小学奥数第5讲 整数的拆分(含解题思路)

余年寄山水
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2020年08月02日 13:19
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5、整数的拆分
【不连续加数拆分】
例1 将一根长144厘米的铁丝 ,做成长和宽都是整数的长方形,共有
______种不同的做法?其中面积最大的是哪一种长方形?
(1992年“我爱数学”邀请赛试题)
讲析:做成的长方形,长与宽的和是
144÷2=72(厘米)。
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,
所以,一共有36种不同的做法。
比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积
最大。
例2将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些
自然数是______。
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时, 有大于4的数,则把大于4的
这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这 个
数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1,则与“乘积最大”不符。
所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3。
但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8,而
3×3=9。
所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3。
而1992÷3=664。故,这些自然数是664个3。
例3把50分成4个自然数,使得第一 个数乘以2等于第二个数除以2;第
三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法。
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。


因为a×2=b÷2,则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。
那么,a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。
又因为c+2=d-2,即d=c+4。所以c、d之和加上4之后,必是2的倍数。
则c、d可取的数组有:
(40、10),(30、20),(20、30),(10、40)。
由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,
得出符合条件的a、b、c、d一组为(8、32、3、7)。
同理得出另外三组为:(6、24 、8、12),(4、16、13、17),(2、8、
18、22)。
所以,最多有4种分法。
【连续加数拆分】
例1 把945写成连续自然数相加的形式,有多少种?
(第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:因为945=3
5
×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1) =16(个)奇约
数。
所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和。
例2 几个连续自然 数相加,和能等于1991吗?如果能,有几种不同的答案?
写出这些答案;如果不能,说明理由。
(全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数。
所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案。
由1991=1×1991得:
1991=995+996。
由1991=11×181得:




…+(80+101)
=80+81+……+100+101。


5、整数的拆分
【不连续加数拆分】
例1 将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形, 共有
______种不同的做法?其中面积最大的是哪一种长方形?
(1992年“我爱数学”邀请赛试题)
讲析:做成的长方形,长与宽的和是
144÷2=72(厘米)。
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,
所以,一共有36种不同的做法。
比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积
最大。
例2将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些
自然数是______。
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时, 有大于4的数,则把大于4的
这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这 个
数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1,则与“乘积最大”不符。
所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3。
但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8,而
3×3=9。
所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3。
而1992÷3=664。故,这些自然数是664个3。
例3把50分成4个自然数,使得第一 个数乘以2等于第二个数除以2;第
三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法。
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。


因为a×2=b÷2,则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。
那么,a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。
又因为c+2=d-2,即d=c+4。所以c、d之和加上4之后,必是2的倍数。
则c、d可取的数组有:
(40、10),(30、20),(20、30),(10、40)。
由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,
得出符合条件的a、b、c、d一组为(8、32、3、7)。
同理得出另外三组为:(6、24 、8、12),(4、16、13、17),(2、8、
18、22)。
所以,最多有4种分法。
【连续加数拆分】
例1 把945写成连续自然数相加的形式,有多少种?
(第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:因为945=3
5
×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1) =16(个)奇约
数。
所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和。
例2 几个连续自然 数相加,和能等于1991吗?如果能,有几种不同的答案?
写出这些答案;如果不能,说明理由。
(全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数。
所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案。
由1991=1×1991得:
1991=995+996。
由1991=11×181得:




…+(80+101)
=80+81+……+100+101。

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