贫嘴是什么意思-四川省教育考试院网站

格点型面积
例题精讲



板块一 正方形格点问题


在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两 条相邻的平行线的距离都相等(通常规定
是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交 点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶
点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋 图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这 两者之间的关系能否用计算
公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！



用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前 几个例
题的格点数．
我们能发现如下规律：
SN
L

1
．这个规律就是毕克定理．
2
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为
SN

L
1
．
2

page 1 of 10

【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米 的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来
就得到一个三角形，这样得到的三角形 中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于
2平方厘米的三角形有多少个？

【解析】 面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个．
(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：
① ② ③
底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2
3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)

④ ⑤ ⑥
底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为2
3×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)
所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．
(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：




3×2=6(个) 1×2=2(个)
所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．


【例 2】 如图，
44
的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．

【解析】 根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．
11
的正 方形：9个；
22
的正方形：4个；
33
的正方形：1个；
以
11
正方形对角线为边长的正方形：4个；以
12
长方形对角线为边长的 正方形：2个．
故可以组成
9414220
(个)正方形．



page 2 of 10

【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？
⑵
⑶
⑷

【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．

【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．
⑴

【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．
方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是
4416
(面积单位)；
图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是
5315
(面积单位)；
图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是
54210
(面积单位)；
图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是
5315
(面积单位)；
图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是
（35）3212(面积单位)；
图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是
（36）4 218
(面积单位)．
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应 面积么？(教师总结：面积数值均扩大4
倍．)
方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公 式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过
程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转 化成长方形来求．这一种方法很重要，
在下面的题目中我们还将使用这种方法！
如图⑶，我们 利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积
的一半．
如图⑷， 我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易
得平行四边形面积．同理 ，图⑸、⑹也可利用同样的思想．
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
⑶

【例 5】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
I
⑷

II
(a)(b)
III
(c)

【解析】 方法一(扩展 法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只
能另想别的办法： 这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，
如下右图(b)，这三 个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是
所要求的三角形面积．矩 形面积是
6424
；直角三角形Ⅰ的面积是：
6226
；直角三角 形Ⅱ
的面积是：
4224
；直角三角形Ⅲ面积是
4224
；所求三角形的面积是
24（644）10
(面积单位)．
page 3 of 10

方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面 积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积
是：
52252210
(面 积单位)．

【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
D
F
A
1cm
C
1cm
EB

【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的
AEF
；
另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的， 易求它们的面积分别为
（1.522）4
(
cm
2
)． 1.5cm
2
，
2cm
2
，
1.5cm
2．所以，图中阴影部分的面积为：
33

【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．

⑴ ⑵
积单位．

【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的 面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面
【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决 定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的
格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下 面我们就来探讨一下！
在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的 格点数是8个；第
二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．

【巩固】求下列各个格点多边形的面积．

⑴
⑵
【解析】 ⑴ ∵
L12
；
N10
，∴< br>SN
L12
110115
(面积单位)；
22
L10
⑵ ∵
L10
；
N16
，∴
SN116120
(面积单位)；
22
L6
⑶ ∵
L6
；
N12
，∴
SN112114
(面积单 位)；
22
L10
⑷ ∵
L10
；
N13
， ∴
SN113117
(面积单位)．
22

⑶⑷


用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边 形面积，请同学们分析前几个例
题的格点数．
我们能发现如下规律：
SN
L

1
．这个规律就是毕克定理．
2
page 4 of 10

毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为
SN
L
1
．
2



【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？

【解析】 图形内部格点数
N9
；图形边界上的格点数
L20
；根据毕克定理， 则
SN
面积)．

【例 9】 右图是一个
812
面积单位的图形．求矩形内的箭形
ABCDEFGH
的面积．
H
G
A
C
B
E
D
F
L
118
(单位
2

【解析】 箭形
ABCDEFGH
的面积
（8102 1）48（421）21232246
(面积单位)．

【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？

【解析】 图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．
所以图形的面积为：
54192162.5
(面积单位)．

【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+
L为图形周界上格点数．
L
-1) ×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，
2
7
-1)×1=6．5(平方厘米)
2
有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+
page 5 of 10

方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，
有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2 ÷2=1，还有三个小正
方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9 ．5，而整个格点阵所围成的图形
的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5 平方厘米．

【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)
55
的 方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点
称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3 个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用
直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积 是 平方厘米．

【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点 应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成
面积最大．最大面积为
550.5 323.5
(平方厘米)．

【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞 赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21
日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面 积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？

【解析】 要计算三个数字所占 的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都
可以看作格点多边形，根据 毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数
字“7”内部有两个格点，而数字 “2”和“1”内部都没有格点．
7所占的面积为：
215218.5
；2 所占的面积为：
242111
；1所占的面积为：
17217.5
．所以，这三个数字所占的面积之和为：
8.5117.527
．

【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的 小方格．现
将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为
5.12c m
2
，右下角的阴影部
分(线状)面积为
7.4cm
2
，求 大正方形的面积．

【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个 方格，与后者共17个方格，因此每个
19
方格的面积是

（7.45.1 2）（1714）（cm
2
）
25
大正方形的面积为
19cm
2
．

【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDE F的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四
边形CEPQ的面积．
page 6 of 10

A
P
F
A
P
F
B
Q
C
D
EB
Q
C
D
E

【解析】 如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四 边形面积，
PEF
面积
3
，
CDE
面积
9，四边形ABQP面积
11
．上述三块面积之和为
391123
．因
此，阴影四边形CEPQ面积为
542331
．


板块二 三角形格点问题

所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“ ∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面
积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格 点多边形．

关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示 图形内包含的格点数，L表
示图形周界上的格点数，那么有
S2NL2
，就是 格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与
周界上格点数的和减去2．


【例 15】 如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三 角形．计算
三角形ABC的面积．
A
C
B
B
A
E
F
D
(b)
C
B
A
Ⅱ
'
Ⅰ
'
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅲ
'
A
E
C
R
B
H
F
D
(d)
G
C

【解析】 方法一：如图(b)所示，在ABC内连接相邻的三个点成DEF，再连接DC、EA、FB后是ABC
可看成是由DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得
到
S
ACD
(a)
(c)

2
，
S
AE B
3
，
S
FBC
4
，所以
S1234 10
(面积单位)．
方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼 到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数
小正三角形的方法，求出ABC的面积为10．
方法 三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而ABE的面积是
平行 四边形ARBE面积的一半，即
S
AEB

3
，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而
ACD
ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即
S
S123410
(面积单位)．
2
．平行四边形FBGC中 有8个
FBC
小正三角形，而FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：
S< br>4
．所以

【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．
A
C

【解析】 因为
N5
；
L3
： 所以
S2NL2253211
(面积单位)．
page 7 of 10
B

【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
⑴⑵
⑷
⑶

【解析】 ⑴ ∵
L7
；
N7
，∴
S2NL2277219
(面积单位)；

⑵ ∵
L5
；
N8
，∴
S2NL2 285219
(面积单位)；
⑶ ∵
L6
；
N7< br>，∴
S2NL2276218
(面积单位)；
⑷ ∵L7
；
N8
，∴
S2NL2287221
(面积单位)．

【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网． 如果大三角形的面积是128，求图中
粗线所围成的三角形的面积．

【解析】 图 中有
1357911131564
(个)小三角形，那么一个小三角形的面积 是
128642
，
图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；
图形的面积为：
2124226
(面积单位)，进而得图形的面积为：
26 252
．

【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中 N为图形内格
点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．
法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平
行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面
积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．

【例 19】 把同一个三角形的三条边 分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得
到了若干个面积相等的小三角形 ．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分
的面积是______平方分米．
page 8 of 10

【解析】 图1中阴影部分占整个三角形 面积的
部分的面积为294÷
16
12
，图2中阴影部分占整个三角形面积的 ，故图2中阴影
49
25

1216

=200(平方分米)．
2549

【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．

【解析】 如右图所示．

【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？

【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起 )的小三
角形．
而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PM N全等的小三角形，所以大
正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．

【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点， N是CD中
点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
A
MB
F
P
E
B
R
C
N
DC
N< br>D
S
M
A
Q
F
P
E

【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4个
小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是< br>6240.25
(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的 面积
(平方厘米)．
0.2592.25

【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是
page 9 of 10

格点型面积
例题精讲



板块一 正方形格点问题


在一张纸上，先画出一些水平直 线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定
是1个单位)，这样在纸上就形 成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶
点画出的多边形叫做格点多 边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格 点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算
公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问 题吧！



用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表 示多边形面积，请同学们分析前几个例
题的格点数．
我们能发现如下规律：
SN
L

1
．这个规律就是毕克定理．
2
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为
SN

L
1
．
2

page 1 of 10

【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米 的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来
就得到一个三角形，这样得到的三角形 中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于
2平方厘米的三角形有多少个？

【解析】 面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个．
(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：
① ② ③
底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2
3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)

④ ⑤ ⑥
底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为2
3×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)
所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．
(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：




3×2=6(个) 1×2=2(个)
所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．


【例 2】 如图，
44
的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．

【解析】 根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．
11
的正 方形：9个；
22
的正方形：4个；
33
的正方形：1个；
以
11
正方形对角线为边长的正方形：4个；以
12
长方形对角线为边长的 正方形：2个．
故可以组成
9414220
(个)正方形．



page 2 of 10

【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？
⑵
⑶
⑷

【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．

【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．
⑴

【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．
方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是
4416
(面积单位)；
图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是
5315
(面积单位)；
图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是
54210
(面积单位)；
图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是
5315
(面积单位)；
图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是
（35）3212(面积单位)；
图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是
（36）4 218
(面积单位)．
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应 面积么？(教师总结：面积数值均扩大4
倍．)
方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公 式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过
程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转 化成长方形来求．这一种方法很重要，
在下面的题目中我们还将使用这种方法！
如图⑶，我们 利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积
的一半．
如图⑷， 我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易
得平行四边形面积．同理 ，图⑸、⑹也可利用同样的思想．
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
⑶

【例 5】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
I
⑷

II
(a)(b)
III
(c)

【解析】 方法一(扩展 法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只
能另想别的办法： 这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，
如下右图(b)，这三 个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是
所要求的三角形面积．矩 形面积是
6424
；直角三角形Ⅰ的面积是：
6226
；直角三角 形Ⅱ
的面积是：
4224
；直角三角形Ⅲ面积是
4224
；所求三角形的面积是
24（644）10
(面积单位)．
page 3 of 10

方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面 积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积
是：
52252210
(面 积单位)．

【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
D
F
A
1cm
C
1cm
EB

【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的
AEF
；
另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的， 易求它们的面积分别为
（1.522）4
(
cm
2
)． 1.5cm
2
，
2cm
2
，
1.5cm
2．所以，图中阴影部分的面积为：
33

【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．

⑴ ⑵
积单位．

【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的 面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面
【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决 定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的
格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下 面我们就来探讨一下！
在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的 格点数是8个；第
二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．

【巩固】求下列各个格点多边形的面积．

⑴
⑵
【解析】 ⑴ ∵
L12
；
N10
，∴< br>SN
L12
110115
(面积单位)；
22
L10
⑵ ∵
L10
；
N16
，∴
SN116120
(面积单位)；
22
L6
⑶ ∵
L6
；
N12
，∴
SN112114
(面积单 位)；
22
L10
⑷ ∵
L10
；
N13
， ∴
SN113117
(面积单位)．
22

⑶⑷


用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边 形面积，请同学们分析前几个例
题的格点数．
我们能发现如下规律：
SN
L

1
．这个规律就是毕克定理．
2
page 4 of 10

毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为
SN
L
1
．
2



【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？

【解析】 图形内部格点数
N9
；图形边界上的格点数
L20
；根据毕克定理， 则
SN
面积)．

【例 9】 右图是一个
812
面积单位的图形．求矩形内的箭形
ABCDEFGH
的面积．
H
G
A
C
B
E
D
F
L
118
(单位
2

【解析】 箭形
ABCDEFGH
的面积
（8102 1）48（421）21232246
(面积单位)．

【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？

【解析】 图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．
所以图形的面积为：
54192162.5
(面积单位)．

【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+
L为图形周界上格点数．
L
-1) ×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，
2
7
-1)×1=6．5(平方厘米)
2
有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+
page 5 of 10

方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，
有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2 ÷2=1，还有三个小正
方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9 ．5，而整个格点阵所围成的图形
的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5 平方厘米．

【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)
55
的 方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点
称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3 个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用
直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积 是 平方厘米．

【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点 应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成
面积最大．最大面积为
550.5 323.5
(平方厘米)．

【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞 赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21
日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面 积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？

【解析】 要计算三个数字所占 的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都
可以看作格点多边形，根据 毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数
字“7”内部有两个格点，而数字 “2”和“1”内部都没有格点．
7所占的面积为：
215218.5
；2 所占的面积为：
242111
；1所占的面积为：
17217.5
．所以，这三个数字所占的面积之和为：
8.5117.527
．

【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的 小方格．现
将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为
5.12c m
2
，右下角的阴影部
分(线状)面积为
7.4cm
2
，求 大正方形的面积．

【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个 方格，与后者共17个方格，因此每个
19
方格的面积是

（7.45.1 2）（1714）（cm
2
）
25
大正方形的面积为
19cm
2
．

【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDE F的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四
边形CEPQ的面积．
page 6 of 10

A
P
F
A
P
F
B
Q
C
D
EB
Q
C
D
E

【解析】 如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四 边形面积，
PEF
面积
3
，
CDE
面积
9，四边形ABQP面积
11
．上述三块面积之和为
391123
．因
此，阴影四边形CEPQ面积为
542331
．


板块二 三角形格点问题

所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“ ∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面
积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格 点多边形．

关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示 图形内包含的格点数，L表
示图形周界上的格点数，那么有
S2NL2
，就是 格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与
周界上格点数的和减去2．


【例 15】 如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三 角形．计算
三角形ABC的面积．
A
C
B
B
A
E
F
D
(b)
C
B
A
Ⅱ
'
Ⅰ
'
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅲ
'
A
E
C
R
B
H
F
D
(d)
G
C

【解析】 方法一：如图(b)所示，在ABC内连接相邻的三个点成DEF，再连接DC、EA、FB后是ABC
可看成是由DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得
到
S
ACD
(a)
(c)

2
，
S
AE B
3
，
S
FBC
4
，所以
S1234 10
(面积单位)．
方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼 到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数
小正三角形的方法，求出ABC的面积为10．
方法 三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而ABE的面积是
平行 四边形ARBE面积的一半，即
S
AEB

3
，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而
ACD
ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即
S
S123410
(面积单位)．
2
．平行四边形FBGC中 有8个
FBC
小正三角形，而FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：
S< br>4
．所以

【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．
A
C

【解析】 因为
N5
；
L3
： 所以
S2NL2253211
(面积单位)．
page 7 of 10
B

【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
⑴⑵
⑷
⑶

【解析】 ⑴ ∵
L7
；
N7
，∴
S2NL2277219
(面积单位)；

⑵ ∵
L5
；
N8
，∴
S2NL2 285219
(面积单位)；
⑶ ∵
L6
；
N7< br>，∴
S2NL2276218
(面积单位)；
⑷ ∵L7
；
N8
，∴
S2NL2287221
(面积单位)．

【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网． 如果大三角形的面积是128，求图中
粗线所围成的三角形的面积．

【解析】 图 中有
1357911131564
(个)小三角形，那么一个小三角形的面积 是
128642
，
图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；
图形的面积为：
2124226
(面积单位)，进而得图形的面积为：
26 252
．

【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中 N为图形内格
点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．
法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平
行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面
积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．

【例 19】 把同一个三角形的三条边 分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得
到了若干个面积相等的小三角形 ．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分
的面积是______平方分米．
page 8 of 10

【解析】 图1中阴影部分占整个三角形 面积的
部分的面积为294÷
16
12
，图2中阴影部分占整个三角形面积的 ，故图2中阴影
49
25

1216

=200(平方分米)．
2549

【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．

【解析】 如右图所示．

【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？

【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起 )的小三
角形．
而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PM N全等的小三角形，所以大
正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．

【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点， N是CD中
点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
A
MB
F
P
E
B
R
C
N
DC
N< br>D
S
M
A
Q
F
P
E

【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4个
小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是< br>6240.25
(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的 面积
(平方厘米)．
0.2592.25

【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是
page 9 of 10