丧事礼仪-华工教务

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三角形等高模型与鸟头模型
模型二 鸟头模型


两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在< br>△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或< br>D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上如图 2)，
则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):( ADAE)

D
A
A
D
E
E
B

图⑴ 图⑵
C
B
C


【例 1】 如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点，且
AD:AB2:5
，
AE:AC4:7
，
S
△ADE
16
平方
厘米，求
△ABC
的面积．
A
A
D
E
D
E
BC

【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE< br>AD:AB2:5(24):(54)
，
B
C

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC4:7(45):(75)< br>，所以
S
△ADE
:S
△ABC
(24):(75)< br>，设
S
△ADE
8
份，
则
S
△ABC35
份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ ABC
的
面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相
等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．



【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD< br>的5倍，
AC
是
AE
的3倍，如果三角形
ADE
的面 积等于1，那
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么三角形
ABC
的面积是多少？
A
A
D
E
D
E
C

B
B
C

【解析】 连接
BE
．
∵
EC3AE

∴
S
V
ABC
3S
V
ABE

又∵
AB5AD

∴
S
V
ADE
S< br>V
ABE
5S
V
ABC
15
，∴
S< br>V
ABC
15S
V
ADE
15
．
< br>【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，
BDDC4
，< br>BE3
，
AE6
，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E
乙
C
【解析】 连接
AD
．
∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S
V
ABD
3S
V
BD E

又∵
BDDC4
，
∴
S
V
AB C
2S
V
ABD
，∴
S
V
ABC
6S
V
BDE
，
S
乙
5S
甲
．

【例 2】 如图在
△ABC
中，
D
在
BA
的延长 线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
A E:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△AB C
的面积．
DD

B
甲
D
乙
C

AA
E
B
C
B
E

【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE< br>AD:AB2:5(23):(53)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

，
C
所以
S
△ ADE
:S
△ABC
(32):

5(32)
< br>6:25
，设
S
△ADE
6
份，则
S
△ ABC
25
份，
S
△ADE
12
平方厘
米，所 以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平 方厘米，
△ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到
一个重要的 定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比



【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，
AF2CF
，三角形AFE(图中阴影部分)的面
积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
D
C
F
B
E

【解析】 连接FB．三角形AFB 面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2
倍，所以三角形ABC面 积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积
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A

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的2倍，所以平行四边 形的面积是三角形AFE面积的
（32）6
倍．因此，平行四边形的面积为
86 48
(平方厘米)．

【例 4】 已知
△DEF
的面积为7
平方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC< br>的面积．
A
F
D
B
E
C
【解析】
S
△BDE
:S
△ABC

(BDBE):(BAB C)(11):(23)1:6
，
S
△CEF
:S
△ABC
(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8
S
△ADF< br>:S
△ABC
(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6< br>
设
S
△ABC
24
份，则
S
△BDE< br>4
份，
S
△ADF
4
份，
S
△CEF< br>9
份，
S
△DEF
244497
份，恰好是7
平方厘米，所以
S
△ABC
24
平方厘米

【例 5】 如图，三角形
ABC
的面积为3平方厘米，其中
AB:BE2 :5
，
BC:CD3:2
，三角形
BDE
的面积
是多少？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E

【解析】 由于
ABCDBE180

，所以可以用共角 定理，设
AB2
份，
BC3
份，则
BE5
份，
BD325
份，由共角定理
S
△ABC
:S
△BDE
(ABBC):(BEBD)(23):(55)6:25
，设
S△ABC
6
份，恰好是
3
平方厘米，所以
1
份是0.5
平方厘米，
25
份就是
250.512.5
平方厘米 ，三角
形
BDE
的面积是
12.5
平方厘米

11
【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形
ABCD
边长为6厘米，
AEAC
，
CFBC
．
33
三 角形
DEF
的面积为_______平方厘米．
D
A
E
C

F
112
【解析】 由题意知
AEAC
、
CFBC
，可得
CEAC
．根据”共角定 理”可得，
333
S
△CEF
:S
△ABC
(CFC E):(CBAC)

12

:(33)2:9
；而S
△ABC
66218
；所以
S
△CEF
4
；
B
同理得，
S
△CDE
:S
△ACD
 2:3
;，
S
△CDE
183212
，
S
△CDF
6

故
S
△DEF
S
△CEF
S
△DEC
S
△DFC
412610
(平方厘米)．

【例 7】 如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长< br>AB
至
D
，使
BDAB
；延长
BC
至E
，使
CE2BC
；延长
CA
至
F
，使AF3AC
，求三角形
DEF
的面积．
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F
F
A
B
D
C
E
B

A
C
E
D
【解析】 (法
1
)本题是性质的反复使用．
连接
AE
、
CD
．
S
1
∵
V< br>ABC

，
S
V
ABC
1
，
S
V
DBC
1

∴
S
V
DBC
1
．
同理可得其它，最后三角形
DEF
的面积
18
．
(法< br>2
)用共角定理∵在
VABC
和
VCFE
中，
AC B
与
FCE
互补，
S
ACBC111
∴
V
ABC

． S
V
FCE
FCCE428
又
S
V
ABC
1
，所以
S
V
FCE
8
．
同理可得
S
V
ADF
6
，
S
V
BDE
 3
．
所以
S
V
DEF
S
V
ABCS
V
FCE
S
V
ADF
S
V
B DE
186318
．

【例 8】 如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC，
HA4AD
，平行四边形
ABCD
的
面积是
2， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H< br>H
A
G
D
F
B
C
E
G
A< br>D
F
B
C
E
【解析】 连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△ ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
S
ABBC111
∴
△ABC

．
S< br>△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所 以
S
△FBE
3
．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．
所以
S
EFGH
S
△AEH
S
△CFG
S
△DHG
S
△BEF
S
ABCD
8815+3+236
．
S
21
所以
ABCD

．
S
EFGH
3618


【例 9】 如图，四边形
EFGH
的面积是
66
平方米，
EAAB，
CBBF
，
DCCG
，
HDDA
，求四边形< br>ABCD
的面积．
H
D
A
E
word可编辑
H
C
B
G
D
C
B
G
F

A
E
F

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【解析】 连接
BD
．由共角定理得
S
△BCD
:S
△CGF
(CDCB):(CGCF)1:2
，即
S
△CGF2S
△CDB

同理
S
△ABD
:S
△AH E
1:2
，即
S
△AHE
2S
△ABD
所以
S
△AHE
S
△CGF
2(S
△CBD
S
△ADB
)2S
四边形ABCD

连接
AC
，同理可以得到
S
△DHG
S
△BEF
2S
四边形A BCD

S
四边形EFGH
S
△AHE
S
△C GF
S
△HDG
S
△BEF
S
四边形ABCD
5S
四边形ABCD

所以
S
四边形ABCD
66513.2
平方米

【例 10】 如图，将四边形
ABCD
的四条边
AB
、
C B
、
CD
、
AD
分别延长两倍至点
E
、
F
、
G
、
H
，若
四边形
ABCD
的面积为5 ，则四边形
EFGH
的面积是 ．
F
B
C
A
D
H
G
B
C
F
A
D
H
G
EE

【解析】 连接
AC
、
BD
．
由于
BE2AB
，
BF2BC
，于是
S
BEF
4S
ABC
，同理S
HDG
4S
ADC
．
于是
S
BE F
S
HDG
4S
ABC
4S
ADC
 4S
ABCD
．
再由于
AE3AB
，
AH3AD，于是
S
AEH
9S
ABD
，同理
S
 CFG
9S
CBD
．
于是
S
AEH
S< br>CFG
9S
ABD
9S
CBD
9S
AB CD
．
那么
S
EFGH
S
BEF
S
HDG
S
AEH
S
CFG
S
ABCD
4S
ABCD
9S
ABCD
S
ABCD
12S< br>ABCD
60
．

【例 11】 如图，在
△ABC中，延长
AB
至
D
，使
BDAB
，延长
BC
至
E
，使
CE
1
BC
，
F
是< br>AC
的
2
中点，若
△ABC
的面积是
2
，则
△DEF
的面积是多少？
A
F
B
D
C
E

【解析】 ∵在
△ABC
和
△CFE
中，
ACB
与
FCE
互补 ，
S
ACBC224
∴
△ABC

．
S
△FCE
FCCE111
又
S
V
ABC
2
，所以
S
V
FCE
0.5
．
同理可得
S
△ADF
2
，
S
△BDE
3
．
所 以
S
△DEF
S
△ABC
S
△CEF
S△DEB
S
△ADF
20.5323.5


【例 12】 如图，
S
△ABC
1
，
BC5BD，
AC4EC
，
DGGSSE
，
AFFG
．求
S
V
FGS
．
A
F
G
B
D
E
S
C

【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角 形有
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一 个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也
可以看作 是找点，最妙的是其中包含了找点的
3
种情况．
432111
最后求得S
△FGS
的面积为
S
△FGS

．
5432210

【例 13】 如图所示，正方形
ABCD
边长为
8
厘米，
E
是
AD
的中点，
F
是
CE
的中点，
G
是
BF
的中点，
三角形
ABG的面积是多少平方厘米？
A
E
F
G
D
A
E< br>F
G
D
B
【解析】 连接
AF
、
EG
．
C

B
C

1
因为
S
△BCF
S
△ CDE
8
2
16
，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个 三角形的面积
4
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
S
V
AEF< br>8
，
S
V
EFG
8
，再根据”当两个三角形有一 个角相等
或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到
S
V
BFC
16
，
S
ABFE
32
，
S
V
ABF
24
，所以
S
V
ABG
1 2
平方厘米．

【例 14】 四个面积为
1
的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
F
HA
E
B
G
C

【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形
DEF
，则
AGF
与
CEH
都是正三角形．
假设正六边形的边长为为
a
，则
AGF
与
CEH
的边长都是
4a
，所以大正三角形
DEF
的边长 为
4217
，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单 位小正三角
149
形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形
DEF
的面积为．
66
4312
由于
FA4a
，
FB3a
，所以
AFB
与三角形
DEF
的面积之比为

．
7749
12
同理可知
BDC
、
AEC
与 三角形
DEF
的面积之比都为，所以
ABC
的面积占三角形
DEF
面积
49
1213491313
的
13
，所以
ABC
的面积的面积为

．
49496496

【 巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形
ABCDE
的面积是 ．
D
E
A
D

【解析】 从图中可以看出， 虚线
AB
和虚线
CD
外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个 正六
边形的面积；虚线
BC
和虚线
DE
外的图形都等于一个正六边形 的一半，那么它们合起来等于一个正
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BC

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六边形的面积；虚线
AE
外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边
111< br>12
形面积的，所以虚线外图形的面积等于
1323
，所以五边形的面 积是
1036
．
663
33

















8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受 得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。

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三角形等高模型与鸟头模型
模型二 鸟头模型


两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在< br>△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或< br>D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上如图 2)，
则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):( ADAE)

D
A
A
D
E
E
B

图⑴ 图⑵
C
B
C


【例 1】 如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点，且
AD:AB2:5
，
AE:AC4:7
，
S
△ADE
16
平方
厘米，求
△ABC
的面积．
A
A
D
E
D
E
BC

【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE< br>AD:AB2:5(24):(54)
，
B
C

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC4:7(45):(75)< br>，所以
S
△ADE
:S
△ABC
(24):(75)< br>，设
S
△ADE
8
份，
则
S
△ABC35
份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ ABC
的
面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相
等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．



【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD< br>的5倍，
AC
是
AE
的3倍，如果三角形
ADE
的面 积等于1，那
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么三角形
ABC
的面积是多少？
A
A
D
E
D
E
C

B
B
C

【解析】 连接
BE
．
∵
EC3AE

∴
S
V
ABC
3S
V
ABE

又∵
AB5AD

∴
S
V
ADE
S< br>V
ABE
5S
V
ABC
15
，∴
S< br>V
ABC
15S
V
ADE
15
．
< br>【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，
BDDC4
，< br>BE3
，
AE6
，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E
乙
C
【解析】 连接
AD
．
∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S
V
ABD
3S
V
BD E

又∵
BDDC4
，
∴
S
V
AB C
2S
V
ABD
，∴
S
V
ABC
6S
V
BDE
，
S
乙
5S
甲
．

【例 2】 如图在
△ABC
中，
D
在
BA
的延长 线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
A E:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△AB C
的面积．
DD

B
甲
D
乙
C

AA
E
B
C
B
E

【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE< br>AD:AB2:5(23):(53)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

，
C
所以
S
△ ADE
:S
△ABC
(32):

5(32)
< br>6:25
，设
S
△ADE
6
份，则
S
△ ABC
25
份，
S
△ADE
12
平方厘
米，所 以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平 方厘米，
△ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到
一个重要的 定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比



【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，
AF2CF
，三角形AFE(图中阴影部分)的面
积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
D
C
F
B
E

【解析】 连接FB．三角形AFB 面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2
倍，所以三角形ABC面 积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积
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A

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的2倍，所以平行四边 形的面积是三角形AFE面积的
（32）6
倍．因此，平行四边形的面积为
86 48
(平方厘米)．

【例 4】 已知
△DEF
的面积为7
平方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC< br>的面积．
A
F
D
B
E
C
【解析】
S
△BDE
:S
△ABC

(BDBE):(BAB C)(11):(23)1:6
，
S
△CEF
:S
△ABC
(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8
S
△ADF< br>:S
△ABC
(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6< br>
设
S
△ABC
24
份，则
S
△BDE< br>4
份，
S
△ADF
4
份，
S
△CEF< br>9
份，
S
△DEF
244497
份，恰好是7
平方厘米，所以
S
△ABC
24
平方厘米

【例 5】 如图，三角形
ABC
的面积为3平方厘米，其中
AB:BE2 :5
，
BC:CD3:2
，三角形
BDE
的面积
是多少？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E

【解析】 由于
ABCDBE180

，所以可以用共角 定理，设
AB2
份，
BC3
份，则
BE5
份，
BD325
份，由共角定理
S
△ABC
:S
△BDE
(ABBC):(BEBD)(23):(55)6:25
，设
S△ABC
6
份，恰好是
3
平方厘米，所以
1
份是0.5
平方厘米，
25
份就是
250.512.5
平方厘米 ，三角
形
BDE
的面积是
12.5
平方厘米

11
【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形
ABCD
边长为6厘米，
AEAC
，
CFBC
．
33
三 角形
DEF
的面积为_______平方厘米．
D
A
E
C

F
112
【解析】 由题意知
AEAC
、
CFBC
，可得
CEAC
．根据”共角定 理”可得，
333
S
△CEF
:S
△ABC
(CFC E):(CBAC)

12

:(33)2:9
；而S
△ABC
66218
；所以
S
△CEF
4
；
B
同理得，
S
△CDE
:S
△ACD
 2:3
;，
S
△CDE
183212
，
S
△CDF
6

故
S
△DEF
S
△CEF
S
△DEC
S
△DFC
412610
(平方厘米)．

【例 7】 如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长< br>AB
至
D
，使
BDAB
；延长
BC
至E
，使
CE2BC
；延长
CA
至
F
，使AF3AC
，求三角形
DEF
的面积．
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F
F
A
B
D
C
E
B

A
C
E
D
【解析】 (法
1
)本题是性质的反复使用．
连接
AE
、
CD
．
S
1
∵
V< br>ABC

，
S
V
ABC
1
，
S
V
DBC
1

∴
S
V
DBC
1
．
同理可得其它，最后三角形
DEF
的面积
18
．
(法< br>2
)用共角定理∵在
VABC
和
VCFE
中，
AC B
与
FCE
互补，
S
ACBC111
∴
V
ABC

． S
V
FCE
FCCE428
又
S
V
ABC
1
，所以
S
V
FCE
8
．
同理可得
S
V
ADF
6
，
S
V
BDE
 3
．
所以
S
V
DEF
S
V
ABCS
V
FCE
S
V
ADF
S
V
B DE
186318
．

【例 8】 如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC，
HA4AD
，平行四边形
ABCD
的
面积是
2， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H< br>H
A
G
D
F
B
C
E
G
A< br>D
F
B
C
E
【解析】 连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△ ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
S
ABBC111
∴
△ABC

．
S< br>△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所 以
S
△FBE
3
．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．
所以
S
EFGH
S
△AEH
S
△CFG
S
△DHG
S
△BEF
S
ABCD
8815+3+236
．
S
21
所以
ABCD

．
S
EFGH
3618


【例 9】 如图，四边形
EFGH
的面积是
66
平方米，
EAAB，
CBBF
，
DCCG
，
HDDA
，求四边形< br>ABCD
的面积．
H
D
A
E
word可编辑
H
C
B
G
D
C
B
G
F

A
E
F

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【解析】 连接
BD
．由共角定理得
S
△BCD
:S
△CGF
(CDCB):(CGCF)1:2
，即
S
△CGF2S
△CDB

同理
S
△ABD
:S
△AH E
1:2
，即
S
△AHE
2S
△ABD
所以
S
△AHE
S
△CGF
2(S
△CBD
S
△ADB
)2S
四边形ABCD

连接
AC
，同理可以得到
S
△DHG
S
△BEF
2S
四边形A BCD

S
四边形EFGH
S
△AHE
S
△C GF
S
△HDG
S
△BEF
S
四边形ABCD
5S
四边形ABCD

所以
S
四边形ABCD
66513.2
平方米

【例 10】 如图，将四边形
ABCD
的四条边
AB
、
C B
、
CD
、
AD
分别延长两倍至点
E
、
F
、
G
、
H
，若
四边形
ABCD
的面积为5 ，则四边形
EFGH
的面积是 ．
F
B
C
A
D
H
G
B
C
F
A
D
H
G
EE

【解析】 连接
AC
、
BD
．
由于
BE2AB
，
BF2BC
，于是
S
BEF
4S
ABC
，同理S
HDG
4S
ADC
．
于是
S
BE F
S
HDG
4S
ABC
4S
ADC
 4S
ABCD
．
再由于
AE3AB
，
AH3AD，于是
S
AEH
9S
ABD
，同理
S
 CFG
9S
CBD
．
于是
S
AEH
S< br>CFG
9S
ABD
9S
CBD
9S
AB CD
．
那么
S
EFGH
S
BEF
S
HDG
S
AEH
S
CFG
S
ABCD
4S
ABCD
9S
ABCD
S
ABCD
12S< br>ABCD
60
．

【例 11】 如图，在
△ABC中，延长
AB
至
D
，使
BDAB
，延长
BC
至
E
，使
CE
1
BC
，
F
是< br>AC
的
2
中点，若
△ABC
的面积是
2
，则
△DEF
的面积是多少？
A
F
B
D
C
E

【解析】 ∵在
△ABC
和
△CFE
中，
ACB
与
FCE
互补 ，
S
ACBC224
∴
△ABC

．
S
△FCE
FCCE111
又
S
V
ABC
2
，所以
S
V
FCE
0.5
．
同理可得
S
△ADF
2
，
S
△BDE
3
．
所 以
S
△DEF
S
△ABC
S
△CEF
S△DEB
S
△ADF
20.5323.5


【例 12】 如图，
S
△ABC
1
，
BC5BD，
AC4EC
，
DGGSSE
，
AFFG
．求
S
V
FGS
．
A
F
G
B
D
E
S
C

【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角 形有
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一 个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也
可以看作 是找点，最妙的是其中包含了找点的
3
种情况．
432111
最后求得S
△FGS
的面积为
S
△FGS

．
5432210

【例 13】 如图所示，正方形
ABCD
边长为
8
厘米，
E
是
AD
的中点，
F
是
CE
的中点，
G
是
BF
的中点，
三角形
ABG的面积是多少平方厘米？
A
E
F
G
D
A
E< br>F
G
D
B
【解析】 连接
AF
、
EG
．
C

B
C

1
因为
S
△BCF
S
△ CDE
8
2
16
，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个 三角形的面积
4
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
S
V
AEF< br>8
，
S
V
EFG
8
，再根据”当两个三角形有一 个角相等
或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到
S
V
BFC
16
，
S
ABFE
32
，
S
V
ABF
24
，所以
S
V
ABG
1 2
平方厘米．

【例 14】 四个面积为
1
的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
F
HA
E
B
G
C

【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形
DEF
，则
AGF
与
CEH
都是正三角形．
假设正六边形的边长为为
a
，则
AGF
与
CEH
的边长都是
4a
，所以大正三角形
DEF
的边长 为
4217
，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单 位小正三角
149
形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形
DEF
的面积为．
66
4312
由于
FA4a
，
FB3a
，所以
AFB
与三角形
DEF
的面积之比为

．
7749
12
同理可知
BDC
、
AEC
与 三角形
DEF
的面积之比都为，所以
ABC
的面积占三角形
DEF
面积
49
1213491313
的
13
，所以
ABC
的面积的面积为

．
49496496

【 巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形
ABCDE
的面积是 ．
D
E
A
D

【解析】 从图中可以看出， 虚线
AB
和虚线
CD
外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个 正六
边形的面积；虚线
BC
和虚线
DE
外的图形都等于一个正六边形 的一半，那么它们合起来等于一个正
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BC

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六边形的面积；虚线
AE
外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边
111< br>12
形面积的，所以虚线外图形的面积等于
1323
，所以五边形的面 积是
1036
．
663
33

















8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受 得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。

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