长春事业单位招聘-下关一中

概率论期中考试试卷及答案

厦门大学概统课程期中试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业
考试时间
2013.11.8


1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率:
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2) 恰有一个盒子有2个球.

解:
把4个球随机放入5个盒子中共有
5
4
=625种等可能结果.
（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5625=1125
(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
12
C
5
C
4
30
种方法
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果.
故
36072
P(B)
625125


2.某货运码头 仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时
和2小时，设甲、乙在24小时内随时 可能到达，求它们中间任何一船都不需要
等待码头空出的概率。

解：
设x,y分别为两船到达码头的时刻。
由于两船随时可以到达，故x,y分别等可能地在[0,60]上取值，如右图
方形区域，记为

。设A为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。
={( x,y)0x24,0y24},
A={(x,y)0x24,0y24,xy2 或yx1},
11
有m()24
2
576,m(A)232
22
2
506.5

22
m(A)
所以，P(A)0.8793
m()

3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、
二、三厂家的正品率 依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，
求：
(1) 该件商品是次品的概率。
(2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。

解:
设A为该产品为次品，B
1
,B
2
,B分 别为三个厂家产品，
3
则
(1) 由全概率公式可知
P(A)P(B
1
)P(A|B
1
)P(B)P(B)P
2< br>P(A|B)
23
(A|B)
3

=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%)
=0.024
(2) 由贝叶斯公式可知
P(AB
1
)P(B
1
)P(A|B
1
)
60%*(1-98%)

P(A)P(A)0.024
=0.5
P(B
1
|A)


4.甲乙丙三台机 床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为
0.7,08,0.9，求在这段时间内， 最多只有一台机床需人照顾的概率。

解：
设
A
1
、A
2
、A
3
分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，
B< br>i
代表这段时间内
恰有i台机床需要照管，i=0、1.
显然，
B< br>0
与
B
1
互斥，
A
1
、A
2
、A
3
相互独立。并且：
P(A
1
）=0.3、P(A
2
）=0.2、P(A
3
）=0.1
P(B
0
）=P(A< br>1
A
2
A
3
）=P(A
1
）P(A
2
）P(A
3
）=0.70.80.9=0.504，
P(B
1
）=P(A
1
A
2
A
3
）+P(A
1A
2
A
3
）+P(A
1
A
2
A
3
）
=0.30.80.9+0.70.20.9+0.70.80. 1=0.398
故最多只有一台机床需要照顾的概率为：
P(B
0
B
1
）=P(B
0
）P(B
1
）=0.902

5.设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 X（以分钟计）服从参数为15的指数
分布，某顾客在窗口等候服务，若超过10 分钟，他就离开．他一月内要到银行
5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算P {Y ≥ 1}．

解：

x
1

1
5

e,x0
X的密度函数为f(x)
5

0,x0

x

1

1
5
Y为伯努利概型，其中，n5，pP(X10)

edxe
2
,
5
10

即Y~B(5,e
2
)
P(Y1)1P(Y0)1C
5
0
(e
2
)
0
(1-e
2
)
5
=1-0.4833=0.516 7

6. 某种电池的寿命X（单位：小时）是一个随机变量，服从μ = 300，σ = 35 的
正态分布，求这样的电池寿命在250 小时以上的概率，并求一允许限x，使得电
池寿命在(300 – x，300 + x)内的概率不小于0.9．
(1.4286)0.9236;(1.65)0.95


解：
因X~N(

，

2
)=N(300，35
2)
故P(X250)1F(250)1(
(1.4286)0.923 6
又P(300xX300x)F(300x)F(300x)
xxx
)()2()10.9
353535
x
即()0.95；
35
x
故1.65，x57.75
35

(
7. 设随机变量X 在区间 (−1, 2)上服从均匀分布，求
Ye
2x
的密度函数
解：

250300
)1(1.4286)
35

概率论期中考试试卷及答案

厦门大学概统课程期中试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业
考试时间
2013.11.8


1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率:
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2) 恰有一个盒子有2个球.

解:
把4个球随机放入5个盒子中共有
5
4
=625种等可能结果.
（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5625=1125
(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
12
C
5
C
4
30
种方法
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果.
故
36072
P(B)
625125


2.某货运码头 仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时
和2小时，设甲、乙在24小时内随时 可能到达，求它们中间任何一船都不需要
等待码头空出的概率。

解：
设x,y分别为两船到达码头的时刻。
由于两船随时可以到达，故x,y分别等可能地在[0,60]上取值，如右图
方形区域，记为

。设A为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。
={( x,y)0x24,0y24},
A={(x,y)0x24,0y24,xy2 或yx1},
11
有m()24
2
576,m(A)232
22
2
506.5

22
m(A)
所以，P(A)0.8793
m()

3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、
二、三厂家的正品率 依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，
求：
(1) 该件商品是次品的概率。
(2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。

解:
设A为该产品为次品，B
1
,B
2
,B分 别为三个厂家产品，
3
则
(1) 由全概率公式可知
P(A)P(B
1
)P(A|B
1
)P(B)P(B)P
2< br>P(A|B)
23
(A|B)
3

=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%)
=0.024
(2) 由贝叶斯公式可知
P(AB
1
)P(B
1
)P(A|B
1
)
60%*(1-98%)

P(A)P(A)0.024
=0.5
P(B
1
|A)


4.甲乙丙三台机 床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为
0.7,08,0.9，求在这段时间内， 最多只有一台机床需人照顾的概率。

解：
设
A
1
、A
2
、A
3
分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，
B< br>i
代表这段时间内
恰有i台机床需要照管，i=0、1.
显然，
B< br>0
与
B
1
互斥，
A
1
、A
2
、A
3
相互独立。并且：
P(A
1
）=0.3、P(A
2
）=0.2、P(A
3
）=0.1
P(B
0
）=P(A< br>1
A
2
A
3
）=P(A
1
）P(A
2
）P(A
3
）=0.70.80.9=0.504，
P(B
1
）=P(A
1
A
2
A
3
）+P(A
1A
2
A
3
）+P(A
1
A
2
A
3
）
=0.30.80.9+0.70.20.9+0.70.80. 1=0.398
故最多只有一台机床需要照顾的概率为：
P(B
0
B
1
）=P(B
0
）P(B
1
）=0.902

5.设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 X（以分钟计）服从参数为15的指数
分布，某顾客在窗口等候服务，若超过10 分钟，他就离开．他一月内要到银行
5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算P {Y ≥ 1}．

解：

x
1

1
5

e,x0
X的密度函数为f(x)
5

0,x0

x

1

1
5
Y为伯努利概型，其中，n5，pP(X10)

edxe
2
,
5
10

即Y~B(5,e
2
)
P(Y1)1P(Y0)1C
5
0
(e
2
)
0
(1-e
2
)
5
=1-0.4833=0.516 7

6. 某种电池的寿命X（单位：小时）是一个随机变量，服从μ = 300，σ = 35 的
正态分布，求这样的电池寿命在250 小时以上的概率，并求一允许限x，使得电
池寿命在(300 – x，300 + x)内的概率不小于0.9．
(1.4286)0.9236;(1.65)0.95


解：
因X~N(

，

2
)=N(300，35
2)
故P(X250)1F(250)1(
(1.4286)0.923 6
又P(300xX300x)F(300x)F(300x)
xxx
)()2()10.9
353535
x
即()0.95；
35
x
故1.65，x57.75
35

(
7. 设随机变量X 在区间 (−1, 2)上服从均匀分布，求
Ye
2x
的密度函数
解：

250300
)1(1.4286)
35