乙
甲
换
换
不换
换
（3，2）
（3，1）
（1，2）甲
换
乙
换
不换
换
（3，2）
（3，1）
（1，2）
不换
不换
乙
乙
不换
（1，3）
（换， {不换，换})对局
（1，3）
（换，{不换，不换})对局
不换
乙
甲
换
换
不换
换
（3，2）
（3，1）
（1，2）< br>（1，3）
甲
换
乙
换
不换
换
（3，2）（3，1）
（1，2）
（1，3）
不换
不换
乙
不换乙
不换
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对局
乙
甲
换
换
不换
换
（3，2）
（3，1）
（1，2）
（1，3）
甲
换
乙
换
不换
换
（3，2）< br>（3，1）
（1，2）
（1，3）
不换
不换
乙
乙不换
不换
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换})对局
8 张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换})
方法2 ：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后
用§2介绍的划线 法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（换，{换，换})和（换，{换，不换})

乙

{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}

换
3，23，23，13，1

甲

不换
1，21，31，21，3

⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求 得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（3,2），
乙输甲1根火柴。

（3，2）
换
乙


换
甲
（3，1）
不换
∥

换

∥
∥
（1，2）
不换

乙
不换

（1，3）

15

2011级经济学专业（1-2班）
《博弈论》期中考试试卷（开卷）
班级 学号 姓名 成绩

题号
得分
一

二

三

四

五

总得分

答题要求：
1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；
2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分；
3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分；
4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。

一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态 博弈。问当a、b、c、d、f、g、h之间满足什么条
件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分）


博弈方2

LR

U
a，bc，d

博弈方1

e，fg ，h
D

参考答案：
1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）
2、对于博弈 方1，如果a＞e且c＞g，则U是相对于D的严格优势策略；如果a＜e且c＜g，
则D是相对于U的 严格优势策略；（3分）
3、对于博弈方2，如果b＞d且f＞h则L是相对于R的严格优势策略；如 果b＜d且f＜h，
则R是相对于L的严格优势策略。（3分）
4、上述两个博弈方各自有两 种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格
优势策略均衡：（12分）
1）如果a＞e且c＞g，b＞d且f＞h，严格优势策略均衡是（U，L）
2）如果a＞e且c＞g，b＜d且f＜h，严格优势策略均衡是（U，R）
3）如果a＜e且c＜g，b＞d且f＞h，严格优势策略均衡是（D，L）
4）如果a＜e且c＜g，b＜d且f＜h，严格优势策略均衡是（D，R）
（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分） 二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是
否克扣 工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，
工人不偷懒 老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知
道实际产出，这 些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈
属于哪种类型？请用支 付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈
的所有Nash均衡及博弈的结 果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用
支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求 按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分）
参考答案

1

（1）
①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分）
②该博弈的博弈树是：（2分）


（40，40）
克扣

老板

b
偷懒

不克扣
（100，
-
20）
工人

a
（-10，110）
克扣

老板
不偷懒

c
不克扣

（50，50）


③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash均衡（16分）
方法1：该博弈共有2×（2 ×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除
确定法求出该博弈的Nash均衡 （偷懒，{克扣，克扣})



（40，40）（40，40）


（100，-20）（100，-20）

（-10，110）（-10，110）

（50，50）（50，50）


（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局

（40，40）

（40，40）

（100，-20）
（100，-20）

（-10，110）
（-10，110）


（50，50）
（50，50）

（偷懒，{不克扣，克扣})对局
（偷懒，{不克扣，不克扣})对局



（40，40）（40，40）


（100，-20）（100，-20）

（-10，110）（-10，110）

（50，50）（50，50）


（不偷懒，{克扣，克扣})对局
（不偷懒，{克扣，不克扣})对局



2

（40，40）
（100，-20）
（-10，110）
（50，50）
（不偷懒，{不克扣，克扣})对局
（40，40）
（100，-2 0）
（-10，110）
（50，50）
（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后
用§2介 绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（偷懒，{克扣，克扣})

老板

{克扣，克扣}{克扣，不克扣}{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}

偷懒
40，4040，40100，-20100，-20

工人
不偷懒
-10，11050，50-10，11050，50


④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）

（40，40）

克扣
老板


b
偷懒
∥
不克扣
（100，
-
20）

工人

a
∥
（-10，110）
克扣

老板
不偷懒

c

∥
不克扣
（50，50）

（2）
①静态博弈、完全信息静态博弈 （2分）
②该博弈的支付矩阵是：（2分）
老板

克扣不克扣

40，40100，-20
偷懒

工人

50，50
不偷懒
-10，110

③用划线法可求出该博弈的Nash均衡是（偷懒，克扣） （2分）
（本题也可以用反应函数法来做）
老板
克扣不克扣
q 1-q
偷懒P
40，40
-10，110
100，-20
50，50
工人
不偷懒1-P

解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示
1）求期望支付函数

3

U
工人
=40 pq＋100p（1－q）－10（1－p）q＋50（1－p）（1－q）
=40pq＋100p－100pq－10q＋10pq＋50－50p－50q＋50pq
=50p－60q＋50

U
老板
=40pq－20p（1－q）＋110 （1－p）q＋50（1－p）（1－q）
=40pq－20p＋20pq＋110q－110pq＋50－50p－50q＋50pq
=60q－70p＋50
2）根据期望支付函数写出反应函数
p=1 q=[0,1]
q=1 p=[0,1]
3）作图

q

（1，1）
1




0
1
p

4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash均衡→（偷懒，克扣）
三、在一条狭窄的巷 子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选
择“冲过去”或者选择“避让”。 如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是
0。如果其中一人采取“冲过去”的策略 ，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果
对方不避让，那么他得到的支付是－36。请用 反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分）
参考答案
1、由所给条件可求得支付 矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash均衡
（避让，冲过去）、（冲过去，避 让）（2分）

乙

避让冲过去

0 ，00，9
避让

甲

9，0-36，-36
冲过去


2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分）

乙

避让冲过去
q 1-q

0，00，9

避让P



甲
冲过去1 -P
9，0-36，-36
u
甲
=9（1－p）q－36（1－p）（1－q ）
=9q－9pq－36＋36p＋36q－36pq
=－45pq＋36p＋45q－36

4

=－9p（5q－4）＋45q－36
u
乙
=9p（1－q）－36（1－p）（1－q）
=9p－9pq－36＋36p＋36q－36pq
=－45pq＋36q＋45p－36
=－9q（5p－4）＋45p－36
3、根据期望支付函数写出反应函数（2分）
甲的反应函数
p=0 当q＜0.8
p=[0，1] 当q＝0.8
p=1 当q＞0.8
乙的反应函数
q=0 当p＜0.8
q=[0，1] 当p＝0.8
q=1 当p＞0.8
4、根据反应函数画反应函数曲线（2分）







q
1
0.8
q
1
0.8
q
1
0.8
0
0.8
1p
0
0.81
p
0
0.8
1
p
5、反 应曲线的交点（0，0）、（1,1）、（0.8，0.8）→该博弈的混合策略Nash均衡（2分）
四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P，生产成本为零。如果两厂商都只能
要么生 产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20分）
参考答案
1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）
由于假定生产成本为零，所以利润π=TR－TC= TR
2
π=TR=PQ =（a－Q）Q=aQ－Q

令π′=0；即a－2Q=0 → Q=a2 →所以q
甲
=a4，q
乙
=a4
∵Q=12－P ∴P=a－Q=a－a2=a2
2
π
甲
= Pq
甲
=a2×a4=a
8
2
π
乙
= Pq
乙
=a2×a4=a
8
2）古诺产量和利润的计算（5分）
根据已知条件P=a－Q=a－q
1
－q
2
；c=0
所以 π
甲
=Pq
1
=（a－q
1
－q
2
）q< br>1

π
乙
=Pq
2
=（a－q
1
－ q
2
）q
2

令π
甲
′= a－2q
1
－q
2
=0
π
乙
′=a－q
1
－2q
2
=0
2aa
可求得q
1
=a3 q
2
=a3 →Q=q
1
＋q
2
= →P=a－Q=
33
aaa
π
甲
=Pq
1
=
× =
339
2

5

aaa
π
乙
=Pq
2
=
× =
339
aaaa5a
3）如果一厂商生产垄断产量的一半 ，另一方生产古诺产量 →P=a－Q=a－（ ＋ ）=
434312
5aa5a
前者利润= × =
12448
5aa5a
后者利润= × =
12336
（5分）
4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：







a4
a4
甲
a3
2
2
2乙
a3
a
2
8，a
2
8
5a
2
36，5a
2
48
5a
2
48，5a
2
36a
2
9，a
2
9
垄断产量一半为a4；古诺产量为a3
1515a5a5aa
∵ =0.125， ≈0.139； ≈0.111， ≈0.104→ ＜ , ＜
836948836489
aa
∴两厂商垄断产量的一半 都是相对于古诺产量 的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash
43
aaa
均衡， 也是严格优势策略均衡，是（ ， ），这个Nash均衡的双方的支付 ，显然不如双方都
339
aa
采用 的支付 ，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈
48
（5分）
五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝 下放着3张卡片，分
别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着 的数字（但每
人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片， 如果甲
选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一< br>切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。试把这个游戏表达为序
贯 博弈，并求出Nash均衡和博弈的结果。（20分）
参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）
1、甲取到3，乙取到1
⑴该博弈的博弈树是：
（1，2）
换
乙


换
甲
（1，3）
不换


换
（3，2）
不换

乙

不换
（3，1）
⑵求该博弈的Nash均衡
方法1：该博弈共有2×（2× 2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排
除确定法求出该博弈的Nash均衡
2
2
2222

6

乙
甲
换
换
不换
换
（1，2）
（ 1，3）
（3，2）
（3，1）
甲
换
乙
换
不换换
（1，2）
（1，3）
（3，2）
（3，1）
不换
不 换
乙
乙
不换
不换
（换，{换，换})对局
乙
甲换
换
不换
换
（换，{换，不换})对局
换
不换
换
（1，2）
（1，3）
（3，2）
（3，1）
甲
换
乙
（1，2）
（1，3）
（3，2）
（3，1）
不换
不换
乙
乙
不换
不换
（换，{不换，换})对局
（换，{不换，不 换})对局
乙
甲
换
换
不换
换
（1，2）
（ 1，3）
（3，2）
（3，1）
甲
换
乙
换
不换换
（1，2）
（1，3）
（3，2）
（3，1）
不换
不 换
乙
不换
乙
不换
（不换，{换，换})对局
乙
甲< br>换
换
不换
换
（不换，{换，不换})对局
乙
甲
换
换
不换
换
（1，2）
（1，3）
（3，2）
（ 3，1）
（1，2）
（1，3）
（3，2）
（3，1）
不换
不换
乙
乙
不换
不换
（不换，{不换，换})对局
（不换，{ 不换，不换})对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，{换，换})和（不换 ，{不换，换})；
博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成 矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后
用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，
换})
乙

{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}


换
1，21，21，31，3
甲

不换
3，23，13，23，1


7

⑶ 该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（3,2），
乙 输甲1根火柴。


（1，2）
换
乙
∥

换
∥

甲
（1，3）
不换

换
（3，2）
不换

乙

不换
∥
（3，1）


2、甲取到3，乙取到2
⑴该博弈的博弈树是：

（2，1）
换

乙

换
甲
（2，3）
不换

换

（3，1）
不换

乙
不换

（3，2）


⑵求该博弈的Nash均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合； 用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排
除确定法求出该博弈的Nash均衡


（2，1）
（2，1）
换

换
乙
乙
换
换
甲
甲
（2，3）
不换
（2，3）
不换
换

换
（3，1）
（3，1）
不换
不换

乙
乙
不换
不换

（3，2）
（3，2）

（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局

（2，1）
（2，1）

换
换
乙
乙
换
换
甲
甲
（2，3）
不换
（2，3）
不换

换
换
（3，1）
（3，1）
不换
不换

乙
乙
不换
不换

（3，2）
（3，2）

（换，{不换，不换})对局
（换，{不换，换})对局



8

乙
甲
换
换
不换
换
（2，1）
（2，3）< br>（3，1）
（3，2）
甲
换
乙
换
不换
换（2，1）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
不换
不换
乙
不换
乙
不换
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对 局
乙
甲
换
换
不换
换
（2，1）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
甲
换
乙
换
不换
换< br>（2，1）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
不换
不换
乙
乙
不换
不换
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换 })对局
8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，{换，不换})和（不换，{不换 ，换})；
博弈的结果是（不换，不换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵 式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后
用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡 是（不换，{换，换})和（不换，{不换，
不换})
乙

{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}

换

2，12，12，32，3
甲

不换
3，13，23，13，2


⑶该博弈的结果：用倒推法（剪 枝法）可求得该博弈的结果是（不换，不换），得到的支付是
（3,2），乙输甲1根火柴。


（2，1）
换
乙
∥

换
∥

甲
（2，3）
不换

换
∥
（3，1）
不换

乙

不换
（3，2）



3、甲取到2，乙取到1
⑴该博弈的博弈树是：



9

乙
甲
换
换
不换
换
（1，3）
（1，2）
（2，3）
（2， 1）
不换
乙
不换
⑵求该博弈的Nash均衡
方法1：该博弈共有2 ×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头
排除确定法求出该博弈的Nas h均衡
（1，3）
（1，3）

换
换
乙
乙

换
换
甲
甲
（ 1，2）
不换
（1，2）
不换

换
换
（2，3）
（2，3）

不换
不换
乙
乙

不换
不换
（2，1）
（2，1）

（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局


（1，3）
（1，3）

换
换
乙
乙
换
换
甲
甲
（1，2）
不换
（1，2）
不换
换
换
（2，3）
（2，3）

不换
不换
乙

乙
不换
不换
（2，1）
（2，1）

（换，{不换，不换})对局
（换，{不换，换})对局



（1，3）
（1，3）
换
换
乙
乙

换
换

甲
甲
（1，2）
不换
（1，2）
不换

换
换
（2，3）
（2，3）
不换
不换

乙
乙
不换
不换

（2，1）
（2，1）
（不换，{换，不换})对局

（不换，{换，换})对局



（1，3）
（1，3）
换
换
乙
乙

换
换

甲
（1，2）
不换
（1，2）
不换

换
换
（2，3）
（2，3）
不换
不换

乙
乙
不换
不换

（2，1）
（2，1）

（不换，{不换，不换})对局
（不换，{不换，换})对局


10

8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，{换，换} )和（不换，{不换，换})；
博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯 博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后
用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博 弈的Nash均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，
换})
乙

{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}

换

1，31，31，21，2
甲

不换
2，32，12，32，1


⑶该博弈的结果：用倒推法（剪 枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（2,3），
甲输乙1根火柴。


（1，3）
换
乙

换
∥

甲
（1，2）
不换
∥

换
（2，3）
不换

乙

不换
∥
（2，1）


4、甲取到2，乙取到3
⑴该博弈的博弈树是：

（3，1）

换
乙

换

甲
（3，2）
不换

换
（2，1）
不换

乙

不换
（2，3）


⑵求该博弈的Nash均衡
方法1： 该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头
排除确定法求出该 博弈的Nash均衡


（3，1）
（3，1）
换
换
乙
乙

换
换
甲
甲
（3，2）

不换
（3，2）
不换

换
换
（2，1）
（2，1）
不换
不换

乙
乙
不换
不换
（2，3）

（2，3）
（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局


11

乙
甲
换
换
不换
换
（3，1）
（3，2）
（2，1）甲
换
乙
换
不换
换
（3，1）
（3，2）
（2，1）
不换
不换
乙
乙
不换
（2，3）
（换， {不换，换})对局
（2，3）
（换，{不换，不换})对局
不换
乙
甲
换
换
不换
换
（3，1）
（3，2）
（2，1）< br>（2，3）
甲
换
乙
换
不换
换
（3，1）（3，2）
（2，1）
（2，3）
不换
不换
乙
不换乙
不换
（不换，{换，换})对局
（不换，{换，不换})对局
乙
甲
换
换
不换
换
（3，1）
（3，2）
（2，1）
（2，3）
甲
换
乙
换
不换
换
（3，1）< br>（3，2）
（2，1）
（2，3）
不换
不换
乙
乙不换
不换
（不换，{不换，换})对局
（不换，{不换，不换})对局
8 张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（换，{不换，换})和（换，{不换，不换})；
博弈的结果是（换，不换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（ 正规型表示的博弈），然后
用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（换，{不换 ，换})和（换，{不换，不
换})
乙

{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}


换
3，13，13，23，2
甲

不换
2，12，32，12，3


⑶该博弈的结果：用倒推法（剪 枝法）可求得该博弈的结果是（换，不换），得到的支付是（3,2），
乙输甲1根火柴。

（3，1）
换
乙
∥

换

甲
（3，2）
不换

换
∥
∥
（2，1）
不换

乙

不换
（2，3）

12

5、甲取到1，乙取到2
⑴该博弈的博弈树是：








乙
甲
换
换
不换
换
（2，3）
（ 2，1）
（1，3）
（1，2）
不换
乙
不换
⑵求该博弈的N ash均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用 箭头
排除确定法求出该博弈的Nash均衡

（2，3）
（2，3）
换
换

乙
乙
换
换
甲
甲
（2，1）
不换
（2，1）
不换
换
换
（1，3）
（1，3）

不换
不换
乙
乙

不换
不换
（1，2）
（1，2）

（换，{换，不换})对局
（换，{换，换})对局


（2，3）
（2，3）

换
换
乙
乙
换
换
甲
甲
（2，1）
不换
（2，1）
不换
换
换
（1，3）

（1，3）
不换
不换

乙
乙
不换
不换
（1，2）
（1，2）

（换，{不换，不换})对局
（换，{不换，换})对局


（2，3）
（2，3）

换
换
乙
乙
换
换
甲
甲
（2，1）
不换
（2，1）
不换
换
换
（1，3）
（1，3）

不换
不换
乙
乙

不换
不换
（1，2）
（1，2）

（不换，{换，不换})对局
（不换，{换，换})对局


（2，3）
（2，3）

换
换
乙
乙
换
换
甲
甲
（2，1）
不换
（2，1）
不换
换
换
（1，3）
（1，3）

不换
不换
乙
乙

不换
不换
（1，2）
（1，2）

（换，{不换，换})对局
（换，{不换，不换})对局

13