交通安全寄语-西厢记读后感

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第十一讲 找规律法
观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的 线索，用以探索未知事
件的奥秘，是人类智力活动的主要内容.
数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力.
例1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？
12345，23451，34512，45123，…
解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：

仔细观察，可发现该数列的 第6项同第1项，第7项同第2项，第8
项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是 循环出现
的，一个循环节包含5项.
100÷5=20.
可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第
100项是51234.
例2 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四
个人，你知道第 73号牌子会落到谁的手里？
精选

.

解：仔细观察，你会发现：
分给小明的牌子号码是1，5，9，13，…，号码除以4余1；
分给小英的牌子号码是2，6，10，14，…，号码除以4余2；
分给小方的牌子号码是3，7，11，…，号码除以4余3；
分给小军的牌子号码是4，8，12，…，号码除以4余0（整除）.
因此，试用4除73看看余几？
73÷4=18…余 1
可见73号牌会落到小明的手里.
这就是运用了如下的规律：

用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学们自己再试
一试.
精选

.
例3 四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2 、
3、4号位子上（如下图所示）.第一次它们上下两排换位，第二次左右换
位，第三次又上下 交换，第四次左右交换.这样一直交换下去，问十次换
位后，小兔坐在第几号座位上？

解：为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见下图.

盯住小兔的位置进行观察：
第一次换位后，它到了第1号位；
第二次换位后，它到了第2号位；
第三次换位后，它到了第4号位；
第四次换位后，它到了第3号位；
第五次换位后，它又到了第1号位；
…
精选

.
可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位 置，利用这个
规律以及10÷4=2…余2，可知：
第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，即在第二号
位.
如果再仔细地把换位图连续起来研究研究，可以发现，随着一次次地
交换，
小兔的座位按顺时针旋转，
小鼠的座位按逆时针旋转，
小猴的座位按顺时针旋转，
小猫的座位按逆时针旋转，
按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位.
例4 从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这列数的
第100个数是多少？
1，4，7，10，13，…
解：不难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻的前一项大
3，即公差=3，还可以发现：
第2项等于第1项加1个公差即
精选

.
4=1+1×3.
第3项等于第1项加2个公差即
7=1+2×3.
第4项等于第1项加3个公差即
10=1+3×3.
第5项等于第1项加4个公差即
13=1+4×3.
…
可见第n项等于第1项加（n-1）个公差，即

按这个规律，可求出：

第100项=1+（100-1）×3=1+99×3=298.
例5 画图游戏先 画第一代，一个△，再画第二代，在△下面画出两
条线段，在一条线段的末端又画一个△，在另一条的末 端画一个○；画第
三代，在第二代的△下面又画出两条线段，一条末端画△，另一条末端画
精选

.
○；而在第二代的○的下面画一条线，线的末端再画一个△；…一直照此< br>画下去（见下图），问第十次的△和○共有多少个？

解：按着画图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中找出图形的
生成规律，见下图.

数一数，各代的图形（包括△和○）的个数列成下表：

可以发现各代图形 个数组成一个数列，这个数列的生成规律是，从第
三项起每一项都是前面两项之和.按此规律接着把数列 写下去，可得出第
十代的△和○共有89个（见下表）：
精选

.

这就是著名的裴波那契数列.裴波那契是意大利的数学家，他生活在
距今大约七百多年以前的时代.
例6 如下图所示，5个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下、小
的在上的次序套在木 桩上构成了一座圆盘塔.现在要把这座圆盘塔移到另
一个木桩上.规定移动时要遵守一个条件，每搬一次 只许拿一个圆盘而且
任何时候大圆盘都不能压住小圆盘.假如还有第三个木桩可作临时存放圆
盘 之用.问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次？（下
图所示）

解：先从最简单情形试起.
仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次（见下页图）.

②当有两个圆盘时，只需搬动3次（见下图）.
精选

.

③当有三个圆盘时，需要搬动7次（见下页图）.

总结，找规律：
①当仅有一个圆盘时，只需搬1次.
精选

.
②当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大圆盘搬到中
间桩后，小圆盘还得再 搬回来到大圆盘上.所以小的要搬两次，下面的大
盘要搬1次.这样搬到两个圆盘需3次.
③当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上，
见上图中的（1）～（3）.由前面 可知，这需要搬动3次.然后把最下层的
最大圆盘搬一次到中间桩上，见图（4），之后再把上面的两个 搬到中间
桩上，这又需搬3次，见图中（5）～（7）.
所以共搬动2×3+1=7次.
④推论，当有4个圆盘时，就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上，
需要7次，然后把下 面的大圆盘搬到中间桩上（1次），之后再把临时桩
上的3个圆盘搬到中间桩上，这又需要7次，所以共 需搬动2×7+1=15
次.
⑤可见当有5个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共需要：
2×15+1=31次.
这样也可以写出一个一般的公式（叫递推公式）

对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来.

精选

.


进一步进行考察，并联想到另一个数列：

若把n个圆盘搬动的次数写成an，把两个表对照后，

可得出

有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像前一个公式
那样进行递推了.
习题十一
1.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：
①1×9+2= ②9×9+7=
12×9+3= 98×9+6=
123×9+4= 987×9+5=
精选

.
1234×9+5＝ 9876×9+4=
… …
2.先计算下面的奇妙算式，找出规律，再继续写出一些算式：
19+9×9=
118+98×9=
1117+987×9=
11116+9876×9=
111115+98765×9=
…
3.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式：
1×1=
11×11=
111×111=
1111×1111=
11111×11111=
精选

.
…
4.有 一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数都是它前面
的两个数相乘积的个位数字（比如第 三个数8就是2×9=18的个位数字）.
问这一列数的第100个数是几？
5.如果全体自然数按下表进行排列，那么数1000应在哪个字母下面？

6.如果自然数如下图所示排成四列，问101在哪个字母下面？

7.3×3的末位数 字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数
字是1.求35个3相乘的结果的末位数字 是几？
习题十一解答
1.①1×9+2=11
精选

.
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111.
②9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888.
2.19+9×9=100
精选

.
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
11116+9876×9=100000
111115+98765×9=1000000
1111114+987654×9=10000000
11111113+9876543×9=100000000
111111112+98765432×9=1000000000
1111111111+987654321×9= 1.
3.
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=
精选

.
1111111×1111111=21
11111111×11111111=4321
111111111×111111111=654321
4.解：按数列的生成规律再多写出一些数来，再仔细观察，找出规律：
2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、…
可见 ，除最前面的两个数2和9以外，8、2、6、2、2、4这六个数依
次重复出现.因此，可利用这个规 律，按下面的方法找出第100个数出来：
100-2=98，
98÷6=16…2.
即第100个数与这六个数的第2个数相同，即第100个数是2.
5.解：不难发现，每个字母下面的数除以7的余数都是相同的.如第1
列的三个数1、8 和15，除以7时的余数都是1；第2列的三个数2、9和
16，除以7时的余数都是2；第3列的三个 数3、10和17，除以7的余数
都是3；….利用这个规律，可求出第1000个自然数在哪个字母下 面：
1000÷7＝142…6
所以1000在字母F的下面.
精选

.
6.解：可以这样找出排列的规律性：全体自然数依次循环排列在A、
B、C、D、D、C、B、A八个字母的下面，即

依上题解题方法：
101÷8=12…5.
可知101与5均排在同一字母下面，即在D的下面.
7.解：从简单情况做起，列表找规律：

仔细观察可发现，乘积的末位数字的出现有周期性的规律：看相乘的
3的个数除以4的余数，
余1时，积的末位数字是3，
余2时，积的末位数字是9，
余3时，积的末位数字是7，
精选

.
整除时，积的末位数字是1，
35÷4=8…3
所以这个积的末位数字是7.

精选

.
第十一讲 找规律法
观察、搜 集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事
件的奥秘，是人类智力活动的主要内容.
数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力.
例1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？
12345，23451，34512，45123，…
解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：

仔细观察，可发现该数列的 第6项同第1项，第7项同第2项，第8
项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是 循环出现
的，一个循环节包含5项.
100÷5=20.
可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第
100项是51234.
例2 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四
个人，你知道第 73号牌子会落到谁的手里？
精选

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解：仔细观察，你会发现：
分给小明的牌子号码是1，5，9，13，…，号码除以4余1；
分给小英的牌子号码是2，6，10，14，…，号码除以4余2；
分给小方的牌子号码是3，7，11，…，号码除以4余3；
分给小军的牌子号码是4，8，12，…，号码除以4余0（整除）.
因此，试用4除73看看余几？
73÷4=18…余 1
可见73号牌会落到小明的手里.
这就是运用了如下的规律：

用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学们自己再试
一试.
精选

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例3 四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2 、
3、4号位子上（如下图所示）.第一次它们上下两排换位，第二次左右换
位，第三次又上下 交换，第四次左右交换.这样一直交换下去，问十次换
位后，小兔坐在第几号座位上？

解：为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见下图.

盯住小兔的位置进行观察：
第一次换位后，它到了第1号位；
第二次换位后，它到了第2号位；
第三次换位后，它到了第4号位；
第四次换位后，它到了第3号位；
第五次换位后，它又到了第1号位；
…
精选

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可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位 置，利用这个
规律以及10÷4=2…余2，可知：
第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，即在第二号
位.
如果再仔细地把换位图连续起来研究研究，可以发现，随着一次次地
交换，
小兔的座位按顺时针旋转，
小鼠的座位按逆时针旋转，
小猴的座位按顺时针旋转，
小猫的座位按逆时针旋转，
按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位.
例4 从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这列数的
第100个数是多少？
1，4，7，10，13，…
解：不难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻的前一项大
3，即公差=3，还可以发现：
第2项等于第1项加1个公差即
精选

.
4=1+1×3.
第3项等于第1项加2个公差即
7=1+2×3.
第4项等于第1项加3个公差即
10=1+3×3.
第5项等于第1项加4个公差即
13=1+4×3.
…
可见第n项等于第1项加（n-1）个公差，即

按这个规律，可求出：

第100项=1+（100-1）×3=1+99×3=298.
例5 画图游戏先 画第一代，一个△，再画第二代，在△下面画出两
条线段，在一条线段的末端又画一个△，在另一条的末 端画一个○；画第
三代，在第二代的△下面又画出两条线段，一条末端画△，另一条末端画
精选

.
○；而在第二代的○的下面画一条线，线的末端再画一个△；…一直照此< br>画下去（见下图），问第十次的△和○共有多少个？

解：按着画图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中找出图形的
生成规律，见下图.

数一数，各代的图形（包括△和○）的个数列成下表：

可以发现各代图形 个数组成一个数列，这个数列的生成规律是，从第
三项起每一项都是前面两项之和.按此规律接着把数列 写下去，可得出第
十代的△和○共有89个（见下表）：
精选

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这就是著名的裴波那契数列.裴波那契是意大利的数学家，他生活在
距今大约七百多年以前的时代.
例6 如下图所示，5个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下、小
的在上的次序套在木 桩上构成了一座圆盘塔.现在要把这座圆盘塔移到另
一个木桩上.规定移动时要遵守一个条件，每搬一次 只许拿一个圆盘而且
任何时候大圆盘都不能压住小圆盘.假如还有第三个木桩可作临时存放圆
盘 之用.问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次？（下
图所示）

解：先从最简单情形试起.
仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次（见下页图）.

②当有两个圆盘时，只需搬动3次（见下图）.
精选

.

③当有三个圆盘时，需要搬动7次（见下页图）.

总结，找规律：
①当仅有一个圆盘时，只需搬1次.
精选

.
②当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大圆盘搬到中
间桩后，小圆盘还得再 搬回来到大圆盘上.所以小的要搬两次，下面的大
盘要搬1次.这样搬到两个圆盘需3次.
③当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上，
见上图中的（1）～（3）.由前面 可知，这需要搬动3次.然后把最下层的
最大圆盘搬一次到中间桩上，见图（4），之后再把上面的两个 搬到中间
桩上，这又需搬3次，见图中（5）～（7）.
所以共搬动2×3+1=7次.
④推论，当有4个圆盘时，就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上，
需要7次，然后把下 面的大圆盘搬到中间桩上（1次），之后再把临时桩
上的3个圆盘搬到中间桩上，这又需要7次，所以共 需搬动2×7+1=15
次.
⑤可见当有5个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共需要：
2×15+1=31次.
这样也可以写出一个一般的公式（叫递推公式）

对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来.

精选

.


进一步进行考察，并联想到另一个数列：

若把n个圆盘搬动的次数写成an，把两个表对照后，

可得出

有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像前一个公式
那样进行递推了.
习题十一
1.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：
①1×9+2= ②9×9+7=
12×9+3= 98×9+6=
123×9+4= 987×9+5=
精选

.
1234×9+5＝ 9876×9+4=
… …
2.先计算下面的奇妙算式，找出规律，再继续写出一些算式：
19+9×9=
118+98×9=
1117+987×9=
11116+9876×9=
111115+98765×9=
…
3.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式：
1×1=
11×11=
111×111=
1111×1111=
11111×11111=
精选

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…
4.有 一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数都是它前面
的两个数相乘积的个位数字（比如第 三个数8就是2×9=18的个位数字）.
问这一列数的第100个数是几？
5.如果全体自然数按下表进行排列，那么数1000应在哪个字母下面？

6.如果自然数如下图所示排成四列，问101在哪个字母下面？

7.3×3的末位数 字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数
字是1.求35个3相乘的结果的末位数字 是几？
习题十一解答
1.①1×9+2=11
精选

.
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111.
②9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888.
2.19+9×9=100
精选

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118+98×9=1000
1117+987×9=10000
11116+9876×9=100000
111115+98765×9=1000000
1111114+987654×9=10000000
11111113+9876543×9=100000000
111111112+98765432×9=1000000000
1111111111+987654321×9= 1.
3.
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=
精选

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1111111×1111111=21
11111111×11111111=4321
111111111×111111111=654321
4.解：按数列的生成规律再多写出一些数来，再仔细观察，找出规律：
2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、…
可见 ，除最前面的两个数2和9以外，8、2、6、2、2、4这六个数依
次重复出现.因此，可利用这个规 律，按下面的方法找出第100个数出来：
100-2=98，
98÷6=16…2.
即第100个数与这六个数的第2个数相同，即第100个数是2.
5.解：不难发现，每个字母下面的数除以7的余数都是相同的.如第1
列的三个数1、8 和15，除以7时的余数都是1；第2列的三个数2、9和
16，除以7时的余数都是2；第3列的三个 数3、10和17，除以7的余数
都是3；….利用这个规律，可求出第1000个自然数在哪个字母下 面：
1000÷7＝142…6
所以1000在字母F的下面.
精选

.
6.解：可以这样找出排列的规律性：全体自然数依次循环排列在A、
B、C、D、D、C、B、A八个字母的下面，即

依上题解题方法：
101÷8=12…5.
可知101与5均排在同一字母下面，即在D的下面.
7.解：从简单情况做起，列表找规律：

仔细观察可发现，乘积的末位数字的出现有周期性的规律：看相乘的
3的个数除以4的余数，
余1时，积的末位数字是3，
余2时，积的末位数字是9，
余3时，积的末位数字是7，
精选

.
整除时，积的末位数字是1，
35÷4=8…3
所以这个积的末位数字是7.

精选

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