2006第4届希望杯四年级第2试试题及答案
戴立忍-简历中的自我评价
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第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛
四年级 第2试
一、填空题(每小题4分，共60分。)
1．
【解析】：原式＝25×4×（8÷14+9÷21）＝100×（47+37）＝100
2．如果那么
【解析】：△×△＝（2006+4）÷5-2＝400，所以△＝20
3．如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A＝
，
数B＝ 。
【解析】：依题意A-3B＝51，A+2B＝111，两式
相减得5B＝60，所以B＝12，A＝87
4．如图1，圆A表示1到50这50个自然
数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能
被5整除的数，则阴影部分表示的数是
。
【解析】：阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整
除的数，
即15，30，45
5．有40个连续的自然数，其中最大的数是最小的数的4倍，那么最大的数与最小的数之
和是
。
【解析】：最大的数是最小的数的4倍，那么两数之差就是最小数的3倍。最大数与最小
数
的差是39，所以最小数是39÷3＝13，最大数是13×4＝52，两数之和是65
6
．牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3
只，最后清查还剩
6只。这群羊在过河前共有 只。
【解析】：用还原法，过第10条河之前，有
（6-3）×2＝6只，因此他过每一条河之前都
有6只羊，最初也共有6只。
7．一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃
时，又来了4
只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最
后每只猴子分到
个桃子。
【解析】：56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，
所以最后
有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。
8．三只小猫去钓
鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的
鱼的条数的5倍，花猫钓到的鱼
比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上
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条鱼。
【解析】：白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花猫和黑猫共钓30条
花猫
钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2
倍多3条，黑猫钓到（30
-3）÷3＝9条
9．从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除
的有
个。
【解析】：一个数能被3整除，它的各位数之和就能够被3整除。从1，3，5，7中任选3
个数可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。和能被3整除的有：1，3，5和3，
5，
7，共能组成3！×2＝12个数。
10．如图2，两个同样的铁环连在
一起长28厘米，每个铁环长16厘米。8个这样的铁环
依此连在一起长
厘米。
【解析】：两个铁环连在一起，重
叠的部分长16×2-28＝4厘米，8个这样的铁环依此连
在一起长16×8-4×7＝100厘米。
11．图3是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。以点阵中的三个点为
顶点
构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有 种。
【解析】：在本题中，三角形的面积是1，底和高只能一个是1，一个是2，可以有以下三
种情况：
12．如图4，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大
长方形，大长
方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是 。
【解析】：如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比2号大a，2号比3号大a，所
以1
号比3号大2a。
又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3
号大
18-14＝4。
即2a＝4，a＝2，标号为5的正方形的面积是4。
13．小强和小明一同到便利店购物，图5是他们两人购物的单据，由此计算出盐每袋
元，醋每袋 元。
【解析】：
3袋盐和5袋醋共15元，那么如果买5份这样的，即15袋盐和25袋醋共75
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元；5袋盐和3袋醋共17元，那么如果买3份这样的，即15袋盐和9袋醋共51元；所以
1
6袋醋共24元，每袋醋1.5元，所以每袋盐2.5元。
14．如图6所示的算式中，如果七个方格中的数字互不相同，那么和的最大值是
。
【解析】：要使和最大，那么两个加数的十位要尽量大，即分别为8和9，那么和的前两
位
是17或18，数字不能重复，所以只能是17，即个位不能进位，那么和的个位最大是6，这
时加数的个位分别是2和4，可行。所以和的最大值是176。
15．现在世界各国普遍
采用的公历是在1582年修订的格列高里历，它规定：公元年数被
4除得尽的是闰年，但如被100除
得尽而被400除不尽的则不是闰年。按此规定，从1582
年至今共有 个闰年。
【解析】：1582-2006共有（2004-1584）÷4+1＝106个数能被4整除，能被1
00整除的有
5个，但这5个数中1700，1800，1900不能被400整除，所以共有106-
3＝103个闰年。
二、解答题(每小题10分，共40分。) 要求：写出推算过程。
16．如图7所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为
奇数。请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【解析】：不存在这样的填法。 (2分)
理由。设所填的数分别是a，b，c，如图所示。假设
a+b=奇数．
a+c=奇数，
b+c=奇数， (5分)
三式相加
左边=2(a+b+c)，是偶数， (7分)
右边=三个奇数相加，是奇数， (9分)
而 偶效≠奇数，
所以不存在这样的填法．(10分)
17．甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各
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自前往B地、A地。甲每小时行32千米，乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机，当
他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。问：
(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?
(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?
(3)他们可用对讲机联络多长时间?
【解析】：(1)(260-20)÷(32+48)=3(小时)。
(3分)
(2)20÷(32+48)=0.25(小时)。
(6分)
(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可用对讲机
联络
0.25+0.25=0.5(小时)。 (9分)
18
．星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。他换上新电池，估计了一下时
间，将闹钟的指针拨
到8：00。然后，小明离家前往天文馆。小明到达天文馆时，看到天文
馆的标准时钟显示的时间是9：
15。一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中，
看到闹钟显示的时间是11：20。请问，
这时小明应该把闹钟调到什么时间才是准确的?
【解析】：由小明的闹钟显示的时间可知．小明出门共用了3小时20分钟。 (3分)
来回路上共用去1小时50分钟，回家路上用去55分钟．
(6分)
从小明到达天文馆，到回到家中共经历2小时25分钟，小明到达天文馆时是9:1
5，所
以回到家中的时间是11时40分，即应把闹钟调到11:40．
(10分)
19．2005年，小张有一次出差的几天的日期数加起来恰好是60。问
：小张出差了几天?
是哪几天?(注：日期数指a月b日中的b，如4月16日的日期数是16)
【解析】：先考虑日期数是连续整数的情况。
因为
1+2+3+……+11=66>60，
所以 小张出差不会超过10天。
(2分)
显然，小张不可能只出差1天。
假设出差2天，且第1天的日期数是a，则
a+(a+1)=60，2a=59，
a不是整数，因此，小张不可能出差2天。
同理，有
a+(a+1)+(a+2)=60．
a=19，可能出差3天；
a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=60，
4a=54，不可能出差4天;
a+(a+1)+……+(a+4)=60，
a=10，可能出差5天;
a+(a+1)+……+(a+5)=60，
6a=45，不可能出差6天；
a+(a+1)+……+(a十6)=60，
7a=39，不可能出差7天；
a+(a+1)+……+(a+7)=60，
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a=4，可能出差8天；
a+(a+1)+……+(a+8)=60，
9a=24，不可能出差9天;
a+(a+1)+……+(a+9)=60，
lOa=15，不可能出差10天。 (6分)
再考虑跨了两个不同月份的情况．
2005年各月的最大日期敛有28，30，31三种．
因为 27+28+1+2<60，
27+28+1+2+3>60，
28+1+2+……+7<60，
28+1+2+……+8>60，
所以不可能跨过最大日期数是28的月份。
同理可判断不可能跨过最大日期数是31的月份。 (8分)
而
29+30+l=60，
30+1+2+……+7<60，
30+1+2+……+8>60，
所以可能在29日,30目，1日这三天出差。
综上所述，有4种可能：
(1)出差3天．从19目到21日；
(2)出差5天，从10日到14日;
(3)出差8天，从4日到11日;
(4)出差3天。分别是29日．30日，1日。 (10分)
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四年级 第2试
一、填空题(每小题4分，共60分。)
1．
【解析】：原式＝25×4×（8÷14+9÷21）＝100×（47+37）＝100
2．如果那么
【解析】：△×△＝（2006+4）÷5-2＝400，所以△＝20
3．如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A＝
，
数B＝ 。
【解析】：依题意A-3B＝51，A+2B＝111，两式
相减得5B＝60，所以B＝12，A＝87
4．如图1，圆A表示1到50这50个自然
数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能
被5整除的数，则阴影部分表示的数是
。
【解析】：阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整
除的数，
即15，30，45
5．有40个连续的自然数，其中最大的数是最小的数的4倍，那么最大的数与最小的数之
和是
。
【解析】：最大的数是最小的数的4倍，那么两数之差就是最小数的3倍。最大数与最小
数
的差是39，所以最小数是39÷3＝13，最大数是13×4＝52，两数之和是65
6
．牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3
只，最后清查还剩
6只。这群羊在过河前共有 只。
【解析】：用还原法，过第10条河之前，有
（6-3）×2＝6只，因此他过每一条河之前都
有6只羊，最初也共有6只。
7．一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃
时，又来了4
只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最
后每只猴子分到
个桃子。
【解析】：56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，
所以最后
有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。
8．三只小猫去钓
鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的
鱼的条数的5倍，花猫钓到的鱼
比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上
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条鱼。
【解析】：白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花猫和黑猫共钓30条
花猫
钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2
倍多3条，黑猫钓到（30
-3）÷3＝9条
9．从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除
的有
个。
【解析】：一个数能被3整除，它的各位数之和就能够被3整除。从1，3，5，7中任选3
个数可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。和能被3整除的有：1，3，5和3，
5，
7，共能组成3！×2＝12个数。
10．如图2，两个同样的铁环连在
一起长28厘米，每个铁环长16厘米。8个这样的铁环
依此连在一起长
厘米。
【解析】：两个铁环连在一起，重
叠的部分长16×2-28＝4厘米，8个这样的铁环依此连
在一起长16×8-4×7＝100厘米。
11．图3是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。以点阵中的三个点为
顶点
构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有 种。
【解析】：在本题中，三角形的面积是1，底和高只能一个是1，一个是2，可以有以下三
种情况：
12．如图4，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大
长方形，大长
方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是 。
【解析】：如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比2号大a，2号比3号大a，所
以1
号比3号大2a。
又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3
号大
18-14＝4。
即2a＝4，a＝2，标号为5的正方形的面积是4。
13．小强和小明一同到便利店购物，图5是他们两人购物的单据，由此计算出盐每袋
元，醋每袋 元。
【解析】：
3袋盐和5袋醋共15元，那么如果买5份这样的，即15袋盐和25袋醋共75
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元；5袋盐和3袋醋共17元，那么如果买3份这样的，即15袋盐和9袋醋共51元；所以
1
6袋醋共24元，每袋醋1.5元，所以每袋盐2.5元。
14．如图6所示的算式中，如果七个方格中的数字互不相同，那么和的最大值是
。
【解析】：要使和最大，那么两个加数的十位要尽量大，即分别为8和9，那么和的前两
位
是17或18，数字不能重复，所以只能是17，即个位不能进位，那么和的个位最大是6，这
时加数的个位分别是2和4，可行。所以和的最大值是176。
15．现在世界各国普遍
采用的公历是在1582年修订的格列高里历，它规定：公元年数被
4除得尽的是闰年，但如被100除
得尽而被400除不尽的则不是闰年。按此规定，从1582
年至今共有 个闰年。
【解析】：1582-2006共有（2004-1584）÷4+1＝106个数能被4整除，能被1
00整除的有
5个，但这5个数中1700，1800，1900不能被400整除，所以共有106-
3＝103个闰年。
二、解答题(每小题10分，共40分。) 要求：写出推算过程。
16．如图7所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为
奇数。请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【解析】：不存在这样的填法。 (2分)
理由。设所填的数分别是a，b，c，如图所示。假设
a+b=奇数．
a+c=奇数，
b+c=奇数， (5分)
三式相加
左边=2(a+b+c)，是偶数， (7分)
右边=三个奇数相加，是奇数， (9分)
而 偶效≠奇数，
所以不存在这样的填法．(10分)
17．甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各
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他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。问：
(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?
(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?
(3)他们可用对讲机联络多长时间?
【解析】：(1)(260-20)÷(32+48)=3(小时)。
(3分)
(2)20÷(32+48)=0.25(小时)。
(6分)
(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可用对讲机
联络
0.25+0.25=0.5(小时)。 (9分)
18
．星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。他换上新电池，估计了一下时
间，将闹钟的指针拨
到8：00。然后，小明离家前往天文馆。小明到达天文馆时，看到天文
馆的标准时钟显示的时间是9：
15。一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中，
看到闹钟显示的时间是11：20。请问，
这时小明应该把闹钟调到什么时间才是准确的?
【解析】：由小明的闹钟显示的时间可知．小明出门共用了3小时20分钟。 (3分)
来回路上共用去1小时50分钟，回家路上用去55分钟．
(6分)
从小明到达天文馆，到回到家中共经历2小时25分钟，小明到达天文馆时是9:1
5，所
以回到家中的时间是11时40分，即应把闹钟调到11:40．
(10分)
19．2005年，小张有一次出差的几天的日期数加起来恰好是60。问
：小张出差了几天?
是哪几天?(注：日期数指a月b日中的b，如4月16日的日期数是16)
【解析】：先考虑日期数是连续整数的情况。
因为
1+2+3+……+11=66>60，
所以 小张出差不会超过10天。
(2分)
显然，小张不可能只出差1天。
假设出差2天，且第1天的日期数是a，则
a+(a+1)=60，2a=59，
a不是整数，因此，小张不可能出差2天。
同理，有
a+(a+1)+(a+2)=60．
a=19，可能出差3天；
a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=60，
4a=54，不可能出差4天;
a+(a+1)+……+(a+4)=60，
a=10，可能出差5天;
a+(a+1)+……+(a+5)=60，
6a=45，不可能出差6天；
a+(a+1)+……+(a十6)=60，
7a=39，不可能出差7天；
a+(a+1)+……+(a+7)=60，
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a=4，可能出差8天；
a+(a+1)+……+(a+8)=60，
9a=24，不可能出差9天;
a+(a+1)+……+(a+9)=60，
lOa=15，不可能出差10天。 (6分)
再考虑跨了两个不同月份的情况．
2005年各月的最大日期敛有28，30，31三种．
因为 27+28+1+2<60，
27+28+1+2+3>60，
28+1+2+……+7<60，
28+1+2+……+8>60，
所以不可能跨过最大日期数是28的月份。
同理可判断不可能跨过最大日期数是31的月份。 (8分)
而
29+30+l=60，
30+1+2+……+7<60，
30+1+2+……+8>60，
所以可能在29日,30目，1日这三天出差。
综上所述，有4种可能：
(1)出差3天．从19目到21日；
(2)出差5天，从10日到14日;
(3)出差8天，从4日到11日;
(4)出差3天。分别是29日．30日，1日。 (10分)
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