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学而思奥数网2007年五升六暑假班教学大纲
2007-07-15 17:53:45
大 中 小
应广大家长需求，现将2007年五升六暑假班教学大纲公布如下：
第一讲 计算之公式应用、分数大小的比较
重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的， 近几年来又以考察：1
速算巧算2分数的计算技巧为明显趋势（分值大体在6分～12分），本讲我们将 系统地归
纳和总结这一部分的技巧和方法。重点回顾提取公因数（式）和凑整，精讲公式应用与循环小数化分数、分数大小的比较。

















【例题举要】
【例1】（第二届兴趣杯少年数学邀请赛预赛A卷第2题）
计算：9999×9999+19999=_____.
【解】原式=9999× 9999+10000+9999
=9999×(9999+1)+10000
=10000×(9999+1)
=10000×10000
=100000000

第二讲 平面几何之五大模型的基本应用
平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（ 分值一般在10分～
16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值 又较高，
希望同学们重视并好好总结归纳。
【常用求面积的方法】
1、利用公式计算面积。
2、列方程计算面积。
3、利用整体与部分的思想计算面积。
4、利用割补法计算面积。割补法的主要思路：割下图形的 某一部分，再将它改变位
置后补在图形的剩余部分上，使图形变为一个面积容易求出的图形。
5、利用变形法计算面积。变形法的主要思路：不需要割补，利用各种性质作一系列
等积代换，便可解决 问题。
6、巧添辅助线计算面积。
【几个重要的模型】
模型一：三角形面积与底的正比关系

【例题举要】
【例】如下图所示，AE：EC＝1：2，CD：DB＝1：4，BF：FA＝1： 3，三角形ABC的面积
等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。


【解】如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。

第三讲 行程问题之多次相遇
行程问题是各种竞赛必考大题，多次相遇在行程问题中占有巨大比例，可说是重中之重。
本 讲我们将通过列车过桥与流水行程的专题回顾和多次相遇的专题精讲，努力突出重点，突
破难点。
【本讲重点】
在直线型与环线型跑道上的不同规律（在相同时间内共行单程数并不相 同）；在同一跑
道上同一情况下出发后的不同类型相遇（即迎面相遇和追及相遇）；通过不同数量关系的 分
析，掌握相应的分析工具（画线段图、折线图等）。
【例题举要】
【例 】★★★如图，在长为400米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长100米。甲
从A点、乙从B点 同时出发相背而跑。两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A
时乙恰好跑到B。当甲追上乙时， 甲从出发算起共跑了 多少米？


【点评】这里应用了比例关 系，即时间一定，路程与速度成正比。对于六年级同学来说，
掌握数量关系中的定量（不变）和变量（变 化）之间的比例关系，行程中出现频率很高，而
在其它诸如平面几何、价格、工程等等关系当中都有很重 要的应用。
第四讲 行程问题之多人行程与钟面问题
在行程问题中，只出现 两者的相对运动，可以表现为相遇和追及两大类，它的一种特殊
形式表现为钟面问题。

在很多竞赛中，会出现三人或者说多人行程，对这样的专题进行归纳和总结是很有意义
的。
【本讲重点】
对基本相遇和追及问题进行回顾，主要精讲内容包括：
一、钟面问题：
钟面追及、钟面相遇、时钟校准。
二、多人行程：
其本质是从两两关系中推出结论。可以看作是多个两者运动关系在某一等量联系下的结
合。
【例题举要】
【例】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走4 0米。
甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求
A、B两地间的距离。
【分析】：画图如下：

结合上图，如果我们设 甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在
点E相遇，所以C、D之间的距离就等于 （40＋60）×15=1500（米）。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内， 乙走到C点，丙才走到D点，即
在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-4 0＝10（米分），这样就
可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙 二人分别从A、B出发
到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
【解】①甲和丙15分钟的相遇路程：
（40＋60）×15=1500（米）。
②乙和丙的速度差：
50-40=10（米分钟）。
③甲和乙的相遇时间：
1500÷10=150（分钟）。
④A、B两地间的距离：
（50＋60）×150＝16500（米）＝16.5千米。
答：A、B两地间的距离是16.5千米.
第五讲 分数应用题之工程问题
工程问题，就其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与
工作效率，这种方 法可以称作是一种工程习惯，这一类问题称之为工程问题。
有的情况下，工程问题并不表现为两个 工程队在修路筑桥、开挖河渠，甚至会表现为
行程问题、经济价格问题等等。我们可以这样认为，工程问 题不仅指一种题型，更是一
种解题方法。
【本讲重点】
一、解题关键是把一项工程看成一个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工
作总量，来解答。

二、要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。工作的先后顺 序
可以改变（假设）；要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量
之 间的关系，这样的转化和代换，往往能化难为易。
三、一些稍复杂的分数应用题、流水行程问题， 其实质也是工程问题，要善于抓住问题
的本质特征，把它看作工程问题来解决。
【例题举要】
【例】一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成。如果两人合做，甲的工作
效率


第六讲 经典应用题综合

本讲学习综合性的应用题 。应用题类别很多，但本讲将不涉及行程、比例和百分数（工
程）、牛吃草、浓度和经济。应用题的基础 分析方法，将在许多例题中得到体现。
细作分析，我们发现应用题除了行程、比例和百分数、经济 浓度等常规专题，还包括鸡
兔同笼、牛吃草、平均数、年龄问题、植树问题等典型应用题，而本讲推出的 主要是历次考
试中碰到的经典数量关系，带有很强的个例特征。正所谓“见多”才能“识广”，我们希望
同学们掌握此类问题的分析方法。
【本讲重点】
一、应用题的基础分析方法；
二、经典数量关系举例。
【例题举要】
估算分析--
【例】5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水。其中有一些是用喝剩 下的
空瓶换来的，那么他们至少要买多少瓶汽水？
【解】先估算，可以设计这样一个过程：借一瓶，买四瓶，然后还五个空瓶。则效果相
当于

那么就在129瓶左右。
如果买了129瓶。可以换125÷5＝25瓶；25÷5＝5 瓶；5÷5＝1瓶；1＋4＝5瓶；5÷
5＝1瓶。则可以喝129＋25＋5＋1＋1＝161瓶。还 剩一个空瓶。
如果买的更少比如128瓶，便不可能喝到161瓶汽水。再少更没有可能。（最值 思维：
如果更少可能，则买128瓶肯定可以更多）。
第七讲 数论之位值原则、进制数及整数分拆
数论问题很宽泛，我们本讲将视线集中于位值原则的应用，进制数的转化以及整数分拆
的结论与技巧。
【本讲重点】
一、位值原则：

二、进制数：结合位值原则，讨论二进制、N进制数与十进制数的转化规律。
三、整数分拆：指一个整数根据条件表示成两个或者多个整数和的形式及其规律。
【例题举要】
【例】红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图
放置 ，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果
小明发现，无论白 色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上
各是什么数字？

【解】设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以
写成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位数字之和的10倍是
10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是
990a3+90a2-9a0=1998，
110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得
a0=8，a2=1，a3=2。
所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。
第八讲 期中测试
期中考试作为阶段性检测，在整个学习阶段起着承上启下的作用，通过期中考试检查学
生在这一阶段的学 习效果，总结得失，而且对后一阶段的学习有着很好的导向性。我们在第
八次课上采取闭卷形式，当场批 改，当场讲评，进行针对性指导。
第九讲 不定方程
不定方程在小学奥数乃 至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。而在
小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过 ，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅
是自然数，而且是 一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解
“定”下来了。这种情况也不排 除它的取值不止一种。
【本讲重点】
一、不定方程的试值技巧。
二、应用不定方程的经典例题
【例题举要】
【例】（101中学入学选拔试题）
两个数相除，被除数、除数、商和余数的和是97．如果把被除数和除数都扩大10倍，
那 么商3余90．那么被除数是____．
【解】根据题意
10×被除数=10×除数×3+90
即被除数=除数×3+9
因此商是3，余数是9．
又已知
被除数+除数+商+余数=97
于是
被除数+除数=97-3-9=85
即 除数×4+9=85
解出除数=19，所以被除数=19×3+9=66．
第十讲 计数问题之加乘原理与排列组合
计数问题的基础是加法原理与乘法原理，其最根本的方法是分类枚 举，准则是“不重复，
不遗漏”。而在枚举中的规律性可概括为两种主要类型，一是有序排列，二是无序 组合。
【本讲重点】
一、加乘原理概述。
二、排列组合透析。
1．排列组合的计算方法的举例推导。
2．排列组合的经典应用
【例题举要】
【例】（北京市第四届“迎春杯”决赛第一题第2题）
用0、l、2、3、7、8六个数字可以组成____个能被9整除的没有重复数字的四位数．

【解】根据能被9整除的数的数字特征，在0、1、2、3、7、8这六个数字中只 有1、2、
7、8和0、3、7、8组成的四位数能被9整除．用1、2、7、8这四个数字组成四位数 ，共
有4×3×2=24个．
由O、3、7、8这四个数字组成四位数，千位数字不能是 O，所以只能得到3×3×2=18
个四位数．故用0、1、2、3、7、8六个数字可以组成24+1 8=42个能被9整除的没有重复数
字的四位数。
第十一讲 数字谜与数阵图
数字谜是很有趣的一类题型，其特点是结合算式，符号代数，环环相扣。体现了代数思
想。
数阵图的历史非常优久，可以联系到“洛河图”一类的三阶幻方。我们讨论的数阵图符
合几 个公和相等的特点，而且还要注意到：所有公和之和包括了哪些数被重复计算，被重复
计算了几次，这是 数阵图的重要思考方法。
【本讲重点】
一、数字谜的“生命线”：
1、找准突破口
2、缩小范围
3、讨论试值
二、数阵图的“生命线”
1．重复数与公和之和
2．数阵中各数之和的最值与定值问题
三、经典例题精讲。
【例题举要】
【例】（第六届“祖冲之杯”数学邀请赛第四题）
如图大、中、小三个正方形组成了 8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大
正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在 中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8
分别填在小正方形四个顶点上
请问：能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？

【解】不能．
如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S．
考察外面的4个三角形，每个三角形 顶点上的数的和是S，在它们的和4S中，大正方
形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、 6、8各出现二次．即4S=(2+4+6+8)×3=60
S=60÷4=15．
但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上
数字之和不可能相 等．
第十二讲 逻辑推理
很多同学喜欢逻辑推理，说明它有神奇魅力。在小 升初考试中，逻辑推理题依旧频繁的
出现在各重点中学的试卷里，人大附中06年英语实验班选拔考试， 甚至还出现了多道英语
的奥数逻辑题，所以加强这方面的训练对于我们学生来说依然是十分必要的。

【本讲重点】
一、逻辑推理的生命线：
逻辑推理找矛盾，真假不清暂先定。找矛盾的依据是逻辑推理的四大定律。
（1）同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，
不能改变。
（2）矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是
错误 的。例如，这个数大于8和这个数小于5是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个
是错的，甚至两个都是 错的。
（3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，< br>它们不能同时都错。例如这个数大于8和这个数不大于8是两个恰好相反的判断，其中
必有一个是 对的，一个是错的。
（4）理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足
的理由。
二、逻辑推理的几种主要类型：
1．真假命题判断；
2．数值限定推演；
3．竞赛名次排列。
【例题举要】
【例】一串密码由ABCDE五个字母从左到右编排而成，满足条件：
①密码的最小长度是两个字母，但是并不要求密码中字母彼此不同；
②A不能作为密码的第一个字母；
③如果B出现，那么它至少出现2次；
④C不能出现在密码的后两个字母之中；
⑤如果A出现在密码中，那么D一定要出现在这个密码中；
⑥如果E是密码的最后一个字母，那么B一定在密码中。
1、如果有一个满足条件的三个字母的密 码是BE★，那么可以填在★处的字母可以是下
面的哪一个？（B）
（A）A（B）B（C）C（D）D（E）E
2、只由字母ABC组成的两个字母的满足条件的密码一共有多少种？（A）
（A）1（B）3（C）6（D）9（E）12
3、下面哪个密码符合条件？（C）
（A）ACCD（B）BECB（C）CBBE（D）DCAE（E）EDAC
4、已知CCBBEAD是一个符合条件的密码，那么下面那种变化会使得它不满足条件？（C）
（A）将密码中所有的B变为D
（B）将密码中第一个字母C变为E
（C）将密码中的字母D变为E
（D）将密码中的字母E移到最后去
（E）将密码中第二个B移到A和D之间去
5、下面那列字母可以将X换为某个字母从而构成一个满足条件的密码？（E）
（A）CAXDE（B）CXACD（C）XCCAE（D）XCEBA（E）XEABB
第十三讲 策略与操作
在许多情况下，策略问题与操作联系在一起，要下一种结论，我们往往要找到适当的
证明方法。
【本讲重点】

结合经典例题，讨论在相应操作情境中我们的解题思考方法。
【例题举要】
【例】（小学数学夏令营活动试题）
有一个5×5的方格棋盘，每一个小方格中有一只小甲虫，假 定在同一时刻，所有小甲
虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？
【解】:初看这个问题，似乎无从下手，但如果我们利用染色的手段，就会使问题简
化，很 轻松的得到正确答案.将5×5棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时共有黑
格13个，白色格 12个.当每个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，
白格中的甲虫爬到黑格中， 由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必空一
格，所以该题的答案是肯定的。

第十四讲 IQ测试和数学应用
IQ测试是各个重点中学经常采用的一 种测试手段，我们必须见识一些这样的题目为小
升初做好准备，同时，找规律过程中的观察能力、归纳能 力和推理能力的训练，对于我们学
过的知识如何应用到实际问题里，也是非常重要的。
【本讲重点】
IQ题的常见类型：
1．数列或者字母序列形式；
2．九宫图：注意旋转角度与虚实关系；
3．发散思维型。
【例题举要】
【例】多少只动物
这是久违的奎贝尔教授.奎贝尔教授：我又为你们想出一个问题： 在我饲养的动物中，
除了两只以外所有的动物都是狗，除了两只以外，所有的都是猫，除了两只以外所有 的都是
鹦鹉，我总共养了多少只动物？你想出来了吗？
【解】奎贝尔教授只养了三只动物 ：一只狗，一只猫和一只鹦鹉。除了两只以外所有的
都是狗，除了两只以外所有的都是猫，除了两只以外 所有的都是鹦鹉。
如果你领悟到所有这个词可以指仅仅一只动物的话，头脑中就有了这个问题的答 案。
最简单的情况一只狗，一只猫，一只鹦鹉，既是其解。然而，把这个问题用代数形式来表示
也是一次很好的练习。
令x，y，z分别为狗，猫，鹦鹉的只数，n为动物的总数，我们可以写出下列四个联立
方程：
n=x+2 n=y+2 n=z+2 n=x+y+z
解此联立方程有 许多标准方法。显然，根据前三个方程式，可得出x=y=z。由于
3n=x+y+z+6减去第四个方 程，得到n=3，因此x+2=3，所以x=1。全部答案可由x值求得。
由于动物只数通常是正 整数(谁养的猫是用分数来表示只数的?)，可以把奎贝尔教授的
动物问题看作所谓刁番图问题的一个平 凡例子。这是一个其方程解必须是整数的代数问题。
一个刁番图方程有时无解，有时只有一个解，有时有 不止一个或个数有限的解，有时有无穷
多个解。
第十五讲 期末考试

期末考试和期中考试一样采取闭卷形式，当场批改，当场讲评，帮助学生检测暑期学 习
的掌握情况，同时引导学生梳理、总结暑期所学的知识。期末考试是延续报班晋级的重要依
据 。
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应广大家长需求，现将2007年五升六暑假班教学大纲公布如下：
第一讲 计算之公式应用、分数大小的比较
重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的， 近几年来又以考察：1
速算巧算2分数的计算技巧为明显趋势（分值大体在6分～12分），本讲我们将 系统地归
纳和总结这一部分的技巧和方法。重点回顾提取公因数（式）和凑整，精讲公式应用与循环小数化分数、分数大小的比较。

















【例题举要】
【例1】（第二届兴趣杯少年数学邀请赛预赛A卷第2题）
计算：9999×9999+19999=_____.
【解】原式=9999× 9999+10000+9999
=9999×(9999+1)+10000
=10000×(9999+1)
=10000×10000
=100000000

第二讲 平面几何之五大模型的基本应用
平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（ 分值一般在10分～
16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值 又较高，
希望同学们重视并好好总结归纳。
【常用求面积的方法】
1、利用公式计算面积。
2、列方程计算面积。
3、利用整体与部分的思想计算面积。
4、利用割补法计算面积。割补法的主要思路：割下图形的 某一部分，再将它改变位
置后补在图形的剩余部分上，使图形变为一个面积容易求出的图形。
5、利用变形法计算面积。变形法的主要思路：不需要割补，利用各种性质作一系列
等积代换，便可解决 问题。
6、巧添辅助线计算面积。
【几个重要的模型】
模型一：三角形面积与底的正比关系

【例题举要】
【例】如下图所示，AE：EC＝1：2，CD：DB＝1：4，BF：FA＝1： 3，三角形ABC的面积
等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。


【解】如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。

第三讲 行程问题之多次相遇
行程问题是各种竞赛必考大题，多次相遇在行程问题中占有巨大比例，可说是重中之重。
本 讲我们将通过列车过桥与流水行程的专题回顾和多次相遇的专题精讲，努力突出重点，突
破难点。
【本讲重点】
在直线型与环线型跑道上的不同规律（在相同时间内共行单程数并不相 同）；在同一跑
道上同一情况下出发后的不同类型相遇（即迎面相遇和追及相遇）；通过不同数量关系的 分
析，掌握相应的分析工具（画线段图、折线图等）。
【例题举要】
【例 】★★★如图，在长为400米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长100米。甲
从A点、乙从B点 同时出发相背而跑。两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A
时乙恰好跑到B。当甲追上乙时， 甲从出发算起共跑了 多少米？


【点评】这里应用了比例关 系，即时间一定，路程与速度成正比。对于六年级同学来说，
掌握数量关系中的定量（不变）和变量（变 化）之间的比例关系，行程中出现频率很高，而
在其它诸如平面几何、价格、工程等等关系当中都有很重 要的应用。
第四讲 行程问题之多人行程与钟面问题
在行程问题中，只出现 两者的相对运动，可以表现为相遇和追及两大类，它的一种特殊
形式表现为钟面问题。

在很多竞赛中，会出现三人或者说多人行程，对这样的专题进行归纳和总结是很有意义
的。
【本讲重点】
对基本相遇和追及问题进行回顾，主要精讲内容包括：
一、钟面问题：
钟面追及、钟面相遇、时钟校准。
二、多人行程：
其本质是从两两关系中推出结论。可以看作是多个两者运动关系在某一等量联系下的结
合。
【例题举要】
【例】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走4 0米。
甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求
A、B两地间的距离。
【分析】：画图如下：

结合上图，如果我们设 甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在
点E相遇，所以C、D之间的距离就等于 （40＋60）×15=1500（米）。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内， 乙走到C点，丙才走到D点，即
在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-4 0＝10（米分），这样就
可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙 二人分别从A、B出发
到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
【解】①甲和丙15分钟的相遇路程：
（40＋60）×15=1500（米）。
②乙和丙的速度差：
50-40=10（米分钟）。
③甲和乙的相遇时间：
1500÷10=150（分钟）。
④A、B两地间的距离：
（50＋60）×150＝16500（米）＝16.5千米。
答：A、B两地间的距离是16.5千米.
第五讲 分数应用题之工程问题
工程问题，就其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与
工作效率，这种方 法可以称作是一种工程习惯，这一类问题称之为工程问题。
有的情况下，工程问题并不表现为两个 工程队在修路筑桥、开挖河渠，甚至会表现为
行程问题、经济价格问题等等。我们可以这样认为，工程问 题不仅指一种题型，更是一
种解题方法。
【本讲重点】
一、解题关键是把一项工程看成一个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工
作总量，来解答。

二、要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。工作的先后顺 序
可以改变（假设）；要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量
之 间的关系，这样的转化和代换，往往能化难为易。
三、一些稍复杂的分数应用题、流水行程问题， 其实质也是工程问题，要善于抓住问题
的本质特征，把它看作工程问题来解决。
【例题举要】
【例】一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成。如果两人合做，甲的工作
效率


第六讲 经典应用题综合

本讲学习综合性的应用题 。应用题类别很多，但本讲将不涉及行程、比例和百分数（工
程）、牛吃草、浓度和经济。应用题的基础 分析方法，将在许多例题中得到体现。
细作分析，我们发现应用题除了行程、比例和百分数、经济 浓度等常规专题，还包括鸡
兔同笼、牛吃草、平均数、年龄问题、植树问题等典型应用题，而本讲推出的 主要是历次考
试中碰到的经典数量关系，带有很强的个例特征。正所谓“见多”才能“识广”，我们希望
同学们掌握此类问题的分析方法。
【本讲重点】
一、应用题的基础分析方法；
二、经典数量关系举例。
【例题举要】
估算分析--
【例】5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水。其中有一些是用喝剩 下的
空瓶换来的，那么他们至少要买多少瓶汽水？
【解】先估算，可以设计这样一个过程：借一瓶，买四瓶，然后还五个空瓶。则效果相
当于

那么就在129瓶左右。
如果买了129瓶。可以换125÷5＝25瓶；25÷5＝5 瓶；5÷5＝1瓶；1＋4＝5瓶；5÷
5＝1瓶。则可以喝129＋25＋5＋1＋1＝161瓶。还 剩一个空瓶。
如果买的更少比如128瓶，便不可能喝到161瓶汽水。再少更没有可能。（最值 思维：
如果更少可能，则买128瓶肯定可以更多）。
第七讲 数论之位值原则、进制数及整数分拆
数论问题很宽泛，我们本讲将视线集中于位值原则的应用，进制数的转化以及整数分拆
的结论与技巧。
【本讲重点】
一、位值原则：

二、进制数：结合位值原则，讨论二进制、N进制数与十进制数的转化规律。
三、整数分拆：指一个整数根据条件表示成两个或者多个整数和的形式及其规律。
【例题举要】
【例】红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图
放置 ，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果
小明发现，无论白 色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上
各是什么数字？

【解】设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以
写成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位数字之和的10倍是
10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是
990a3+90a2-9a0=1998，
110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得
a0=8，a2=1，a3=2。
所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。
第八讲 期中测试
期中考试作为阶段性检测，在整个学习阶段起着承上启下的作用，通过期中考试检查学
生在这一阶段的学 习效果，总结得失，而且对后一阶段的学习有着很好的导向性。我们在第
八次课上采取闭卷形式，当场批 改，当场讲评，进行针对性指导。
第九讲 不定方程
不定方程在小学奥数乃 至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。而在
小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过 ，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅
是自然数，而且是 一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解
“定”下来了。这种情况也不排 除它的取值不止一种。
【本讲重点】
一、不定方程的试值技巧。
二、应用不定方程的经典例题
【例题举要】
【例】（101中学入学选拔试题）
两个数相除，被除数、除数、商和余数的和是97．如果把被除数和除数都扩大10倍，
那 么商3余90．那么被除数是____．
【解】根据题意
10×被除数=10×除数×3+90
即被除数=除数×3+9
因此商是3，余数是9．
又已知
被除数+除数+商+余数=97
于是
被除数+除数=97-3-9=85
即 除数×4+9=85
解出除数=19，所以被除数=19×3+9=66．
第十讲 计数问题之加乘原理与排列组合
计数问题的基础是加法原理与乘法原理，其最根本的方法是分类枚 举，准则是“不重复，
不遗漏”。而在枚举中的规律性可概括为两种主要类型，一是有序排列，二是无序 组合。
【本讲重点】
一、加乘原理概述。
二、排列组合透析。
1．排列组合的计算方法的举例推导。
2．排列组合的经典应用
【例题举要】
【例】（北京市第四届“迎春杯”决赛第一题第2题）
用0、l、2、3、7、8六个数字可以组成____个能被9整除的没有重复数字的四位数．

【解】根据能被9整除的数的数字特征，在0、1、2、3、7、8这六个数字中只 有1、2、
7、8和0、3、7、8组成的四位数能被9整除．用1、2、7、8这四个数字组成四位数 ，共
有4×3×2=24个．
由O、3、7、8这四个数字组成四位数，千位数字不能是 O，所以只能得到3×3×2=18
个四位数．故用0、1、2、3、7、8六个数字可以组成24+1 8=42个能被9整除的没有重复数
字的四位数。
第十一讲 数字谜与数阵图
数字谜是很有趣的一类题型，其特点是结合算式，符号代数，环环相扣。体现了代数思
想。
数阵图的历史非常优久，可以联系到“洛河图”一类的三阶幻方。我们讨论的数阵图符
合几 个公和相等的特点，而且还要注意到：所有公和之和包括了哪些数被重复计算，被重复
计算了几次，这是 数阵图的重要思考方法。
【本讲重点】
一、数字谜的“生命线”：
1、找准突破口
2、缩小范围
3、讨论试值
二、数阵图的“生命线”
1．重复数与公和之和
2．数阵中各数之和的最值与定值问题
三、经典例题精讲。
【例题举要】
【例】（第六届“祖冲之杯”数学邀请赛第四题）
如图大、中、小三个正方形组成了 8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大
正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在 中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8
分别填在小正方形四个顶点上
请问：能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？

【解】不能．
如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S．
考察外面的4个三角形，每个三角形 顶点上的数的和是S，在它们的和4S中，大正方
形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、 6、8各出现二次．即4S=(2+4+6+8)×3=60
S=60÷4=15．
但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上
数字之和不可能相 等．
第十二讲 逻辑推理
很多同学喜欢逻辑推理，说明它有神奇魅力。在小 升初考试中，逻辑推理题依旧频繁的
出现在各重点中学的试卷里，人大附中06年英语实验班选拔考试， 甚至还出现了多道英语
的奥数逻辑题，所以加强这方面的训练对于我们学生来说依然是十分必要的。

【本讲重点】
一、逻辑推理的生命线：
逻辑推理找矛盾，真假不清暂先定。找矛盾的依据是逻辑推理的四大定律。
（1）同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，
不能改变。
（2）矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是
错误 的。例如，这个数大于8和这个数小于5是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个
是错的，甚至两个都是 错的。
（3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，< br>它们不能同时都错。例如这个数大于8和这个数不大于8是两个恰好相反的判断，其中
必有一个是 对的，一个是错的。
（4）理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足
的理由。
二、逻辑推理的几种主要类型：
1．真假命题判断；
2．数值限定推演；
3．竞赛名次排列。
【例题举要】
【例】一串密码由ABCDE五个字母从左到右编排而成，满足条件：
①密码的最小长度是两个字母，但是并不要求密码中字母彼此不同；
②A不能作为密码的第一个字母；
③如果B出现，那么它至少出现2次；
④C不能出现在密码的后两个字母之中；
⑤如果A出现在密码中，那么D一定要出现在这个密码中；
⑥如果E是密码的最后一个字母，那么B一定在密码中。
1、如果有一个满足条件的三个字母的密 码是BE★，那么可以填在★处的字母可以是下
面的哪一个？（B）
（A）A（B）B（C）C（D）D（E）E
2、只由字母ABC组成的两个字母的满足条件的密码一共有多少种？（A）
（A）1（B）3（C）6（D）9（E）12
3、下面哪个密码符合条件？（C）
（A）ACCD（B）BECB（C）CBBE（D）DCAE（E）EDAC
4、已知CCBBEAD是一个符合条件的密码，那么下面那种变化会使得它不满足条件？（C）
（A）将密码中所有的B变为D
（B）将密码中第一个字母C变为E
（C）将密码中的字母D变为E
（D）将密码中的字母E移到最后去
（E）将密码中第二个B移到A和D之间去
5、下面那列字母可以将X换为某个字母从而构成一个满足条件的密码？（E）
（A）CAXDE（B）CXACD（C）XCCAE（D）XCEBA（E）XEABB
第十三讲 策略与操作
在许多情况下，策略问题与操作联系在一起，要下一种结论，我们往往要找到适当的
证明方法。
【本讲重点】

结合经典例题，讨论在相应操作情境中我们的解题思考方法。
【例题举要】
【例】（小学数学夏令营活动试题）
有一个5×5的方格棋盘，每一个小方格中有一只小甲虫，假 定在同一时刻，所有小甲
虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？
【解】:初看这个问题，似乎无从下手，但如果我们利用染色的手段，就会使问题简
化，很 轻松的得到正确答案.将5×5棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时共有黑
格13个，白色格 12个.当每个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，
白格中的甲虫爬到黑格中， 由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必空一
格，所以该题的答案是肯定的。

第十四讲 IQ测试和数学应用
IQ测试是各个重点中学经常采用的一 种测试手段，我们必须见识一些这样的题目为小
升初做好准备，同时，找规律过程中的观察能力、归纳能 力和推理能力的训练，对于我们学
过的知识如何应用到实际问题里，也是非常重要的。
【本讲重点】
IQ题的常见类型：
1．数列或者字母序列形式；
2．九宫图：注意旋转角度与虚实关系；
3．发散思维型。
【例题举要】
【例】多少只动物
这是久违的奎贝尔教授.奎贝尔教授：我又为你们想出一个问题： 在我饲养的动物中，
除了两只以外所有的动物都是狗，除了两只以外，所有的都是猫，除了两只以外所有 的都是
鹦鹉，我总共养了多少只动物？你想出来了吗？
【解】奎贝尔教授只养了三只动物 ：一只狗，一只猫和一只鹦鹉。除了两只以外所有的
都是狗，除了两只以外所有的都是猫，除了两只以外 所有的都是鹦鹉。
如果你领悟到所有这个词可以指仅仅一只动物的话，头脑中就有了这个问题的答 案。
最简单的情况一只狗，一只猫，一只鹦鹉，既是其解。然而，把这个问题用代数形式来表示
也是一次很好的练习。
令x，y，z分别为狗，猫，鹦鹉的只数，n为动物的总数，我们可以写出下列四个联立
方程：
n=x+2 n=y+2 n=z+2 n=x+y+z
解此联立方程有 许多标准方法。显然，根据前三个方程式，可得出x=y=z。由于
3n=x+y+z+6减去第四个方 程，得到n=3，因此x+2=3，所以x=1。全部答案可由x值求得。
由于动物只数通常是正 整数(谁养的猫是用分数来表示只数的?)，可以把奎贝尔教授的
动物问题看作所谓刁番图问题的一个平 凡例子。这是一个其方程解必须是整数的代数问题。
一个刁番图方程有时无解，有时只有一个解，有时有 不止一个或个数有限的解，有时有无穷
多个解。
第十五讲 期末考试

期末考试和期中考试一样采取闭卷形式，当场批改，当场讲评，帮助学生检测暑期学 习
的掌握情况，同时引导学生梳理、总结暑期所学的知识。期末考试是延续报班晋级的重要依
据 。
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