qq空间个性签名-综合治理工作计划

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1


一.填空题（每小题6分）
1.有关多元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导； （D）各偏导数连续，
它们的关系是怎样的？若用记号“
X

Y
”表 示由
X
可推得
Y
，则

(

（ ）

（ ）


(

)
)
.
22
xxyy
f(x,y)
2.函数在点
(1,1)
处的梯度为 ，该点处各方向导
数中的最大值是 .
3.设函数
F(x,y)
可微，则柱面
F(x,y)0
在点
(x ,y,z)
处的法向为 ，平面

F(x,y)0

曲线

z0
在点
(x,y)
处的切向量为 .
4.设函数
f(x,y)
连续，则二次积分
(A)

(C)


1
0


dx< br>
2

1
sinx
f(x,y)dy
.
1
0
dy



arcsiny
f (x,y)dx
；
；


(B)

(D)
dy



arcsiny
f(x,y)dx
；
.

dy


0
1

arc siny
f(x,y)dx

dy


0
1

arcsiny
f(x,y)dx
二.（6分）试就方程
F(x,y, z)0
可确定有连续偏导的函数
yy(z,x)
，正确叙述隐
函数存在定 理.
三.计算题（每小题8分）
1.设
zz(x,y)
是由方程f(xz,yz)0
所确定的隐函数，其中
f(u,v)
具有连续
zz
ff

0
的偏导数且
uv
，求
xy
的值.
2.设二元函数
f(u,v)
有连续的偏导数，且f
u
(1,0)f
v
(1,0)1
. 又函数
u u(x,y)
与

xaubv

22
vv(x,y)
由方程组

yaubv
（
ab0
）确定，求复合函 数
zf[u(x,y),v(x,y)]
z
的偏导数
x
z< br>y
(x,y)(a,a)
，
(x,y)(a,a)
.

3.已知曲面
z1xy
上的点
P
处的切平面 平行于平面
2x2yz1
，求点
P
处
22
的切平面方 程.
4计算二重积分：

sin
D
x
d
< br>3
y
，其中
D
是以直线
yx
，
y2和曲线
yx
为边界
的曲边三角形区域.
2222
(xy) dx(xy)dy

5.求曲线积分
L
的方向.
，
L
为曲线
y1|1x|
沿
x
从0增大到2
五.（10分 ）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于
平面的直径被该平面分割为 两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为
R
高为
h
的球冠的面 积与整个球面面积之比为
h:2R
.
六.（10分）设线材
L
的形 状为锥面曲线，其方程为：
xtcost
，
ytsint
，
z t
（
0t2

），其线密度

(x,y,z)z，试求
L
的质量.
七.（10分）求密度为

的均匀柱体xy1
，
0z1
，对位于点
M(0,0,2)
的
单位质点的引力.

22
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2


一.简答题（每小题8分）

xtcost

< br>y3sin2t



,3,1


z1cos3t
2


处的切线方程. 1.求曲线在点
xz
2.方程
xyzlnye1
在点
(0,1,1)
的某 邻域内可否确定导数连续的隐函数
zz(x,y)
或
yy(z,x)
或< br>xx(y,z)
？为什么？
3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：
x
2
y< br>2
z
2

2

2
1
2
b c
设椭球面
a
与平面
AxByCzD0
没有交点， 求椭球面与平面
之间的最小距离.
4.设函数
zf(x,y)
具有二阶连 续的偏导数，
yx
是
f
的一条等高线，若
3
f
y
(1,1)1
，求
f
x
(1,1)
.


2
u
二.（8分）设函数
f
具有二阶连续的偏导数，uf(xy,xy)
求
xy
.
三.（8分）设变量
x ,y,z
满足方程
zf(x,y)
及
g(x,y,z)0
，其中
f
与
g
均具
dy
有连续的偏导数，求
dx
.

xyz0,

2
xy10
在点
(0 ，1，1)
处的切线与法平面的方程.

四.（8分）求曲线
五.（8分）计算积分）
三角形区域.
y< br>e

dxdy
D
2
，其中
D
是顶点分别为
(0,0)
.
(1,1)
.
(0,1)
的
2222
(x2)(y2)9
上的最大值和最小值.
zxy
六 .（8分）求函数在圆
22
z10002xy
七.（14分）设一座山的方程为 ，
M(x,y)
是山脚
z0
即等量线
2x
2
y
2
1000
上的点.
（1）问：
z
在点
M(x,y)
处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；
（2）攀岩活动要山 脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点
M
使
得上述增长率最大， 请写出该点的坐标.
八.（14分） 设曲面

是双曲线
z4y2< br>（
z0
的一支）绕
z
轴旋转而成，曲
面上一点
M< br>处的切平面

与平面
xyz0
平行.
（1）写出曲面

的方程并求出点
M
的坐标；
（2）若< br>
是

.

和柱面
xy1
围成的立体， 求

的体积.

22
22

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1


一.填空题（每小题6分）
1.有关多元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C ）可偏导；（D）各偏导数连续，
它们的关系是怎样的？若用记号“
X

Y< br>”表示由
X
可推得
Y
，则

(

（ ）

（ ）


(

)
)
.
22
x xyy
f(x,y)
2.函数在点
(1,1)
处的梯度为 ，该点处各方向导
数中的最大值是 .
3.设函数
F(x,y)< br>可微，则柱面
F(x,y)0
在点
(x,y,z)
处的法向为 ，平面

F(x,y)0

曲线

z0
在点< br>(x,y)
处的切向量为 .
4.设函数
f(x,y)
连续，则二次积分
(A)

(C)


1
0


dx< br>
2

1
sinx
f(x,y)dy
.
1
0
dy



arcsiny
f (x,y)dx
；
；


(B)

(D)
dy



arcsiny
f(x,y)dx
；
.

dy


0
1

arc siny
f(x,y)dx

dy


0
1

arcsiny
f(x,y)dx
二.（6分）试就方程
F(x,y, z)0
可确定有连续偏导的函数
yy(z,x)
，正确叙述隐
函数存在定 理.
三.计算题（每小题8分）
1.设
zz(x,y)
是由方程f(xz,yz)0
所确定的隐函数，其中
f(u,v)
具有连续
zz
ff

0
的偏导数且
uv
，求
xy
的值.
2.设二元函数
f(u,v)
有连续的偏导数，且f
u
(1,0)f
v
(1,0)1
. 又函数
u u(x,y)
与

xaubv

22
vv(x,y)
由方程组

yaubv
（
ab0
）确定，求复合函 数
zf[u(x,y),v(x,y)]
z
的偏导数
x
z< br>y
(x,y)(a,a)
，
(x,y)(a,a)
.

3.已知曲面
z1xy
上的点
P
处的切平面 平行于平面
2x2yz1
，求点
P
处
22
的切平面方 程.
4计算二重积分：

sin
D
x
d
< br>3
y
，其中
D
是以直线
yx
，
y2和曲线
yx
为边界
的曲边三角形区域.
2222
(xy) dx(xy)dy

5.求曲线积分
L
的方向.
，
L
为曲线
y1|1x|
沿
x
从0增大到2
五.（10分 ）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于
平面的直径被该平面分割为 两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为
R
高为
h
的球冠的面 积与整个球面面积之比为
h:2R
.
六.（10分）设线材
L
的形 状为锥面曲线，其方程为：
xtcost
，
ytsint
，
z t
（
0t2

），其线密度

(x,y,z)z，试求
L
的质量.
七.（10分）求密度为

的均匀柱体xy1
，
0z1
，对位于点
M(0,0,2)
的
单位质点的引力.

22
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2


一.简答题（每小题8分）

xtcost

< br>y3sin2t



,3,1


z1cos3t
2


处的切线方程. 1.求曲线在点
xz
2.方程
xyzlnye1
在点
(0,1,1)
的某 邻域内可否确定导数连续的隐函数
zz(x,y)
或
yy(z,x)
或< br>xx(y,z)
？为什么？
3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：
x
2
y< br>2
z
2

2

2
1
2
b c
设椭球面
a
与平面
AxByCzD0
没有交点， 求椭球面与平面
之间的最小距离.
4.设函数
zf(x,y)
具有二阶连 续的偏导数，
yx
是
f
的一条等高线，若
3
f
y
(1,1)1
，求
f
x
(1,1)
.


2
u
二.（8分）设函数
f
具有二阶连续的偏导数，uf(xy,xy)
求
xy
.
三.（8分）设变量
x ,y,z
满足方程
zf(x,y)
及
g(x,y,z)0
，其中
f
与
g
均具
dy
有连续的偏导数，求
dx
.

xyz0,

2
xy10
在点
(0 ，1，1)
处的切线与法平面的方程.

四.（8分）求曲线
五.（8分）计算积分）
三角形区域.
y< br>e

dxdy
D
2
，其中
D
是顶点分别为
(0,0)
.
(1,1)
.
(0,1)
的
2222
(x2)(y2)9
上的最大值和最小值.
zxy
六 .（8分）求函数在圆
22
z10002xy
七.（14分）设一座山的方程为 ，
M(x,y)
是山脚
z0
即等量线
2x
2
y
2
1000
上的点.
（1）问：
z
在点
M(x,y)
处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；
（2）攀岩活动要山 脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点
M
使
得上述增长率最大， 请写出该点的坐标.
八.（14分） 设曲面

是双曲线
z4y2< br>（
z0
的一支）绕
z
轴旋转而成，曲
面上一点
M< br>处的切平面

与平面
xyz0
平行.
（1）写出曲面

的方程并求出点
M
的坐标；
（2）若< br>
是

.

和柱面
xy1
围成的立体， 求

的体积.

22
22