定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。

基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘 除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12、数列求和：

等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数，就叫做等差数列。

基本概念：

首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：
等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉
及四个量，如果己 知其中三个，就可求出第四个；求和公
式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：
通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)×公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13、二进制及其应用：

十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字
表示不 同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示
200。所以234=200+30+4=2×102 +3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×
10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×
102+A2×1 01+A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表
示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×
2n-4 +An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制： ①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，
直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而 上依次写出
即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再
找不大于这 个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，
按照二进制展开式特点即可写出。

14、加法乘法原理和几何计数：

加法原理：
如果完成一件任务有n类 方法，在第一类方法中有m1
种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在
第n类方 法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共
有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。

关键问题：
确定工作的分类方法。

基本特征：
每一种方法都可完成任务。

乘法原理：
如果 完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有
m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m 2
种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn
种方法，那么完成这件任务共有： m1×m2.......×mn种
不同的方法。

关键问题：
确定工作的完成步骤。

基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。

直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨
迹。

直线特点：
没有端点，没有长度。

线段：

直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：
有两个端点，有长度。

射线：
把直线的一端无限延长。

射线特点：
只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列
数

15、质数与合数：

质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做
质数，也叫做素数。

合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做
合数。

质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数
的质因数。

分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法 分解质因数。任何一个合数分解质因数的结
果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：
N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，
且a1
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16、约数与倍数：

约数和倍数：
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。

公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的
一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互
质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约
数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连
乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除
的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的
一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数
的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、
分解质因数的方法

17、数的整除：

基本概念和符号：
1、整除：如果一个整 数a，除以一个自然数b，得到一
个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b
能整 除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因
为符号“∵”，所以的符号“∴”；

整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25
整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、
125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成
数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7
整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成
的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整
除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整
除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成
的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被
13整除。

整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能
被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b
整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c
整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公
倍数整除。

18、余数及其应用：

基本概念：
对任意自然数a、b、q、r，如果 使得a÷b=q……r，且
0不完全 商。

余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b
除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除
以c的余数的积除以c的余数。

19、余数、同余与周期：

同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于
模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对
于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod
m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡
b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b
×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod
m×c)；

关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则
M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，
Y表示M的各个偶数数位上数字 的和，则M≡Y-X或M≡
11-（X-Y）(mod 11)；

费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，
则ap-1≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用：

基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几
份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数
（0除外），分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的
数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进
行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直
接对应关系。
③转化思维方 法：把一类应用题转化成另一类应用题进行
解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同
一条件下的分率。常见的处理方法是确定不 同的标准为一
倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等
的量假 设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结
果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量 不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是
不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定 不变
的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、
总量发生变化，但其中有的分量 不变。C、总量和分量都
发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方 法：用一种量代替另一种量，从而使数量关
系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行
处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状
况。

21、分数大小的比较：

基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数
大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数
大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比
较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分
子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的
大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的 变化关系比
较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）
后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进
行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和
0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比
较。

22、分数拆分：

将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

23、完全平方数：

完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：
X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：
（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24、比和比例：

比：
两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，
比号后面的数叫比的后项。

比值：
比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比
值不变。

比例：
表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：
若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不
变时），则A与B成正比。

反比例：
若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不
变时），则A与B成反比。

比例尺：
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：
把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25、综合行程：

基本概念：
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
路程三者之间的关系.

基本公式：
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：
确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公
式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法

基本题型：
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追
及时间）、速度 （速度和、速度差）中任意两个量，求第
三个量。

25个小学奥数必考公式
1、和差倍问题：
每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数

倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数


2、年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；


3、归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一 量”，题目一
般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量；


4、植树问题：
在直线或在直线或
基本
类型
者不封闭者不封闭
的曲线上的曲线上
植树，两端植树，两端
都植树 都不植树
在直线或者
不封闭的曲
线上植树，只
有一端植树
封闭曲线上植树

棵数=段数棵数=段
基本＋1
公式
数－1 棵数=段数
棵距×段数棵距×段棵距×段数=总长
=总长 数=总长
关键
问题


确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

5、鸡兔同笼问题：
基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错
的那部分置换出来；

基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一
样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多
少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原
因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚
数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头
数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题：
基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照
另一种标准 分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，
造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象
的总量。

基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异 造成结
果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根
据题意求出对象的总量。

基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份
数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次
每份数的差

基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：
确定对象总量和总的组数。


7、牛吃草问题：
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成 这种差异的原因，即
可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：
确定两个不变的量。

基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数- 较短时间×短时间牛
头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量；

8、周期循环与数表规律：

周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：
确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份
必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不
能被400整除；

9、平均数：

基本公式：

①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根 据给出的数之间的关系，确定一个基准数；
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差
的和；再求出这些差的平均数；最后求这个 差的平均数和
基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②

10、抽屉原理：

抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽
屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三
个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1