马拉西亚-广东工业大学招生办

大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案
填在空中。
1、
已知球面的一条直径的两个端点为

2，3，5

和

4，1，3

，
则该球面的方
程为_
____ _________________
2、函数
uln(xy
2
z< br>2
)
在点
A(1,0,1)
处沿点
A
指向点
B(3,2,2)
方向的方向导
数为

3、 曲面
zx
2
y
2
与平面
2x4yz0
平 行的切平面方程为
4、
(x,y)(0,0)
lim
(1cos(x
2
y
2
))sinxy
(xy )e
2
222x
2
y
2



2
z
5、设二元函数
zxyxy
，
则

_______________
xy
3
二、选择填空题（本题满 分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题
有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选 出合适的答案填在空中，多选无
效。
1、旋转曲面
x
2
y
2
z
2
1
是（ ）

xz
（A）．
O
（B）．
xOy
（C）．
xOy
坐标面上的双曲线绕
Ox
轴旋转而成；
坐标面上的双曲线绕
Oz
轴旋转而成；

坐标面上的椭圆绕
Oz
轴旋转而成；

坐标面上的椭圆绕
Ox
轴旋转而成．

xz
（D）．
O
2、微分方程
y

y2xcosx3x
2
的一个特解应具有形式
（ ）

其中
a
1
,b
1
,a
2
,b
2
,d
1
,d
2< br>,d
3
都是待定常数.
(A).
x(a
1
x b
1
)cosxx(a
2
xb
2
)sinxd1
x
;
(B).
x(a
1
xb
1< br>)cosxx(a
2
xb
2
)sinxd
1
x
(C).
x(a
1
xb
1
)(a
2
cosxb
2
sinx)d
1
x
2
2
2d
2
xd
3
;
2
d
2
xd
3
;
(D).
x (a
1
xb
1
)(cosxsinx)d
1
xd< br>2
xd
3

3、
已知直线
L:< br>x2
2

y1z
与平面

:x2y

z4
,
则
（ ）

2
2

(A).
L
在

内;
(B).
L
与

不相交;

(C).
L
与

正交;
(D).
L
与

斜交
.
4、下列说法正确的是（ ）


(A) 两向量
a
与
b
平行的充要条 件是存在唯一的实数

，使得
b

a
；


2
z

2
z
(B) 二元函数
zf< br>
x,y

的两个二阶偏导数
2
,
2
在区域 D内连续，则在该区
x
y
域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二 元函数
zf

x,y

的两个偏导数在点

x< br>0
,y
0

处连续是函数在该点可微的
充分条件；
(D) 二元函数
zf

x,y

的两个偏导数在点
x
0
,y
0

处连续是函数在该点可微
的必要条件.

2
z
5、设
zf(2xy,x2y ),
且
fC
（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则

xy
2
（ ）
(A)
2f
11
2f
22
3f
12
; (B)
2f
11
f
22
3f
12
;
(C)
2f
11
f
22
5f
12
; (D)
2f
11
2f
22
f
12
.
三、计算题（本大题共29分）
1、
（
本题
13
分
）
计算下列微分方程的通解。

(1)（
6分）
y

1xyxy







22


(2)（7 分）
y

3y

2yxe
2x

2、（
本题
8
分
）
设
zuv
2
tcosu
，
ue
t
，
vlnt
，求全导 数
dz
。
dt





< br>3、
（
本题
8
分
）
求函数
f
x,y

e
2x
xy
2
2y
的极值。












四、应用题
（
本题
8
分
）
1、
某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为
x
台和
y
台
，
成本函数为
c(x,
，
若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何y)x
2
2y
2
xy
（
万元）
安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五
、
综合题（本大题共21分）


yz

xz

1

1
1、（
本题
10
分
）
已知直线
l
1
：

bc
，
l
2
：

ac
，
求过
l
1
且平行于
l
2
的


x0

y0
平 面方程
．











2、（
本题
11
分
）
设函 数
f(x,y,z)lnxlny3lnz
在球面
x
2
y
2
z
2
5












R(
2
x0,y0
上求一点
,z0)
，使函数
f(x,y,z)
取到最大值．
六、证明题（本题共12分）

< br>1、
设函数
ux
k
F


z
,< br>
x
y


，
其中
k
是常数
，
函数
F
具有连续的一阶偏导数．试
x

y
< br>

x

证明:
x








uuu

z
yzkx
k
F

,
xyz

x





第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、
填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1.、 < br>
x3



y1


z1

21

222
2、
1
．
2
3、
2x4yz50
．
4、0
5、
2y3x
；
2
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A）
2（B）
3（C）
4（C）
5（A）
三
、
计算题（本大题共29分）

1、（1）
解：将原微分 方程进行分离变量，得：
dy
(1x)dx

2
1y

dyx
2
上式两端积分得

arctany

(1x)dxxc

2
2
1y
x
2
c

其中
c
为任意常数． 即
：
arctanyx
2
（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为
r
2
3r20,
特征根为
r
1
1,

r
2
2,
于是，该齐次方程的通解为
YC
1
xC
2
e
2x,
因

2
是特征方程的单
根，故可设题设方程的特解
：
y
*
x(b
0
xb
1
)e
2x.
代入题设方程,得
2b
0
xb
1
2b
0
x,
比较等式两端同次幂的系数,得
b
0

1
,

b
1
1,

2
于是，求得题没方程 的一个特解
y
*
x(x1)e
2x
.

从而，所求题设方程的通解为
yC
1
e
x
C
2
e
2x
x(x1)e
2x
.


2、解：z
uv
2
tcosuv
2
tsinu
，
uu
zz
uv
2
tcosu2uv
，cosu

vvt
1
2
1
2


依复合函数求导法则，全导数为
dzzduzdvzdt

dtudtvdttdt
1
ue
t
2uvcosu1
v
2
tsin
t
2
e
t

ln
2
ttsine
t
e
t
e
t< br>lntcos
t




2x2


f
x

x,y

e2x2y4y1 0

1

3、解：解方程组

，得驻点

,1

。由于
2x

fx,ye2y20

2



y

Af
xx
< br>x,y

4e
2x
xy
2
2y1
，
Bf
xy

xy

4e
2x

y1

，
Cf
yy

x,y

2 e
2x

1

1

A2e0
，B0
，
C2e
，
ACB
2
4e
2，在点

,1

处，所以函数在点

,1


2

2

e

1

处取得极小值，极小值为
f

,1


。

2

2


四、应用题
（
本题
8
分
）

1、
解：即求成本函数
c

x,

构造辅助函数

F

x,
y

在条 件
xy8
下的最小值

y

x
2
 2y
2
xy

(xy8)


F
x

2xy

0

解方程组


F
y

x4y

0


F

xy80


解得


7,x5,y3

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机 床分别生产
5
台和
3
台时，总
成本最小，最小成本为：
c( 5,3)5
2
23
2
5328
（
万
）
五
、
综合题（本大题共21分）

1、
解：直线
l
1
与
l
2
的方向向量分别为



11

11

s
1


0，，



1，0，0



0，，
< br>，
bc

cb



11

1

1

s
2


，0， 



0，1，0



，0，

，
c

a

a

c
 

111

作

ns
1
s< br>2


，，
2

，
bcc
 
ca


111


0，0，cP
取 直线
l
1
上的一点
P
，
则过点且以
n

，，
2

为法向
11
bcc

ca
xyz
量的平面
10
，

abc
就是过
l
1
且平行于
l
2
的平面方程．
2、解：设球面上点为
(x,y,z)
．
令
L(x,y,z,< br>
)lnxlny3lnz

(x
2
y
2
z
2
5R
2
)
，
L
x
< br>111
2

x0,L
y
2

y0 ,L
z
2

z0,L

x
2
y
2
z
2
5R
2
0

xy3z
22
z
2
由前三个式子得
xy
，代入最后式子得
x yR,z3R
．由题意得
3
f(x,y,z)
在球面上的最大值一定存在 ，因此唯一的稳定点
(R,R,3R)
就是最大
值点，最大值为
f(R,R, 3R)ln(33R
5
)
．
六、证明题（本题共12分）1、证明：

u

z
kx
k1
F

,
x

x
y

z
k

xF
1


,x

x
y

z

z
k


2

xF
2


,
x< br>
x

x
y

y


2

x

x

kx
k1F


zy

y


x
,< br>x

k2

zy


zxF
1



x
,
x


yx
k2
F

z
2



x
,< br>x




u
x
k
F< br>
zy

y

y
2



x
,
x



1
k1
z
x
xF
2



x
,
x




u
x
k
F

zy



1
x
k1
F
< br>zy

z
1



x
,
x

x
1



x
,
x



所以，
x
uu
x
y
y< br>z
u
z


x


kx
k1
F


z
,
y


zx
k2
F

y



x< br>1

z
x


yx
k2
F
x



x
,
2

z

x
,

yx
k1
F
z

y

2



,
y

xx


zx
k1
F

z
1



x
,
x



kx
k
F


z
,
y


xx





y

x






大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案
填在空中。
1、
已知球面的一条直径的两个端点为

2，3，5

和

4，1，3

，
则该球面的方
程为_
____ _________________
2、函数
uln(xy
2
z< br>2
)
在点
A(1,0,1)
处沿点
A
指向点
B(3,2,2)
方向的方向导
数为

3、 曲面
zx
2
y
2
与平面
2x4yz0
平 行的切平面方程为
4、
(x,y)(0,0)
lim
(1cos(x
2
y
2
))sinxy
(xy )e
2
222x
2
y
2



2
z
5、设二元函数
zxyxy
，
则

_______________
xy
3
二、选择填空题（本题满 分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题
有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选 出合适的答案填在空中，多选无
效。
1、旋转曲面
x
2
y
2
z
2
1
是（ ）

xz
（A）．
O
（B）．
xOy
（C）．
xOy
坐标面上的双曲线绕
Ox
轴旋转而成；
坐标面上的双曲线绕
Oz
轴旋转而成；

坐标面上的椭圆绕
Oz
轴旋转而成；

坐标面上的椭圆绕
Ox
轴旋转而成．

xz
（D）．
O
2、微分方程
y

y2xcosx3x
2
的一个特解应具有形式
（ ）

其中
a
1
,b
1
,a
2
,b
2
,d
1
,d
2< br>,d
3
都是待定常数.
(A).
x(a
1
x b
1
)cosxx(a
2
xb
2
)sinxd1
x
;
(B).
x(a
1
xb
1< br>)cosxx(a
2
xb
2
)sinxd
1
x
(C).
x(a
1
xb
1
)(a
2
cosxb
2
sinx)d
1
x
2
2
2d
2
xd
3
;
2
d
2
xd
3
;
(D).
x (a
1
xb
1
)(cosxsinx)d
1
xd< br>2
xd
3

3、
已知直线
L:< br>x2
2

y1z
与平面

:x2y

z4
,
则
（ ）

2
2

(A).
L
在

内;
(B).
L
与

不相交;

(C).
L
与

正交;
(D).
L
与

斜交
.
4、下列说法正确的是（ ）


(A) 两向量
a
与
b
平行的充要条 件是存在唯一的实数

，使得
b

a
；


2
z

2
z
(B) 二元函数
zf< br>
x,y

的两个二阶偏导数
2
,
2
在区域 D内连续，则在该区
x
y
域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二 元函数
zf

x,y

的两个偏导数在点

x< br>0
,y
0

处连续是函数在该点可微的
充分条件；
(D) 二元函数
zf

x,y

的两个偏导数在点
x
0
,y
0

处连续是函数在该点可微
的必要条件.

2
z
5、设
zf(2xy,x2y ),
且
fC
（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则

xy
2
（ ）
(A)
2f
11
2f
22
3f
12
; (B)
2f
11
f
22
3f
12
;
(C)
2f
11
f
22
5f
12
; (D)
2f
11
2f
22
f
12
.
三、计算题（本大题共29分）
1、
（
本题
13
分
）
计算下列微分方程的通解。

(1)（
6分）
y

1xyxy







22


(2)（7 分）
y

3y

2yxe
2x

2、（
本题
8
分
）
设
zuv
2
tcosu
，
ue
t
，
vlnt
，求全导 数
dz
。
dt





< br>3、
（
本题
8
分
）
求函数
f
x,y

e
2x
xy
2
2y
的极值。












四、应用题
（
本题
8
分
）
1、
某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为
x
台和
y
台
，
成本函数为
c(x,
，
若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何y)x
2
2y
2
xy
（
万元）
安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五
、
综合题（本大题共21分）


yz

xz

1

1
1、（
本题
10
分
）
已知直线
l
1
：

bc
，
l
2
：

ac
，
求过
l
1
且平行于
l
2
的


x0

y0
平 面方程
．











2、（
本题
11
分
）
设函 数
f(x,y,z)lnxlny3lnz
在球面
x
2
y
2
z
2
5












R(
2
x0,y0
上求一点
,z0)
，使函数
f(x,y,z)
取到最大值．
六、证明题（本题共12分）

< br>1、
设函数
ux
k
F


z
,< br>
x
y


，
其中
k
是常数
，
函数
F
具有连续的一阶偏导数．试
x

y
< br>

x

证明:
x








uuu

z
yzkx
k
F

,
xyz

x





第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、
填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1.、 < br>
x3



y1


z1

21

222
2、
1
．
2
3、
2x4yz50
．
4、0
5、
2y3x
；
2
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A）
2（B）
3（C）
4（C）
5（A）
三
、
计算题（本大题共29分）

1、（1）
解：将原微分 方程进行分离变量，得：
dy
(1x)dx

2
1y

dyx
2
上式两端积分得

arctany

(1x)dxxc

2
2
1y
x
2
c

其中
c
为任意常数． 即
：
arctanyx
2
（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为
r
2
3r20,
特征根为
r
1
1,

r
2
2,
于是，该齐次方程的通解为
YC
1
xC
2
e
2x,
因

2
是特征方程的单
根，故可设题设方程的特解
：
y
*
x(b
0
xb
1
)e
2x.
代入题设方程,得
2b
0
xb
1
2b
0
x,
比较等式两端同次幂的系数,得
b
0

1
,

b
1
1,

2
于是，求得题没方程 的一个特解
y
*
x(x1)e
2x
.

从而，所求题设方程的通解为
yC
1
e
x
C
2
e
2x
x(x1)e
2x
.


2、解：z
uv
2
tcosuv
2
tsinu
，
uu
zz
uv
2
tcosu2uv
，cosu

vvt
1
2
1
2


依复合函数求导法则，全导数为
dzzduzdvzdt

dtudtvdttdt
1
ue
t
2uvcosu1
v
2
tsin
t
2
e
t

ln
2
ttsine
t
e
t
e
t< br>lntcos
t




2x2


f
x

x,y

e2x2y4y1 0

1

3、解：解方程组

，得驻点

,1

。由于
2x

fx,ye2y20

2



y

Af
xx
< br>x,y

4e
2x
xy
2
2y1
，
Bf
xy

xy

4e
2x

y1

，
Cf
yy

x,y

2 e
2x

1

1

A2e0
，B0
，
C2e
，
ACB
2
4e
2，在点

,1

处，所以函数在点

,1


2

2

e

1

处取得极小值，极小值为
f

,1


。

2

2


四、应用题
（
本题
8
分
）

1、
解：即求成本函数
c

x,

构造辅助函数

F

x,
y

在条 件
xy8
下的最小值

y

x
2
 2y
2
xy

(xy8)


F
x

2xy

0

解方程组


F
y

x4y

0


F

xy80


解得


7,x5,y3

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机 床分别生产
5
台和
3
台时，总
成本最小，最小成本为：
c( 5,3)5
2
23
2
5328
（
万
）
五
、
综合题（本大题共21分）

1、
解：直线
l
1
与
l
2
的方向向量分别为



11

11

s
1


0，，



1，0，0



0，，
< br>，
bc

cb



11

1

1

s
2


，0， 



0，1，0



，0，

，
c

a

a

c
 

111

作

ns
1
s< br>2


，，
2

，
bcc
 
ca


111


0，0，cP
取 直线
l
1
上的一点
P
，
则过点且以
n

，，
2

为法向
11
bcc

ca
xyz
量的平面
10
，

abc
就是过
l
1
且平行于
l
2
的平面方程．
2、解：设球面上点为
(x,y,z)
．
令
L(x,y,z,< br>
)lnxlny3lnz

(x
2
y
2
z
2
5R
2
)
，
L
x
< br>111
2

x0,L
y
2

y0 ,L
z
2

z0,L

x
2
y
2
z
2
5R
2
0

xy3z
22
z
2
由前三个式子得
xy
，代入最后式子得
x yR,z3R
．由题意得
3
f(x,y,z)
在球面上的最大值一定存在 ，因此唯一的稳定点
(R,R,3R)
就是最大
值点，最大值为
f(R,R, 3R)ln(33R
5
)
．
六、证明题（本题共12分）1、证明：

u

z
kx
k1
F

,
x

x
y

z
k

xF
1


,x

x
y

z

z
k


2

xF
2


,
x< br>
x

x
y

y


2

x

x

kx
k1F


zy

y


x
,< br>x

k2

zy


zxF
1



x
,
x


yx
k2
F

z
2



x
,< br>x




u
x
k
F< br>
zy

y

y
2



x
,
x



1
k1
z
x
xF
2



x
,
x




u
x
k
F

zy



1
x
k1
F
< br>zy

z
1



x
,
x

x
1



x
,
x



所以，
x
uu
x
y
y< br>z
u
z


x


kx
k1
F


z
,
y


zx
k2
F

y



x< br>1

z
x


yx
k2
F
x



x
,
2

z

x
,

yx
k1
F
z

y

2



,
y

xx


zx
k1
F

z
1



x
,
x



kx
k
F


z
,
y


xx





y

x




