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赫瑞瓦特大学-欢迎辞范文

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1.
设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　)
.
（A）
f

(0)2
（B）
f

(0)1
（C）
f

(0)0
（D）
f(x)
不可导.
2.
设

(x)
1 x
1x
，

(x)33
3
x，则当x1时（　　）
.
（A）

(x)与

(x)
是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）

(x)与

(x)
是等价无穷小；
（C）

(x)
是比

(x)
高阶的无穷小；（D）

(x)
是比

(x)
高阶的
无穷小.

x
3.
若
F(x)

0
(2 tx)f(t)dt
，其中
f(x)
在区间上
(1,1)
二阶可导且
f

(x)0
，则（）.

（A）函数
F(x)
必在
x0
处取得极大值；
（B）函数
F(x)
必在
x0
处取得极小值；
（C）函数
F(x)
在
x0
处没有极值，但点
(0,F(0))
为曲线
yF(x)
的拐点；
（D）函数
F(x)
在
x0 处没有极值，点
(0,F(0))
也不是曲线
yF(x)
的拐点。 4.
设f(x)是连续函数，且 f(x)x2

1
0
f(t)dt , 则f(x)(
x
2
x
2
（A）
2
（B）
2
2
（C）
x1
（D）
x2
.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
2
5.
lim(13x)
sinx
x0

.
6.
已知
cosx
x
是f(x)的一个原函数,则

f(x)
cosx
.
x
dx

7.
n
lim

n(cos
2

n
cos
2
2
n
 
cos
2
n1
n

)
.
1
2

x
2
arcsinx1

－
1
1x
2
dx
8.
2
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.
设函数
yy(x)
由方程
e
xy
sin(xy)1
确定，求
y

(x)
以及
y

(0)
.

)

1x
7
求

dx.
7
x(1x)
10.

x

xe，　　x0
1
设f(x)

　求

f(x)dx．
3
2


2xx，0x1
11.

1
0
12.
设函数
f(x)
连续，，且
x0 g

(x)
并讨论
g

(x)
在
x 0
处的连续性.
g(x)

f(xt)dt
lim
f (x)
A
x
，
A
为常数. 求
1
y(1)

xy2yxlnx
9
的解.
13.
求微分方程满足

四、解答题（本大题10分）
14.
已知上半平面内一曲线
yy(x )(x0)
，过点
(0,1)
，且曲线上任一点
M(x
0
,y
0
)
处切线斜率数值上等于此曲线与
x
轴、
y
轴、直线
xx
0
所围成
面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15.
过坐标原点作曲线
ylnx
的切线，该切线与曲线
ylnx
及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.
设函数
f(x)
在

0,1

上连续且单调递减，证明对任意的
q[0,1]
，
q
1

f (x)dxq

f(x)dx
00
.


17.
设函数
f(x)
在

0, 

上连续，且
0
x

f(x)dx0
，
0

f(x)cosxdx0
.
证明：在

0,


内至少存在两个不同的点

1
,

2
，使
f(

1
)f(

2
)0.（提
F(x)
示：设

0
f(x)dx
）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
 
1cosx
2
　()c
6
e
3
5. . 6.
2x
.7.
2
. 8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 解：方程两边求导

xy

)coxys(xy)(y

)

e(1y


e
xy
 ycos(xy)
y

(x)
xy
excos(xy)
x0,y0
，
y

(0)1

7
7x
6
dxdu
10. 解：
ux　　
1 (1u)112
原式

du

()du
7u(1 u)7uu1

1
(ln|u|2ln|u1|)c
7

12
ln|x
7
|ln|1x
7
|C
77

11. 解：

1
3
0
f(x)dx

xedx

3
x
1
0
0
x 1
0
2xx
2
dx


xd(e)

3
0
3
1(x1)
2
dx
0

2
xx2


(令x1sin

)

xee




 cos

d

　

4

12. 解：由
f(0)0
，知
g(0)0
。
x
1
xtu


2e
3
1

g(x)

f(xt)dt
0
x

f(u)d u
0
x

(x0)

g
(x)
xf(x)

f(u)du
x
x
0
0
2
(x0)

g

(0 )lim
x0

f(u)du
x
2
lim
x 0
x
f(x)A

2x2

A
AA
22
，
g

(x)
在
x0
处连续。
limg

(x)lim
x0x0
xf(x)
f(u)du
x
0
2
dy2
ylnx
1 3. 解：
dxx

ye



x
dx
2
(

e

x
dx
2
lnxdxC)

11
xlnxxCx
2
9

3

11
1
y(1)C,0
yxlnxx
39

9
，
四、解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且

，
将此方程关于
x
求导得y

2yy


0
2
特征方程：
rr20

y

2

ydxy
x

解出特征根：
r
1
1,r
2
2.

其通解为
yC
1
e
x
C
2
e
2x

代入初始条件
y(0)y

(0)1
，得
21
ye
x
e
2x
33
故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C
1

21
,C
2

33
1
ylnx
0
(xx
0
)
x
0
15. 解：（1）根据题意，先设切点为
(x
0
,lnx
0
)，切线方程：
1
yx
xe
0
e
由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
1
则平面图形面积
A

(e
y
ey)dy
0
1
e1
2

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V
1
，则
曲线
ylnx
与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积
为V
2
1
V
1

1

e
2
3

V
2



(ee
y
)
2dy
0

6
D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q
1
qq
VV
1
V
2


(5e2
12e3)

1
16. 证明：
0
q

f(x)dxq

f(x)dx


f(x)dxq(

f(x)dx

f(x)dx)
0
00q
1 q

(1q)

f(x)dxq

f(x)d x
0

f(

1
)f(

2
)

1
[0,q]

2
[q,1]
q(1q )f(

1
)q(1q)f(

2
)
1

故有：
q
0


f(x)dxq

f(x)dx
00
证毕。
x
17.
F(x)

f(t)dt,0x
0
证：构造辅助函数：。其满足在
[0,

]
上连续，在
(0,

)
上可导。
F

(x)f(x)
，且
F(0)F(

)0

0 
由题设，有


f(x)cosxdx

cosxdF (x)F(x)cosx
|


sinxF(x)dx
000
0



，
有
0
，由积分中值定理，存在

(0,

)
，使
F(

) sin

0
即
F(

)0

综上可知
F(0)F(

)F(

)0,

(0,

)
.在区间
[0,

],[

,

]
上分别应用罗
尔定理，知存在

1
(0,

)
和

2
(

,

)，使
F

(

1
)0
及
F

(

2
)0
，即
f(

1
) f(

2
)0
.

F(x)sinxdx0

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