上海出版印刷高等专科学校-工业品买卖合同范本

往届高等数学期终考题汇编
2009-01-12
一．解答下列各题(6*10分):
1．求极限
lim

x0< br>1
xln(1e
x
)
.

22

2.设
yxx
2
a
2
a
2
ln


xxa

,求
dy
.

2

d
2
y

x2tt
3.设

，求
2
.
3
dx


y3tt

4.判定级数


5.求反常积分

0
1
arcsin



e

2

n
n!


0

的敛散性.
n
n
x
dx
.
n1
x

1x


6.求

xarctanxdx
.

7.

0
sinxsin
3
xdx
.



x,x

2
在


< br>,


上展为以
2

为周期的付里叶级数，并指出收 敛于
f

x

的区8.将
f(x)



0,x


2
间.
9.求微分方程
ydx(x
2
4x)dy0
的解.
10.求曲线
xy1
与直线
x1,x2,y0
所围平面图形绕
y
轴旋转一周所得旋转体的体积.
二.(8分)将
f

x

ln

4x5

展开为
x2
的幂级数, 并指出其收敛域.
三.(9分)在曲线
ysinx
2

0x 1

上取点
Aa,sina
2
,

0a1
,过点
A
作平行于
ox
轴的直线
L
,
由直线
L
,
oy
轴及曲线
ysinx
2
0xa

所围成的图形记为
S
1
,由直线
L
,直线
x1
及曲线
ysinx
2

ax1

所围成的图形面积记为
S
2
,问
a
为何值时,
SS
1
S
2
取得最小值.

四.(9分)冷却定律 指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度
为30℃时,物体由100 ℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间?
五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）)
（1）证明级数

x
2
e
nx
在

0,)
上一致 收敛.
n0


（2）求幂级数

(1)
n 1

2n1

2
2n1
x
2n2
的收敛域及和函数.
b
n1
六.(6分)设
f

x
C
2

a,b

,试证存在



a,b

,使

a
f

x
dx

ba

f


ab< br>
1

ba

3
f








2

24

2008．1．15

一．解答下列各题(6*10分):

1.计算极限
lim
2. 设
ye
2x
e
x

x2

x2< br>sinx
3
x0
.
xlog
2
xarctan,
求
dy
.
5< br>
xlncost,


d
2
y

3.设


0t

,
求
2
ysi nttcost;
2

dx


3
n
4 .判定级数

的敛散性.
n
n2
n1

ln x
5.计算反常积分

dx
.
2
1
x
2 xsinx
6.计算不定积分

dx
.

cos
3
x
1
dx


.
t

3
7.计算定积分


1e

0x
2
.

8.求函数
f

x



9.求微分方程

1y

dxxyydy 0
的通解.

23
22

1,0x1
在

0,2

上展成以4为周期的正弦级数.


2,1 x2

10.求由曲线
yx7
及
y3x5
所围 成的图形绕
ox
轴旋转一周而成的旋转体的体积.
二.(9分)证明:当
x0
时,有
2
2


1x


2ln

1x

1
14xarctanx2ln1x
.


三.(9分) 设抛物线
yaxbx

a0
< br>通过点
M

1,3

,为了使此抛物线与直线
y2 x
所围成
2
的平面图形的面积最小,试确定
a
和
b
的值.
四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容 积计算),现将
含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1 000立方米的流
量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？
五．（8分）求幂级数
n1
n
x
的收敛域及其和函数.

n
2n!
n0
x0

六.(6分)设函数
f

x

在
x0
的邻域内有连续的一阶导数,且
l im
f

x

a

a0

,
x

证明:


1

n1

n1

1

f

条件收敛.

n





2007年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
e
x
ln

1 x

1
1．计算极限
lim
.
x0
xarctanx
2. 设
yarcsin1x
2
, 求
dy
.

x 
t
e
u
2
du.
dy


0
3. 设

求.
y
dx
x0

esinty10.

n
4. 判定级数

的敛散性.
n
43
n1

dx
5. 计算反常积分

.
1

1x

x
6设
lnx1x
2
为
f

x

的原函数, 求
xf


x

dx
.





1, 0x;

2

7. 将
f

x


展开成以
2

为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别


0, x

.

2

35
在
x

和
x

两 点的收敛值.
22
8. 将函数
f

x

ln x
展开为
x2
的幂级数,并指出其收敛域.
9求微分方程
x1

y

2y

x1

2
的通解.
7
22
10. 求抛物线
x5y
与
x1y
所围图形的面积.

1< br>e
t
2
dt


cosx
, x0;
二. (9分) 若函数
f

x


< br>在
x0
点可导. 求
a
和
f


0

.
x

x0.

a,
x
x
三. (9分) 在曲线
ye

x0

上求一点
x
0
,e
0
,使得过该点的切线与两个坐标轴所 围

平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.
四(8分)半径为
R
的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部
抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度
H
为多少?
五.(8分)求幂级数

n< br>
n1

x
的和函数并求出级数

n
< br>n1

n
n1n1

六. (6分) 已知函数f

x

在

0,

上可导, 且
f

0

1
并满足等式
1
的和.
n
2

f


x

f
x







1
x
x

ef

x

1

x0

.


fx

, 求并证明
ftdt0

0
x1
2006年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
tanxsinx

3
x0
x
x

1
2.设
yarctan

tan

, 求
dy
.
2

2
1.
lim
x

2
x0

e,
3.设
f

x



, 求

f

x1

dx
.
2
1


x1, x0
1

n1


的敛散性.

n

n
2

n1
5. 设
yy

x

由方程
ytan

xy

所确定,求
y

.
4. 判定级数

n
2
2
dx
.
1e
2x
7. 将
f

x

2x
,
x



,


展成以
2

为周期的傅立叶级 数.
6.计算不定积分


1e

x
2
1
展成

x4

的幂级数, 并指出收敛区间.
2
x3x2
4x
9. 求微分方程
xy

3yxe
的通解.
22
10. 设 曲线
yax

a0,x0

与
y1x
交 于点A, 过坐标原点
O
和点
A
的直
2
线与曲线
y ax
围成一个平面图形. 问: 当
a
为何值时,该图形绕
x
轴旋转一周所产
8. 将函数
f

x


生的旋转体体积最大?


二. (8分) 证明不等式: 当
x0
时,
x

x1

,

0

1

.
三. (9分). 设
f

x



x
2
1
e
t
2
dt
, 求

xf

x

dx
.
0
1
四. (9分). 一物体在某一介质中按
xct
作直线运动 ,已知介质的阻力与物体速度的
平方成正比, 计算物体由
x0
移动到
xa
时克服阻力所作的功.
3
1
的和.

n

n13
n0
六. (5分). 设
f


x

0
,
x

a,b

, 证明:
b
1f
< br>a

f

b


ab


ffxdx


.


2

2


ba

a
五. (9分) 求级数


2005年1月15日
一. 解答下列各题（6×10分）
e
x
sinxx

x1

1． 计算极限
lim

x0
xsinx
x
2
1
2． 设
yx1lnxx
2
1
，求
dy
.
22

x
2
, xx
0
3． 设
f

x



在
x
0
处可导,求常数
a
和
b
.

axb, xx
0


4． 判定级数

n1


1

n1
n
的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
3
n
y
5． 设
yy

x

由 方程
y1ln(xy)e
所确定,求
y

.
6． 设
f

x

连续,且满足
32

x
3
1
0
f

t

dtx
.求f

26

?
.
7． 求
f

x

2x3x12x1
的极值.
8． 计算不定积分
9． 计算定积分
1

x
2
d x
4lnx
xdx
.
2
.

arctan
0
10． 求由曲线
yx1
, 直线
y0,
x0
,
x1
所围成的平面图形绕
y
轴旋转一周所
产生的旋转体的体积.
x
3



二. (8分). 试证明不等式
x

0,

时,
tanxx
.
3

2

1
三. (9分) 将函数
f

x


展成
x3
的幂级数,并指出收敛区间.
2
2xx3
四. (9分) 已知
f

x

在
x12
的邻域内可导, 且limf

x

0
,
limf


x


x12
x12
x
2005
.
2

t
12
f

u

du

dt

12


t


. 求极限
lim
x12

12x

3

n1
n
x
的收敛域及和函数. 五.(8分) 求幂级数

n!
n0
六. (6分) 设
f

x

在

0,1

上连续, 在

0,1

内可导, 且
0f


x

1
,
f

00

.
11
3

证明

f

x

dx

f

x

dx


0

0

2

2004年1月

一、解下列各题

ab


,(其中a0,b0)

x0
2

2x2x
2、设
yxe(sinx)< br>,求
y


1、
lim

xx
1< br>x

1
4、求不定积分

dx

x(x1)
2
3、求不定积分
xarctanxdx

5、求定积分

4
0
e
x
dx

6、求由曲线
y|lnx|,x
7、判定级数
1
,xe
及< br>x
轴围成的图形的面积。
e


0
lnn
的敛散性
5
4
n1
n
x

8、将
f(x)
9、求幂级数
e< br>t
dt
展开为
x
的幂级数，并求收敛域。
2
< br>n1

1
n1
x
的收敛域及和函数。
n2n
1
6
x,(x0)
上哪一点的法线在
y
轴上的截距 最小
3
2x

二、证明：当
0x
时，
sin x


2
1
2
三、设某产品的成本函数为
Ca qbqc
，需求函数为
q(dp)
，其中
C
为成本，
q
为
e
需求量(也是产量)，
p
为单价，
a,b,c,d ,e
都是正常数，且
db
。求(1)
10、曲线
y
利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。
x
x
轴旋转一周，得一旋转体，若把它在< br>x0
与之间部分的体积记为
V(

)
，
2
1x
试求
limV(

)

四、曲线
y


五、设
f(x)
为
[a,b}
上连续，且
f(x)0
，求证：在
(a,b)
内存在一点

，在


a
4
b
f(x)dx

f(x)dx

5
a

2003年1月

一、解下列各题

1

1



x0

x
e
x
1

2、设
yy(x)由方程
ycos(xy)x
确定，求
y


1、< br>lim


1asin
2
xb

x0
3、设
y

在
x0
点连续，试确定
a,b的值
x
2

2x0


2
nn!
4、判定级数

n
的敛散性
n1
n

xt2sint
5、设曲线方程为

，求此曲线在
x2点处的切线方程
ytcost

6、设
f(x)
在点x
0
处有
f(x
0
)f

(x
0< br>)0
，而

(x)
在
x
0
点及其邻域有定 义且有界，试证明函
数
F(x)f(x)

(x)
在点
x
0
处可导，并求
F

(x
0
)




7、将
f(x)


0

8、计算不定积分
9、计算定积分
0x

2
展开成周期为2

的付立叶正弦级数

x

2
2
xe
x
dx

x
2
12e
e
x
dx


< br>4
0
10、求由
ylnx,y0和x2
所围成的平面图形绕y
轴旋转所成的立体的体积
二、证明：当
0x

时，
sinxtanx2x

2
三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边 建
一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的
5
倍，水厂C设在离A厂多远 处才使
两厂所耗总的水管材料费最省？
四、试求幂级数

n0

n
n
x
的收敛域及和函数
2
n
五、设
f (x)
为
[a,)
上单减连续函数，有
F(x)
单调减函数
1
x
f(t)dt
，证明当
xa
时，
F(x)< br>为
xa

a

六、设
f(x)
在[0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且
使得
2f(

)

f

(

)0

七 、已知可导函数
f(x)
满足
f(x)cosx2
x

1
0
f(t)dt0
，证明：存在一点

(0,1)
，< br>
0
f(t)sintdtx1
，求
f(x)





2002年1月
一、试解下列各题(每小题5分，共25分)
1．求极限
lim
n
n

n2n1
。
x0
x0
，研究
f(x)
在点
x0
处的左连 续性与右连续性。


1

1
2．设
f(x)

1e
x

0

3．设
ye
sin
1
x
arctan(lnx)
，求
y

。 4．求函数
yx
3
3x
2
9x14
的单调区间。
5．计算定积分

ln5
0
e
x
2e
x< br>1dx
。
1
lnx1
二、解下列各题(每小题5分，共25分) 。1．求极限
lim

(sinx)
x0
；
d
2
y
2．设函数
yy(x)
由方程
y1xe
所确定， 求
dx
2
y
。
x0
3．求积分
sinxcos x

1cos
2
x
dx
； 4．求极限
l im
x0
3


x
0
x
2
0< br>sint
2
dt
；
t(tsint)dt
2
5． 试判定级数

(1)
n1
n1

n
2
n1
的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
三、(7分)求积分
(arccosx)dx
。

2
< br>
H


四、(7分)将函数
f(x)


0


常数。
五、(7分)将函数
f(x)
|x|

2
，展开成以
2

为周期的傅里叶级数，其中< br>H
为

2
|x|

1
展开成
x 1
的幂级数，并指出收敛区间。
2
xx6
1
3
< br>六、(7分)试证明不等式
sinxxx
，其中
0x
。 62
2
3
七、(8分)一容器由抛物线
yx
绕
y轴旋转而成，其容积为
72

m
，其中盛满水，水的比重
为1， 现将水从容器中抽出
64

m
，问需作多少功？
八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。
3

1) 画出水位高度随时间变化的函数
yy(t)
的图形 (不要求精确图形，但应画出曲线凹凸性
并表示出拐点)
2)
yy(t)
何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。
九、(6分 )设函数
f(x)
在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且满足
f(1)3
试证存在一点

(0,1)
，使
f

(

)

2000年1月
一、求解下列各题：（每小题6分，共60分）
1．设
yx(x1)(x2)
，求
y

。 2．求极限
lim

3．将
f(x)

6332

1
3
0
xf(x)dx0
，
f(

)

。
1

1


。
x0
e
x
1
x


1,

0,< br>|x|1
||x|2
展开成以4为周期的傅里叶级数。
x
4． 试求过点
M
0
(1,1)
且与曲线
2e2cosy10上点

0,
程。
x




的切线相垂直的直线方
3

1

xt

5． 设
f(t)limt

，求
f

(t)
。 6．将
f(x)
展开为
x1
的幂级数。

xx(x1)

xt

7．设
D
是由曲线
y 1sinx
与三条直线
x0
，
x

，
y 0
所围成的曲线梯形，求
D
绕
ox
轴旋转一周所得旋转体积。 8．求极限
lim

x
2
0
(e
t
 e
t
)dt
。 9．求不定积分
1cosx
2
 

10．判别级数

ntan
n
的敛散性。
2
n1
x0
arctanx

x(1x)
dx
。
二、（8分）求不定积分
(xlnx)
2
dx
。 三、（ 8分）求定积分


2a
0
x2axx
2
dx< br>。
(a0)


g(x)e
x

,x 0
，其中
g(x)
有二阶连续导数。且
g(0)1
，四、（8分 ）设
f(x)

x

,x0

0
g< br>
(0)1
。 1)求
f

(x)
； 2) 讨论
f

(x)
在
(,)
上的连续性。 < br>2
五、（8分）试确定
a
的值，使曲线
ya(1x)
与该 曲线在
(1,0)
及
(1,0)
两点处的法线所围
成图形面积最小 。（其中
(a0)
）。
六、（8分）设
a
n


n

0
x|sinx|dx
，
(n1,2,)

求极限
lim





a

a
1
a
2

2

n
< br>
n
n
2
22


98年1月
一、填空题
1．
lim(13x)
2．
yx2sinx
在
[0,]
上的最小值为
x0
2

xf(t)

dy

< br> 3．设

，则
f(0)0
3tdx
t0

yf(e1)
x
2
f(x)f(x 

)
2
4．设
f(x)

(t2t3)d t
，则
lim

0
2
si nx

a0

5．设

a
n0
n
x
在
x1
条件收敛，则

a
n
(x1)
n
的敛区为
n
n0

二、选择题
1．当
x0
时，变量
11
是（ ）
sin
22
xx
A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D) 无界但不是无穷大
2．
x0
是
f(x)
2
1e
1
x

sinx
的（ ）间断点
|x|
A) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡
3．若
f(x)
是导函数是
sinx
，则
f(x)
有一个原 函数为（ ）
A)
1sinx
B)
1sinx
C)
1cosx
D)
1cosx


(x
2
1)
2
4．设
f(x)

|x1|


0
x1
x1
，则在
x1
处
f(x)
（ ）
A) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D) 可导且导数连续

1
5．设
s(x)
是
f(x)


x1

s()
等于（ ）
2
0x

2
的以
2

为周期的傅里叶正弦级数的和函数，则

x 

2



B) 1 C)
(1)
D) -1
44
d
2
y
y
三、设
yy(x)
由
yxe1
所确定，求
2
。
dx
x0
A)
1

四、计算
六、 计算


0
1sinxdx
。 五、计算

lnx
dx
。
x1


dx
(x1)x
2
2x
3
。 七、证明：当
x1
时，
ln(x1)x
。

lnxx 1

1
a
n
n!
八、讨论

n
(a0)
的敛散性。 九、求

n2
。 2(n1)
n
n1
n1

十、求由
xy2x
与
yx
所围图形绕直线
x2
旋转一周所得旋转体的体积。 十一、设
f(x)
在
[a,b]
上具有二阶导数，且
f(a) f(b)0
，
f

(a)f

(b)0
，证明 ：存在
22

(a,b)
和

(a,b)
使< br>f(

)0
及
f

(

)0
。

99年1月
一、填空题
1．
limearctanx
2．设
yxln(x1x
2
)
，则
y



x
x
3．设
yy(x)
由
xsinyye0< br>确定，则
y

(0)

4 ．
x
1

2
x

1sin
的收敛域为 。 5．


dx
。
x

2
n

n1

二、选择题 1．设
yf(t)
，
tg(x)
都可微，则
dy
（ ）
A)
f

(t)dt
B)
g

(x)dx
C)
f

(t)g

(x)dt
D)
f

(t)dt

2．
x1
是
f(x) xarctan
2
1
的（ ）型间断点
x1
A) 可去 B) 跳跃 C) 无穷 D) 振荡
3．下列命题中哪一个是正确的？（ ）
A)
f(x)
在(a,b)
中的极值点，必定是使
f

(x)0
。
B)
f

(x)0
的点必定是
f(x)
的极值点。
C)
f(x)
在
(a,b)
内取得极值的点处，其导数
f

(x)
必不存在。
D)
f

(x)0
的点是
f(x)
可能取得极值的点。 4．设
f(x)
4

x
2
0
xsint2
dt
，则
f

(x)
（ ）
4
A)
xsinx
B)
2xsinx
C)
2
2

x
2
0
xsintdt2xsinx
D)
2
2
224

x
2
0
sint< br>2
dtxsinx
4

4
4
5．曲线
y 4x
与
y
轴所围部分的面积为（ ）
A)

4
0
4xdx
B)

2
0
(4y
2
)dy
C)

(4y
2
)dy
D)

4xdx

dx
2
三、求不定积分
xsinxdx
。 四、求不定积分

2

(1x)1-x
2
。



H|x|

2
展开成以
2

为周期的傅里叶级数。 五、将
f(x)



0|x|< br>
2


六、将
f(x)ln(23xx)
展开成
x
的幂级数。
七、求
lim


1< br>x0
2


arctanx
x
3
2
。 八、计算
sintdt


1
x
2
dx


0

1
x
九、设
f(x)
在
( 0,a]
上二阶可导，且
f

(x)0
，
f(0)0
。证
g(x)
增。
2
f(x)
在
(0,a]
上单调
x
十、求曲线
yx2x
，
y0
，x1
，
x3
所围成的平面图形的面积，并求该图形绕
y
轴< br>旋转一周所得立体的体积。
十一、设
f(x)
在
x0
某邻 域内具有连续的二阶导数且
lim
证明：级数
x0
f(x)
0< br>，
x

n1


1

f

绝对收敛。

n


往届高等数学期终考题汇编
2009-01-12
一．解答下列各题(6*10分):
1．求极限
l im

x0
1
xln(1e
x
)
.

22

2.设
yxx
2
a
2
a2
ln


xxa

,求
dy
.


2

d
2
y

x2t t
3.设

，求
2
.
3
dx


y3tt

4.判定级数


5.求反常积分

0
1
arcsin



e

2

n
n!


0

的敛散性.
n
n
x
dx
.
n1
x

1x


6.求

xarctanxdx
.

7.

0
sinxsin
3
xdx
.



x,x

2
在


< br>,


上展为以
2

为周期的付里叶级数，并指出收 敛于
f

x

的区8.将
f(x)



0,x


2
间.
9.求微分方程
ydx(x
2
4x)dy0
的解.
10.求曲线
xy1
与直线
x1,x2,y0
所围平面图形绕
y
轴旋转一周所得旋转体的体积.
二.(8分)将
f

x

ln

4x5

展开为
x2
的幂级数, 并指出其收敛域.
三.(9分)在曲线
ysinx
2

0x 1

上取点
Aa,sina
2
,

0a1
,过点
A
作平行于
ox
轴的直线
L
,
由直线
L
,
oy
轴及曲线
ysinx
2
0xa

所围成的图形记为
S
1
,由直线
L
,直线
x1
及曲线
ysinx
2

ax1

所围成的图形面积记为
S
2
,问
a
为何值时,
SS
1
S
2
取得最小值.

四.(9分)冷却定律 指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度
为30℃时,物体由100 ℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间?
五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）)
（1）证明级数

x
2
e
nx
在

0,)
上一致 收敛.
n0


（2）求幂级数

(1)
n 1

2n1

2
2n1
x
2n2
的收敛域及和函数.
b
n1
六.(6分)设
f

x
C
2

a,b

,试证存在



a,b

,使

a
f

x
dx

ba

f


ab< br>
1

ba

3
f








2

24

2008．1．15

一．解答下列各题(6*10分):

1.计算极限
lim
2. 设
ye
2x
e
x

x2

x2< br>sinx
3
x0
.
xlog
2
xarctan,
求
dy
.
5< br>
xlncost,


d
2
y

3.设


0t

,
求
2
ysi nttcost;
2

dx


3
n
4 .判定级数

的敛散性.
n
n2
n1

ln x
5.计算反常积分

dx
.
2
1
x
2 xsinx
6.计算不定积分

dx
.

cos
3
x
1
dx


.
t

3
7.计算定积分


1e

0x
2
.

8.求函数
f

x



9.求微分方程

1y

dxxyydy 0
的通解.

23
22

1,0x1
在

0,2

上展成以4为周期的正弦级数.


2,1 x2

10.求由曲线
yx7
及
y3x5
所围 成的图形绕
ox
轴旋转一周而成的旋转体的体积.
二.(9分)证明:当
x0
时,有
2
2


1x


2ln

1x

1
14xarctanx2ln1x
.


三.(9分) 设抛物线
yaxbx

a0
< br>通过点
M

1,3

,为了使此抛物线与直线
y2 x
所围成
2
的平面图形的面积最小,试确定
a
和
b
的值.
四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容 积计算),现将
含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1 000立方米的流
量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？
五．（8分）求幂级数
n1
n
x
的收敛域及其和函数.

n
2n!
n0
x0

六.(6分)设函数
f

x

在
x0
的邻域内有连续的一阶导数,且
l im
f

x

a

a0

,
x

证明:


1

n1

n1

1

f

条件收敛.

n





2007年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
e
x
ln

1 x

1
1．计算极限
lim
.
x0
xarctanx
2. 设
yarcsin1x
2
, 求
dy
.

x 
t
e
u
2
du.
dy


0
3. 设

求.
y
dx
x0

esinty10.

n
4. 判定级数

的敛散性.
n
43
n1

dx
5. 计算反常积分

.
1

1x

x
6设
lnx1x
2
为
f

x

的原函数, 求
xf


x

dx
.





1, 0x;

2

7. 将
f

x


展开成以
2

为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别


0, x

.

2

35
在
x

和
x

两 点的收敛值.
22
8. 将函数
f

x

ln x
展开为
x2
的幂级数,并指出其收敛域.
9求微分方程
x1

y

2y

x1

2
的通解.
7
22
10. 求抛物线
x5y
与
x1y
所围图形的面积.

1< br>e
t
2
dt


cosx
, x0;
二. (9分) 若函数
f

x


< br>在
x0
点可导. 求
a
和
f


0

.
x

x0.

a,
x
x
三. (9分) 在曲线
ye

x0

上求一点
x
0
,e
0
,使得过该点的切线与两个坐标轴所 围

平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.
四(8分)半径为
R
的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部
抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度
H
为多少?
五.(8分)求幂级数

n< br>
n1

x
的和函数并求出级数

n
< br>n1

n
n1n1

六. (6分) 已知函数f

x

在

0,

上可导, 且
f

0

1
并满足等式
1
的和.
n
2

f


x

f
x







1
x
x

ef

x

1

x0

.


fx

, 求并证明
ftdt0

0
x1
2006年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
tanxsinx

3
x0
x
x

1
2.设
yarctan

tan

, 求
dy
.
2

2
1.
lim
x

2
x0

e,
3.设
f

x



, 求

f

x1

dx
.
2
1


x1, x0
1

n1


的敛散性.

n

n
2

n1
5. 设
yy

x

由方程
ytan

xy

所确定,求
y

.
4. 判定级数

n
2
2
dx
.
1e
2x
7. 将
f

x

2x
,
x



,


展成以
2

为周期的傅立叶级 数.
6.计算不定积分


1e

x
2
1
展成

x4

的幂级数, 并指出收敛区间.
2
x3x2
4x
9. 求微分方程
xy

3yxe
的通解.
22
10. 设 曲线
yax

a0,x0

与
y1x
交 于点A, 过坐标原点
O
和点
A
的直
2
线与曲线
y ax
围成一个平面图形. 问: 当
a
为何值时,该图形绕
x
轴旋转一周所产
8. 将函数
f

x


生的旋转体体积最大?


二. (8分) 证明不等式: 当
x0
时,
x

x1

,

0

1

.
三. (9分). 设
f

x



x
2
1
e
t
2
dt
, 求

xf

x

dx
.
0
1
四. (9分). 一物体在某一介质中按
xct
作直线运动 ,已知介质的阻力与物体速度的
平方成正比, 计算物体由
x0
移动到
xa
时克服阻力所作的功.
3
1
的和.

n

n13
n0
六. (5分). 设
f


x

0
,
x

a,b

, 证明:
b
1f
< br>a

f

b


ab


ffxdx


.


2

2


ba

a
五. (9分) 求级数


2005年1月15日
一. 解答下列各题（6×10分）
e
x
sinxx

x1

1． 计算极限
lim

x0
xsinx
x
2
1
2． 设
yx1lnxx
2
1
，求
dy
.
22

x
2
, xx
0
3． 设
f

x



在
x
0
处可导,求常数
a
和
b
.

axb, xx
0


4． 判定级数

n1


1

n1
n
的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
3
n
y
5． 设
yy

x

由 方程
y1ln(xy)e
所确定,求
y

.
6． 设
f

x

连续,且满足
32

x
3
1
0
f

t

dtx
.求f

26

?
.
7． 求
f

x

2x3x12x1
的极值.
8． 计算不定积分
9． 计算定积分
1

x
2
d x
4lnx
xdx
.
2
.

arctan
0
10． 求由曲线
yx1
, 直线
y0,
x0
,
x1
所围成的平面图形绕
y
轴旋转一周所
产生的旋转体的体积.
x
3



二. (8分). 试证明不等式
x

0,

时,
tanxx
.
3

2

1
三. (9分) 将函数
f

x


展成
x3
的幂级数,并指出收敛区间.
2
2xx3
四. (9分) 已知
f

x

在
x12
的邻域内可导, 且limf

x

0
,
limf


x


x12
x12
x
2005
.
2

t
12
f

u

du

dt

12


t


. 求极限
lim
x12

12x

3

n1
n
x
的收敛域及和函数. 五.(8分) 求幂级数

n!
n0
六. (6分) 设
f

x

在

0,1

上连续, 在

0,1

内可导, 且
0f


x

1
,
f

00

.
11
3

证明

f

x

dx

f

x

dx


0

0

2

2004年1月

一、解下列各题

ab


,(其中a0,b0)

x0
2

2x2x
2、设
yxe(sinx)< br>,求
y


1、
lim

xx
1< br>x

1
4、求不定积分

dx

x(x1)
2
3、求不定积分
xarctanxdx

5、求定积分

4
0
e
x
dx

6、求由曲线
y|lnx|,x
7、判定级数
1
,xe
及< br>x
轴围成的图形的面积。
e


0
lnn
的敛散性
5
4
n1
n
x

8、将
f(x)
9、求幂级数
e< br>t
dt
展开为
x
的幂级数，并求收敛域。
2
< br>n1

1
n1
x
的收敛域及和函数。
n2n
1
6
x,(x0)
上哪一点的法线在
y
轴上的截距 最小
3
2x

二、证明：当
0x
时，
sin x


2
1
2
三、设某产品的成本函数为
Ca qbqc
，需求函数为
q(dp)
，其中
C
为成本，
q
为
e
需求量(也是产量)，
p
为单价，
a,b,c,d ,e
都是正常数，且
db
。求(1)
10、曲线
y
利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。
x
x
轴旋转一周，得一旋转体，若把它在< br>x0
与之间部分的体积记为
V(

)
，
2
1x
试求
limV(

)

四、曲线
y


五、设
f(x)
为
[a,b}
上连续，且
f(x)0
，求证：在
(a,b)
内存在一点

，在


a
4
b
f(x)dx

f(x)dx

5
a

2003年1月

一、解下列各题

1

1



x0

x
e
x
1

2、设
yy(x)由方程
ycos(xy)x
确定，求
y


1、< br>lim


1asin
2
xb

x0
3、设
y

在
x0
点连续，试确定
a,b的值
x
2

2x0


2
nn!
4、判定级数

n
的敛散性
n1
n

xt2sint
5、设曲线方程为

，求此曲线在
x2点处的切线方程
ytcost

6、设
f(x)
在点x
0
处有
f(x
0
)f

(x
0< br>)0
，而

(x)
在
x
0
点及其邻域有定 义且有界，试证明函
数
F(x)f(x)

(x)
在点
x
0
处可导，并求
F

(x
0
)




7、将
f(x)


0

8、计算不定积分
9、计算定积分
0x

2
展开成周期为2

的付立叶正弦级数

x

2
2
xe
x
dx

x
2
12e
e
x
dx


< br>4
0
10、求由
ylnx,y0和x2
所围成的平面图形绕y
轴旋转所成的立体的体积
二、证明：当
0x

时，
sinxtanx2x

2
三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边 建
一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的
5
倍，水厂C设在离A厂多远 处才使
两厂所耗总的水管材料费最省？
四、试求幂级数

n0

n
n
x
的收敛域及和函数
2
n
五、设
f (x)
为
[a,)
上单减连续函数，有
F(x)
单调减函数
1
x
f(t)dt
，证明当
xa
时，
F(x)< br>为
xa

a

六、设
f(x)
在[0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且
使得
2f(

)

f

(

)0

七 、已知可导函数
f(x)
满足
f(x)cosx2
x

1
0
f(t)dt0
，证明：存在一点

(0,1)
，< br>
0
f(t)sintdtx1
，求
f(x)





2002年1月
一、试解下列各题(每小题5分，共25分)
1．求极限
lim
n
n

n2n1
。
x0
x0
，研究
f(x)
在点
x0
处的左连 续性与右连续性。


1

1
2．设
f(x)

1e
x

0

3．设
ye
sin
1
x
arctan(lnx)
，求
y

。 4．求函数
yx
3
3x
2
9x14
的单调区间。
5．计算定积分

ln5
0
e
x
2e
x< br>1dx
。
1
lnx1
二、解下列各题(每小题5分，共25分) 。1．求极限
lim

(sinx)
x0
；
d
2
y
2．设函数
yy(x)
由方程
y1xe
所确定， 求
dx
2
y
。
x0
3．求积分
sinxcos x

1cos
2
x
dx
； 4．求极限
l im
x0
3


x
0
x
2
0< br>sint
2
dt
；
t(tsint)dt
2
5． 试判定级数

(1)
n1
n1

n
2
n1
的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
三、(7分)求积分
(arccosx)dx
。

2
< br>
H


四、(7分)将函数
f(x)


0


常数。
五、(7分)将函数
f(x)
|x|

2
，展开成以
2

为周期的傅里叶级数，其中< br>H
为

2
|x|

1
展开成
x 1
的幂级数，并指出收敛区间。
2
xx6
1
3
< br>六、(7分)试证明不等式
sinxxx
，其中
0x
。 62
2
3
七、(8分)一容器由抛物线
yx
绕
y轴旋转而成，其容积为
72

m
，其中盛满水，水的比重
为1， 现将水从容器中抽出
64

m
，问需作多少功？
八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。
3

1) 画出水位高度随时间变化的函数
yy(t)
的图形 (不要求精确图形，但应画出曲线凹凸性
并表示出拐点)
2)
yy(t)
何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。
九、(6分 )设函数
f(x)
在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且满足
f(1)3
试证存在一点

(0,1)
，使
f

(

)

2000年1月
一、求解下列各题：（每小题6分，共60分）
1．设
yx(x1)(x2)
，求
y

。 2．求极限
lim

3．将
f(x)

6332

1
3
0
xf(x)dx0
，
f(

)

。
1

1


。
x0
e
x
1
x


1,

0,< br>|x|1
||x|2
展开成以4为周期的傅里叶级数。
x
4． 试求过点
M
0
(1,1)
且与曲线
2e2cosy10上点

0,
程。
x




的切线相垂直的直线方
3

1

xt

5． 设
f(t)limt

，求
f

(t)
。 6．将
f(x)
展开为
x1
的幂级数。

xx(x1)

xt

7．设
D
是由曲线
y 1sinx
与三条直线
x0
，
x

，
y 0
所围成的曲线梯形，求
D
绕
ox
轴旋转一周所得旋转体积。 8．求极限
lim

x
2
0
(e
t
 e
t
)dt
。 9．求不定积分
1cosx
2
 

10．判别级数

ntan
n
的敛散性。
2
n1
x0
arctanx

x(1x)
dx
。
二、（8分）求不定积分
(xlnx)
2
dx
。 三、（ 8分）求定积分


2a
0
x2axx
2
dx< br>。
(a0)


g(x)e
x

,x 0
，其中
g(x)
有二阶连续导数。且
g(0)1
，四、（8分 ）设
f(x)

x

,x0

0
g< br>
(0)1
。 1)求
f

(x)
； 2) 讨论
f

(x)
在
(,)
上的连续性。 < br>2
五、（8分）试确定
a
的值，使曲线
ya(1x)
与该 曲线在
(1,0)
及
(1,0)
两点处的法线所围
成图形面积最小 。（其中
(a0)
）。
六、（8分）设
a
n


n

0
x|sinx|dx
，
(n1,2,)

求极限
lim





a

a
1
a
2

2

n
< br>
n
n
2
22


98年1月
一、填空题
1．
lim(13x)
2．
yx2sinx
在
[0,]
上的最小值为
x0
2

xf(t)

dy

< br> 3．设

，则
f(0)0
3tdx
t0

yf(e1)
x
2
f(x)f(x 

)
2
4．设
f(x)

(t2t3)d t
，则
lim

0
2
si nx

a0

5．设

a
n0
n
x
在
x1
条件收敛，则

a
n
(x1)
n
的敛区为
n
n0

二、选择题
1．当
x0
时，变量
11
是（ ）
sin
22
xx
A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D) 无界但不是无穷大
2．
x0
是
f(x)
2
1e
1
x

sinx
的（ ）间断点
|x|
A) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡
3．若
f(x)
是导函数是
sinx
，则
f(x)
有一个原 函数为（ ）
A)
1sinx
B)
1sinx
C)
1cosx
D)
1cosx


(x
2
1)
2
4．设
f(x)

|x1|


0
x1
x1
，则在
x1
处
f(x)
（ ）
A) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D) 可导且导数连续

1
5．设
s(x)
是
f(x)


x1

s()
等于（ ）
2
0x

2
的以
2

为周期的傅里叶正弦级数的和函数，则

x 

2



B) 1 C)
(1)
D) -1
44
d
2
y
y
三、设
yy(x)
由
yxe1
所确定，求
2
。
dx
x0
A)
1

四、计算
六、 计算


0
1sinxdx
。 五、计算

lnx
dx
。
x1


dx
(x1)x
2
2x
3
。 七、证明：当
x1
时，
ln(x1)x
。

lnxx 1

1
a
n
n!
八、讨论

n
(a0)
的敛散性。 九、求

n2
。 2(n1)
n
n1
n1

十、求由
xy2x
与
yx
所围图形绕直线
x2
旋转一周所得旋转体的体积。 十一、设
f(x)
在
[a,b]
上具有二阶导数，且
f(a) f(b)0
，
f

(a)f

(b)0
，证明 ：存在
22

(a,b)
和

(a,b)
使< br>f(

)0
及
f

(

)0
。

99年1月
一、填空题
1．
limearctanx
2．设
yxln(x1x
2
)
，则
y



x
x
3．设
yy(x)
由
xsinyye0< br>确定，则
y

(0)

4 ．
x
1

2
x

1sin
的收敛域为 。 5．


dx
。
x

2
n

n1

二、选择题 1．设
yf(t)
，
tg(x)
都可微，则
dy
（ ）
A)
f

(t)dt
B)
g

(x)dx
C)
f

(t)g

(x)dt
D)
f

(t)dt

2．
x1
是
f(x) xarctan
2
1
的（ ）型间断点
x1
A) 可去 B) 跳跃 C) 无穷 D) 振荡
3．下列命题中哪一个是正确的？（ ）
A)
f(x)
在(a,b)
中的极值点，必定是使
f

(x)0
。
B)
f

(x)0
的点必定是
f(x)
的极值点。
C)
f(x)
在
(a,b)
内取得极值的点处，其导数
f

(x)
必不存在。
D)
f

(x)0
的点是
f(x)
可能取得极值的点。 4．设
f(x)
4

x
2
0
xsint2
dt
，则
f

(x)
（ ）
4
A)
xsinx
B)
2xsinx
C)
2
2

x
2
0
xsintdt2xsinx
D)
2
2
224

x
2
0
sint< br>2
dtxsinx
4

4
4
5．曲线
y 4x
与
y
轴所围部分的面积为（ ）
A)

4
0
4xdx
B)

2
0
(4y
2
)dy
C)

(4y
2
)dy
D)

4xdx

dx
2
三、求不定积分
xsinxdx
。 四、求不定积分

2

(1x)1-x
2
。



H|x|

2
展开成以
2

为周期的傅里叶级数。 五、将
f(x)



0|x|< br>
2


六、将
f(x)ln(23xx)
展开成
x
的幂级数。
七、求
lim


1< br>x0
2


arctanx
x
3
2
。 八、计算
sintdt


1
x
2
dx


0

1
x
九、设
f(x)
在
( 0,a]
上二阶可导，且
f

(x)0
，
f(0)0
。证
g(x)
增。
2
f(x)
在
(0,a]
上单调
x
十、求曲线
yx2x
，
y0
，x1
，
x3
所围成的平面图形的面积，并求该图形绕
y
轴< br>旋转一周所得立体的体积。
十一、设
f(x)
在
x0
某邻 域内具有连续的二阶导数且
lim
证明：级数
x0
f(x)
0< br>，
x

n1


1

f

绝对收敛。

n
