工商年检资料-数学小报

初二数学期中考试试卷带答案
A． 第1块 B． 第2块 C． 第3块 D． 第4块
考点： 全等三角形的应用．
分析： 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进
行验证．
解答： 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个
证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条
件，是符合题意的．
故选B．
点评： 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、H L．

6．下列命题的逆命题是真命题的是（）
A． 直角都相等 B． 等边三角形是锐角三角形
C． 相等的角是对顶角 D． 全等三角形的对应角相等
考点： 命题与定理．
分析： 先分别写出四个命题 的逆命题，然后根据直角的定义、等
边三角形的判定、对顶角的性质和全等三角形的判定分别进行判断．
解答： 解：A、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，此逆
命题为假命题，所以A选项错误；

B、等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角
形，此逆 命题为假命题，所以B选项错误；
C、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命
题，所以C选项正确；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角 形
全等，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选C．
点评： 本 题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命
题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是 已知事项，结论
是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；
有些命题 的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查
了逆命题．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边
AB上的中线，则图中与 CD的长度相等的线段有（）

A． AD与BD B． BD与BC C． AD与BC D． AD、BD
与BC
考点： 直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．菁
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分析： 根据直角三角形的性质可得CD=BD=AD，再结合∠A=30°，
可得BC= AB，可得结论．

解答： 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BC=BD=AD= AB，
故选D．
点评： 本题 主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于 斜边的一半是解题
的关键．

8．如图是中国共产主义青年团团旗上 的图案，点A、B、C、D、
E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A． 180° B． 150° C． 135° D． 120°
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
专题： 压轴题．
分析： 根据点A、B、C、D、E五等分圆可求出每条弧的度数，
再根据圆周角定理即可得出答案．
解答： 解：∵点A、B、C、D、E五等分圆，
∴ = = = = = =72°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
∵∠ADB= = ×72°=36°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°．
故选A．
点评： 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，能根据题意得出每

条弧的度数是解答此题的关键．

9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）
A． 两个锐角对应相等
B． 一条边和一个锐角对应相等
C． 两条直角边对应相等
D． 一条直角边和一条斜边对应相等
考点： 直角三角形全等的判定．
分析： 直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS ，AAS，
做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
解答： 解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符
合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定ASA，故本选项不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项不符合题意．
故选A．
点评： 本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、
SSA不能判定两 个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹 角．

10．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置< /p>

的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依
次是S1、 S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 14
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
分析： 如图，易证△CDE≌△ABC ，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，
同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S 4=1+3=4．
解答： 解：∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，
同理可证FG2+LK2=HL2=1，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．
故选A．

点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运
用，本题中证明AB2+DE2=DE2+C D2=CE2是解题的关键．

二、填空题（每小题4分，共32分）
11．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为2cm，它的周长是 5
cm．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给 出等腰三角形有两条边长为1cm和2cm，而没有
明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用 三角形的三边关
系验证能否组成三角形．
解答： 解：分两种情况：
当腰为1cm时，1+1=2，所以不能构成三角形；
当腰为2cm时，1+2＞2，所以能构成三角形，周长是：1+2+2=5
（cm）．
故答案为：5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知
没有 明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应
验证各种情况是否能构成三角形进行解答 ，这点非常重要，也是解题
的关键．

12．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B= 20° ．
考点： 直角三角形的性质．
分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠C=Rt∠，∠A=70°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣70°=20°．
故答案为：20°．
点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟
记性质是解题的关键．

13．一个等腰三角形底边上的高、 底边上的中线 和顶角的 平
分线 互相重合．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解答： 解：一个等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的
平分线互相重合．
故答案为底边上的中线，
点评： 本题考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

14．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一
个条件是 ∠ACB=∠DBC（或AB=CD） ．

考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适
合的条件即可．
解答： 解：∵AC=BD，BC=BC，
∴可添加∠ACB=∠DBC或AB=CD分别利用SAS，SSS判定△
ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB=∠DBC（或AB=CD）．

点评： 本 题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的
一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL．添加时注意：AAA、SSA
不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法
选择条件是正确解答本题的关键．

15．如图，把一副三角板按如 图所示放置，已知∠A=45°，∠E=30°，
则两条斜边相交所成的钝角∠AOE的度数为 165 度．

考点： 三角形的外角性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
先求出∠EBO的度数，然后再求∠AOE．
解答： 解：∵∠A=45°，∠E=30° ，
∴∠EBO=∠A+∠C=45°+90°=135°，
∠AOE=∠EBO+∠E=135°+30°=165°．
故答案为：165．
点评： 本题主要考查了三角形的外角性质，是基础题，需要熟练
掌握．

16．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△
D′O′C′≌△DOC，所以∠D ′O′C′=∠DOC．由这种作图方法得到的△
D′O′C′和△DOC全等的依据是 SSS （写出全等判定方法的简写）．

考点： 全等三角形的判定；作图—基本作图．
专题： 常规题型．
分析： 利用基本 作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可
利用“SSS”判断△D′O′C′≌ △DOC，然后根据全等三角形的性质得到
角相等．
解答： 解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC，
所以∠D′O′C′=∠DOC．
故答案为“SSS”．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5 种判定方
法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应
相等，则找它们的 夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找
一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一 角，则找另一
组角，或找这个角的另一组对应邻边．

17．如图， 点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且
PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面 积是 30 cm2．

考点： 角平分线的性质．
专题：
分析： 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC

的距离 等于5，从而求得△APC的面积．
解答： 解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=5cm，
∴点P到AC的距离等于5cm，
∵AC=12cm，∴△APC的面积=12×5÷2=30cm2，
故答案为30．

点评： 本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中．

18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直
线上，且CG=C D，DF=DE，则∠E= 15 度．

考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性
质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰
三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．

故答案为：15．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等
腰三角形的性质，难度适中．

三、解答题（共38分）
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是 底边BC上的高线，
若AB=10，BC=12，求AD的长．

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理
求出AD的长即可．
解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=6．
由勾股定理得，AD= = =8．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，
两条直角 边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

20．先填空，后作图：
（1）到一个角的两边距离相等的点在它的 角平分线 上；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的 垂直平分线（或中垂线）
上；
（3）如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一

个菜市场，使它到两 个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的
距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置（不写作法， 保留作图痕
迹）．

考点： 作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分
线的性质．
分析： （1）根据角平分线的性质填空即可；
（2）根据线段垂直平分线定理填空即可；
（3）作 出∠ABC的角平分线BE，与线段CD的垂直平分线有
一交点就是菜市场的位置．
解答： 解：（1）角平分线；
（2）垂直平分线（或中垂线）；
（3）如图所示：点P就是菜市场的位置．

点评： 此题主要考查了作图与 应用作图，以及线段垂直平分线的
性质，关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．

21．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．

考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

专题： 证明题．
分析： 根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全
等三角形分别为：△AOB≌△AOD，
△COB≌△COD，△ABC≌△ADC．
解答： （1）解：图中有三对全 等三角形：△AOB≌△AOD，△
COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（3分）
（2）证明△ABC≌△ADC．
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．（6分）
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全 等的
一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不 能判定两个三角形全等，判定两个三角形全
等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是 两边的
夹角．

22．已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求
证：∠APE=60°．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 证明题．

分析： 先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，故可得 出∠BAD=
∠EBC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答： 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°．
点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形
的判定定理是解答此题的关键．

23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请
你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”
或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答
过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，< br>且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写
出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角
形的判 定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．
分析： （1）根据等边三角形 的性质和三角形的内角和定理求出
∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB= 30°，推出
DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即
可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条
件的CD即可．
解答： 解：（1）答案为：=．
（2）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
AB=BC=AC，

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（3）解：分为四种情况：
如图1：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形 斜边的

中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．
如图2，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ = ，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1；
如图3，∵∠EC D＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于
120°，否则△EDC不符合三角形内角 和定理，
∴此时不存在EC=ED；
如图4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．

点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定 ，三角形的内角
和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运
用这些性质 进行推理是解此题的关键．

初二数学期中考试试卷带答案
A． 第1块 B． 第2块 C． 第3块 D． 第4块
考点： 全等三角形的应用．
分析： 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进
行验证．
解答： 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个
证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条
件，是符合题意的．
故选B．
点评： 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、H L．

6．下列命题的逆命题是真命题的是（）
A． 直角都相等 B． 等边三角形是锐角三角形
C． 相等的角是对顶角 D． 全等三角形的对应角相等
考点： 命题与定理．
分析： 先分别写出四个命题 的逆命题，然后根据直角的定义、等
边三角形的判定、对顶角的性质和全等三角形的判定分别进行判断．
解答： 解：A、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，此逆
命题为假命题，所以A选项错误；

B、等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角
形，此逆 命题为假命题，所以B选项错误；
C、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命
题，所以C选项正确；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角 形
全等，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选C．
点评： 本 题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命
题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是 已知事项，结论
是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；
有些命题 的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查
了逆命题．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边
AB上的中线，则图中与 CD的长度相等的线段有（）

A． AD与BD B． BD与BC C． AD与BC D． AD、BD
与BC
考点： 直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．菁
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分析： 根据直角三角形的性质可得CD=BD=AD，再结合∠A=30°，
可得BC= AB，可得结论．

解答： 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BC=BD=AD= AB，
故选D．
点评： 本题 主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于 斜边的一半是解题
的关键．

8．如图是中国共产主义青年团团旗上 的图案，点A、B、C、D、
E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A． 180° B． 150° C． 135° D． 120°
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
专题： 压轴题．
分析： 根据点A、B、C、D、E五等分圆可求出每条弧的度数，
再根据圆周角定理即可得出答案．
解答： 解：∵点A、B、C、D、E五等分圆，
∴ = = = = = =72°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
∵∠ADB= = ×72°=36°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°．
故选A．
点评： 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，能根据题意得出每

条弧的度数是解答此题的关键．

9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）
A． 两个锐角对应相等
B． 一条边和一个锐角对应相等
C． 两条直角边对应相等
D． 一条直角边和一条斜边对应相等
考点： 直角三角形全等的判定．
分析： 直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS ，AAS，
做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
解答： 解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符
合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定ASA，故本选项不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项不符合题意．
故选A．
点评： 本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、
SSA不能判定两 个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹 角．

10．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置< /p>

的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依
次是S1、 S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 14
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
分析： 如图，易证△CDE≌△ABC ，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，
同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S 4=1+3=4．
解答： 解：∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，
同理可证FG2+LK2=HL2=1，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．
故选A．

点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运
用，本题中证明AB2+DE2=DE2+C D2=CE2是解题的关键．

二、填空题（每小题4分，共32分）
11．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为2cm，它的周长是 5
cm．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给 出等腰三角形有两条边长为1cm和2cm，而没有
明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用 三角形的三边关
系验证能否组成三角形．
解答： 解：分两种情况：
当腰为1cm时，1+1=2，所以不能构成三角形；
当腰为2cm时，1+2＞2，所以能构成三角形，周长是：1+2+2=5
（cm）．
故答案为：5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知
没有 明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应
验证各种情况是否能构成三角形进行解答 ，这点非常重要，也是解题
的关键．

12．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B= 20° ．
考点： 直角三角形的性质．
分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠C=Rt∠，∠A=70°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣70°=20°．
故答案为：20°．
点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟
记性质是解题的关键．

13．一个等腰三角形底边上的高、 底边上的中线 和顶角的 平
分线 互相重合．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解答： 解：一个等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的
平分线互相重合．
故答案为底边上的中线，
点评： 本题考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

14．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一
个条件是 ∠ACB=∠DBC（或AB=CD） ．

考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适
合的条件即可．
解答： 解：∵AC=BD，BC=BC，
∴可添加∠ACB=∠DBC或AB=CD分别利用SAS，SSS判定△
ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB=∠DBC（或AB=CD）．

点评： 本 题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的
一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL．添加时注意：AAA、SSA
不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法
选择条件是正确解答本题的关键．

15．如图，把一副三角板按如 图所示放置，已知∠A=45°，∠E=30°，
则两条斜边相交所成的钝角∠AOE的度数为 165 度．

考点： 三角形的外角性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
先求出∠EBO的度数，然后再求∠AOE．
解答： 解：∵∠A=45°，∠E=30° ，
∴∠EBO=∠A+∠C=45°+90°=135°，
∠AOE=∠EBO+∠E=135°+30°=165°．
故答案为：165．
点评： 本题主要考查了三角形的外角性质，是基础题，需要熟练
掌握．

16．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△
D′O′C′≌△DOC，所以∠D ′O′C′=∠DOC．由这种作图方法得到的△
D′O′C′和△DOC全等的依据是 SSS （写出全等判定方法的简写）．

考点： 全等三角形的判定；作图—基本作图．
专题： 常规题型．
分析： 利用基本 作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可
利用“SSS”判断△D′O′C′≌ △DOC，然后根据全等三角形的性质得到
角相等．
解答： 解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC，
所以∠D′O′C′=∠DOC．
故答案为“SSS”．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5 种判定方
法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应
相等，则找它们的 夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找
一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一 角，则找另一
组角，或找这个角的另一组对应邻边．

17．如图， 点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且
PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面 积是 30 cm2．

考点： 角平分线的性质．
专题：
分析： 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC

的距离 等于5，从而求得△APC的面积．
解答： 解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=5cm，
∴点P到AC的距离等于5cm，
∵AC=12cm，∴△APC的面积=12×5÷2=30cm2，
故答案为30．

点评： 本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中．

18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直
线上，且CG=C D，DF=DE，则∠E= 15 度．

考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性
质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰
三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．

故答案为：15．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等
腰三角形的性质，难度适中．

三、解答题（共38分）
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是 底边BC上的高线，
若AB=10，BC=12，求AD的长．

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理
求出AD的长即可．
解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=6．
由勾股定理得，AD= = =8．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，
两条直角 边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

20．先填空，后作图：
（1）到一个角的两边距离相等的点在它的 角平分线 上；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的 垂直平分线（或中垂线）
上；
（3）如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一

个菜市场，使它到两 个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的
距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置（不写作法， 保留作图痕
迹）．

考点： 作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分
线的性质．
分析： （1）根据角平分线的性质填空即可；
（2）根据线段垂直平分线定理填空即可；
（3）作 出∠ABC的角平分线BE，与线段CD的垂直平分线有
一交点就是菜市场的位置．
解答： 解：（1）角平分线；
（2）垂直平分线（或中垂线）；
（3）如图所示：点P就是菜市场的位置．

点评： 此题主要考查了作图与 应用作图，以及线段垂直平分线的
性质，关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．

21．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．

考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

专题： 证明题．
分析： 根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全
等三角形分别为：△AOB≌△AOD，
△COB≌△COD，△ABC≌△ADC．
解答： （1）解：图中有三对全 等三角形：△AOB≌△AOD，△
COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（3分）
（2）证明△ABC≌△ADC．
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．（6分）
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全 等的
一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不 能判定两个三角形全等，判定两个三角形全
等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是 两边的
夹角．

22．已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求
证：∠APE=60°．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 证明题．

分析： 先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，故可得 出∠BAD=
∠EBC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答： 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°．
点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形
的判定定理是解答此题的关键．

23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请
你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”
或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答
过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，< br>且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写
出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角
形的判 定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．
分析： （1）根据等边三角形 的性质和三角形的内角和定理求出
∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB= 30°，推出
DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即
可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条
件的CD即可．
解答： 解：（1）答案为：=．
（2）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
AB=BC=AC，

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（3）解：分为四种情况：
如图1：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形 斜边的

中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．
如图2，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ = ，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1；
如图3，∵∠EC D＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于
120°，否则△EDC不符合三角形内角 和定理，
∴此时不存在EC=ED；
如图4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．

点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定 ，三角形的内角
和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运
用这些性质 进行推理是解此题的关键．