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飞学教育奥数学科导学案
（课时数1_）

教师:
姚成中
学生:
徐爱琪
年级:
五
日期:
7月4日
星期:
一
时段: 1
8:00-20:00

课 题
乘法原理与加法原理
本次课教学重点
学习并掌握加法原理和乘法原理的思路和解法。
本次课存在问题

解决方案

学习内容与过程
一、 学习要点：
Ⅰ乘法原理
在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种< br>不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．
例 如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，< br>而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：

第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：
注意到 3×1=3．
如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：

共有六种走法，注意到3×2=6．
在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出 来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不
太多的问题是很有效的．
在上面的例子 中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步

所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．
一般地，如果完成一件事 需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，
做第n步有m n种不同的方法，那么，完成这件事一共有
N=m1×m2×…×mn种不同的方法．
这就是乘法原理．
Ⅱ加法原理
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有 几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，
考虑完成这件事所有可能的做法，就要 用我们将讨论的加法原理来解决．
例如 某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现 在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途
汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种 不同的走法？
分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如 果乘火车，有5种走法，如
果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9种不同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候， 只要采用一类中的一种方法就可以完成．并
且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就 是用第一类的方法数加上第二类的方法数．
一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有 m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第
k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件 事共有
N=m1+m2+…+mk
种不同的方法．
这就是加法原理．
二、 典例剖析：
Ⅰ乘法原理
例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
分析 某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）．其中，买主食有3种不
同的方法，买副食有5种不同的方法．故可以由乘法原理解决．
解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法．
补充说明：由例题可以看 出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每
个步骤各有若干种 不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．
例2 右图中有7个点和十条线段，一 只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只
甲虫最多有几种不同的走 法？

分析 甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即 由A到C，再由C到B．而由
A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结 论．
解：这只甲虫从A到B共有3×3=9种不同的走法．
例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？
分析 要做的事情是从外语、语文书中各取一本．完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法 ），再取一本
语文书（有4种取法）．(或先取语文书，再取外语书．）所以，用乘法原理解决．
解：从架上各取一本共有6×4=24种不同的取法．
例4 王英、赵明、李刚三人约好 每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：
报名的结果会 出现多少种不同的情形？
分析 三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名．所以可以看成是分三 步完成，即一个人一个人地去报名．首先，
王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法 ．其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法．同样，

李刚也有4种不同的报名方法．满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决．
解：由乘法原理，报名的结果共有4×4×4=64种不同的情形．
例5 由数字0、1、2、3组成三位数，问：
①可组成多少个不相等的三位数？
②可组成多少个没有重复数字的三位数？


解：由乘法原理
①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数；
②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数．
例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
解：由1、2、3、4、5、6共可组成
3×4×5×3=180
个没有重复数字的四位奇数．
例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在 方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：
共有多少种不同的放法？


解：由乘法原理，共有
16×9×4×1=576
种不同的放法．
例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9 张，那么，共
可以配成多少种不同的钱数？
解：取出的总钱数是 9×4-1=35种不同的情形．
Ⅱ加法原理
例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一 本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技
书200本，不同的小说10 0本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

解：小明借一本书共有：
150+200+100=450（种）
不同的选法．
例2 一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

解：①从两个口袋中任取一个小球共有
3+8=11（种），不同的取法．
②从两个口袋中各取一个小球共有
3×8=24（种）不同的取法．
补充说明：由 本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个
步骤， 一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．
例3 如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从 甲地到丙地有3条路可走．那么，从

甲地到丙地共有多少种走法？

解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11（种）不同的走法．
例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少< br>种不同的走法？

解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．
从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．
所以，从A点到B点共有： 3+6=9（种）不同的走法．
例5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、 2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上
的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇 数有三种可
能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3 =9种不同的情形．
第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．
最后再由加法原理即可求解．
解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；
两个正方体向上的一面同为偶数共有 3×3=9（种）不同的情形．
所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形．
模拟测试
1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路 可以走，从乙地到丙地有2条路可
以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法 ？
2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不 共线）．在每条直
线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？

3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？
4． 一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的< br>任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？

学生对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识

2、你对老师下次上课的建议

⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：

飞学教育奥数学科导学案
（课时数1_）

教师:
姚成中
学生:
徐爱琪
年级:
五
日期:
7月4日
星期:
一
时段: 1
8:00-20:00

课 题
乘法原理与加法原理
本次课教学重点
学习并掌握加法原理和乘法原理的思路和解法。
本次课存在问题

解决方案

学习内容与过程
一、 学习要点：
Ⅰ乘法原理
在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种< br>不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．
例 如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，< br>而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：

第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：
注意到 3×1=3．
如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：

共有六种走法，注意到3×2=6．
在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出 来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不
太多的问题是很有效的．
在上面的例子 中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步

所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．
一般地，如果完成一件事 需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，
做第n步有m n种不同的方法，那么，完成这件事一共有
N=m1×m2×…×mn种不同的方法．
这就是乘法原理．
Ⅱ加法原理
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有 几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，
考虑完成这件事所有可能的做法，就要 用我们将讨论的加法原理来解决．
例如 某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现 在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途
汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种 不同的走法？
分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如 果乘火车，有5种走法，如
果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9种不同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候， 只要采用一类中的一种方法就可以完成．并
且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就 是用第一类的方法数加上第二类的方法数．
一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有 m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第
k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件 事共有
N=m1+m2+…+mk
种不同的方法．
这就是加法原理．
二、 典例剖析：
Ⅰ乘法原理
例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
分析 某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）．其中，买主食有3种不
同的方法，买副食有5种不同的方法．故可以由乘法原理解决．
解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法．
补充说明：由例题可以看 出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每
个步骤各有若干种 不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．
例2 右图中有7个点和十条线段，一 只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只
甲虫最多有几种不同的走 法？

分析 甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即 由A到C，再由C到B．而由
A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结 论．
解：这只甲虫从A到B共有3×3=9种不同的走法．
例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？
分析 要做的事情是从外语、语文书中各取一本．完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法 ），再取一本
语文书（有4种取法）．(或先取语文书，再取外语书．）所以，用乘法原理解决．
解：从架上各取一本共有6×4=24种不同的取法．
例4 王英、赵明、李刚三人约好 每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：
报名的结果会 出现多少种不同的情形？
分析 三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名．所以可以看成是分三 步完成，即一个人一个人地去报名．首先，
王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法 ．其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法．同样，

李刚也有4种不同的报名方法．满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决．
解：由乘法原理，报名的结果共有4×4×4=64种不同的情形．
例5 由数字0、1、2、3组成三位数，问：
①可组成多少个不相等的三位数？
②可组成多少个没有重复数字的三位数？


解：由乘法原理
①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数；
②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数．
例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
解：由1、2、3、4、5、6共可组成
3×4×5×3=180
个没有重复数字的四位奇数．
例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在 方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：
共有多少种不同的放法？


解：由乘法原理，共有
16×9×4×1=576
种不同的放法．
例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9 张，那么，共
可以配成多少种不同的钱数？
解：取出的总钱数是 9×4-1=35种不同的情形．
Ⅱ加法原理
例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一 本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技
书200本，不同的小说10 0本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

解：小明借一本书共有：
150+200+100=450（种）
不同的选法．
例2 一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

解：①从两个口袋中任取一个小球共有
3+8=11（种），不同的取法．
②从两个口袋中各取一个小球共有
3×8=24（种）不同的取法．
补充说明：由 本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个
步骤， 一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．
例3 如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从 甲地到丙地有3条路可走．那么，从

甲地到丙地共有多少种走法？

解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11（种）不同的走法．
例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少< br>种不同的走法？

解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．
从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．
所以，从A点到B点共有： 3+6=9（种）不同的走法．
例5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、 2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上
的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇 数有三种可
能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3 =9种不同的情形．
第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．
最后再由加法原理即可求解．
解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；
两个正方体向上的一面同为偶数共有 3×3=9（种）不同的情形．
所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形．
模拟测试
1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路 可以走，从乙地到丙地有2条路可
以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法 ？
2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不 共线）．在每条直
线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？

3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？
4． 一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的< br>任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？

学生对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识

2、你对老师下次上课的建议

⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：