过去完成进行时-奖学金申请书范文

概
率
论
与
数
理
统
计A
试
题





班
级













姓
名












学
号









第

1

页

《概率论与数理统计A》期末试题及答案

题目
分数
评卷人
一


二


三


四


五


六


总分数




一、简单计算（每个题5分，共25分）
1. 设
A,B
为两事件，且
P(A)p
，
P(AB) P(AB)
，求
P(B)
.
解：由于
P(AB)P(AB)1P(AB)



…………
2分

而
P(AB)P(A)P(B)P(AB)

…………
2分

所以
P(AB)P(AB)1P(A)P(B)P(AB)P(AB)

即
P(A)P(B)1

因而
P(B)1P(A)1p
…………
1分
2. 设随机变量
X
的分布律为
Y
X1< br>p
i
1
2
0
1
3
2
，而
Y 3X5
，求
1
6
的分布函数.
X1
p
i
1
2
0
1
3
2
，所以
Y8
1< br>p
i
1
6
2
解：由于

5
1
3
1

1
6
…………
2分

0,

1

,

所以
Y
的分布函数为
F
Y
(y)

2

5
,

6

1,

y8,
8y5,
5y1,
y1.
…………
3分


1

3. 设总体
X~N(5,4)
中随机抽取一容量为25的 样本，求样本均值
X
落
在4.2到5.8之间的概率.
解: 由于
X~N(5,4)
, 所以
X~N(5,
4
)

25
………
2分
所以
P(4.2X5.8)2(2)1 0.9772210.9544

………
3分
4. 设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒）次数为
11 13 12 13 11 12 12 13 11
2
假设脉搏次数
X
服从正态分布，
X12
,

4
，求

的置信水平为
0.95的置信区间.
解：由于
X12
,

2
4
，
0.05
，

的置信区间为
(XZ


2
n
,XZ


2
n
)

…………
3分
即为
(10.6933,13.3067)
.
…………
2分
5. 设总体
X
服从泊松分布，
X
1
,X
2
,,X
10
是来自
X
的样本，求参数
的
矩估计.
解: 由于
X~P(

)
,所以
E(X)


1
10
而
X

X
i

…………
2分
10
i1
所以由矩估计的思想得:
E(X)X

…………
2分
1 0
1
ˆ

参数

的矩估计为:


X
i
…………
1分
10
i1


2

二、计算题（每题6分，共30分）
概
率
论
与
数
理
统
计
A

试
题





班
级











姓
名













学
号









第
2

页

x1,

0,

a,1x1,

1. 设离散型随机变量
X
的分布函数为
F(x)

2
a, 1x2,

3

x2.

ab,

且
P(X2)
.（1）求常数
a,b
；（2）求
X
的 分布律.
解: (1)由分布函数的性质得
ab1
,而且
P(X2)

…………
2分
所以
ab(a)2ab
,则
a,b
.
…………
1分
X1
p
i
1
6
1
1
3
2

…………
3分
1
2
2
3
2
3
1
2
1
6
5
6
1
2
1
2
(2)
X
的分布律为2. 已知随机变量
X~B(1,p),Y~B(1,p)
，而
X,Y
相互独立.
（1）求
Umax(X,Y)
的分布律；（2）求
VXY
的分 布律．
解: 联合分布律:
(X,Y)(0,0)
p
ij
(1 p)
2
(0,1)
p(1p)
(1,0)
p(1p)
( 1,1)

p
2
…………
2分
Umax(X,Y)
的分布律为:
U0
p
i
(1p)
2
1

1(1p)
2
…………
2分
VXY
的分布律为:
V0
p
i
(1p)
2
1
2(pp
2< br>)
2

2
p
…………
2
3
分

3. 已知随机变量
X~U(3,4)
，求
Ye
X
的概率密度函数.
解：
Ye
X
的反函数
h(y)lny

…………
2分

1
,
y
其概率密度函数为
f
Y
(y)f
X
(h(y))h

(y)



0,

e
3
ye
4
,
其它.

…………
4分
4. 设总体
X
服从指 数分布，参数为

，
X
1
,X
2
,,X
n
是来自
X
的样本，
求

的最大似然估计量．
解： 由于
X~e(

)
，则
X
1
,X
2
,

,X
n
是来自总体
X
的一个样本，
似然函数为
L

i1
n
e
1x
i



1

1

n< br>e
n


x
i
i1
n

…………
3分
而
lnLnln


dlnLn1

2
d



x

i1
1
i

…………
1分

x
i1
n
i
0
,
…………
2
ˆ
X
. 所以

分
5. 设
X
1
,X
2
,X< br>3
,X
4
是来自正态总体
N(0,2
2
)
的 简单随机样本，
Ya(X
1
2X
2
)
2
b (3X
3
4X
4
)
2
，
若统计量
Y< br>服从

2
分布，则常数
a,b
分别为多少？统计量
Y
的自由度为
多少？
解：由于
X
1
2X
2
~N(0,20)3X
3
4X
4
~N(0,100)

所以
a(X
1
2X
2
)~N(0,1)
，所以
a
1
20

…………
3分
b(3X
3
4X
4
)~N(0, 1)
，所以
b
1
100
.
…………
2分
所以
Y~

2
(2)
，其自由度为2.
…………
1分

4

三、（9分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占







概
率
论
与
数
理
统
计
A
试
题


班
级












姓
名











学
号









第

3

页

45%,35%,20%
，各厂的产品的次品率分别为
4%,2 %,5%
，现
从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率.
解:设事件
A< br>i
(i1,2,3)
分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、
乙、丙厂, 设事件
B
表示取到的是次品．
(1)
P(B)P(A
1
)P(B|A
1
)P(A
2
)P(B|A
2
)P(A< br>3
)P(B|A
3
)

0.450.040.350.020.20.05

0.035

………
2分
P(A
1
)P(B|A
1
)
0.450.04
(2)
P(A
1
|B)0.514

P(B)0.035
………
5
………
2分
分

四、（12分）设随机变量
X
的概率密度函数为

x,

f(x)

x1,

0,

0x1,1x2,

其它.
（1）求随机变量
X
的分布函数；（2） 令
Y3X5
，求

XY
；（3）
判断
X，Y
独立性.
解：
F
X
(x)


f(t)dt

x0,

0,

x
2
x

td t,0x1,


0
2



2< br>
1
tdt
x
t1dt
x
x1,1x 2,

1


0
2

x2.

1,

…………
6分



x
………
2分

5

（2）
由于
Y3X5
，根据相关系数的性质，易得

XY< br>1
.
………
2分

（3）由于

XY
10
，所以
X，Y
不独立.
………
2分

五、（12分） 设随机变量
(X,Y)
在区 域G上服从均匀分布，G为
y
轴，
x

轴与直线
y3x1
所围城的区域. （1）求
(X,Y)
的联合概率密度及边
缘概率密度；（2）求
P(XY2)
.
解: (1) 由题意知
f(x,y)


6,(x,y)G;


0,其它.
………
2分
f
X
(x)



1

3x1
6dy18x6,0x ;


0
f(x,y)dy


3


0,其它.

………
4分

y

3
1


f
Y
(y)

f(x,y)dx



0
6dx2y2,0y1;< br>


其它.

0,
………
4分
(2)
P(XY2)

f(x,y)dxdy1

G
………
2分


6

六、（12分）设
X
1
,X
2
,,X
4
是来自 正态总体
N(

,

2
)
的样本．其中











概
率
论
与
数
理
统
计
A
试
题


班
级







姓
名











学
号









第

4

页


,

未知，设有估计量
T
1
11
(X
1
X
2
)(X
3
X
4
)

63
T
2
3X
1
4X
2
7X
3
X
4

T
3
3X
1
4X
2
X
4

(1)
(2)
指出
T
1
,T
2
,T< br>3
中哪个是

的无偏估计;
在上述

的无偏估计中指出哪一个较为有效.
解:由于
E(T1
)(EX
1
EX
2
)(EX
3
EX
4
)


………
2分
11
63
E(T
2
)3EX
1
4EX
2
7EX< br>3
EX
4



………
2分

ET
3
3EX
1
4EX
2
EX
4
0

………
2分

所以
T
1
,T
2
是

的无偏估计.

(2)
D(T
1
)
………
1分
115
(D X
1
DX
2
)(DX
3
DX
4
)

2

………
2分
36918
D(T2
)9DX
1
16DX
2
49DX
3
 DX
4
75

2

………
2分

因为
D(T
1
)D(T
2
)
,所以
T
1
比
T
2
更有效.
……
1分










(1.65)0.95
,
(1.96)0.975
,
(2)0.9772
,
(1)0.8413
,
2
2

0.025
(25)36.017
,

0.025
(24)36.42


7

8

概
率
论
与
数
理
统
计
A
试
题





班
级













姓
名












学
号









第

1

页

《概率论与数理统计A》期末试题及答案

题目
分数
评卷人
一


二


三


四


五


六


总分数




一、简单计算（每个题5分，共25分）
1. 设
A,B
为两事件，且P(A)p
，
P(AB)P(AB)
，求
P(B)
.
解：由于
P(AB)P(AB)1P(AB)



…………
2分

而
P(AB)P(A)P(B)P(AB)

…………
2分

所以
P(AB)P(AB)1P(A)P(B)P(AB)P(AB)

即
P(A)P(B)1

因而
P(B)1P(A)1p
…………
1分
2. 设随机变量
X
的分布律为
Y
X1< br>p
i
1
2
0
1
3
2
，而
Y 3X5
，求
1
6
的分布函数.
X1
p
i
1
2
0
1
3
2
，所以
Y8
1< br>p
i
1
6
2
解：由于

5
1
3
1

1
6
…………
2分

0,

1

,

所以
Y
的分布函数为
F
Y
(y)

2

5
,

6

1,

y8,
8y5,
5y1,
y1.
…………
3分


1

3. 设总体
X~N(5,4)
中随机抽取一容量为25的 样本，求样本均值
X
落
在4.2到5.8之间的概率.
解: 由于
X~N(5,4)
, 所以
X~N(5,
4
)

25
………
2分
所以
P(4.2X5.8)2(2)1 0.9772210.9544

………
3分
4. 设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒）次数为
11 13 12 13 11 12 12 13 11
2
假设脉搏次数
X
服从正态分布，
X12
,

4
，求

的置信水平为
0.95的置信区间.
解：由于
X12
,

2
4
，
0.05
，

的置信区间为
(XZ


2
n
,XZ


2
n
)

…………
3分
即为
(10.6933,13.3067)
.
…………
2分
5. 设总体
X
服从泊松分布，
X
1
,X
2
,,X
10
是来自
X
的样本，求参数
的
矩估计.
解: 由于
X~P(

)
,所以
E(X)


1
10
而
X

X
i

…………
2分
10
i1
所以由矩估计的思想得:
E(X)X

…………
2分
1 0
1
ˆ

参数

的矩估计为:


X
i
…………
1分
10
i1


2

二、计算题（每题6分，共30分）
概
率
论
与
数
理
统
计
A

试
题





班
级











姓
名













学
号









第
2

页

x1,

0,

a,1x1,

1. 设离散型随机变量
X
的分布函数为
F(x)

2
a, 1x2,

3

x2.

ab,

且
P(X2)
.（1）求常数
a,b
；（2）求
X
的 分布律.
解: (1)由分布函数的性质得
ab1
,而且
P(X2)

…………
2分
所以
ab(a)2ab
,则
a,b
.
…………
1分
X1
p
i
1
6
1
1
3
2

…………
3分
1
2
2
3
2
3
1
2
1
6
5
6
1
2
1
2
(2)
X
的分布律为2. 已知随机变量
X~B(1,p),Y~B(1,p)
，而
X,Y
相互独立.
（1）求
Umax(X,Y)
的分布律；（2）求
VXY
的分 布律．
解: 联合分布律:
(X,Y)(0,0)
p
ij
(1 p)
2
(0,1)
p(1p)
(1,0)
p(1p)
( 1,1)

p
2
…………
2分
Umax(X,Y)
的分布律为:
U0
p
i
(1p)
2
1

1(1p)
2
…………
2分
VXY
的分布律为:
V0
p
i
(1p)
2
1
2(pp
2< br>)
2

2
p
…………
2
3
分

3. 已知随机变量
X~U(3,4)
，求
Ye
X
的概率密度函数.
解：
Ye
X
的反函数
h(y)lny

…………
2分

1
,
y
其概率密度函数为
f
Y
(y)f
X
(h(y))h

(y)



0,

e
3
ye
4
,
其它.

…………
4分
4. 设总体
X
服从指 数分布，参数为

，
X
1
,X
2
,,X
n
是来自
X
的样本，
求

的最大似然估计量．
解： 由于
X~e(

)
，则
X
1
,X
2
,

,X
n
是来自总体
X
的一个样本，
似然函数为
L

i1
n
e
1x
i



1

1

n< br>e
n


x
i
i1
n

…………
3分
而
lnLnln


dlnLn1

2
d



x

i1
1
i

…………
1分

x
i1
n
i
0
,
…………
2
ˆ
X
. 所以

分
5. 设
X
1
,X
2
,X< br>3
,X
4
是来自正态总体
N(0,2
2
)
的 简单随机样本，
Ya(X
1
2X
2
)
2
b (3X
3
4X
4
)
2
，
若统计量
Y< br>服从

2
分布，则常数
a,b
分别为多少？统计量
Y
的自由度为
多少？
解：由于
X
1
2X
2
~N(0,20)3X
3
4X
4
~N(0,100)

所以
a(X
1
2X
2
)~N(0,1)
，所以
a
1
20

…………
3分
b(3X
3
4X
4
)~N(0, 1)
，所以
b
1
100
.
…………
2分
所以
Y~

2
(2)
，其自由度为2.
…………
1分

4

三、（9分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占







概
率
论
与
数
理
统
计
A
试
题


班
级












姓
名











学
号









第

3

页

45%,35%,20%
，各厂的产品的次品率分别为
4%,2 %,5%
，现
从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率.
解:设事件
A< br>i
(i1,2,3)
分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、
乙、丙厂, 设事件
B
表示取到的是次品．
(1)
P(B)P(A
1
)P(B|A
1
)P(A
2
)P(B|A
2
)P(A< br>3
)P(B|A
3
)

0.450.040.350.020.20.05

0.035

………
2分
P(A
1
)P(B|A
1
)
0.450.04
(2)
P(A
1
|B)0.514

P(B)0.035
………
5
………
2分
分

四、（12分）设随机变量
X
的概率密度函数为

x,

f(x)

x1,

0,

0x1,1x2,

其它.
（1）求随机变量
X
的分布函数；（2） 令
Y3X5
，求

XY
；（3）
判断
X，Y
独立性.
解：
F
X
(x)


f(t)dt

x0,

0,

x
2
x

td t,0x1,


0
2



2< br>
1
tdt
x
t1dt
x
x1,1x 2,

1


0
2

x2.

1,

…………
6分



x
………
2分

5

（2）
由于
Y3X5
，根据相关系数的性质，易得

XY< br>1
.
………
2分

（3）由于

XY
10
，所以
X，Y
不独立.
………
2分

五、（12分） 设随机变量
(X,Y)
在区 域G上服从均匀分布，G为
y
轴，
x

轴与直线
y3x1
所围城的区域. （1）求
(X,Y)
的联合概率密度及边
缘概率密度；（2）求
P(XY2)
.
解: (1) 由题意知
f(x,y)


6,(x,y)G;


0,其它.
………
2分
f
X
(x)



1

3x1
6dy18x6,0x ;


0
f(x,y)dy


3


0,其它.

………
4分

y

3
1


f
Y
(y)

f(x,y)dx



0
6dx2y2,0y1;< br>


其它.

0,
………
4分
(2)
P(XY2)

f(x,y)dxdy1

G
………
2分


6

六、（12分）设
X
1
,X
2
,,X
4
是来自 正态总体
N(

,

2
)
的样本．其中











概
率
论
与
数
理
统
计
A
试
题


班
级







姓
名











学
号









第

4

页


,

未知，设有估计量
T
1
11
(X
1
X
2
)(X
3
X
4
)

63
T
2
3X
1
4X
2
7X
3
X
4

T
3
3X
1
4X
2
X
4

(1)
(2)
指出
T
1
,T
2
,T< br>3
中哪个是

的无偏估计;
在上述

的无偏估计中指出哪一个较为有效.
解:由于
E(T1
)(EX
1
EX
2
)(EX
3
EX
4
)


………
2分
11
63
E(T
2
)3EX
1
4EX
2
7EX< br>3
EX
4



………
2分

ET
3
3EX
1
4EX
2
EX
4
0

………
2分

所以
T
1
,T
2
是

的无偏估计.

(2)
D(T
1
)
………
1分
115
(D X
1
DX
2
)(DX
3
DX
4
)

2

………
2分
36918
D(T2
)9DX
1
16DX
2
49DX
3
 DX
4
75

2

………
2分

因为
D(T
1
)D(T
2
)
,所以
T
1
比
T
2
更有效.
……
1分










(1.65)0.95
,
(1.96)0.975
,
(2)0.9772
,
(1)0.8413
,
2
2

0.025
(25)36.017
,

0.025
(24)36.42


7

8