字谜及答案-红领巾广播站广播稿

学 院
级 研究生
考试日期： 月 日
形 式
密
开 卷
编 号：
闭 卷

印刷份数： 份

上 海 理 工 大 学
研 究 生 试 题
学年第 1 学期

课程名称
： 高等代数

教 师 签 章： 年 月 日
教研室主任审查意见：





签 章： 年 月 日
1.编号栏由研究生部填写。

上海理工大学研究生课程试题
*
共 页
第 页
学年第 1学期 考试课程 高等代数
学 号 姓 名 得 分

110


一、设复矩阵
A

430
< br>

102


（1）求A的最小多项式；
（2）求A的初等因子；
（3）求A的若当标准形. （15分）

f< br>
x
1
,x
2
,x
3

2x1
2
2x
2
2
2x
3
2
2x< br>1
x
2
2x
1
x
3
2ax
2< br>x
3
，
222
通过某个正交线性变换可化为标准形
fy
1
y
2
4y
3
，
（1）写出二次型
f
的矩阵A及A的特征多项式，并确定
a
的值；
二、已知二次型
（2）求出作用的正交线性变换；
（3）二次型

三、设
V
是一个n维欧氏空间，

1
,

2
,,

m
为
V
中的正交向量组，令
f
是否正定？求出
f
的正惯性指数.（18分）
W
< br>
(

,

i
)0,

V,i 1,2,,s


（1）证明：
W
是
V
的一个子空间；
（2）证明：
W

四、设
V
是全体次数不超过
n< br>的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，
定义
V
上的线性 变换
A
：

1
< br>L


1
,

2
,,

m

.(12分)
A(f(x))xf
'
(x)f(x),
2
f(x)V

（1）写出线性变换
A
在基
1 ,x,x
1
,

,x
n1
下的矩阵；
（2）求
A
的核
A(0)
和值域
AV
；
（3）证明：
VA(0)AV
.（16分）

五、V=
P
nn
为数域P上n阶方阵组成的线性空间，
V
1
为数域P上n 阶对称方阵的集合，
V
2
为数
域P上n阶反对称方阵的集合，求证：
V
1
和
V
2
均为V的子空间，且有
VV
1
V
2
.（14分）

六、.设
P
是数域，
p
33
表示
P
上的所有
33
矩阵的集合，对于矩阵的加法 及数乘运算，
p
33
是
P
上的线性空间，令
V

AP
33
|TrA0

，

*
注：考题全部写在框内，不要超出边界。内容一律用黑色墨水书写或计算机打印，以便复印。

求
V
的维数和
V
的一组基.（10分）

七、设
A,B
是向量空间
V
的两个线性变换，且
ABBA

证明：(1)
B
的值域
BV
与核
B(0)
都是
A
的不变子空间;
(2)若

0
是
A
的一个特征值，则
A
的特征子空间
V

0
是< br>B
的不变子空间. （15分）


1

学 院
级 研究生
考试日期： 月 日
形 式
密
开 卷
编 号：
闭 卷

印刷份数： 份

上 海 理 工 大 学
研 究 生 试 题
学年第 1 学期

课程名称
： 高等代数

教 师 签 章： 年 月 日
教研室主任审查意见：





签 章： 年 月 日
1.编号栏由研究生部填写。

上海理工大学研究生课程试题
*
共 页
第 页
学年第 1学期 考试课程 高等代数
学 号 姓 名 得 分

110


一、设复矩阵
A

430
< br>

102


（1）求A的最小多项式；
（2）求A的初等因子；
（3）求A的若当标准形. （15分）

f< br>
x
1
,x
2
,x
3

2x1
2
2x
2
2
2x
3
2
2x< br>1
x
2
2x
1
x
3
2ax
2< br>x
3
，
222
通过某个正交线性变换可化为标准形
fy
1
y
2
4y
3
，
（1）写出二次型
f
的矩阵A及A的特征多项式，并确定
a
的值；
二、已知二次型
（2）求出作用的正交线性变换；
（3）二次型

三、设
V
是一个n维欧氏空间，

1
,

2
,,

m
为
V
中的正交向量组，令
f
是否正定？求出
f
的正惯性指数.（18分）
W
< br>
(

,

i
)0,

V,i 1,2,,s


（1）证明：
W
是
V
的一个子空间；
（2）证明：
W

四、设
V
是全体次数不超过
n< br>的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，
定义
V
上的线性 变换
A
：

1
< br>L


1
,

2
,,

m

.(12分)
A(f(x))xf
'
(x)f(x),
2
f(x)V

（1）写出线性变换
A
在基
1 ,x,x
1
,

,x
n1
下的矩阵；
（2）求
A
的核
A(0)
和值域
AV
；
（3）证明：
VA(0)AV
.（16分）

五、V=
P
nn
为数域P上n阶方阵组成的线性空间，
V
1
为数域P上n 阶对称方阵的集合，
V
2
为数
域P上n阶反对称方阵的集合，求证：
V
1
和
V
2
均为V的子空间，且有
VV
1
V
2
.（14分）

六、.设
P
是数域，
p
33
表示
P
上的所有
33
矩阵的集合，对于矩阵的加法 及数乘运算，
p
33
是
P
上的线性空间，令
V

AP
33
|TrA0

，

*
注：考题全部写在框内，不要超出边界。内容一律用黑色墨水书写或计算机打印，以便复印。

求
V
的维数和
V
的一组基.（10分）

七、设
A,B
是向量空间
V
的两个线性变换，且
ABBA

证明：(1)
B
的值域
BV
与核
B(0)
都是
A
的不变子空间;
(2)若

0
是
A
的一个特征值，则
A
的特征子空间
V

0
是< br>B
的不变子空间. （15分）


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