美容讲师-销售员实习报告

名校真题 测试卷10 （数论篇一）
1、（05年人大附中考题）有_____ 个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相
同；它的每个数字都能整除它本身 。
2、（05年101中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数
是_____。
3 （05年首师附中考题）
123

++=________。
221212121
4 （04年人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3个 正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

(02年人大附中考题)
下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128


【附答案】

1 【解】：6

2 【 解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所 以我们可
以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。

3 【解】：周期性数字，每个数约分后为
12513
+++=1
21212121

4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而 且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3
×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所 以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。





第十讲 小升初专项训练 数论篇（一）
一、小升初考试热点及命题方向

数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当 压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化
众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容 包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约
数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理 论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而
且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密 切的联系,其重要性是不言而喻的。
二、 考点预测

的小升初考试将继续以填 空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

则需综合运 用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大
知识点，能 否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。

三、基本公式

1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）

2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。

3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1
a1
× p2
a2
×...×pk
ak
（#)
其中p1该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.

4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）
那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
所有约数和 ：（1+P1+P1+…p1
2
a1
）（1+P2+P2+…p2
2a2）…（1+Pk+Pk+…pk
2ak
）
[讲解练习]：1996不同的质因数 有＿＿个，它们的和是＿＿。（1996年小学数学奥林匹克初赛）

5) 用[a,b]表 示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。（迎春杯刊赛第10题 ）

6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）

7）平方数的总结：
小生初四个考点：1：平方差 A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
[讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1=＿＿。
2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
4:平方和。

8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

公式需牢记
9）周期性数字：abab=ab×101
做题有信心！
[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。


22222222
22

四、典型例题解析

1 数的整除

【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（ 4×3×2×1=24）。将这24
个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到 小排列的话，第二个是不能被4整除
的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-40 00之间。请求出这24个四位数中最大的一个。

【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是 5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d +4；
因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么ab dc的末2位是24，
它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。


【例2】（★★★）一 个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？
[思路]：现在我 们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性
质的运用要具 体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手

【解】：5位数数字和最大的为9× 5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我
们接着用11的整 除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。

【例3】（★ ★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？


【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的47 ，女同学的人
数超过总数的25 。问男女生各多少人？
【来源】：06年理工附入学测试题

【解】：男生超过总数的47就是说女生少个 总数的37，这样女生的范围在25～37之间，同理可得男生
在47～35之间，这样把分数扩大，我 们可得女生人数在2870～3070之间，所以只能是29人，这样男
生为41人。


2 质数与合数（分解质因数）

【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?

【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我 们可以
得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的 倍数能
分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题， 如5的倍数有
[105]=2个。
2005=5×401 684=2×2×171
375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。
[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____

【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时， 04年的招生人数比
03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
【解】： 看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我
们发现0 4年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以B- A=（A+B ）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是
个质数，所 以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生 人数
为51×51=2601。
[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）


约数和倍数

【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫 米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，
如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上 再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不
断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：
2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数
847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数

【例8】（★★★）一根木棍长100 米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，
请问所有的标记线中有多少根距离 相差4米？
【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样 我们都以从左往右
22
22
22

作，可见转化成讨论5，6的 最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有
2条，但发现最后96 和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。
[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一 种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；
第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度 线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？

【例9】（★★★）1、2、3、4…200 8这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？

【解】：最小公倍数就是 分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我
们只要找需要多少个2， 所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。

【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，< br>2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数 能
被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1 ）说
得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请 求出这
个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5 ，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号
乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与 “只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数
能被2，3，4，5，6，7都整除。 < br>其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学 说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其 他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。





数论的综合题型

【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他 们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12
个连续的六位自然数，并且每家的电话 号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小
于6，并且门牌号是9的这一家的电话 号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？

【解】：
设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍数
[1,2,…..12]=27720
所以x=27720m
27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4
所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….
第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；
因此第一家电话号码是27720*14+1=388081
[拓展]：写 出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数…第11个是12的倍数？

【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学 写了一个自然数，
2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每 位同学都说，这个数能
被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余 同学都对，问：（1）说
得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号 写的数是五位数，请求出这
个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编 号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号
乘以2后所有编号也将 说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数
能被2，3，4，5， 6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10 ，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其 他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。


小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）数的整除。 参见例1，2，3，4
2）质数与合数（分解质因数）。参见例5，6
3）约数和倍数。 参见例7，8，9，10
4）数论的综合题型。 参见例11，12




【课外知识】
打开另一扇心窗
很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小双目失明，
但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一
样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘
埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地
根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖
花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许
多市民。
后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。
启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实 ，
上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快 乐

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4—类型1；题2，6—类型3；题3，5，8—类型2；题7—类型2

1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
解：1+2+……+100=5050
9+18+27+……+99=9×(1+2+……+11)=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

1< br>2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占
7
，得80～89分的人
1
1
数占
2
，得70～79分得人数占
3
，那么得70分以下的有________人。
11
1
解：有
7
、
2
、
3
，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故 为[7、2、3]＝42的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。

111


1

723

＝1人 。 从而70分以下的有：42×


3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个 质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自
然数有_______个。
解：枚举法：23，37，53，73，，有4个

4. （★★★）三个自然数， 其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三
个数整除，那么这样的三个 自然数的和的最小值是多少？
解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）
和的最小值为31。


5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数， 中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这
样一组数中的最大数的最小值是多少？
解：设中间一个数为2x
那么5个数的和为10x=m^2
中间3个数的和为6x=n^3
设x=2^p × 3^q × 5^r
再根据一 个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子
的幂都是 3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3

X=36000
因此所求为2x+4=72004

6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
解 ：A-B=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为4 61。

7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向 右1至11报数，报数为11的
同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数 ，报数为11的同学留下，其余的
同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学 留下，其余同学出列．那么最后留下
的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．
【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学，他们最 初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编
号都是
11
=121的 倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是
11
=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．

8、（★★★）有1 997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那
么，这样的 三个质数可以是 、 、 ．
【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意
1994+a+b+C=a·b·c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；
取a=3 ，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=
501
5
23
22< br>不是整数；
取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．
故5、7、59是满足题意的三个质数．

名校真题 测试卷10 （数论篇一）
1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的 各位数字都是奇数；它的各位数字互不相
同；它的每个数字都能整除它本身。
2、（05年101中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数
是_____。
3 （05年首师附中考题）
123

++=________。
221212121
4 （04年人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3个 正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

(02年人大附中考题)
下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128


【附答案】

1 【解】：6

2 【 解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所 以我们可
以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。

3 【解】：周期性数字，每个数约分后为
12513
+++=1
21212121

4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而 且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3
×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所 以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。





第十讲 小升初专项训练 数论篇（一）
一、小升初考试热点及命题方向

数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当 压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化
众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容 包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约
数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理 论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而
且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密 切的联系,其重要性是不言而喻的。
二、 考点预测

的小升初考试将继续以填 空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

则需综合运 用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大
知识点，能 否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。

三、基本公式

1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）

2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。

3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1
a1
× p2
a2
×...×pk
ak
（#)
其中p1该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.

4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）
那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
所有约数和 ：（1+P1+P1+…p1
2
a1
）（1+P2+P2+…p2
2a2）…（1+Pk+Pk+…pk
2ak
）
[讲解练习]：1996不同的质因数 有＿＿个，它们的和是＿＿。（1996年小学数学奥林匹克初赛）

5) 用[a,b]表 示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。（迎春杯刊赛第10题 ）

6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）

7）平方数的总结：
小生初四个考点：1：平方差 A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
[讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1=＿＿。
2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
4:平方和。

8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

公式需牢记
9）周期性数字：abab=ab×101
做题有信心！
[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。


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四、典型例题解析

1 数的整除

【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（ 4×3×2×1=24）。将这24
个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到 小排列的话，第二个是不能被4整除
的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-40 00之间。请求出这24个四位数中最大的一个。

【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是 5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d +4；
因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么ab dc的末2位是24，
它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。


【例2】（★★★）一 个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？
[思路]：现在我 们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性
质的运用要具 体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手

【解】：5位数数字和最大的为9× 5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我
们接着用11的整 除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。

【例3】（★ ★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？


【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的47 ，女同学的人
数超过总数的25 。问男女生各多少人？
【来源】：06年理工附入学测试题

【解】：男生超过总数的47就是说女生少个 总数的37，这样女生的范围在25～37之间，同理可得男生
在47～35之间，这样把分数扩大，我 们可得女生人数在2870～3070之间，所以只能是29人，这样男
生为41人。


2 质数与合数（分解质因数）

【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?

【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我 们可以
得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的 倍数能
分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题， 如5的倍数有
[105]=2个。
2005=5×401 684=2×2×171
375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。
[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____

【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时， 04年的招生人数比
03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
【解】： 看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我
们发现0 4年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以B- A=（A+B ）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是
个质数，所 以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生 人数
为51×51=2601。
[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）


约数和倍数

【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫 米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，
如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上 再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不
断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：
2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数
847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数

【例8】（★★★）一根木棍长100 米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，
请问所有的标记线中有多少根距离 相差4米？
【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样 我们都以从左往右
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22
22

作，可见转化成讨论5，6的 最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有
2条，但发现最后96 和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。
[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一 种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；
第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度 线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？

【例9】（★★★）1、2、3、4…200 8这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？

【解】：最小公倍数就是 分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我
们只要找需要多少个2， 所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。

【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，< br>2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数 能
被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1 ）说
得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请 求出这
个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5 ，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号
乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与 “只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数
能被2，3，4，5，6，7都整除。 < br>其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学 说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其 他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。





数论的综合题型

【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他 们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12
个连续的六位自然数，并且每家的电话 号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小
于6，并且门牌号是9的这一家的电话 号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？

【解】：
设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍数
[1,2,…..12]=27720
所以x=27720m
27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4
所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….
第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；
因此第一家电话号码是27720*14+1=388081
[拓展]：写 出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数…第11个是12的倍数？

【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学 写了一个自然数，
2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每 位同学都说，这个数能
被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余 同学都对，问：（1）说
得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号 写的数是五位数，请求出这
个数。（写出解题过程）

【解】：1）首先可以断定编 号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号
乘以2后所有编号也将 说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数
能被2，3，4，5， 6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10 ，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其 他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。


小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）数的整除。 参见例1，2，3，4
2）质数与合数（分解质因数）。参见例5，6
3）约数和倍数。 参见例7，8，9，10
4）数论的综合题型。 参见例11，12




【课外知识】
打开另一扇心窗
很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小双目失明，
但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一
样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘
埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地
根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖
花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许
多市民。
后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。
启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实 ，
上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快 乐

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4—类型1；题2，6—类型3；题3，5，8—类型2；题7—类型2

1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
解：1+2+……+100=5050
9+18+27+……+99=9×(1+2+……+11)=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

1< br>2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占
7
，得80～89分的人
1
1
数占
2
，得70～79分得人数占
3
，那么得70分以下的有________人。
11
1
解：有
7
、
2
、
3
，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故 为[7、2、3]＝42的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。

111


1

723

＝1人 。 从而70分以下的有：42×


3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个 质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自
然数有_______个。
解：枚举法：23，37，53，73，，有4个

4. （★★★）三个自然数， 其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三
个数整除，那么这样的三个 自然数的和的最小值是多少？
解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）
和的最小值为31。


5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数， 中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这
样一组数中的最大数的最小值是多少？
解：设中间一个数为2x
那么5个数的和为10x=m^2
中间3个数的和为6x=n^3
设x=2^p × 3^q × 5^r
再根据一 个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子
的幂都是 3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3

X=36000
因此所求为2x+4=72004

6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
解 ：A-B=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为4 61。

7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向 右1至11报数，报数为11的
同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数 ，报数为11的同学留下，其余的
同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学 留下，其余同学出列．那么最后留下
的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．
【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学，他们最 初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编
号都是
11
=121的 倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是
11
=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．

8、（★★★）有1 997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那
么，这样的 三个质数可以是 、 、 ．
【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意
1994+a+b+C=a·b·c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；
取a=3 ，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=
501
5
23
22< br>不是整数；
取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．
故5、7、59是满足题意的三个质数．