小学二年级奥数下学期一笔画问题教
结婚红包贺词-个人工作规划
第五讲 一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的
音乐.
他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他
脑子里闪出一个
念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”
和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），
但写到“田”字，试来试去
也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）
这可
真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，
哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的
图样.（见下图）
经过反复试画，小明得到了初步结论：图中
的（1）、（3）、（5）
能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简
单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能
够一笔画出来，这其中
隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问
题：
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又
决定于什么呢？
能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂
与否，
也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？
先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线
构成的.这里
所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，
图中所有
线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.
首先不难发现，每个图中的每一个
点都有线与它相连；有的点与一条
线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.
其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形
是否复杂，也就是说不在于这个图包
含多少个点和多少条线，而在于点和
线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是
需要
仔细考察的.第一组（见下图）
（1）两个点，一条线.
每个点都只与一条线相连.
（2）三个点.
两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.
第一组的两个图都能一笔画出来.
（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）
（1）五个点，五条线.
A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.
（2）六个点，七条线.（“日”字图）
A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.
第二组的两个图也都能一笔画
出来，如箭头所示那样画.即起点必需
是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.
第三组（见下图）
（1）四个点，三条线.
三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.
（2）四个点，六条线.
每个点都与三条线相连.
（3）五个点，八条线.
点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.
第三组的三个图形都不能一笔画出来.
第四组（见下图）
（1）这个图通常叫五角星.
五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.
（2）由一个圆及一个内接三角形构成.
三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧
线）.
（3）一个正方形和一个内切圆构成.
正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.
（四条线是两条线段和两条弧线）.
第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，
而且画
的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）
（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相
连.
（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组
成.圆和正方形之间没有线相连.
第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出
来.
进
行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方
便起见，把点分为两种，并分别定名：
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四
条、六
条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶
点.
提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对
此列表详查：
从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：
①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图
形.
②有0个奇点（
即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以
任一点为起点，最后又将回到该点）.
③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起
点，而另一个奇点为终点）；
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判
定法则：
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.
能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.
用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这
个图形的奇
点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.
看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.
从画图的过程
来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出
去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点
不再出来为止.由此可
见：
①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，
该点就与两条线相
连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.
②再看
起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形
时最后回到起点，终点和起点就重合了，那
么这个重合点必成为偶点，这
样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完<
br>整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必
定都是奇点，因而该图必
有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能
够一笔画成.
第五讲 一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松
、悦耳的音乐.
他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他
脑子里
闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”
和“日”可以一笔写成（没有重复的
笔划），但写到“田”字，试来试去
也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）
这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，
哪个不能一笔画成呢？下面是他试着
画的图样.（见下图）
经过反复试画，小明得到了初步结论：
图中的（1）、（3）、（5）
能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现
，简
单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能
够一笔画出来，这
其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问
题：
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又
决定于什么呢？
能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂
与否，
也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？
先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线
构成的.这里
所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，
图中所有
线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.
首先不难发现，每个图中的每一个
点都有线与它相连；有的点与一条
线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.
其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形
是否复杂，也就是说不在于这个图包
含多少个点和多少条线，而在于点和
线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是
需要
仔细考察的.第一组（见下图）
（1）两个点，一条线.
每个点都只与一条线相连.
（2）三个点.
两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.
第一组的两个图都能一笔画出来.
（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）
（1）五个点，五条线.
A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.
（2）六个点，七条线.（“日”字图）
A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.
第二组的两个图也都能一笔画
出来，如箭头所示那样画.即起点必需
是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.
第三组（见下图）
（1）四个点，三条线.
三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.
（2）四个点，六条线.
每个点都与三条线相连.
（3）五个点，八条线.
点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.
第三组的三个图形都不能一笔画出来.
第四组（见下图）
（1）这个图通常叫五角星.
五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.
（2）由一个圆及一个内接三角形构成.
三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧
线）.
（3）一个正方形和一个内切圆构成.
正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.
（四条线是两条线段和两条弧线）.
第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，
而且画
的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）
（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相
连.
（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组
成.圆和正方形之间没有线相连.
第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出
来.
进
行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方
便起见，把点分为两种，并分别定名：
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四
条、六
条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶
点.
提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对
此列表详查：
从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：
①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图
形.
②有0个奇点（
即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以
任一点为起点，最后又将回到该点）.
③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起
点，而另一个奇点为终点）；
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判
定法则：
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.
能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.
用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这
个图形的奇
点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.
看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.
从画图的过程
来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出
去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点
不再出来为止.由此可
见：
①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，
该点就与两条线相
连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.
②再看
起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形
时最后回到起点，终点和起点就重合了，那
么这个重合点必成为偶点，这
样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完<
br>整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必
定都是奇点，因而该图必
有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能
够一笔画成.