树人大学-上海税务局

六年级数学上册知识点整理
第一单元 位置
1、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。
2、数对可以表示物体的位置，也可以确定物体的位置。
3、数对表示位置的方法：先表示列 ，再表示行。用括
号把代表列和行的数字或字母括起来，再用逗号隔开。
例如：（7，9）表示 第七列第九行。
4、两个数对，前一个数相同，说明它们所表示物体位
置在同一列上。如：（ 2，4）和（2，7）都在第2列上。
5、两个数对，后一个数相同，说明它们所表示物体位
置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。
6、物体向左、右平移，行数不变，列数减去或加上平
移的各数。
物体向上、下平移，列数不变，行数减去或加上平
移的各数。
第二单元 分数乘法
（一）、分数乘法的意义。
1、分数乘整数：分数乘整数的意义与整数乘法的意
义相同，就是求几个相同加数和得简便运算。
55
例如： ×6，表示：6个 相加是多少，还表
1212
5
示 的6倍是多少。
12
2、一个数（小数、分数、整数）乘分数：一个数乘
分数的 意义与整数乘法的意义不相同，是表示这个数
的几分之几是多少。
55
例如：6× ，表示：6的 是多少。
1212
2525
× ，表示： 的 是多少。
712712
（二）、分数乘法的计算法则：
1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，
分母不变。
2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母
相乘的积作分母。
3、注意：能约 分的先约分，然后再乘，得数必须是最
简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化
成假 分数再进行计算。
（三）、分数大小的比较：
1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所 得的积小于
它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积
1
等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，
所得的积大于它本身。
2、 如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那
么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数< br>反而大。
（四）、解决实际问题。
1分数应用题一般解题步行骤。
（1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量
（3）根据线段图写出等量关系式：单位“1”的量×
对应分率=对应量。
（4）根据已知条件和问题列式解答。
2．乘法应用题有关注意概念。
（1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数
的几分之几是多少？
（2）找 单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，
注意“的”前“比”后的规则。当句子中的单位“1”< br>不明显时，把原来的量看做单位“1”。
（3）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分
之几，甲比乙少几分之几表示甲比乙少数占乙的几分
之几。
（4）在应用题中如：小 湖村去年水稻的亩产量是750
千克，今年水稻的亩产量是800千克，增产几分之几？
题目中 的“增产”是多的意思，那么谁比谁多，应该
是“多比少多”，“多”的是指800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克多几分之几，
结合应用题的表达方式，可以补充为“今 年水稻的亩
产量比去年水稻的亩产量多几分之几？”
（5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的
意思，“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”
的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意
思相近。
（6）当 关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句
补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙
多几分之几”、 “甲比乙少几分之几”的形式。
（7）乘法应用题中，单位“1”是已知的。 < br>（8）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属

相差比，始终遵循“凡是比 较，单位一致”的规则。
（9）．找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”
用乘法，未 知单位“1”用除法（注意：求单位“1”
是最后一步用除法，其余计算应在前）。 单位“1”
×分率=比较量 ； 比较量÷分率=单位“1”
（10）．单位“1”不 同的两个分率不能相加减，解应
用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分率的
单位“1 ”，然后再相加减。
（11）．单位“1”的特点： ①单位“1”为分母； ②
单位“1”为不变量。
（12）分率与量要对应。
①多的对应量对多的分率；
②少的对应量对少的分率；
③增加的对应量对增加的分率；
④减少的对应量对减少的分率；
⑤提高的对应量对提高的分率；
⑥降低的对应量对降低的分率；
⑦工作总量的对应量对工作总量的分率；
⑧工作效率的对应量对工作效率的分率；
⑨部分的对应量对部分的分率；
⑩总量的对应量对总量的分率；
例如：1、求一个数的几分之几是多少？（求一个数
的几分之几用乘法计算）
方法：单位“1”的数量×对应分率=对应数量。
2、分数的连乘。找到每一个分率的单位“1”。
（五）、倒数
1、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
2、求倒数的方法：把这个数写成分数形式，然
后将分子和分母交换位置。
3、0没有倒数，1的倒数是它本身。
4、真分数的倒数都大于它本身，假分数的倒数
等于或小于它本身。
注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数
不能称做倒数。
第三单元 分数除法
（一）、分数除法的意义：
分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的
2
意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，
求另一个因数的运算。
例如：
2
5
12

表示：已知两个数的积是 ,
5
1
45
4
2
与其中一个因数 ，求另一个因数是多少。
2
5
2
5
÷4表示已知两个数的积是 ,与其中一个
平均分成4因数4，求另一个因数是多少。还表示把
份，每份是多少。
（二）、分数除法的计算：
分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），
等于甲数乘乙数的倒数。
（三）比和比的应用：
1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的后
项不能为0。
2. 比值的意义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3．比值的表示方式：通常用分数、小数和整数表示。
4．比同除法的关系：比的前项相当于被除数，后项相
当于除数，比值相当于商.
5．比同分数的关系：比的前项相当于分子，比的后项
相当于分母，比值相当于分数的值。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时
除以相同的数（0除外），比值不变。
7. 化简比的方法：根据比的基本性质，把两个数的比
化成最简单的整数比，叫做化简比，比 的前项和后项
必须是互质的整数。
例如：（1） 16﹕20=（16÷4）﹕（20÷4）=4﹕5
5353
（2） ﹕ =( ×12)﹕（ ×12）=10﹕9
6464
（3）1.8﹕0.09 =（1.8×100）﹕（0.09×100）
=180﹕9=20﹕1
8．在工农业生产 中和日常生活中，常常需要把一个数
量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比
例分配 。
9．按比例分配的解题方法：
（1）先求出总的份数，再求出各部分数量占总数的
几分之几。
（2）用总数乘各部分的分率求出各部分的数量。
10．分数除法中，被除数与商的大小关系：
一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于

它本身。
一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于
或等于它本身。
一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于
它本身。
（四）解分数应用题注意事项：
1．找单位“1”的方法：从含有分率的句子中找，
“的”前或“比”后的规则。当句子中的单位“1”
不明显时，把原来的量看做单位“1”。
2．找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”用
乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单位“1 ”是
最后一步用除法，其余计算应在前）。
数量关系： 单位“1”×对应分率=对应数量；
对应量÷对应分率=单位“1”的量 3．单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题
时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分 率的单
位“1”，然后再相加减。
4．单位“1”的特点： ①单位“1”为分母； ②单
位“1”为不变量。
5.“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解
题方法：
（1）设单位“1”的量为x，列方程解答。
（2）对应数量÷对应分率=单位“1”的总数量。
6．工程问题：把工作总量看作单位“1”，
1

工作时间
工作时间=1÷工作效率
工作效率=
合作时间 = 工作总量÷工作效率之和
第四单元 圆
1、圆心：圆中心一点叫做圆心。用字母“O”来表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，
用字母“r”来表示。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直
径，用字母“d”表示。
2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的 直径都
相等。在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
3
在同一个圆内，直 径的长度是半径的2倍，半径的长
1
度是直径的一半。用字母表示为：d＝２r r ＝ d
2
4．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
5．圆的周长总是直径的 3倍多一些，这个比值是一个
固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周
率，用字母
表示。圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取


3. 14。世界上第一个把圆周率算出
来的人是我国的数学家祖冲之。
6．圆的周长公式：C=

d 或C=2

r
7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。
8．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成 的长方形
的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为
长方形面积=长×宽，所以圆的面 积=

r×r＝

ｒ²
9．圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ² 或者S=

（d

2）²
或者S=

（C




2）²
10． 在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于
正方形的边长。圆的面积和正方形面积的比是

：4。
在一个圆里画一个最大正方形的，圆的直径的长度等
于正方形的对角线的长度 ，正方形的面积=对角线×对
角线÷2=直径×直径÷2 。
11．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于
长方形的短边。
12．一个环 形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它
的面积是S=

R²－

ｒ² 或 S=

（R²－ｒ²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
13．环形的周长＝外圆周长＋内圆周长
14．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆周长公式：Ｃ＝

d

2＋d 或Ｃ＝

r＋2r
15．半圆面积＝圆面积

2 公式为：Ｓ＝

ｒ²

2
46．在同一个圆里，半径扩大或缩小多 少倍，直径和
周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以
上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径
和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
17．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积
比等于以上比的平方。

例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆
的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４： ９。
18．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加
２

ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加
第五单元 百分数
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几
的数，叫做百分数。百分数也叫 做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的
数量，无单位名称。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25
％。
2．百分数通常不写成分数形式，而 在原来分子后面加
上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大
于100，小于100或 等于100。
3．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，

同时在后面添上百分号；（加向右）
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小
数点向左移动两位。（去向左）
4．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不
尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约
分的要约成最简分数。
5、常用的分数、小数及百分数的互化

ａ厘米。
19．在同一圆中，圆 心角占圆周角的几分之几，它所
在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆
周长的几分 之几．
20．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积
最大，长方形的面积最小；
当长方形，正方形，圆的面积相等时，长方形的周长
最大，圆的周长最小。

n
21．扇形弧长公式：Ｌ＝
360
2

r 或
n

n
360


d
扇形的面积公式： S=
360

ｒ² （n为扇
形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）
22．轴对称图形：如果一个图形沿着一 条直线对折，
两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图
形。折痕所在的这条直线叫做对 称轴。
23．有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等
腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
24．直径所在的直线是圆的对称轴。
25、

倍表
1π
3.14
11π
34.54
21π
65.94 6
π 113.04 16π 803.84
2π
6.28
12π
37.68
22π
69.08 7
π 153.86 17π 907.46
3π
9.42
13π
40.82
23π
72.22 8
π 200.96 18π 1017.36
4π
12.56
14π
43.96
24π
75.36 9
π 254.34 19π 1133.54
22
22
22
22
20
2
π 1256
22
6π
18.84
16π
50.24
26π
81.64 11
π 379.94 21π 1384.74
22
7π
21.98
17π
53.38
27π
84.78 12
π 452.16 22π 1519.76
22
8π
25.12
18π
56.52
28π
87.92 13
π 530.66 23π 1661.06
22
9π
28.26
19π
59.66
29π
91.06 14
π 615.44 24π 1808.64
22
10π
31.4
20π
62.8
30π
94.2 15
π 706.5 25π 1962.5
5π
15.7
15π
47.1
25π
78.5 10
π 314
4
2
11
=0.5=50% =0.25=25%
24
31
=0.75=75% =0.2=20%
45
23
=0.4=40% =0.6=60%
55
41
=0.8=80% =0.125=12.5%
58
35
=0.375=37.5% =0.625=62.5%
88
71
=0.875=87.5% =0.1=10%
810
11
=0.0625=6.25% =0.05=5%
1620
11
=0.04=4% =0.025=2.5%
2540
11
=0.02=2% =0.01=1%

50100

6．百分率公式：求百分率就是求一个 数是另一个数的
百分之几。（算式要加×100%，包括浓度、利润率）
发芽种子数
试验种子总数
面粉的重量
小麦的重量
合格产品数
产品总数
9． 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 ？
部分量÷百分率=一个数（单位“1”）
10、浓度问题
发芽率100%

溶质（盐）的重量＋溶剂（水）的重量＝溶液（盐水）
的重量
溶质(盐)的重量÷溶液（盐水）的重量×100%＝浓度
出粉率100%

合格率100%
溶液（盐水）的重量×浓度＝溶质（盐）的重量

溶质（盐）的重量÷浓度＝溶液（盐水）的重量
出勤率
实际出勤人数
总人数
100%

最常用的是用方程解浓度问题

比如两种不同浓度的溶液混合，最常用的数量关系是
甲溶液质量×甲的浓度+乙溶液质量×乙的浓度
=总溶液质量×总的浓度
11． 折扣：商品的现价是原价的百分之几。几折就是

十分之几也就是百分之几十。
“八折”的含义是：现价是原价的80%；“八五折”的
出油率
油的重量
花 生仁

油菜子

的重量
盐的重量
盐水的重量
糖的重 量
糖水的重量
100%

100%
含盐率
含糖率= 100%
及格率
及格的人数
参加考试的总人数
命中的数量
打的总数 量
活了的棵数
栽的总棵数
正确的题数
做题的总数
大米的重量
100%
100%

含义是：现价是原价的85%
公式：现价 = 原价 × 折数（通常写成百分数形式）

利润 = 售价 - 成本
利润
利润率= ×100%
成本
成数：表示一个数是另一个数十分之几的数，叫做成

数。例如，今年的粮食产量比去年增产“二成”。 “二
成”即是十分之二，也就是今年的粮食产量比去年增
加了20%。
12．纳税： 纳税是根据国家各种税法的有关规定，按
照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国
家。 国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化
和国防安全。纳税的种类：将纳税主要分为增值税、消费税、营业税、个人所得税等几类。
13．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
14．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
15．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：一家饭店十月份的营业额约是30万元，如
5
命中率
成活率100%

正确率100%
稻谷的重量
7. 求一个数比另一个数多（或少）百分之几（另一个
出米率100%

数是单位“1”）
实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了
百分之几、 节约了百分之几等来表示增加、或减少的
幅度。
求甲比乙多百分之几 （甲-乙）÷乙
求乙比甲少百分之几 （甲-乙）÷甲
8．求一个数的百分之几是多少
一个数（单位“1”） ×百分率

果安营业额的5%缴纳营业税，这家饭店十月份应缴纳
营业税多少万元？ 16．储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行
或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家 建设，
也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些
收入。
17．存款的类型：存款分为活期、整存整取、零存整
取等方式。
18．本金：存入银行的钱叫做本金。
19．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。本息：
本金与利息的总和叫做本息。
20．国家规定，存款的利息要按5％（根据题目要求数
据计算）的税率纳税。国债的利息不纳税。
21．利率：利息与本金的比值叫做利率。
22．银行存款税后利息的计算公式：利息＝本金×利
率×时间×（１－5％）
23．银行存款利息的税金＝利息×5％ 或 ＝本金×
利率×时间×5％
第六单元 统计
扇形统计图的特点：可以清楚直观地反映各部份数量
同总量之间的关系。
折线统计图的特点：不但能够看出数量的多少，还可
以反映出数量增减变化的情况。
条形统计图的特点：能够清楚的看出数量的多少。
第七单元 数学广角
（一）鸡兔同笼假设法公式：
解法1：鸡的只数 = （兔的脚数×总只数－总脚数）
÷（兔的脚数－鸡的脚数）
兔的只数 = 总只数－鸡的只数
解法2：兔的只数 = 总脚数－鸡的脚数×总只数）
÷（兔的脚数－鸡的脚数）
鸡的只数 = 总只数－兔的只数
解法3：兔的只数 = 总脚数÷2—总头数
鸡的只数 = 总只数—兔的只数
（二）方程法：解设：兔子有х只，则鸡的只数是（总
补充一：图形计算公式
1 正方形：周长＝边长×4 面积=边长×边长
2 长方形：周长=(长+宽)×2 长=周长÷2－宽
面积=长×宽 长=面积÷宽
3 三角形：面积=底×高÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
4 平行四边形：面积=底×高 底=面积÷高
5 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2
高=面积 ×2÷(上底+下底)
上底=面积 ×2÷高－下底
6 圆形
(1)周长=直径×圆周率（
π
）=2×圆周率
π
×半径
(2)面积=半径×半径×圆周率（
π
）
7 正方体 表面积=棱长×棱长×6
体积=棱长×棱长×棱长
8 长方体 表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
体积=长×宽×高

补充二：其他应用题基本数量关系式
平均数问题：总数÷总份数＝平均数
和差问题：(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
和倍问题：和÷(倍数＋1)＝1份数 1份数×倍数＝几份数
差倍问题：差÷(倍数－1)＝1份数 1份数×倍数＝几份数
植树问题：（1）两端都要植树 棵数＝全长÷棵距＋1
⑵一端植树及封闭线路上植树 棵数＝全长÷棵距
⑶两端都不植树 棵数＝全长÷棵距－1
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
只数-х）。然后找出数量关系式列式即可。
6
年龄问题：年龄差永远不变

六年级数学上册知识点整理
第一单元 位置
1、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。
2、数对可以表示物体的位置，也可以确定物体的位置。
3、数对表示位置的方法：先表示列 ，再表示行。用括
号把代表列和行的数字或字母括起来，再用逗号隔开。
例如：（7，9）表示 第七列第九行。
4、两个数对，前一个数相同，说明它们所表示物体位
置在同一列上。如：（ 2，4）和（2，7）都在第2列上。
5、两个数对，后一个数相同，说明它们所表示物体位
置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。
6、物体向左、右平移，行数不变，列数减去或加上平
移的各数。
物体向上、下平移，列数不变，行数减去或加上平
移的各数。
第二单元 分数乘法
（一）、分数乘法的意义。
1、分数乘整数：分数乘整数的意义与整数乘法的意
义相同，就是求几个相同加数和得简便运算。
55
例如： ×6，表示：6个 相加是多少，还表
1212
5
示 的6倍是多少。
12
2、一个数（小数、分数、整数）乘分数：一个数乘
分数的 意义与整数乘法的意义不相同，是表示这个数
的几分之几是多少。
55
例如：6× ，表示：6的 是多少。
1212
2525
× ，表示： 的 是多少。
712712
（二）、分数乘法的计算法则：
1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，
分母不变。
2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母
相乘的积作分母。
3、注意：能约 分的先约分，然后再乘，得数必须是最
简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化
成假 分数再进行计算。
（三）、分数大小的比较：
1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所 得的积小于
它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积
1
等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，
所得的积大于它本身。
2、 如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那
么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数< br>反而大。
（四）、解决实际问题。
1分数应用题一般解题步行骤。
（1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量
（3）根据线段图写出等量关系式：单位“1”的量×
对应分率=对应量。
（4）根据已知条件和问题列式解答。
2．乘法应用题有关注意概念。
（1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数
的几分之几是多少？
（2）找 单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，
注意“的”前“比”后的规则。当句子中的单位“1”< br>不明显时，把原来的量看做单位“1”。
（3）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分
之几，甲比乙少几分之几表示甲比乙少数占乙的几分
之几。
（4）在应用题中如：小 湖村去年水稻的亩产量是750
千克，今年水稻的亩产量是800千克，增产几分之几？
题目中 的“增产”是多的意思，那么谁比谁多，应该
是“多比少多”，“多”的是指800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克多几分之几，
结合应用题的表达方式，可以补充为“今 年水稻的亩
产量比去年水稻的亩产量多几分之几？”
（5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的
意思，“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”
的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意
思相近。
（6）当 关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句
补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙
多几分之几”、 “甲比乙少几分之几”的形式。
（7）乘法应用题中，单位“1”是已知的。 < br>（8）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属

相差比，始终遵循“凡是比 较，单位一致”的规则。
（9）．找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”
用乘法，未 知单位“1”用除法（注意：求单位“1”
是最后一步用除法，其余计算应在前）。 单位“1”
×分率=比较量 ； 比较量÷分率=单位“1”
（10）．单位“1”不 同的两个分率不能相加减，解应
用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分率的
单位“1 ”，然后再相加减。
（11）．单位“1”的特点： ①单位“1”为分母； ②
单位“1”为不变量。
（12）分率与量要对应。
①多的对应量对多的分率；
②少的对应量对少的分率；
③增加的对应量对增加的分率；
④减少的对应量对减少的分率；
⑤提高的对应量对提高的分率；
⑥降低的对应量对降低的分率；
⑦工作总量的对应量对工作总量的分率；
⑧工作效率的对应量对工作效率的分率；
⑨部分的对应量对部分的分率；
⑩总量的对应量对总量的分率；
例如：1、求一个数的几分之几是多少？（求一个数
的几分之几用乘法计算）
方法：单位“1”的数量×对应分率=对应数量。
2、分数的连乘。找到每一个分率的单位“1”。
（五）、倒数
1、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
2、求倒数的方法：把这个数写成分数形式，然
后将分子和分母交换位置。
3、0没有倒数，1的倒数是它本身。
4、真分数的倒数都大于它本身，假分数的倒数
等于或小于它本身。
注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数
不能称做倒数。
第三单元 分数除法
（一）、分数除法的意义：
分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的
2
意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，
求另一个因数的运算。
例如：
2
5
12

表示：已知两个数的积是 ,
5
1
45
4
2
与其中一个因数 ，求另一个因数是多少。
2
5
2
5
÷4表示已知两个数的积是 ,与其中一个
平均分成4因数4，求另一个因数是多少。还表示把
份，每份是多少。
（二）、分数除法的计算：
分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），
等于甲数乘乙数的倒数。
（三）比和比的应用：
1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的后
项不能为0。
2. 比值的意义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3．比值的表示方式：通常用分数、小数和整数表示。
4．比同除法的关系：比的前项相当于被除数，后项相
当于除数，比值相当于商.
5．比同分数的关系：比的前项相当于分子，比的后项
相当于分母，比值相当于分数的值。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时
除以相同的数（0除外），比值不变。
7. 化简比的方法：根据比的基本性质，把两个数的比
化成最简单的整数比，叫做化简比，比 的前项和后项
必须是互质的整数。
例如：（1） 16﹕20=（16÷4）﹕（20÷4）=4﹕5
5353
（2） ﹕ =( ×12)﹕（ ×12）=10﹕9
6464
（3）1.8﹕0.09 =（1.8×100）﹕（0.09×100）
=180﹕9=20﹕1
8．在工农业生产 中和日常生活中，常常需要把一个数
量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比
例分配 。
9．按比例分配的解题方法：
（1）先求出总的份数，再求出各部分数量占总数的
几分之几。
（2）用总数乘各部分的分率求出各部分的数量。
10．分数除法中，被除数与商的大小关系：
一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于

它本身。
一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于
或等于它本身。
一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于
它本身。
（四）解分数应用题注意事项：
1．找单位“1”的方法：从含有分率的句子中找，
“的”前或“比”后的规则。当句子中的单位“1”
不明显时，把原来的量看做单位“1”。
2．找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”用
乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单位“1 ”是
最后一步用除法，其余计算应在前）。
数量关系： 单位“1”×对应分率=对应数量；
对应量÷对应分率=单位“1”的量 3．单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题
时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分 率的单
位“1”，然后再相加减。
4．单位“1”的特点： ①单位“1”为分母； ②单
位“1”为不变量。
5.“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解
题方法：
（1）设单位“1”的量为x，列方程解答。
（2）对应数量÷对应分率=单位“1”的总数量。
6．工程问题：把工作总量看作单位“1”，
1

工作时间
工作时间=1÷工作效率
工作效率=
合作时间 = 工作总量÷工作效率之和
第四单元 圆
1、圆心：圆中心一点叫做圆心。用字母“O”来表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，
用字母“r”来表示。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直
径，用字母“d”表示。
2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的 直径都
相等。在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
3
在同一个圆内，直 径的长度是半径的2倍，半径的长
1
度是直径的一半。用字母表示为：d＝２r r ＝ d
2
4．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
5．圆的周长总是直径的 3倍多一些，这个比值是一个
固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周
率，用字母
表示。圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取


3. 14。世界上第一个把圆周率算出
来的人是我国的数学家祖冲之。
6．圆的周长公式：C=

d 或C=2

r
7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。
8．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成 的长方形
的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为
长方形面积=长×宽，所以圆的面 积=

r×r＝

ｒ²
9．圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ² 或者S=

（d

2）²
或者S=

（C




2）²
10． 在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于
正方形的边长。圆的面积和正方形面积的比是

：4。
在一个圆里画一个最大正方形的，圆的直径的长度等
于正方形的对角线的长度 ，正方形的面积=对角线×对
角线÷2=直径×直径÷2 。
11．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于
长方形的短边。
12．一个环 形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它
的面积是S=

R²－

ｒ² 或 S=

（R²－ｒ²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
13．环形的周长＝外圆周长＋内圆周长
14．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆周长公式：Ｃ＝

d

2＋d 或Ｃ＝

r＋2r
15．半圆面积＝圆面积

2 公式为：Ｓ＝

ｒ²

2
46．在同一个圆里，半径扩大或缩小多 少倍，直径和
周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以
上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径
和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
17．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积
比等于以上比的平方。

例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆
的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４： ９。
18．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加
２

ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加
第五单元 百分数
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几
的数，叫做百分数。百分数也叫 做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的
数量，无单位名称。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25
％。
2．百分数通常不写成分数形式，而 在原来分子后面加
上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大
于100，小于100或 等于100。
3．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，

同时在后面添上百分号；（加向右）
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小
数点向左移动两位。（去向左）
4．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不
尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约
分的要约成最简分数。
5、常用的分数、小数及百分数的互化

ａ厘米。
19．在同一圆中，圆 心角占圆周角的几分之几，它所
在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆
周长的几分 之几．
20．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积
最大，长方形的面积最小；
当长方形，正方形，圆的面积相等时，长方形的周长
最大，圆的周长最小。

n
21．扇形弧长公式：Ｌ＝
360
2

r 或
n

n
360


d
扇形的面积公式： S=
360

ｒ² （n为扇
形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）
22．轴对称图形：如果一个图形沿着一 条直线对折，
两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图
形。折痕所在的这条直线叫做对 称轴。
23．有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等
腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
24．直径所在的直线是圆的对称轴。
25、

倍表
1π
3.14
11π
34.54
21π
65.94 6
π 113.04 16π 803.84
2π
6.28
12π
37.68
22π
69.08 7
π 153.86 17π 907.46
3π
9.42
13π
40.82
23π
72.22 8
π 200.96 18π 1017.36
4π
12.56
14π
43.96
24π
75.36 9
π 254.34 19π 1133.54
22
22
22
22
20
2
π 1256
22
6π
18.84
16π
50.24
26π
81.64 11
π 379.94 21π 1384.74
22
7π
21.98
17π
53.38
27π
84.78 12
π 452.16 22π 1519.76
22
8π
25.12
18π
56.52
28π
87.92 13
π 530.66 23π 1661.06
22
9π
28.26
19π
59.66
29π
91.06 14
π 615.44 24π 1808.64
22
10π
31.4
20π
62.8
30π
94.2 15
π 706.5 25π 1962.5
5π
15.7
15π
47.1
25π
78.5 10
π 314
4
2
11
=0.5=50% =0.25=25%
24
31
=0.75=75% =0.2=20%
45
23
=0.4=40% =0.6=60%
55
41
=0.8=80% =0.125=12.5%
58
35
=0.375=37.5% =0.625=62.5%
88
71
=0.875=87.5% =0.1=10%
810
11
=0.0625=6.25% =0.05=5%
1620
11
=0.04=4% =0.025=2.5%
2540
11
=0.02=2% =0.01=1%

50100

6．百分率公式：求百分率就是求一个 数是另一个数的
百分之几。（算式要加×100%，包括浓度、利润率）
发芽种子数
试验种子总数
面粉的重量
小麦的重量
合格产品数
产品总数
9． 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 ？
部分量÷百分率=一个数（单位“1”）
10、浓度问题
发芽率100%

溶质（盐）的重量＋溶剂（水）的重量＝溶液（盐水）
的重量
溶质(盐)的重量÷溶液（盐水）的重量×100%＝浓度
出粉率100%

合格率100%
溶液（盐水）的重量×浓度＝溶质（盐）的重量

溶质（盐）的重量÷浓度＝溶液（盐水）的重量
出勤率
实际出勤人数
总人数
100%

最常用的是用方程解浓度问题

比如两种不同浓度的溶液混合，最常用的数量关系是
甲溶液质量×甲的浓度+乙溶液质量×乙的浓度
=总溶液质量×总的浓度
11． 折扣：商品的现价是原价的百分之几。几折就是

十分之几也就是百分之几十。
“八折”的含义是：现价是原价的80%；“八五折”的
出油率
油的重量
花 生仁

油菜子

的重量
盐的重量
盐水的重量
糖的重 量
糖水的重量
100%

100%
含盐率
含糖率= 100%
及格率
及格的人数
参加考试的总人数
命中的数量
打的总数 量
活了的棵数
栽的总棵数
正确的题数
做题的总数
大米的重量
100%
100%

含义是：现价是原价的85%
公式：现价 = 原价 × 折数（通常写成百分数形式）

利润 = 售价 - 成本
利润
利润率= ×100%
成本
成数：表示一个数是另一个数十分之几的数，叫做成

数。例如，今年的粮食产量比去年增产“二成”。 “二
成”即是十分之二，也就是今年的粮食产量比去年增
加了20%。
12．纳税： 纳税是根据国家各种税法的有关规定，按
照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国
家。 国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化
和国防安全。纳税的种类：将纳税主要分为增值税、消费税、营业税、个人所得税等几类。
13．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
14．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
15．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：一家饭店十月份的营业额约是30万元，如
5
命中率
成活率100%

正确率100%
稻谷的重量
7. 求一个数比另一个数多（或少）百分之几（另一个
出米率100%

数是单位“1”）
实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了
百分之几、 节约了百分之几等来表示增加、或减少的
幅度。
求甲比乙多百分之几 （甲-乙）÷乙
求乙比甲少百分之几 （甲-乙）÷甲
8．求一个数的百分之几是多少
一个数（单位“1”） ×百分率

果安营业额的5%缴纳营业税，这家饭店十月份应缴纳
营业税多少万元？ 16．储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行
或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家 建设，
也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些
收入。
17．存款的类型：存款分为活期、整存整取、零存整
取等方式。
18．本金：存入银行的钱叫做本金。
19．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。本息：
本金与利息的总和叫做本息。
20．国家规定，存款的利息要按5％（根据题目要求数
据计算）的税率纳税。国债的利息不纳税。
21．利率：利息与本金的比值叫做利率。
22．银行存款税后利息的计算公式：利息＝本金×利
率×时间×（１－5％）
23．银行存款利息的税金＝利息×5％ 或 ＝本金×
利率×时间×5％
第六单元 统计
扇形统计图的特点：可以清楚直观地反映各部份数量
同总量之间的关系。
折线统计图的特点：不但能够看出数量的多少，还可
以反映出数量增减变化的情况。
条形统计图的特点：能够清楚的看出数量的多少。
第七单元 数学广角
（一）鸡兔同笼假设法公式：
解法1：鸡的只数 = （兔的脚数×总只数－总脚数）
÷（兔的脚数－鸡的脚数）
兔的只数 = 总只数－鸡的只数
解法2：兔的只数 = 总脚数－鸡的脚数×总只数）
÷（兔的脚数－鸡的脚数）
鸡的只数 = 总只数－兔的只数
解法3：兔的只数 = 总脚数÷2—总头数
鸡的只数 = 总只数—兔的只数
（二）方程法：解设：兔子有х只，则鸡的只数是（总
补充一：图形计算公式
1 正方形：周长＝边长×4 面积=边长×边长
2 长方形：周长=(长+宽)×2 长=周长÷2－宽
面积=长×宽 长=面积÷宽
3 三角形：面积=底×高÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
4 平行四边形：面积=底×高 底=面积÷高
5 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2
高=面积 ×2÷(上底+下底)
上底=面积 ×2÷高－下底
6 圆形
(1)周长=直径×圆周率（
π
）=2×圆周率
π
×半径
(2)面积=半径×半径×圆周率（
π
）
7 正方体 表面积=棱长×棱长×6
体积=棱长×棱长×棱长
8 长方体 表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
体积=长×宽×高

补充二：其他应用题基本数量关系式
平均数问题：总数÷总份数＝平均数
和差问题：(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
和倍问题：和÷(倍数＋1)＝1份数 1份数×倍数＝几份数
差倍问题：差÷(倍数－1)＝1份数 1份数×倍数＝几份数
植树问题：（1）两端都要植树 棵数＝全长÷棵距＋1
⑵一端植树及封闭线路上植树 棵数＝全长÷棵距
⑶两端都不植树 棵数＝全长÷棵距－1
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
只数-х）。然后找出数量关系式列式即可。
6
年龄问题：年龄差永远不变