冬至为什么要吃饺子-毕业设计总结

第九讲 整数的分拆
例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每 人打了两
发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一
环带内，并 且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？

解：已知小兵两发子弹打中6环，要求 每次打中的环数，可将6分拆
6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1 +4=2+3.
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：
小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.
例2 某个外星人来到地球上，随身带有本 星球上的硬币1分、2分、
4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？
解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、
4、8进行分拆.
7=1+2+4
9=1+8
10=2+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=1+2+4+8
外星人可按以上方式付款.
例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用< br>“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分
糖方案.

解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能
使和 的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位
数字都应是8.
这样由8×5=40及200-40=160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.
最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.
解：1=1×1=1
2
=1（特例）
4=2×2=2
2
=1+3
9=3×3=3
2
=1+3+5
16=4×4=4
2
=1+3+5+7
25=5×5=5
2
=1+3+5+7+9
36=6×6=6
2
=1+3+5+7+9+11
49=7×7=7
2
=1+3+5+7+9+11+13
64=8×8=8
2

=1+3+5+7+9+11+13+15
81=9×9=9
2

=1+3+5+7+9+11+13+15+17
100=10×10=10
2

=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
观察上述各式，可得出如下猜想：
一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数
就等于奇数个数的自乘积（平方）.
检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其
是否符合上述猜想.

121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.
例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有
多少种不同的写法？
解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9.
分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.
但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.
逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
可见共有4种不同的写法.
例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分
拆方式，请把它们一一列出.
解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个
数中最小的数应为1，其次是2，那 么第三个数就应是9得：12=1+2+9.
下面进行变化，如从9中取1加到2上，
又得12=1+3+8.
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12=1+4+7=2+3+7，
12=1+5+6=2+4+6.
12=3+4+5.
共有7种不同的分拆方式.
例7 将21分拆成四个不同的自 然数相加之和，但四个自然数只能从
1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.
解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）
=4，所以接着 只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，

以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方
式：

21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种
∴ 共有11种不同的分拆方式.

例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然
数之和.

26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：
10+10+8+4+1=33种.
总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆
过程按一定的顺序进行.
习题九
1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，
请一一列出.
2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆
方式，请一一列出.
3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆
方式，请一一列出.
4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的
分拆方式，请一一列出.
5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，
请一一列出.

6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此
题 是美国小学数学奥林匹克试题）.
7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32 个、64个苹
果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部
取走， 要么不取，你看怎么取法？
8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带
有6字，想想看，应该怎样分？
9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8
组成，请你想一想该怎样分？
10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是
1元钱，其中 有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少
枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题） .
11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列
的顺序， 即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三
元自然组.那么和为10的自然 数组共有多少个？
习题九题答
1.解：共有2种不同的分拆方式：
15=9+6
15=8+7
2.解：共8种.

3.解：共12种.

4.解：共6种.
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
5.解：同第4题答案.
6.解：同第4题答案.
7.解：可这样想：总数要87 个，最先取数最多的一箱64个苹果，这
样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果 的那箱，只能取装
有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：
87=64+16+4+2+1.
8.解：从已有经验中可 知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒
头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个 馒头.64个这个数，刚好含
有数字6，满足题目要求.
即得100=64+6+6+6+6+6+6.
9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000=888+88+8+8+8.
10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3=75（分）.
所以其余的7枚硬币的价值是：
100-75=25（分）.
将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）
25=1+1+1+1+1+10+10.

所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.
11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2 ，7），（1，3，6），
（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3 ，3，4）.

第九讲 整数的分拆
例1 小兵和小军用玩具 枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两
发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两 发子弹打到同一
环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？

解 ：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆
6=1+5=2+4；同理，要求小军 每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：
小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.
例2 某个外星人来到地球上，随身带有本 星球上的硬币1分、2分、
4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？
解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、
4、8进行分拆.
7=1+2+4
9=1+8
10=2+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=1+2+4+8
外星人可按以上方式付款.
例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用< br>“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分
糖方案.

解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能
使和 的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位
数字都应是8.
这样由8×5=40及200-40=160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.
最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.
解：1=1×1=1
2
=1（特例）
4=2×2=2
2
=1+3
9=3×3=3
2
=1+3+5
16=4×4=4
2
=1+3+5+7
25=5×5=5
2
=1+3+5+7+9
36=6×6=6
2
=1+3+5+7+9+11
49=7×7=7
2
=1+3+5+7+9+11+13
64=8×8=8
2

=1+3+5+7+9+11+13+15
81=9×9=9
2

=1+3+5+7+9+11+13+15+17
100=10×10=10
2

=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
观察上述各式，可得出如下猜想：
一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数
就等于奇数个数的自乘积（平方）.
检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其
是否符合上述猜想.

121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.
例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有
多少种不同的写法？
解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9.
分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.
但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.
逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
可见共有4种不同的写法.
例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分
拆方式，请把它们一一列出.
解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个
数中最小的数应为1，其次是2，那 么第三个数就应是9得：12=1+2+9.
下面进行变化，如从9中取1加到2上，
又得12=1+3+8.
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12=1+4+7=2+3+7，
12=1+5+6=2+4+6.
12=3+4+5.
共有7种不同的分拆方式.
例7 将21分拆成四个不同的自 然数相加之和，但四个自然数只能从
1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.
解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）
=4，所以接着 只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，

以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方
式：

21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种
∴ 共有11种不同的分拆方式.

例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然
数之和.

26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：
10+10+8+4+1=33种.
总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆
过程按一定的顺序进行.
习题九
1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，
请一一列出.
2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆
方式，请一一列出.
3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆
方式，请一一列出.
4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的
分拆方式，请一一列出.
5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，
请一一列出.

6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此
题 是美国小学数学奥林匹克试题）.
7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32 个、64个苹
果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部
取走， 要么不取，你看怎么取法？
8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带
有6字，想想看，应该怎样分？
9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8
组成，请你想一想该怎样分？
10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是
1元钱，其中 有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少
枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题） .
11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列
的顺序， 即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三
元自然组.那么和为10的自然 数组共有多少个？
习题九题答
1.解：共有2种不同的分拆方式：
15=9+6
15=8+7
2.解：共8种.

3.解：共12种.

4.解：共6种.
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
5.解：同第4题答案.
6.解：同第4题答案.
7.解：可这样想：总数要87 个，最先取数最多的一箱64个苹果，这
样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果 的那箱，只能取装
有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：
87=64+16+4+2+1.
8.解：从已有经验中可 知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒
头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个 馒头.64个这个数，刚好含
有数字6，满足题目要求.
即得100=64+6+6+6+6+6+6.
9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000=888+88+8+8+8.
10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3=75（分）.
所以其余的7枚硬币的价值是：
100-75=25（分）.
将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）
25=1+1+1+1+1+10+10.

所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.
11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2 ，7），（1，3，6），
（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3 ，3，4）.