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分数求和
分数求和的常用方法：
1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂 项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分
分数可以互相抵消， 从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合 在一起
简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题
一、公式法：
7
++++…++
2
1
分析：这道题中相邻两个加数之间相差，成等差数列，我们可以运用等差数列求
2008
计算 ：
和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
7
++++…++
2
12007
=（＋）×2007÷2
20082008
1
=
1003

2

二、图解法：
计算：
11111
1
＋＋＋＋＋
24816
32
64
分析：解法一，先画出线段图：

从图中可以看出：
11111163
1
＋＋＋＋＋=1－=
24 816
32
646464
解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一 半。因此，只要添上一个加数
1
1
，就能凑成，依次向前类推，可以求出算式之和。
64
32
11111
1
＋＋＋＋＋
24816
32
64
1111111
1
= ＋＋＋＋＋（＋）－
24816
32
646464
11111
11
= ＋＋＋＋（+）－
2481664
3232

……
11
×2－
264
63
=
64
=
解 法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大
2倍，然后两式 相减，消去一部分。
11111
1
＋＋＋＋＋ ①
24816
32
64
11111
1
那么，2x=（ ＋＋＋＋＋）×2
24816
32
64
1111
1
=1+ ＋＋＋＋ ②
24816
32
设x=

用②－①得
111111111
11
＋＋＋＋－（ ＋＋＋＋＋）
24816
32
24816
32
64
63
x=
64
1111163
1
所以， ＋＋＋＋＋=
24816
32
6464
2x－x=1+

三、裂项法
1、计算：
11111
11
+＋＋＋＋……＋＋
2612203090
110
分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6 =2×3，12=3×
4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个 连续自然数的乘积。

==1－，==－，==－，……，
2122623231 23434
1111
==-。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下 头
11010111011
再变数型：因为
和尾两个分数，给计算带来方便。
11111
11
+＋＋＋＋……＋＋
261220
3090
110
111111111
=1－＋－＋－＋……＋－＋-
223349101011
1
=1－
11
10
=
11

2、计算：
111
11
＋＋＋……＋＋
2 9333337
15
59
913

分析：因为
14111141
441
=1－，=－，=－……=－，
55959
9 13
913293329
3315
41
1
=－。所以，我们可以 将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数
3337
33
37
的差 进行简便计算。
111
11
＋＋＋……＋＋
29333337
15
59
913
444
44
=（＋＋＋……＋＋）÷4 < br>29333337
15
59
913
1111111
11
=（1－＋－＋－＋……＋－＋－）÷4
55991329
3333
37
1
=（1－）÷4
37
9
=
37
4444
4444
3、计算：21－－－－－－－－
315< br>356399
143195
255
4111
1
分析：因为=4 ×=4×=4×（1－）×,
3332
13
411111
=4×=4×=4×(－)×,
151535352
1111
41
=4×=4×=4×(－)×,
57572
3535
……
111
411
=4×=4×=4×(－)×.
151715
17
2
255255
所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
4444
4444
－－－－－－－
315
356399
1 43195
255
1111111
1
=21－4×（1－+－+－＋……＋－ ）×
3355715
17
2
1
=21－2×(1－)
17
2
=19
17
19899
4、计算：＋＋＋＋＋……＋＋
26122
111
分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：=1－=1－，
221 2
5899
=1－=1－，=1－=1－， =1－=1－，……，=1－
662 31212342020459900
11
=1－.然后再裂项相消。
990099100
21－

19899
＋＋＋＋＋……＋＋
26122
11111
=（1－）＋（1－）＋（1－）＋(1－)＋……＋(1－)
2612209900
11111
=1×99－(＋＋＋＋……＋)
2612209900
11111
=99－(＋＋＋＋……＋)
1223344599100
1
=99－(1－)
100
1
=99
100
1111
5、计算：1＋+……+

121231234123......100
分析：可以 看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分
母是100个数相加且都 是等差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，
变分母为两个数相乘。再裂项求和。
1111
+……+

121231234123.. ....100
12
1111
=+
......
(1 100)100
12
(12)2(13)3(14)4
2222< br>22222
=
......
122334451001 01
1
=2×（1－）
101
99
=
1

101
解法一：1＋
解法二：原式=
212121212
......
122(12)2(123)2(1234)2(1 2......99100)
2222

......
12 2334100101
1111
=2×（）
......
122334100101
1
=2×（1－）
101
99
=
1

101
1111

…＋6、计算：
1232343 459899100
=
分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：

11111111
()
，
()
，……
1232122323422334
1111
()
， 此时，可消中间，留两头进行巧算。
98991002989999100
1111 11111
原式=×（）＋×（）+……＋×（）

212232233 42989999100
1111111
=×（＋＋……＋）

212232334989999100
111
=×（）

21299100
4949
=
19800

12345678
+－－＋＋－－＋
20042004
9112002
＋－ ……－－＋＋
2
2
分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数开始依次往后数 ，每四个分数为一组，
2004
2001
到为止，共有500组，每组计算结果都是0 .
2004
123456789
原式=+（－－＋）＋（－－＋）
2
1020012002
＋－……+（－－＋）＋
2
12002
=+
20042004
2003
=
2004
四、分组法：计算，

五、代入法：计算（1+
111×（

）－（1＋

）×（

）

）
23423452345234
分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母 代替，可化繁为简，化难为易。
设
1111111

=A，

=B，则
2342345
原式=（1+A）×B－(1+B)×A
=B＋AB－A－AB
=B－A
1111111

)－(

)
2345234
1
=
5
=(

热点习题

计算：
135791113

【1】
49494949494949
11111111
2、
1
【】

2488
1111116
3、

【】

26122030427
11111
4、
..... .
19881989198919901990199120072008200820 09
113
【】

556
111111
5、【】 ......
13151517171935373739
39111115
6、2+
3571113
【41】
612203 04214
51
7、

【
6
】
26
4010
8、

【
10
】

3921
5791
9、
1


612210
23344556677889910101 1
【原式=1－＋－+-+－+－
2334
45
56
6 7
7889
9101011
2334451011
=1－（）+（） －()+…－（）

23233434454510111011< br>11111111
=1－(

)+(

)－(
)+…－(

)
3243541110
119
=1－

=】
21122< br>
10、+++－－－－＋＋
2002
7199819992
＋…＋＋－ －－－＋＋
20022002
32002
【从第三个分数开始依次往后数，每8个分 数为一组，到最后一个分数为止，
20022002
3
12
共有250组，每 组计算结果都是0.所以，原式=+=】
20022002
2002
111

)×（

）－(1+

)×11、(1+
23452345623456
1111
(

)
2345< br>
【设1+

=A，

=B，原式=A×（B+）－（ A+）×B=】
23452345666
1、

231819
）
( )()()
+…+（
...
2334445555202 0202020
11111
1
【原式=+1+
1
+2+2+…+9= （+9）×19÷2=95】
22222
2
19211921
13、200 1年是中国共产党建党80周年，是个有特殊意义的分数。如果下式大于，
20012001
1 2、
那么n最小等于多少？
1111
......

1 22334n(n1)
【1－
119211
＞，n＞
24
】
n12001
8
234

－……－
1(12)( 12)(123)(123)(1234)
14、
1
10
(123......9)(123......10)
【先对分母 用等差数列求和，再整体裂项求和。
4444
－…－

1232 3434591011
1111
11111
=1－4×[×()+×()＋ …＋×（）

229101011
1223
2
23 34
1111
=1－4××（）=】

2121011
55
1111
15、
2
< br>
2

2
.......
2141611002
1
原式=1－
【利用公式
11

11
< br>1

11

50

变形各项。原式=】 < br>
=
2
a12

a1a1

2

211001

101
(2
2
4
2
6
2
......100
2
)(1
2
 3
2
5
2
......99
2
)
16、 < br>123......1098......1
【利用
ab

ab

ab

变形，分母=100，分子=（2+1）（2 -1）+（4+3）（4-3）＋…
22
＋（100＋99）（100-99）=3＋7＋11 ＋…＋199=101×50,原式=


101501
=
50
】
100
2

分数求和
分数求和的常用方法：
1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂 项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分
分数可以互相抵消， 从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合 在一起
简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题
一、公式法：
7
++++…++
2
1
分析：这道题中相邻两个加数之间相差，成等差数列，我们可以运用等差数列求
2008
计算 ：
和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
7
++++…++
2
12007
=（＋）×2007÷2
20082008
1
=
1003

2

二、图解法：
计算：
11111
1
＋＋＋＋＋
24816
32
64
分析：解法一，先画出线段图：

从图中可以看出：
11111163
1
＋＋＋＋＋=1－=
24 816
32
646464
解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一 半。因此，只要添上一个加数
1
1
，就能凑成，依次向前类推，可以求出算式之和。
64
32
11111
1
＋＋＋＋＋
24816
32
64
1111111
1
= ＋＋＋＋＋（＋）－
24816
32
646464
11111
11
= ＋＋＋＋（+）－
2481664
3232

……
11
×2－
264
63
=
64
=
解 法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大
2倍，然后两式 相减，消去一部分。
11111
1
＋＋＋＋＋ ①
24816
32
64
11111
1
那么，2x=（ ＋＋＋＋＋）×2
24816
32
64
1111
1
=1+ ＋＋＋＋ ②
24816
32
设x=

用②－①得
111111111
11
＋＋＋＋－（ ＋＋＋＋＋）
24816
32
24816
32
64
63
x=
64
1111163
1
所以， ＋＋＋＋＋=
24816
32
6464
2x－x=1+

三、裂项法
1、计算：
11111
11
+＋＋＋＋……＋＋
2612203090
110
分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6 =2×3，12=3×
4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个 连续自然数的乘积。

==1－，==－，==－，……，
2122623231 23434
1111
==-。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下 头
11010111011
再变数型：因为
和尾两个分数，给计算带来方便。
11111
11
+＋＋＋＋……＋＋
261220
3090
110
111111111
=1－＋－＋－＋……＋－＋-
223349101011
1
=1－
11
10
=
11

2、计算：
111
11
＋＋＋……＋＋
2 9333337
15
59
913

分析：因为
14111141
441
=1－，=－，=－……=－，
55959
9 13
913293329
3315
41
1
=－。所以，我们可以 将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数
3337
33
37
的差 进行简便计算。
111
11
＋＋＋……＋＋
29333337
15
59
913
444
44
=（＋＋＋……＋＋）÷4 < br>29333337
15
59
913
1111111
11
=（1－＋－＋－＋……＋－＋－）÷4
55991329
3333
37
1
=（1－）÷4
37
9
=
37
4444
4444
3、计算：21－－－－－－－－
315< br>356399
143195
255
4111
1
分析：因为=4 ×=4×=4×（1－）×,
3332
13
411111
=4×=4×=4×(－)×,
151535352
1111
41
=4×=4×=4×(－)×,
57572
3535
……
111
411
=4×=4×=4×(－)×.
151715
17
2
255255
所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
4444
4444
－－－－－－－
315
356399
1 43195
255
1111111
1
=21－4×（1－+－+－＋……＋－ ）×
3355715
17
2
1
=21－2×(1－)
17
2
=19
17
19899
4、计算：＋＋＋＋＋……＋＋
26122
111
分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：=1－=1－，
221 2
5899
=1－=1－，=1－=1－， =1－=1－，……，=1－
662 31212342020459900
11
=1－.然后再裂项相消。
990099100
21－

19899
＋＋＋＋＋……＋＋
26122
11111
=（1－）＋（1－）＋（1－）＋(1－)＋……＋(1－)
2612209900
11111
=1×99－(＋＋＋＋……＋)
2612209900
11111
=99－(＋＋＋＋……＋)
1223344599100
1
=99－(1－)
100
1
=99
100
1111
5、计算：1＋+……+

121231234123......100
分析：可以 看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分
母是100个数相加且都 是等差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，
变分母为两个数相乘。再裂项求和。
1111
+……+

121231234123.. ....100
12
1111
=+
......
(1 100)100
12
(12)2(13)3(14)4
2222< br>22222
=
......
122334451001 01
1
=2×（1－）
101
99
=
1

101
解法一：1＋
解法二：原式=
212121212
......
122(12)2(123)2(1234)2(1 2......99100)
2222

......
12 2334100101
1111
=2×（）
......
122334100101
1
=2×（1－）
101
99
=
1

101
1111

…＋6、计算：
1232343 459899100
=
分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：

11111111
()
，
()
，……
1232122323422334
1111
()
， 此时，可消中间，留两头进行巧算。
98991002989999100
1111 11111
原式=×（）＋×（）+……＋×（）

212232233 42989999100
1111111
=×（＋＋……＋）

212232334989999100
111
=×（）

21299100
4949
=
19800

12345678
+－－＋＋－－＋
20042004
9112002
＋－ ……－－＋＋
2
2
分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数开始依次往后数 ，每四个分数为一组，
2004
2001
到为止，共有500组，每组计算结果都是0 .
2004
123456789
原式=+（－－＋）＋（－－＋）
2
1020012002
＋－……+（－－＋）＋
2
12002
=+
20042004
2003
=
2004
四、分组法：计算，

五、代入法：计算（1+
111×（

）－（1＋

）×（

）

）
23423452345234
分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母 代替，可化繁为简，化难为易。
设
1111111

=A，

=B，则
2342345
原式=（1+A）×B－(1+B)×A
=B＋AB－A－AB
=B－A
1111111

)－(

)
2345234
1
=
5
=(

热点习题

计算：
135791113

【1】
49494949494949
11111111
2、
1
【】

2488
1111116
3、

【】

26122030427
11111
4、
..... .
19881989198919901990199120072008200820 09
113
【】

556
111111
5、【】 ......
13151517171935373739
39111115
6、2+
3571113
【41】
612203 04214
51
7、

【
6
】
26
4010
8、

【
10
】

3921
5791
9、
1


612210
23344556677889910101 1
【原式=1－＋－+-+－+－
2334
45
56
6 7
7889
9101011
2334451011
=1－（）+（） －()+…－（）

23233434454510111011< br>11111111
=1－(

)+(

)－(
)+…－(

)
3243541110
119
=1－

=】
21122< br>
10、+++－－－－＋＋
2002
7199819992
＋…＋＋－ －－－＋＋
20022002
32002
【从第三个分数开始依次往后数，每8个分 数为一组，到最后一个分数为止，
20022002
3
12
共有250组，每 组计算结果都是0.所以，原式=+=】
20022002
2002
111

)×（

）－(1+

)×11、(1+
23452345623456
1111
(

)
2345< br>
【设1+

=A，

=B，原式=A×（B+）－（ A+）×B=】
23452345666
1、

231819
）
( )()()
+…+（
...
2334445555202 0202020
11111
1
【原式=+1+
1
+2+2+…+9= （+9）×19÷2=95】
22222
2
19211921
13、200 1年是中国共产党建党80周年，是个有特殊意义的分数。如果下式大于，
20012001
1 2、
那么n最小等于多少？
1111
......

1 22334n(n1)
【1－
119211
＞，n＞
24
】
n12001
8
234

－……－
1(12)( 12)(123)(123)(1234)
14、
1
10
(123......9)(123......10)
【先对分母 用等差数列求和，再整体裂项求和。
4444
－…－

1232 3434591011
1111
11111
=1－4×[×()+×()＋ …＋×（）

229101011
1223
2
23 34
1111
=1－4××（）=】

2121011
55
1111
15、
2
< br>
2

2
.......
2141611002
1
原式=1－
【利用公式
11

11
< br>1

11

50

变形各项。原式=】 < br>
=
2
a12

a1a1

2

211001

101
(2
2
4
2
6
2
......100
2
)(1
2
 3
2
5
2
......99
2
)
16、 < br>123......1098......1
【利用
ab

ab

ab

变形，分母=100，分子=（2+1）（2 -1）+（4+3）（4-3）＋…
22
＋（100＋99）（100-99）=3＋7＋11 ＋…＋199=101×50,原式=


101501
=
50
】
100
2