ 水占一个瓶子容积的比 2－
3120 ＝ 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120：
920＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合金中铜
与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的
比是 1：3。现将两块合金合成一块，求出
锌合金中铜与锌的比。


2．将一 条公路平均分给甲、乙两个工
程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，
乙队已修的与剩下的 比是5：2。这条公路
- 11 -

姓名：__________________
已修了全长的几分之几？

第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式， 也
是解数学题的一种重要工具，有了它，我们
处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活
得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是
应用题。
二、精讲精练
【例题1】甲 、乙两个学生放学回家，
甲要比乙多走15的路，而乙走的时间比甲
少111，求甲、乙两人速 度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，
所以，甲、乙速度的比＝甲路程甲时间：
乙路程乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+15）：1＝6：
5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－111）
＝11：10
（3）甲、乙速度的比：611：510=12：
11
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走 的
路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多
18。求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多13，乙用的时
间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3．一个 人步行每小时走5千米，如果
骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个
人骑自行车的速度和步 行速度的比是多
少？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，
乙需5分钟，丙需4. 5分钟。现在有1590
- 12 -
个零件的制造任务分配给他们三个人，要求
在相同的时间内完成，每人应该分配到多少
个零件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然
后根据同一时间内，工作总量的比等于工作< br>效率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 16：15：
11.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×1553＝450（个）
乙 ：1590×1853＝540（个）
丙 ：1590×2053＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是
450个、540个、600个。
练习2： < br>1．加工一个零件，甲需3分钟，乙需
3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零
件 需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同
样的时间完成任务，那么各应加工多少个？
2．甲、 乙、丙三人在同一时间里共制
造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，
比乙制造一个零件所 用的时间多25％，丙
制造一个零件所用的时间比甲少25。甲、
乙、丙各制造了多少个零件？
3．加工某种零件要三道工序，专做第
一、二、三道工序的工人每小时分别能完成
零件 48个，32个，28个，现有118名工人，
要使每天三道工序完成的零件个数相同，每
道工 序应安排多少工人？
【例题3】两个服装厂一个月内生产服
装的数量是6：5，两厂西服价格 的比是11：
10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。
两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量，

所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：
（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）
＝66：50
甲厂产值为：6960×66（66+50）＝3960
（元）
乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000
（元）
答：两厂的产值分别是3960万元和
3000万元。
练习3：
1．甲、 乙两个长方形长的比是4：5，
宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。
求甲、乙两个长 方形的面积分别是多少平方
厘米？
2．苹果和梨的单价的比是6：5，王大
妈买的苹 果和梨的重量的比是2：3，共花
去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少
元？
3． 大、小两种苹果，其单价比是5：4，
重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100
千克的混 合苹果，单价为每千克4.40元。
大、小两种苹果原来每千克各是多少元？
【例题4】A、 B两种商品的价格比是7：
3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的
价格比就是7：4，这 两种商品原来的价格
各是多少元？
【思路导航】
解法一：因为A、B两种商品涨价 的数
值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。
由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比
＝7：4＝28：16
【这样前后项的差都是12，价格涨了
（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元 A：10×
21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选
两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的几个是价格差的几
倍 7÷（7－3）＝74
（2）后来A商品的价格是价格差的几
倍 7÷（7－4）＝73
（3）A、B两种商品的价格差是
70÷（73－74）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元）
（5） 原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是
210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的
比是4：3。甲 队给乙队54吨水泥后，甲、
乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有
水泥多少吨？

2．甲书架上的书是乙书架上的47，
两书架上各增加154本后，甲书架上的书是
乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少
本书？

3．兄弟两人，每年收 入的比是4：3，
每年支出的比是18：13。从年初到年底，
他们都结余720元。他们每年 的收入各是多
- 13 -

姓名：__________________
少元？
【例题5】如图是甲、乙、丙三地的 线
路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地
的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的
速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时
10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他
比王刚 早1小时到达丙地。甲、乙两地相距
多少千米？
【思路导航】
解法一：根据路程的 比和速度的比求出
时间的比，从而求出王刚和李华所用的时
间，再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 14：210
＝5：4
王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5
（小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝20（千
米）
甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝
60（千米）
解法二：如果李华每小 时行4×2＝8
千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每
小时多行10－8＝2千米。在王刚 从甲地到
丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行
了10×1＝10千米。据此，可求出王刚 从甲
地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷
（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60
（千米）
解法三：如果王刚每小时行1 0÷3＝5
千米，就能和李华同时到达。由此可见，王
刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千 米
的速度和每小时5千米的速度相比，所用的
- 14 -
时间相差1小时。再根据1千米的路程，两
种速度所用的时间相差 14－15＝ 120
小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（14－1（10
÷÷2）＝20（千米）
甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千
米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5：
1．一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往
返一次共用去4小时（停车时间不算 在内）。
汽车去时每小时行45千米，返回时每小时
行30千米。甲、乙两地相距多少千米？


2．甲做3000个零件比乙做2400个零
件多用1小时，甲、乙工作 效率的比是6：
5。甲、乙每小时各做多少个？


3．下图是甲、乙、丙 三地的路线图。
已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路
程的比是2：3。一辆货车以每小时4 0千米
的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每
小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车< br>比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的
路程？

第16讲 用“组合法”解工程问
题
一、知识要点
在解答工程问题时， 如果对题目提供的
条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明
确的解题途径，若用“组合法”把 具有相依
关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一
个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立
刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲、乙两 队合作
15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，
只能完成工程的730，乙队单独完成全部< br>工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工
作效率和是115，只要求出甲 队货乙队的
工作效率，则问题可解，然而这正是本题的
难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙 队
独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，
甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2
天的工作量730－115×3＝130，从而求
出甲队的工作效率。所以
1÷【115－（730－115×3）÷（5
－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1：
1．师、徒二人合做一批零件， 12天可
以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒
弟接着做1天，共完成任务的320。如果
这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？


2．某项工程，甲、乙合做 1天完成全
部工程的524。如果这项工程由甲队独做2
天，再由乙队独做3天，能完成全部工 程的
13124。甲、乙两队单独完成这项工程各需
多少天？


3．甲、乙两队合做，20天可完成一项
工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做
12天，还剩 这项工程的815。甲、乙两队
独做各需几天完成？
【例题2】一项工程，甲队独做12天< br>可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2
天，则能完成这项工程的12。现在甲、乙
两 队合做若干天后，再由乙队单独做。做完
后发现两段所用时间相等。求两段一共用了
几天？ < br>【思路导航】此题很容易先求乙队的工
作效率是：（12－112×3）÷2＝18；再
由条件“做完后发现两段所用时间相等”的
题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做
需若干天 完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的（12
－112×3）÷2＝18
（2）两段时间一共是1÷（18×
2+112）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
练习2：
1．一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工
程的815。现由甲、乙两队合做若干天后，
再 由乙队单独做。做完后发现，两段时间相
等。这两段时间一共是几天？



- 15 -

姓名：__________________
2．一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果先 让甲独做6天，再由乙独做，完成任
务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程
要几天完成？


3．某工作，甲单独做要12天，乙单独
做要18天，丙单独做要24天 。这件工作先
由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天
数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天 数是
乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用
了多少天？
【例题3】移栽西红柿苗 若干棵，如果
哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了
3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩 总棵
数的1116没有栽，已知哥哥每小时比弟弟
每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，
弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了< br>1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以
求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几（1－
1116－18×1）÷（3－1）＝332
一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷
【332－（18－332）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3：
1．加工一批机器零件，师、徒合做1 2
小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着
再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的
35。已知师傅每小时比徒弟多做10个零
件。这批零件共有多少个？

- 16 -
2．修一条公路，甲、乙两 队合做6天
可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3
天，还剩这条公路的310没有修。已知 甲
队每天比乙队多修20米。这条公路全长多
少米？

3．修一段公路，甲 队独修要40天，乙
队独修要用24天。两队同时从两端开工，
结果在距中点750米处相遇。 这段公路全长
多少米？
【例题4】一项工作，甲、乙、丙3人
合做6小时可以完成。 如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的
23；如果甲、乙合做3小时后 ，丙做6小
时，也可以完成这项工作的23。如果由甲、
丙合做，需几小时完成？
【 思路导航】将条件“甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的
23”组合成“ 甲工作4小时，甲、乙、丙
合做2小时可以完成这项工作的23”，则
求出甲的工作效率。同理 ，运用“组合法”
再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（23－16×2）÷（6－2）＝112
丙每小时完成这项工程的几分之几
（23－16×3）÷（6－3）＝118
甲、丙合做需完成的时间为：1÷
（112+118）＝7由15（小时）
答：甲、丙合做完成需要7有15小时。
练习4：
1．一项工作，甲、乙、丙三人 合做，4
小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙
合做2小时，可以完成这项工作的1318 ；
如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，

可以完成这项工作的1118。这项工作如果
由甲、丙合做需几小时完成？

2．一项工程，甲、乙合做6天可以完
成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由
甲、乙、丙 合做3天后，余下的乙再做6
天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可
以完成？


3．一项工程，甲、乙两队合做10天完
成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙 、
丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做
5又12天完成。乙队单独做这项工程需多
少天可以完成？

4．一件工作，甲、乙合做4小时完成，
乙、丙合做5小时完成 。现在由甲、丙合做
2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做
这件工作需几小时才能完成？
【例题5】一条公路，甲队独修24天
可以完成，乙队独修30天可以完成。先由
甲、 乙两队合修4天，再由丙队参加一起修
7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同
时开工修这条 公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队
合修4天，再由丙队参加一起修 7天后全部
完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝
11天后，再由丙队单独修了7天才全 部完
成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的【1－
（124+130）】×（4+7）＝140
三队合修完成时间为1÷
（124+130+140）＝10（天）
答：10天可以完成。
练习5：
1．一件工作，甲单独做12小时完成。
现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才
完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可
以完成？



2．一条水渠，甲队独挖120天完成，
乙队独挖40天完成 。现在两队合挖8天，
剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。
这条水渠由丙队单独挖，多 少天可以完成？


3．一件工作，甲、乙合做6天可以完
成，乙、丙合做 10天可以完成。如果甲、
丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能
完成。如果全部工作由3 人合做，需几天可
以完成？

4．一项工程，甲、乙两队合做30天完
成， 甲队单独做24天后，乙队加入，两队
又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继
续做了15天 才完成。甲队独做这项工程需
要多少天？
- 17 -

姓名：__________________
第17讲 浓度问题
一、知识要点 < br>在百分数应用题中有一类叫溶液配比
问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水
就得到了 糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，
糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得
越多，糖水就越甜 ，也就是说糖水甜的程度
是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二
者质量的比值决定的。这个 比值就叫糖水的
含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，
纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫 酒精
含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的
比值，通常用百分数表示，即，
浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝
溶质质量（溶质质量＋溶剂质量）×100%
解答浓度问题，首先要弄清什么是浓
度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解
答比较容易，在 列方程时，要注意寻找题目
中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，< br>计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐
一分析，也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖量为7％的糖水600
克，要使其含糖量加大到10％，需要再加
入 多少克糖？
【思路导航】根据题意，在7％的糖水
中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量
增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量
并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中
的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的
浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质
量减去原 来糖水的质量就是增加的糖的质
量。
- 18 -
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）
＝558（克）
现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）
＝620（克）
加入糖的质量 ：620－600＝20
（克）
答：需要加入20克糖。
练习1：
1． 现在有浓度为20％的糖水300克，
要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖
多少克？

2．有含盐15％的盐水20千克，要使
盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？


3．有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200
毫升清水，乙瓶里装了200 毫升纯酒精。第
一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第
二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶 ，此时
甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？
【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓
度为35％的农药加多少千克水，才能配成
1 .75％的农药800千克？
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶
剂变为浓度低的溶液的过 程称为稀释。在这
种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是
解这类问题的关键。
800千克1.75％的农药含纯农药的质
量为800×1.75％＝14（千克）
含14千克纯农药的35％的农药质量为
14÷35％＝40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应

加水的质量为800－40＝760（千克）
答：用40千克的浓度为35％的农药中
添加760千克水，才能配成浓度为1.75％
的农药800千克。
练习2：
1 ．用含氨0.15％的氨水进行油菜追
肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置时
需加水多少 千克？


2．仓库运来含水量为90％的一种水果
100千克。一星期后 再测，发现含水量降低
到80％。现在这批水果的质量是多少千
克？

< br>3．一容器内装有10升纯酒精，倒出
2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水
加满 。这时容器内溶液的浓度是多少？
【例题3】现有浓度为10％的盐水20
千克。再加入多少 千克浓度为30％的盐水，
可以得到浓度为22％的盐水？
【思路导航】这是一个溶液混合问 题。
混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶
质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的
溶质的量。
20千克10％的盐水中含盐的质量20×
10％＝2（千克）
混合成22％时，20千克溶液中含盐的
质量20×22％＝404（千克）
需加30％盐水溶液的质量（4.4－2）
÷（30％－22％）＝30（千克）
答：需加入30千克浓度为30％的盐水，
可以得到浓度为22％的盐水。
练习3：
1．在100千克浓度为50％的硫酸溶液
中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液
就可以配制成25％的硫酸溶液？

2．浓度为70％的酒精溶液500克与浓
度为 50％的酒精溶液300克混合后所得到
的酒精溶液的浓度是多少？

3．在20％ 的盐水中加入10千克水，
浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为
25％？
【例 题4】将20％的盐水与5％的盐水
混合，配成15％的盐水600克，需要20％
的盐水和5 ％的盐水各多少克？
【思路导航】根据题意，将20％的盐
水与5％的盐水混合配成15％的 盐水，说明
混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐
水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间
的相等关系列方程解答。
解：设20％的盐水需x克，则5％的盐
水为600－x克，那么
20％x+（600－x）×5％＝600×15％
X ＝400
600－400＝200（克）
答：需要20％的盐水400克，5％的盐
水200克。
练习4：
1．两 种钢分别含镍5％和40％，要得
到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢
和含镍40％ 的钢各多少吨？


- 19 -

姓名：__________________
2．甲、乙两种酒各含酒精75％和55％，
要配制含酒精65％的酒3000克，应当从这
两种酒中各取多少克？
3．甲、乙两只装糖水 的桶，甲桶有糖
水60千克，含糖率为40％；乙桶有糖水40
千克，含糖率为20％。要使两 桶糖水的含
糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千
克？
【例题5】甲、乙、丙3 个试管中各盛
有10克、20克、30克水。把某种质量分数
的盐水10克倒入甲管中，混合后 取10克倒
入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒
入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数 为
0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是
多少？
【思路导航】混合后甲、乙、 丙3个试
管中应有的盐水分别是20克、30克、40
克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质 量。
又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐
是从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而乙管
里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出
的，由 此可求出甲管里20克盐水中盐的质
量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的
盐，这样就可得到 最初倒入甲管中盐水的质
量分数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝
02（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×
【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×
【（10+10）÷10】＝1.2（克）
1.2÷10＝12％
答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是
- 20 -
12％。
练习5：
1．从装满100克80％的盐水中倒出40
克盐水后 ，再用清水将杯加满，搅拌后再倒
出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如
此反复三次后，杯 中盐水的浓度是多少？


2．甲容器中又8％的盐水300克，乙
容器中 有12.5％的盐水120克。往甲、乙
两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中
盐水的浓度 一样。每个容器应倒入多少克
水？


3．甲种酒含纯酒精40％，乙种酒 含纯
酒精36％，丙种酒含纯酒精35％。将三种
酒混在一起得到含酒精38.5％的酒11千
克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲
种酒有多少千克？

第18讲 面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时，有些问题乍 一
看，在已知条件与所求问题之间找不到任何
联系，会使你感到无从下手。这时，如果我
们能认真观察图形，分析、研究已知条件，
并加以深化，再运用我们已有的基本几何知
识，适 当添加辅助线，搭一座连通已知条件
与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到
目的。有些平面 图形的面积计算必须借助于
图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平
移旋转、剪拼组合等方法 ，对图形进行恰当
合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出
解题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已知如图，三角形ABC的面
积为8平方厘米，AE＝ED ，BD=23BC，求
阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角
形，但三 角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF
（ 等底等高），采用移补的方法，将所求
阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2 3BC，所以S△BDF＝2S△
DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF
＝ 2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC
＝8平方厘米，所以S △DCF＝8÷5＝1.6（平
方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝
3.2（平方厘米 ）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，
BC=3BD，S△ABC＝30平
方厘米。求阴影部分的面
积。

2．如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S △ABC
＝21平方厘米。求阴影
部分的面积。







3．如图所示，DE＝12AE，BD＝2DC，S
△EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。





< br>【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割
成四个三角形，如图所
示，已知两个三角形的
面积，求另两个三角形
的面积各是多少？
【思路导航】已
知S△BOC是S △DOC的2倍，且高相等，可
知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相
等（等底等高 ）可知：S△ABO等于6，
而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD
的2倍。所以△A OD的面积为6÷2＝3。
- 21 -

姓名：__________________
因为S△ABD与S△ACD等底等高
所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍
所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个< br>三角形，（如图所示），已知两个三角形的面
积，求另
两个三角
形的面积
是多少？




2．已知AO
＝13OC，求梯形
ABCD的面积（如
图所示）。



3．已知三角形AOB的面积为15平方厘
米，线段OB的长 度为OD
的3倍。求梯形ABCD的
面积。（如图所示）。




【例题3】四边形ABCD的对角线BD被
E、F两点三等分，且四边形AECF的 面积为
- 22 -
15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图
所示）。
【思路导航】由于E、F三 等分BD，所
以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角
形，它们的面积相等。同理， 三角形BEC、
CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角
形ABD的面积是三角形AEF 面积的3倍，三
角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，
从而得出四边形ABCD的面积 是四边形AECF
面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角 线BD被E、F、G
三点四等分，且四边形AECG
的面积为15平方厘米。求四
边形 ABCD的面积（如图）。




2．已
知四
阴影部分面积为15平方厘米。求
四边形ABCD的面积（如图
所示）。




3．如图所示，求阴影
部分的面积（ABCD为正方
形）。
边形
ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且

【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影
部分的 面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD
的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2 DO，取BO中
点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相
等的性质，可知S△DBC＝S△ CDA；S△COB
＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。
所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S
△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方
厘米，OC＝2AO。求梯形面积。




2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘
米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平
方厘米。OC＝3AO，求梯形
的面积（如图所示）。


积是


【例题5】如图所示，长方形ADEF的面< br>16，三
角形
ADB的
面积是
3，三角形ACF的面积
是4， 求三角形ABC的
面积。
【思路导航】连接
AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可
有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长
方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3
得到 三角形ABE的面积为5。同理，用8减
去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可
知三角形 AEC与三角形ACF等底等高，C为
EF的中点，而
三角形ABE与
三角形BEC等
底，高是三角
形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2
＝2.5，所以，三角形 ABC的面积为16－3
－4－2.5＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形 ABCD的面积是
20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方
厘米，三角形ABE的面积为7 平方厘
米，求三角形AEF的面积。



- 23 -

姓名：__________________

2．如图所示，长方形ABCD的面积为2 0
平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝
6平方厘米，求三
角形AEF的 面积。





3．如图所示，长方
形ABC D的面积为24平方
厘米，三角形ABE、AFD
的面积均为4平方厘米，
求三角形A EF的面积。

米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积
（单位：厘米）。



2．求下面各个图形中阴影部分的面积
（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的
面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单
位：厘米）。



【思路导航】阴影部分通过翻折移动位
置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于
大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.1 4×
4
2

－4×4÷2÷2＝8.56（平
方厘米）
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。


1
4
第19讲 面积计算（二）

一、知识要点
在进 行组合图形的面积计算时，要仔细
观察，认真思考，看清组合图形是由几个基
本单位组成的，还 要找出图中的隐蔽条件与
已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部
1
分的面积可以拼成圆的面积。
4
62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.26平方厘
- 24 -
1
4

2．计算下面图形中阴影部分的面积（单
位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单
位：厘米，正方形边长4）。



【例题3】如图19－10所示，两圆半径
都是1厘米，且图 中两个阴影部分的面积相
等。求长方形ABO1O的面积。



【思路导航】因为两圆的半径相等，所
以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中
两个阴影部分 的面积相等，所以扇形的面积
等于长方形面积的一半（如图19－10右图
所示）。所以3.1 4×12×14×2＝1.57（平
方厘米）
答：长方形ABO1O的面积是1.57平方
厘米。
练习3：
1．如图所示，圆的周长为12.56厘米
2．，AC两点把圆分成相等的两段弧，
阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面
积相等，求平行四边形ABCD的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝
AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。


3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部
分的面积。




【例题4】如图19－14所示，求阴影部
分的面积（单
位：厘米）。




【思路导航】我们可以把三角形ABC
看成是长方形的一部分 ，把它还原成长方形
后（如图所示）。
I和II的面积相等。




因为原大三角形的面积与后加上的三


角形面积相等，并且空白部分的两组三
角形面积分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。

- 25 -

姓名：__________________


2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD
面积是38平方厘米。求CD的长度。




3．图是两个完全一样的直角三角形重
叠在一起， 按照图中的已知条件求阴影部分
的面积（单位：厘米）。




【例题5】如图所示，图中圆的直径AB是4
厘米，平行四边形ABCD 的面积是7平方厘
米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得
数保留两位小数）。




【思路导航】阴影部分的面积等于平行
四边形的面 积减去扇形AOC的面积，再减去
三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）
＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60360≈
2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平
方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
- 26 -
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1．如图所示，∠1＝15度 ，圆的周长位
62.8厘米，平行四边形的面积为100平方
厘米。求阴影部分的面积（得数保 留两位小
数）。



2．如图所示，三角形ABC的面积是31 .2
平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：DC
＝3：1。求阴影部分的面积。





3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米。得数保留两位小数）。





4、如图所示，求阴影部分的面积（单
位：厘米。得数保留两位小数）。

第20讲 面积计算
一、知识要点
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其
中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难
为易 。有些图形可以根据“容斥问题“的原
理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求
出时，可以把 “r2”整体地代入面积公式求
面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分
的面积。



【 思路导航】解法一：阴影部分的一半，
可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角
形（如图），等 腰直角三角形的斜边等于圆
的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的
半径为20÷2＝10厘 米
[3.14×102×14－10×（10÷2）]×2
＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心
点。 把图的右半部分向下旋转90度后，阴
影部分的面积就变为从半径为10厘米的半
圆面积中，减 去两直角边为10厘米的等腰
直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×12－（20÷2）2×12
＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单
位：厘米）



2．如图所示，用一张斜边为29厘米的
红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米
的蓝色直角 三角形纸片，一张黄色的正方形
纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三
角形纸片面积之和是 多少？

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姓名：__________________
【例题2】如图所示，求图中阴影部分
的面积（单位：厘米）。


【思路导航】解法一：先用长方形的面
积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的
面积，再用 大扇形的面积减去空白部分（a）
的面积。如图所示。




3.14×62×14－（6×4－3.14×42×
14）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）
两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形
面积 相加，刚好多计算了空白部分和阴影
（1）的面积，即长方形的面积。



3.14×42×14+3.14×62×14－4×6
＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘
米。
练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角
形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．如图所示，三角形ABC是直角三角
形，AC长4厘米， BC长2厘米。以AC、BC
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为直径画半圆，两个半圆
的交点在AB边上。求图中
阴影部分的面积。




3．如图所示，图中平行四边形的一个
角为600 ，两条边的长分别为6厘米和8厘
米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。



【例题3】在图中，正方形的边长是10厘
米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：先用正方形的面
积减去一个整圆的面积，得空部分的一半
（如图所示）， 再用正方形的面积减去全部
空白部分。



空白部分的一半：10×10－（10÷2）2
×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝
57（平方厘米）
解法二：把图中8 个扇形的面积加在一
起，正好多算了一个正方形（如图所示），
而8个扇形的面积又正好等于两 个整圆的
面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平
方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：

1．求下面各图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




2．求下面各图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




3．求下面各图形中阴影部分的面积（单
位：厘米）。




【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6
厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】 这道题的难点在于正方形
的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，AC是等 腰直角三角形ACD
的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可
知，斜边上的高等于斜边的一半（ 如图所
示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的
面积，进而求出正方形ABCD的面积，即 扇
形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可
以求出半径的平方，也可以把半径的平方直
接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方
为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4
＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4：
1．如图所示，图形中正方形 的面积是
50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部
分的面积。



2．如图所示，图形中正方形的面积是
50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部< br>分的面积。


3．如图所示，正方形中对角线长10
厘米，过正方 形两个相对的顶点以其边长为
半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积
（试一试，你能想出几种 办法）。



【例题5】在图的扇形中，正方形的面
积
是
30
平
方厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分的面积等于扇 形
的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径
未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的
面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以
扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图
所示） ，从图中可以看出，新正方形的面积
是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方
等于60。 这样虽然半径未求出，但能求出
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姓名：__________________
半径的平方，再把半径的平等直接代入公式
计算。



3.14×（30×2）×14－30＝17.1（平
方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习5：
1．如图所示，平行四边形的面积是100
平方厘米，求阴影部分的面积。




2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂
直于AB,三角形A BC的面积是45平方厘米，
求阴影部分的面积。




3．如图所示，半圆的面积是62.8平方
厘米，求阴影部分的面积。













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