感恩节哪天-环境卫生工作总结

学而思教育 学习改变命运，思考成就未来

第四讲 几何图形认知


挑战例题


例1
生活中 我们常常碰到简单的几何图形所表示的指示标识，例如马路上的各种交通标识，汽
车上不同的车牌符号标 识，甚至于在天气预报，安全通道等等都有通用的图形标识。图形
可以很方便地告诉我们要表达的意思， 而且图形可以跨越语言的界限，在每个国家也基本上都大同
小异。看下面几组常见的标识，每一个都表达 什么意思呢？

分析解答
第一组是交通指示标识，依次是：禁止驶入、加油站、限 制高度3.5米、避车
道、前面有天桥。
学而思教育 小学二年级

学而思教育 学习改变命运，思考成就未来





第二组是由简单图形组成的国旗，依次是希腊国旗、以色列国旗，瑞士国旗。
第三组是汽车标识，依次是丰田、奔驰、东风、红旗、长安。
第四组是天气预报和银行标志，依次是多云、雨转晴、阴天、中国银行、中国工商银行。

由于是对称的，
例2
右图所示的是一块用来铺墙的瓷砖，
两块瓷砖可以自然 地拼接起来。问题是：想要构成
这种瓷砖，至少需要几种图形呢？

尽管看上去无论如何都至少要有两种不
分析解答
同大小的黄色正方形才能构成，但事 实
上用一种就足够了。这是因为我们的眼睛总会把简单而明显
的东西当作图形，而把剩下的当作 背景。假如反过来，将整
个瓷砖中的黄色看作是背景的话，全部的图案就是
由左边这些紫色的小 东西构成的。排除掉干扰，你
看出来了吗？


例3
在下面的每个三角形中，画出三条高。


这三个三角形分别是锐角三角形 、直角三角形和钝角三角形。我们知道，在三
角形中，如果有一个是直角，就叫做直角三角形；如果有一 个叫是钝角，叫钝
角三角形；如果三个角都是锐角，则叫做锐角三角形。
三角形有三条边， 三个内角，还有三条高，所谓高，就是从三角形的一个顶点向对边所作的垂
线。和高对应的边叫做底，三 角形的三条边都可以当作底。
A
通常我们用大写字母来标记三角形的顶点，例如三角形AB C，也可以直
接写作△ABC。如图，从A点向底边BC做垂线，垂足是D，AD叫做三角
形B C边上的高，同样地，可以做出其他两条高BE和CF。
F
E
对于直角三角形GHI，由于其中已经有
G
一个直角，即这表示如果从顶点G向HI作垂
C
B
J
D
线或从顶点I向GH作垂线，垂足都是H，于
是在这里两条直角边GH和HI分
K
别就是两条高，另外一条高是GI
边上的高HJ。
I
H
在钝角三角形KLM中，最长
分析解答
N
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L
M
O
P

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边KL边上 的高容易做出，从M点向对边引垂线MN即可。其他两条比较麻烦，因为从K点向对
边作垂线，没法作到 LM中间去，于是只能延长LM，作垂线KP，垂足是P，这样KP就是LM边
上的高，同样地可以作出 KM边上的高LO。
作三角形的高是研究几何的基本功，在以后几何问题的学习中非常重要。大家一 定要对三角形
的高非常熟悉，要做到无论在哪个方向，以哪条边为底，都能迅速判断出三角形的高是哪条 。


例4
请用直尺分别画出一个正方形、长方形、菱形、平行四边形、 梯形，再画一个不属于上面
几类的任意四边形，说说这几类四边形的关系，哪种包含哪种？

如下图，这几种图形我们都非常熟悉了，但要描述好每个图形还确实不容易。
分析解答







梯形是只有一条对边平行 的四边形，在梯形中，我们管平行的上下两条
边叫上底和下底。如右图，在这上下两底之间，可以作出无 数条垂线，
都是梯形的高。
若四边形两组对边都平行，则是平行四边形，它同样有无数条高 ，但因为平行四边形对边长度
相等，所以不分上下底，统称为底。平行四边形的每条边都可以做底。 < br>长方形也叫矩形（读jǔ），是一种特殊的平行四边形，即四个内角都是直角的平行四边形，在
矩 形中，底和高分别被叫做长和宽。
菱形也是一种特殊的平行四边形，即四条边都相等的平行四边形。
正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。它集合了菱形和矩形的特点，即四个角都是直角的菱
形，或者说长和宽相等的矩形。在正方形中，长和宽统称为边长。

四边形
右面用图形的包含来描述一下这几种
平行四边形
四边形的关系。
注意：平行四边形不是一种特殊的梯
形，梯形是只有一对边平行的四边形。






正
方
长方形
形
梯形
菱形
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例5
我们在日常生活中每天都会看到各种各样的多边形，例如在家里的墙上、地板 砖上，现在
观察下面这些图，多边形有如此之多的组合方式，确实让人眼花缭乱。
请问：上面
12
幅图中哪些是正多边形，哪些是不闭合多边形、闭合多边形、简单多边形、复杂
多 边形、复合多边形、凸多边形、凹多边形？

一个多边形如果下面两个条件我们叫它正多边形：1、各条边都相等；2、各个
分析解答 内角都相等。例如在图中，6、12号是正五边形和正八边形。我们最常见的两种
正多边形是正三角 形和正方形，一般也可以把圆看作是有无数条边的正多边形。
如果图形的最后一条边的终点和第一条 边的起点不重合，称之为不闭合多边形；反过来，如果
最后一条边的终点和第一条边的起点重合，我们叫 它闭合多边形。在上图中，只有1和8是不闭合
多边形，其他的都是闭合多边形。通常我们见到的基本图 形都是闭合多边形。
任意两条边都不相交（顶点不算相交）的多边形称之为简单多边形。简单多边形 将平面分为两
个部分，里面和外面，在上图中，4、5、6、10、11、12都是简单多边形。
多边形的边存在相交我们称之为复杂多边形，复杂多边形把平面分成两个以上的部分。上图中，
2、3、7、9都是复杂多边形。
复合多边形则是几个简单多边形叠加所形成的多边形，有重叠的部分，例如上图中的3、9。
多边形 内任意两点连成的线段都在多边形里面，这样的多边形称作凸多边形；反之若多边形内
存在两点，它们的 连线在多边形外，则称作凹多边形。例如上图中的5、6、10、12是凸多边形，
其余的是凹多边形。


（ ）条棱，（ ）个面？下面哪些图形是正方体的平
例6
一个正方体有（ ）个顶点，
面展开图？
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如右图，一个正方体有
8
个顶点，
12
条棱，
6
个面。我们可
以想象一个正方体的盒子，将它展开成平面后会是六个正方
形 连在一起的图案。试着将上面的每一个平面图合回来，如果实在想不出来的话，
不妨找一张纸做做看喽。 前
11
个都是可以的，最后
4
个不是正方体的展开图。
通常在描 述右面这个正方体时，我们用上面、下面、左面、右面、前面、后
面来描述正方体的6个面，其中“后面 ”是我们看不到的，在画图中应当用虚线
表示。

分析解答
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课后展示


1
请画出一个面积是
36
平方厘米的菱形。
解答：画一个边长为6厘米的正方形即可。

折叠一次后形成的样子。请你说出
2
图1是由某个英文字母形状的纸片，
是哪个英文字母，除了“L”还有可能是别的吗？
解答：还有可能是“F”。

3
图2中隐藏着一个正五角星，请找出它在哪儿。
解答：仔细观察，在图形的右下部。

4
图3画得是几个英文字母，仔细观察看看上面到底写了什么？
解答：观察其中的白色部分，把黑色当作底色，结果是“LIFT”。

5
画出至少
4
种正方体平面展开后的样子。
图1
图2
图3

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例1
生活中我们常常碰到简单的几何图形所表示的指示标识，例如马路上的各种交通标识，汽
车上不同的车牌符号标识，甚至于在天气预报，安全通道等等都有通用的图形标识。图形
可以很 方便地告诉我们要表达的意思，而且图形可以跨越语言的界限，在每个国家也基本上都大同
小异。看下面 几组常见的标识，每一个都表达什么意思呢？

分析解答
第一组是交通指示标识， 依次是：禁止驶入、加油站、限制高度3.5米、避车
道、前面有天桥。
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第二组是由简单图形组成的国旗，依次是希腊国旗、以色列国旗，瑞士国旗。
第三组是汽车标识，依次是丰田、奔驰、东风、红旗、长安。
第四组是天气预报和银行标志，依次是多云、雨转晴、阴天、中国银行、中国工商银行。

由于是对称的，
例2
右图所示的是一块用来铺墙的瓷砖，
两块瓷砖可以自然 地拼接起来。问题是：想要构成
这种瓷砖，至少需要几种图形呢？

尽管看上去无论如何都至少要有两种不
分析解答
同大小的黄色正方形才能构成，但事 实
上用一种就足够了。这是因为我们的眼睛总会把简单而明显
的东西当作图形，而把剩下的当作 背景。假如反过来，将整
个瓷砖中的黄色看作是背景的话，全部的图案就是
由左边这些紫色的小 东西构成的。排除掉干扰，你
看出来了吗？


例3
在下面的每个三角形中，画出三条高。


这三个三角形分别是锐角三角形 、直角三角形和钝角三角形。我们知道，在三
角形中，如果有一个是直角，就叫做直角三角形；如果有一 个叫是钝角，叫钝
角三角形；如果三个角都是锐角，则叫做锐角三角形。
三角形有三条边， 三个内角，还有三条高，所谓高，就是从三角形的一个顶点向对边所作的垂
线。和高对应的边叫做底，三 角形的三条边都可以当作底。
A
通常我们用大写字母来标记三角形的顶点，例如三角形AB C，也可以直
接写作△ABC。如图，从A点向底边BC做垂线，垂足是D，AD叫做三角
形B C边上的高，同样地，可以做出其他两条高BE和CF。
F
E
对于直角三角形GHI，由于其中已经有
G
一个直角，即这表示如果从顶点G向HI作垂
C
B
J
D
线或从顶点I向GH作垂线，垂足都是H，于
是在这里两条直角边GH和HI分
K
别就是两条高，另外一条高是GI
边上的高HJ。
I
H
在钝角三角形KLM中，最长
分析解答
N
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L
M
O
P

学而思教育 学习改变命运，思考成就未来

边KL边上 的高容易做出，从M点向对边引垂线MN即可。其他两条比较麻烦，因为从K点向对
边作垂线，没法作到 LM中间去，于是只能延长LM，作垂线KP，垂足是P，这样KP就是LM边
上的高，同样地可以作出 KM边上的高LO。
作三角形的高是研究几何的基本功，在以后几何问题的学习中非常重要。大家一 定要对三角形
的高非常熟悉，要做到无论在哪个方向，以哪条边为底，都能迅速判断出三角形的高是哪条 。


例4
请用直尺分别画出一个正方形、长方形、菱形、平行四边形、 梯形，再画一个不属于上面
几类的任意四边形，说说这几类四边形的关系，哪种包含哪种？

如下图，这几种图形我们都非常熟悉了，但要描述好每个图形还确实不容易。
分析解答







梯形是只有一条对边平行 的四边形，在梯形中，我们管平行的上下两条
边叫上底和下底。如右图，在这上下两底之间，可以作出无 数条垂线，
都是梯形的高。
若四边形两组对边都平行，则是平行四边形，它同样有无数条高 ，但因为平行四边形对边长度
相等，所以不分上下底，统称为底。平行四边形的每条边都可以做底。 < br>长方形也叫矩形（读jǔ），是一种特殊的平行四边形，即四个内角都是直角的平行四边形，在
矩 形中，底和高分别被叫做长和宽。
菱形也是一种特殊的平行四边形，即四条边都相等的平行四边形。
正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。它集合了菱形和矩形的特点，即四个角都是直角的菱
形，或者说长和宽相等的矩形。在正方形中，长和宽统称为边长。

四边形
右面用图形的包含来描述一下这几种
平行四边形
四边形的关系。
注意：平行四边形不是一种特殊的梯
形，梯形是只有一对边平行的四边形。






正
方
长方形
形
梯形
菱形
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例5
我们在日常生活中每天都会看到各种各样的多边形，例如在家里的墙上、地板 砖上，现在
观察下面这些图，多边形有如此之多的组合方式，确实让人眼花缭乱。
请问：上面
12
幅图中哪些是正多边形，哪些是不闭合多边形、闭合多边形、简单多边形、复杂
多 边形、复合多边形、凸多边形、凹多边形？

一个多边形如果下面两个条件我们叫它正多边形：1、各条边都相等；2、各个
分析解答 内角都相等。例如在图中，6、12号是正五边形和正八边形。我们最常见的两种
正多边形是正三角 形和正方形，一般也可以把圆看作是有无数条边的正多边形。
如果图形的最后一条边的终点和第一条 边的起点不重合，称之为不闭合多边形；反过来，如果
最后一条边的终点和第一条边的起点重合，我们叫 它闭合多边形。在上图中，只有1和8是不闭合
多边形，其他的都是闭合多边形。通常我们见到的基本图 形都是闭合多边形。
任意两条边都不相交（顶点不算相交）的多边形称之为简单多边形。简单多边形 将平面分为两
个部分，里面和外面，在上图中，4、5、6、10、11、12都是简单多边形。
多边形的边存在相交我们称之为复杂多边形，复杂多边形把平面分成两个以上的部分。上图中，
2、3、7、9都是复杂多边形。
复合多边形则是几个简单多边形叠加所形成的多边形，有重叠的部分，例如上图中的3、9。
多边形 内任意两点连成的线段都在多边形里面，这样的多边形称作凸多边形；反之若多边形内
存在两点，它们的 连线在多边形外，则称作凹多边形。例如上图中的5、6、10、12是凸多边形，
其余的是凹多边形。


（ ）条棱，（ ）个面？下面哪些图形是正方体的平
例6
一个正方体有（ ）个顶点，
面展开图？
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如右图，一个正方体有
8
个顶点，
12
条棱，
6
个面。我们可
以想象一个正方体的盒子，将它展开成平面后会是六个正方
形 连在一起的图案。试着将上面的每一个平面图合回来，如果实在想不出来的话，
不妨找一张纸做做看喽。 前
11
个都是可以的，最后
4
个不是正方体的展开图。
通常在描 述右面这个正方体时，我们用上面、下面、左面、右面、前面、后
面来描述正方体的6个面，其中“后面 ”是我们看不到的，在画图中应当用虚线
表示。

分析解答
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1
请画出一个面积是
36
平方厘米的菱形。
解答：画一个边长为6厘米的正方形即可。

折叠一次后形成的样子。请你说出
2
图1是由某个英文字母形状的纸片，
是哪个英文字母，除了“L”还有可能是别的吗？
解答：还有可能是“F”。

3
图2中隐藏着一个正五角星，请找出它在哪儿。
解答：仔细观察，在图形的右下部。

4
图3画得是几个英文字母，仔细观察看看上面到底写了什么？
解答：观察其中的白色部分，把黑色当作底色，结果是“LIFT”。

5
画出至少
4
种正方体平面展开后的样子。
图1
图2
图3

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