关于诚实的名人名言-2014福建高考作文

4-1-3.角度计算


知识点拨

一、角
2、 表示角的符号 ：∠

1、 角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角
3、 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种
（1） 锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2） 直角：等于90°的角叫做直角。
（3） 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4） 平角：等于180°的角叫做平角。
（5） 优角：大于180°小于360°叫优角。
（6） 劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7） 周角：等于360°的角叫做周角。
（8） 负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9） 正角：逆时针旋转的角为正角。
（10） 0角：等于零度的角。
4、 角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，
角就越 大，相反，张开的越小，角则越小。

二、三角形
1、 三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形
2、 内角和：三角形的内角和为180度；
外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、 三角形的分类
（1）按角分 ：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形
（2）按边分 ：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。

模块一、角度计算

【例 1】 有下列说法：
(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，
(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．
(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．
(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．
(5)三角形的三个内角可以都是锐角．

(6)直角三角形中可胄邕有钝角．
(7)
25
的角用10倍的放大镜看就变成了
250

其中，正确说法的个数是
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．
【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法

【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
1
2
【考点】角度计算

【难度】
2
星

【题型】填空

【解析】 ∠1

【答案】∠1

【例 3】 如图，在直角
AOB
内有一条射线
OC
，并且
AOC
比
BOC
大20。则
BOC
是__________
A
C
O
B
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】
9020235



【答案】
35


【例 4】 直线AB、CD相交，若∠1、∠2和∠3的关系如图所示。则∠3

∠1=______ 。
l
1
D
B
2
A
C
3
【考点】角度 计算

【难度】
3
星

【题型】填空


【解析】 ∠1+∠2=90，∠2+∠3=180，所以（∠2+∠3）

（∠1+∠2）

∠3

∠1=
90

【答案】
90


【例 5】 如图，共端点A的线段a与d，b与 e，c与f分别垂直，a与b的夹角是30°，e与f的夹角是45°，
求c与d的夹角的度数。 c
b
d
e
a
30°
A
45°
f
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】解答

以c与d的夹角为
90304515
度.
图4

【解析】 a与b的夹角为30度，所以b与d的夹角为
9030 60
度，所以d与e的夹角是
906030
度，所

【答 案】15度

【例 6】 如图，直角的顶点在直线l上，则图中所有小于平角的角之和是 度。
l
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空


【解析】 由一部分组成的角之和是180度，由两部分组 成的角之和是180+90度，一共180+180+90=450度。
【答案】450度

【例 7】 如图，∠AOB的顶点0在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠A OB＝________
度。
A
B
l
O
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

度。
A
B
1
O
2
3
l

【解析】 所 有小于平角的角之和=∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠2+∠3=400度，又∠1+∠2+∠3=180度 ，故∠2=40
【答案】∠AOB=40度

【例 8】 两条直线相交，四个交角 中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见下图）。如果在
平面上画L条直线，要求它们两 两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，
问：（1）L的 最大值是多少？（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？

夹角
【考点】角度计算

【难度】
4
星

【题型】解答


【解析】 （1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固 定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是
15°、30°、45°、60°、75°、90° 、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最
多有12条直 线。否则，必有两条直线平行。

（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、4 5°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；
他们的角度和是（15+30+45+60+ 75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条
直线；第3和第9条直 线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，
他们的角度和是90×6 =540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。
【答案】（1）12条；（2）3240°

【例 9】 如图，点
O
为直线
AB
上一点，
BOC
是直角，
BOD :COD4:1
则
AOD
是______度.
D
C
A
O
B
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【答案】60度


BOD:COD4:1
，所以
BOC:COD3:1
，所以
COD30
.所以
AOD
是60度. 【解析】
模块二、三角形内的角度计算

'
【例 10】 如图，将
△ABC
绕点C按顺时针方向旋转30°，得到
△B
'
AC
，若
AC⊥A
'
B
'
，则∠BAC的度数
是 。
A
B
'
A
'
30°
B
C
【考 点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

∠A180
o
∠ACA
'
9 0
o
180
o
90
o
30
o
60
o


'
【解析】 因为
△B
'
AC是
△ABC
绕着点
C
旋转得到的，所以
∠A=∠A
'< br>,根据三角形的内角和定理知道
【答案】∠BAC度数是
60
o


【例 11】 如图3，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A= 度。
A
D
B
1
2
5
4
3
C【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

∠A=180-100=80度

【解析】 ∠5 =130度，那么∠2+∠4=180-130=50度，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4= 100度，
【答案】80度

【例 12】 如图，在三角形ABC中，点D在BC 上，且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，
求∠ABC的度数；并回答：图 中哪些三角形是锐角三角形.
A
21°
B
D
C

【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】 ∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝，而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21，∠B＝∠C，
∴3×∠B＋21°＝180°, ∴∠B＝46°
∠DAC＝46°＋21°＝67°，∠BAC＝67°＋21°＝88°
∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.
【答案】△ABC和△ADC是锐角三角形

【例 13】 如图，将四边形ABCD的四条边分别延长一段，得∠CBE,∠BAH,∠ ADG,∠DCF,那么，这四个角
的和等于 。
H
A
C
F
B
E
G
D
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】 凸多边形的外角和等于360。
【答案】360


模块三、角度在行程问题中的应用

【例 14】 小明从家里出发，先向东偏北3 0°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200
米到达点B，然后又向西偏南 30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距离家 米。
【考点】角度计算

【难度】
2
星

【题型】填空

【解析】 通过画图可知小明距离家是200米。
【答案】200米

【例 15】 小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了3 50米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米
到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了 350米到达点C，这时小明距家 米。
【考点】角度计算

【难度】
2
星

【题型】填空

【解析】 200米
【答案】200米

4-1-3.角度计算


知识点拨

一、角
2、 表示角的符号 ：∠

1、 角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角
3、 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种
（1） 锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2） 直角：等于90°的角叫做直角。
（3） 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4） 平角：等于180°的角叫做平角。
（5） 优角：大于180°小于360°叫优角。
（6） 劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7） 周角：等于360°的角叫做周角。
（8） 负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9） 正角：逆时针旋转的角为正角。
（10） 0角：等于零度的角。
4、 角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，
角就越 大，相反，张开的越小，角则越小。

二、三角形
1、 三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形
2、 内角和：三角形的内角和为180度；
外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、 三角形的分类
（1）按角分 ：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形
（2）按边分 ：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。

模块一、角度计算

【例 1】 有下列说法：
(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，
(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．
(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．
(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．
(5)三角形的三个内角可以都是锐角．

(6)直角三角形中可胄邕有钝角．
(7)
25
的角用10倍的放大镜看就变成了
250

其中，正确说法的个数是
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．
【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法

【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
1
2
【考点】角度计算

【难度】
2
星

【题型】填空

【解析】 ∠1

【答案】∠1

【例 3】 如图，在直角
AOB
内有一条射线
OC
，并且
AOC
比
BOC
大20。则
BOC
是__________
A
C
O
B
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】
9020235



【答案】
35


【例 4】 直线AB、CD相交，若∠1、∠2和∠3的关系如图所示。则∠3

∠1=______ 。
l
1
D
B
2
A
C
3
【考点】角度 计算

【难度】
3
星

【题型】填空


【解析】 ∠1+∠2=90，∠2+∠3=180，所以（∠2+∠3）

（∠1+∠2）

∠3

∠1=
90

【答案】
90


【例 5】 如图，共端点A的线段a与d，b与 e，c与f分别垂直，a与b的夹角是30°，e与f的夹角是45°，
求c与d的夹角的度数。 c
b
d
e
a
30°
A
45°
f
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】解答

以c与d的夹角为
90304515
度.
图4

【解析】 a与b的夹角为30度，所以b与d的夹角为
9030 60
度，所以d与e的夹角是
906030
度，所

【答 案】15度

【例 6】 如图，直角的顶点在直线l上，则图中所有小于平角的角之和是 度。
l
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空


【解析】 由一部分组成的角之和是180度，由两部分组 成的角之和是180+90度，一共180+180+90=450度。
【答案】450度

【例 7】 如图，∠AOB的顶点0在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠A OB＝________
度。
A
B
l
O
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

度。
A
B
1
O
2
3
l

【解析】 所 有小于平角的角之和=∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠2+∠3=400度，又∠1+∠2+∠3=180度 ，故∠2=40
【答案】∠AOB=40度

【例 8】 两条直线相交，四个交角 中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见下图）。如果在
平面上画L条直线，要求它们两 两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，
问：（1）L的 最大值是多少？（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？

夹角
【考点】角度计算

【难度】
4
星

【题型】解答


【解析】 （1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固 定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是
15°、30°、45°、60°、75°、90° 、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最
多有12条直 线。否则，必有两条直线平行。

（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、4 5°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；
他们的角度和是（15+30+45+60+ 75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条
直线；第3和第9条直 线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，
他们的角度和是90×6 =540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。
【答案】（1）12条；（2）3240°

【例 9】 如图，点
O
为直线
AB
上一点，
BOC
是直角，
BOD :COD4:1
则
AOD
是______度.
D
C
A
O
B
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【答案】60度


BOD:COD4:1
，所以
BOC:COD3:1
，所以
COD30
.所以
AOD
是60度. 【解析】
模块二、三角形内的角度计算

'
【例 10】 如图，将
△ABC
绕点C按顺时针方向旋转30°，得到
△B
'
AC
，若
AC⊥A
'
B
'
，则∠BAC的度数
是 。
A
B
'
A
'
30°
B
C
【考 点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

∠A180
o
∠ACA
'
9 0
o
180
o
90
o
30
o
60
o


'
【解析】 因为
△B
'
AC是
△ABC
绕着点
C
旋转得到的，所以
∠A=∠A
'< br>,根据三角形的内角和定理知道
【答案】∠BAC度数是
60
o


【例 11】 如图3，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A= 度。
A
D
B
1
2
5
4
3
C【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

∠A=180-100=80度

【解析】 ∠5 =130度，那么∠2+∠4=180-130=50度，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4= 100度，
【答案】80度

【例 12】 如图，在三角形ABC中，点D在BC 上，且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，
求∠ABC的度数；并回答：图 中哪些三角形是锐角三角形.
A
21°
B
D
C

【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】 ∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝，而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21，∠B＝∠C，
∴3×∠B＋21°＝180°, ∴∠B＝46°
∠DAC＝46°＋21°＝67°，∠BAC＝67°＋21°＝88°
∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.
【答案】△ABC和△ADC是锐角三角形

【例 13】 如图，将四边形ABCD的四条边分别延长一段，得∠CBE,∠BAH,∠ ADG,∠DCF,那么，这四个角
的和等于 。
H
A
C
F
B
E
G
D
【考点】角度计算

【难度】
3
星

【题型】填空

【解析】 凸多边形的外角和等于360。
【答案】360


模块三、角度在行程问题中的应用

【例 14】 小明从家里出发，先向东偏北3 0°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200
米到达点B，然后又向西偏南 30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距离家 米。
【考点】角度计算

【难度】
2
星

【题型】填空

【解析】 通过画图可知小明距离家是200米。
【答案】200米

【例 15】 小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了3 50米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米
到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了 350米到达点C，这时小明距家 米。
【考点】角度计算

【难度】
2
星

【题型】填空

【解析】 200米
【答案】200米