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一、【常用的数量关系】
1、速度×时间=路程 ； 路程÷速度=时间 ； 路程÷时间=速度 2、单价×数量=总
价； 总价÷单价=数量 ； 总价÷数量=单价
3、工作效率×工作时间=工作总量； 工作总量÷工作效率=工作时间； 工作总量÷工
作时间=工作效率； 工作总量÷工作效率和=合作时间 4、加数+加数=和 和 -- -个
加数=另一个加数
5、被减数-减数=差 被减数-差=减数； 差+减数=被减数 6、因数×因数=积；
积÷一个因数=另一个因数
7、被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数
、【常用单位换算】
换算方法：
(1)高级单位→低级单位的方法：高级单位的数×进率
（2）低级单位→高级单位的方法：低级单位的数÷进率
（一）长度单位换算
1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米；1米=100厘米；1厘米=10毫米
（二）面积单位换算：
1平方千米=100公顷； 1公顷=10000平方米； 1平方米=100平方分米； 1平方
分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米
（三）体积（容积）单位换算
：1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米； 1立方分米=1升； 1立方厘
米=1毫升； 1立方米=1000升
（四）重量单位换算：
1吨=1000千克； 1千克=1000克； 1千克=1公斤 （五）人民币单位换算： 1元=10
角； 1角=10分； 1元=100分
（六）时间单位换算：
1世纪=100年； 1年=12月； 【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小
月（30天）有：4、6、9、11月】 【平年：2月有28天；全年有365天】； 【闰年：2月
有29天；全年有366天】 1日=24小时； 1时=60分=3600秒； 1分=60秒；
四、【基 本 概 念】
第一章 数和数的运算 一、概念 （一）整 数

1.自然数、负数和整数 （1）、自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，
3„„叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。
0是最小的自然数，没有最大的自然数。
（2）、负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。
(3)整 数 正整数（1、2、3、4、„0 零 (0既不是正数，也不是负数)
负整数（-1、-2、-3、-4„„）
（ 3、计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿„„都是计数单位。 每
相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位 ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除 ：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被
b整除，或者说b能整除a 。

（1）如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或b是因
数）。
（2）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
（4）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，
（5）个位上是0或5的数，都能被5整除，
（6）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，
（7）能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
（8）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。
100以内的 质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59 、
61、67、71、73、79、83、89、97。
（9）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
（10）1不是质数 也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约
数的个数的不同
分类，可分为质数、合数和1。

（11）几个数公有的约数，叫做这几个数的 公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最
大公约数。
（12）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
①1和任何自然数互质。
②相邻的两个自然数互质。
③两个不同的质数互质。
④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
⑤两个合数的公约数只有1时， 这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这
几个数两两互质。
⑥如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
⑦如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
（13）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍 数，其中最小的一个，叫做这几个数的最
小公倍数，
①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
③几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1 、小数的意义
（1）把整数1平均分成10份、100份、1000份„„ 得到的十分之几、百分之几、千分之几
„„ 可以用小
数表示。
（2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„
（3）一 个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点
左边的数叫做整数
部分，小数点右边的数叫做小数部分。
（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最高分数单位“十分
之一”和整数部
分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 （2）

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 （3）有
限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 （4）无限小数：小数部分的数
位是无限的小数，叫做无限小数。
（5）无限不循环小数：一 个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做
无限不循环小数。
（6）循 环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数
叫做循环小数。
（7）一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
（8）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
（9）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
（10）写循环小数的时 候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循
环节的首、末位数字上各
点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。 （三）分数
1、分数的意义
（1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
（2）在分数 里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”
平均分成多少份；
分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
（3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2、分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质
数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数 ：
表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。 百分数通常
用来表示。百分号是表示百分数的符号。

二、性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10 倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大
100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍 „„
2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小
100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍„„
3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系

2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3、被除数 相当于分子，除数相当于
分母。
2、分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 特征：已知单
位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
解题关键：准确判断单位“ 1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数
的意义正确列式。
3、分数除法应用题：
（1）求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
特征 ：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是
比较量，“另一
个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
解题关键：从问题入手，搞清 把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一
的量作比较，
谁就作被除数。
甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。
关系式：两数之差÷标准量
（2）已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。
解题关键：准确判断单位“ 1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，
或者根据分数除
法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。
4、百分率：例如
发芽率=发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率= 面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
、工程问题：是分数应用题的特例 ，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作
总量、工作效率和
工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数。
6、纳税：纳税就 是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的
一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 „„）的比率叫做税率。
7、利息：
存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利
率。 利息=本金×利率×时间 ， 税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税） 第二章 代数
初步知识 一、用字母表示数
1、用字母表示数的意义和作用
用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 （见公式） 二、
简易方程
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
（1）方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。

（2）方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知 数。
方程是一个等式，
在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立 。
2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。1、比的意义和性质
（1）比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的 数叫做比的后项。比
的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
（2）比的性质: 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做
比的基本性质。
（3）求比值和化简比
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或
分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比， 即
前、后项是互质的数。
（4）比例尺:
图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺:已知图上距离和比例尺求实际距离；
已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5） 按比例分配:在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方
法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质 （1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例: 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例
的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
3、正比例和反比例
（1）成正比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数
的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示: yx=k(一定）
（2）成反比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数
的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示: x×y=k(一定)
第三章 空间与图形
一、线和角
1、线
（1）直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
（2）射线：射线只有一个端点；长度无限。
（3）线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
（4）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
（5）垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条
直线 的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
2、角
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角的分类
锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角是180°。
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
二、平面图形
1、长方形特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
2、正方形特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
3、三角形特征：由三条 线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有
三条高。
（3） 分类 a.按角分：
锐角三角形 ：三个角都是锐角； 直角三角形，有一个角是直角； 钝角三角形：有一个角是
钝角。
b.按边分：
不等边三角形：三条边长度不相等； 等腰三角形：有两条边长度相等；等边三角形：三条
边长度都相等。
4、平行四边形
（1）特征：两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等。
5、梯形
（1）特征：只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。
6、圆
（1）圆的认识
①平面上的一种曲线图形。
②圆心：圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
③半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
④直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
⑤同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
⑥圆的大小由半径决定；圆的位置由圆心决定。
（2）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。
（3）圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

三、立体图形 （一）长方体
特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。相对的面面积相等，12条 棱相
对的4条棱长度相等。有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三
个面。长方 体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
（二）正方体
特征：①六个面都是正方形； ②六个面的面积相等； ③12条棱，棱长都相等；
④有8个顶点； ⑤正方体可以看作特殊的长方体。
（三）圆柱： 圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间
的距离叫做高 。
（四）圆锥 ： 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距
离是圆锥的高。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
（五）图形与方位 1、图形的变换
（1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定 的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形
的形状和大小。
（2）旋转： 在平面内，将一个图形绕一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称
为旋转。旋转不改
变图形的形状和大小。
（3）对称：两个图形，如果沿着某一条直线对折后，它们能完全重合 ，那么这两个图形成
轴对称；
（4）轴对称图形：如果某一个图形沿着某条直线对折后能完 全重合，那么这个图形就是轴
对称图形。
2、观察物体:我们在日常生活中接触到的大部分立 体图形不是对称的,从各个角度看到的形
状也是不同的。要用平面
图形表示出立体图形的形状，就需要从各个不同的方向去观察物体。
第四章 简单的统计 一、统计表
（一）意义：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表< br>格就叫做统计表。

（二）组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表 格外部分包括标的名称，单位说明
和制表日期；表格
内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
1、单式统计表：只含有一个项目的统计表。
2、复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
3、百分数统计表：不仅表明各统 计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分
比的统计表。
二、统计图
（一）意义：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 （二）分
类：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。
1、条形统计图：用一个单位长度表示 一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，
然后把这些直线按
照一定的顺序排列起来。
特点：很容易看出各种数量的多少。
2、折线统计图：用 一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点
用线段顺次连接起来。
特点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
3、扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
特点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
（三）可能性
1、 可能性：无论在什么情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；
2` 在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能” 发生的事件；
在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能” 会发生的事件；
2、可 能性的大小：在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件发
生的可能性较大；如 果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小。
3、游戏规则的公平性
公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等的。

一、【常用的数量关系】
1、速度×时间=路程 ； 路程÷速度=时间 ； 路程÷时间=速度 2、单价×数量=总
价； 总价÷单价=数量 ； 总价÷数量=单价
3、工作效率×工作时间=工作总量； 工作总量÷工作效率=工作时间； 工作总量÷工
作时间=工作效率； 工作总量÷工作效率和=合作时间 4、加数+加数=和 和 -- -个
加数=另一个加数
5、被减数-减数=差 被减数-差=减数； 差+减数=被减数 6、因数×因数=积；
积÷一个因数=另一个因数
7、被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数
、【常用单位换算】
换算方法：
(1)高级单位→低级单位的方法：高级单位的数×进率
（2）低级单位→高级单位的方法：低级单位的数÷进率
（一）长度单位换算
1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米；1米=100厘米；1厘米=10毫米
（二）面积单位换算：
1平方千米=100公顷； 1公顷=10000平方米； 1平方米=100平方分米； 1平方
分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米
（三）体积（容积）单位换算
：1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米； 1立方分米=1升； 1立方厘
米=1毫升； 1立方米=1000升
（四）重量单位换算：
1吨=1000千克； 1千克=1000克； 1千克=1公斤 （五）人民币单位换算： 1元=10
角； 1角=10分； 1元=100分
（六）时间单位换算：
1世纪=100年； 1年=12月； 【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小
月（30天）有：4、6、9、11月】 【平年：2月有28天；全年有365天】； 【闰年：2月
有29天；全年有366天】 1日=24小时； 1时=60分=3600秒； 1分=60秒；
四、【基 本 概 念】
第一章 数和数的运算 一、概念 （一）整 数

1.自然数、负数和整数 （1）、自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，
3„„叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。
0是最小的自然数，没有最大的自然数。
（2）、负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。
(3)整 数 正整数（1、2、3、4、„0 零 (0既不是正数，也不是负数)
负整数（-1、-2、-3、-4„„）
（ 3、计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿„„都是计数单位。 每
相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位 ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除 ：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被
b整除，或者说b能整除a 。

（1）如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或b是因
数）。
（2）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
（4）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，
（5）个位上是0或5的数，都能被5整除，
（6）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，
（7）能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
（8）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。
100以内的 质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59 、
61、67、71、73、79、83、89、97。
（9）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
（10）1不是质数 也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约
数的个数的不同
分类，可分为质数、合数和1。

（11）几个数公有的约数，叫做这几个数的 公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最
大公约数。
（12）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
①1和任何自然数互质。
②相邻的两个自然数互质。
③两个不同的质数互质。
④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
⑤两个合数的公约数只有1时， 这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这
几个数两两互质。
⑥如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
⑦如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
（13）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍 数，其中最小的一个，叫做这几个数的最
小公倍数，
①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
③几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1 、小数的意义
（1）把整数1平均分成10份、100份、1000份„„ 得到的十分之几、百分之几、千分之几
„„ 可以用小
数表示。
（2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„
（3）一 个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点
左边的数叫做整数
部分，小数点右边的数叫做小数部分。
（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最高分数单位“十分
之一”和整数部
分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 （2）

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 （3）有
限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 （4）无限小数：小数部分的数
位是无限的小数，叫做无限小数。
（5）无限不循环小数：一 个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做
无限不循环小数。
（6）循 环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数
叫做循环小数。
（7）一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
（8）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
（9）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
（10）写循环小数的时 候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循
环节的首、末位数字上各
点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。 （三）分数
1、分数的意义
（1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
（2）在分数 里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”
平均分成多少份；
分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
（3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2、分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质
数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数 ：
表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。 百分数通常
用来表示。百分号是表示百分数的符号。

二、性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10 倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大
100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍 „„
2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小
100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍„„
3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系

2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3、被除数 相当于分子，除数相当于
分母。
2、分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 特征：已知单
位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
解题关键：准确判断单位“ 1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数
的意义正确列式。
3、分数除法应用题：
（1）求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
特征 ：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是
比较量，“另一
个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
解题关键：从问题入手，搞清 把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一
的量作比较，
谁就作被除数。
甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。
关系式：两数之差÷标准量
（2）已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。
解题关键：准确判断单位“ 1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，
或者根据分数除
法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。
4、百分率：例如
发芽率=发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率= 面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
、工程问题：是分数应用题的特例 ，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作
总量、工作效率和
工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数。
6、纳税：纳税就 是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的
一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 „„）的比率叫做税率。
7、利息：
存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利
率。 利息=本金×利率×时间 ， 税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税） 第二章 代数
初步知识 一、用字母表示数
1、用字母表示数的意义和作用
用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 （见公式） 二、
简易方程
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
（1）方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。

（2）方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知 数。
方程是一个等式，
在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立 。
2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。1、比的意义和性质
（1）比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的 数叫做比的后项。比
的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
（2）比的性质: 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做
比的基本性质。
（3）求比值和化简比
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或
分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比， 即
前、后项是互质的数。
（4）比例尺:
图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺:已知图上距离和比例尺求实际距离；
已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5） 按比例分配:在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方
法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质 （1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例: 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例
的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
3、正比例和反比例
（1）成正比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数
的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示: yx=k(一定）
（2）成反比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数
的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示: x×y=k(一定)
第三章 空间与图形
一、线和角
1、线
（1）直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
（2）射线：射线只有一个端点；长度无限。
（3）线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
（4）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
（5）垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条
直线 的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
2、角
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角的分类
锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角是180°。
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
二、平面图形
1、长方形特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
2、正方形特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
3、三角形特征：由三条 线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有
三条高。
（3） 分类 a.按角分：
锐角三角形 ：三个角都是锐角； 直角三角形，有一个角是直角； 钝角三角形：有一个角是
钝角。
b.按边分：
不等边三角形：三条边长度不相等； 等腰三角形：有两条边长度相等；等边三角形：三条
边长度都相等。
4、平行四边形
（1）特征：两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等。
5、梯形
（1）特征：只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。
6、圆
（1）圆的认识
①平面上的一种曲线图形。
②圆心：圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
③半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
④直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
⑤同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
⑥圆的大小由半径决定；圆的位置由圆心决定。
（2）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。
（3）圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

三、立体图形 （一）长方体
特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。相对的面面积相等，12条 棱相
对的4条棱长度相等。有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三
个面。长方 体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
（二）正方体
特征：①六个面都是正方形； ②六个面的面积相等； ③12条棱，棱长都相等；
④有8个顶点； ⑤正方体可以看作特殊的长方体。
（三）圆柱： 圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间
的距离叫做高 。
（四）圆锥 ： 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距
离是圆锥的高。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
（五）图形与方位 1、图形的变换
（1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定 的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形
的形状和大小。
（2）旋转： 在平面内，将一个图形绕一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称
为旋转。旋转不改
变图形的形状和大小。
（3）对称：两个图形，如果沿着某一条直线对折后，它们能完全重合 ，那么这两个图形成
轴对称；
（4）轴对称图形：如果某一个图形沿着某条直线对折后能完 全重合，那么这个图形就是轴
对称图形。
2、观察物体:我们在日常生活中接触到的大部分立 体图形不是对称的,从各个角度看到的形
状也是不同的。要用平面
图形表示出立体图形的形状，就需要从各个不同的方向去观察物体。
第四章 简单的统计 一、统计表
（一）意义：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表< br>格就叫做统计表。

（二）组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表 格外部分包括标的名称，单位说明
和制表日期；表格
内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
1、单式统计表：只含有一个项目的统计表。
2、复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
3、百分数统计表：不仅表明各统 计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分
比的统计表。
二、统计图
（一）意义：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 （二）分
类：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。
1、条形统计图：用一个单位长度表示 一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，
然后把这些直线按
照一定的顺序排列起来。
特点：很容易看出各种数量的多少。
2、折线统计图：用 一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点
用线段顺次连接起来。
特点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
3、扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
特点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
（三）可能性
1、 可能性：无论在什么情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；
2` 在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能” 发生的事件；
在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能” 会发生的事件；
2、可 能性的大小：在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件发
生的可能性较大；如 果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小。
3、游戏规则的公平性
公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等的。