上海市公务员考试论坛-鹿和狼的故事读后感

第六讲 七座桥问题
二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们 的智力
挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，
但他们都失败 了.
今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.
这个问题叫做“七座桥问题”.
当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架
有七座桥，这些桥把陆 地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩
的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他 们就是在游玩时候
想出了这样一个问题：
如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要
连续地走完这七座桥怎么个走法？

好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.
你是怎样 试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲
自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教 室，你坐在教室里，在你的
面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！
可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，
只是用一些线条来代表它们，但却 明白无误地显示出了它们之间的位置关
系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的 真实内
容而抽象出来的“数学图”.
这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重
要.
也许你是用铅笔尖 在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！
为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自 己的想像力：你在
无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想

像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不
可缺少的属性”.看 来你并不缺少这种想像力！
让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像< br>成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起
了吗？用一句数学上常用 的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数
学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.
在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.
在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不
改变过桥问题的实质.

在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图
形”了，但还是显得复杂.
在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的
最简单的几何图形了. 经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了
上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一 笔画成的问题了.
很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一
笔画 成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.

这样七桥问题就得到了圆满的解决.
这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过 程.所
谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.
而只抓住那个能 体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大
小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.

最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：
①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的
几何图形了.
②如果 这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的
桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一 次通过所有的桥.
③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超
过 两个奇点时，图形就不能一笔画出来.
模仿这种思路，也能解决类似好多问题.
习题六
1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.
过桥问题：
可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？

仿此例依次判断出：

2.下图是乡间的一条小河 ，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有
的小桥吗？
（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）

3.在我国著名数学家陈景润 写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样
一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小 岛，那里
的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一
说，从任一岸 出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每
座桥只能走一次）

4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地
走遍各个门吗？请说明你的理由.
如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后
一次不重复地走遍各个 门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个
门？

习题六解答
1.解：见下图
过桥问题：
可否一次通过所有的桥
（每座桥只能走一次）

一笔画问题：
可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）

2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右
图有4个奇点.

3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两
岸的任一个岸的桥的 数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一
条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个 岸.画出图来就能一
目了然了.见下图.

因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.
所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.
4.解：从入口进入售货厅 后，也就是从1号房间开始不能一次不重复
地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点， 但点1是偶
点.
当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4
仍为奇点，而整个图形只有 2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间
出.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可 ）.

第六讲 七座桥问题
二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力
挑战，使得很多人冥思苦想.在相当 长的一段时间里，很多人都想解决它，
但他们都失败了.
今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.
这个问题叫做“七座桥问题”.
当时， 德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架
有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来， 这样就给人们提供了一个游玩
的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候< br>想出了这样一个问题：
如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要
连续地走完这七座桥怎么个走法？

好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.
你是怎样 试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲
自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教 室，你坐在教室里，在你的
面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！
可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，
只是用一些线条来代表它们，但却 明白无误地显示出了它们之间的位置关
系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的 真实内
容而抽象出来的“数学图”.
这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重
要.
也许你是用铅笔尖 在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！
为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自 己的想像力：你在
无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想

像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不
可缺少的属性”.看 来你并不缺少这种想像力！
让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像< br>成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起
了吗？用一句数学上常用 的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数
学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.
在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.
在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不
改变过桥问题的实质.

在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图
形”了，但还是显得复杂.
在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的
最简单的几何图形了. 经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了
上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一 笔画成的问题了.
很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一
笔画 成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.

这样七桥问题就得到了圆满的解决.
这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过 程.所
谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.
而只抓住那个能 体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大
小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.

最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：
①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的
几何图形了.
②如果 这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的
桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一 次通过所有的桥.
③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超
过 两个奇点时，图形就不能一笔画出来.
模仿这种思路，也能解决类似好多问题.
习题六
1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.
过桥问题：
可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？

仿此例依次判断出：

2.下图是乡间的一条小河 ，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有
的小桥吗？
（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）

3.在我国著名数学家陈景润 写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样
一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小 岛，那里
的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一
说，从任一岸 出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每
座桥只能走一次）

4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地
走遍各个门吗？请说明你的理由.
如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后
一次不重复地走遍各个 门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个
门？

习题六解答
1.解：见下图
过桥问题：
可否一次通过所有的桥
（每座桥只能走一次）

一笔画问题：
可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）

2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右
图有4个奇点.

3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两
岸的任一个岸的桥的 数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一
条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个 岸.画出图来就能一
目了然了.见下图.

因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.
所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.
4.解：从入口进入售货厅 后，也就是从1号房间开始不能一次不重复
地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点， 但点1是偶
点.
当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4
仍为奇点，而整个图形只有 2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间
出.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可 ）.