聊城人事信息考试网-北京外国语大学分数线

数学模型B试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模 型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型
检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．； （3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；
（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1、某人 早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一
路 径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)
矚慫< br>润厲钐瘗睞枥庑赖。
证明:
记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t) ,g(t)在
[a,b]是连续函数。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，
则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0,
由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳 二人，由他们自己划行，随从们秘约，
在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何 乘船渡河的大权掌握在商人
们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)
残骛楼諍锩瀨濟溆 塹籟。
解:模型构成
记第k次渡河前此岸的商人数为
x
k
， 随从数为
y
k
，k=1，2,........，
x
k
，< br>y
k
=0，1，2，3。将二
维向量
s
k
=（
x
k
，
y
k
）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状 态集合，记做S。
S=

x,y

|x0,y0,1,2,3 ;x3,y0,1,2,3;xy1,2
桧猪訣锥。

（3分）
酽锕极額閉镇
记第k次渡船上的商人数为
u
k
随从数为v
k
将二维向量
d
k
=（
u
k
，v
k
）定义为决策。允许
决策集合记作D，由小船的容量可知

年12月）第1 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

D =

u,v

|1uvv,u,v0,1,2

（3分）
k
状态
s
k
随
d
k
的变化规律是：
s
k1
=
s
k
+

1

d
k
（3分）
模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）



三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）

13

1

14

试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）1、
A

1
。

13141



13

1

14

中各列归一化 答：
A

1

13141


374938



374948


< br>171918



1.248

4.328< br>

各行求和

1.373

=
w
2分 而
Aw

4.897

，（1分） 所以最大特征根为

0.569

1.328


1
3(Aw)
i
14.3284.8971.328



()3.123
2分
3
i1
w
i
31.248 1.3730.569
其一致性指标为： CI=


3
31

3.1233
0.061
2分
2

年12月）第2 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

CR=

CI0.061
0.1060.1
所以A不通过一致性检验。 2分
RI0.58
一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收 200元。
若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收
入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分)
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C
1
,每天每件产品贮存费用为C
2,
缺货损失费为C
3
，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（ 9分）
2、
謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C
3
，当t=T
1
时产品已用完
4.
生产周期为T，产量为Q (2分)
厦礴恳蹒
骈時盡继價骚。
模型建立
2
一周期总费用如下:
CC
1

C
2
T
1
Q

C
3
r(TT
1
)
(2分)
22
C
1
C
2
Q
2
C
3
(rTQ)
2
一周期平均费用为
f(T,Q)
(2分)

T2rT2rT
模型求解: 用微分法解得周期
T
产量
Q
2C
1
(C
2
C
3
)
(1分)
rC
2
C
3
2rC
1
C
3
(1分)
C
2
(C
2
C
3
)
4、人的 状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。
设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健 康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今
年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为 0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，
并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。
茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
解：状态
i1

健康

,i 2

患病

，i
3

死亡



0.8
0.18
0.02


依歇易得转移概 率阵为
P

0.65
0.25
0.1

2分

0
0
1



年12月）第3 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

记

n

a
1

n

,a
2
( n),a
3
(n)
， 则



n1< br>


(n)P
(n1,2,)
………… （1分）
马氏链是吸收链
。
（2分） 易是：
i3

死亡

是吸收状态
，
P


Q
R



O
I



Q


0.80.18



0.650.25



0.02


R

< br>
0.1




1
M
IQ

1



0.2
0.18


1

0.75
0.18

0.65
0.25





0.043

< br>
0.65
0.2




yMe1

0.043

0.93



0 .85



（3分）

由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为
930850
43
和
43
。
5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）
x

(t)rx(1(
x
2
N
))h

(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况
(2)如何获得最大持续产量
解: < br>(x)rx(1(
3x
2
令
F
x
N
)< br>2
)h
，
F

(x)r(1
N
2)

f(x)rx(1(
x
N
)
2
)h
的最大值点为
(
N2rN
3
,
3
)

当
h2rN3
时,无平衡点
娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
当
h2rN3
时,有两个平衡点
x
1
(N3)
和
x
2
(N3)
,
经过判断x
1
不稳定,x
2
稳定
妈羥为贍偾蛏练淨。
当
h2rN3
时,平衡点
x
0N3
,由
F

(x
0
)0
不能判断它稳定 性
数学模型B参考答案（电气05

年12月）第4 页（共5页）

1分）
（2分）
（1分）
（2分）
籟丛
（2分）
（


鹅

(2)为了获得最大持续产量,应使< br>xN3
且尽量
xN3
接近,但操作困难 （2分）

四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之 间的血药相互转移，转移速率与该室的血药
浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排 除的速率与该室的血药浓度成正
比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）
預頌圣鉉 儐歲龈讶骅籴。
解：假设
c
i
(t)
、
x
i(t)
和
V
i
分别表示第
i
室
(i1.2)
的血药浓度，药量和容积，
k
12
和k
21
是
两室 之间药物转移速率系数，
k
13
是从中心室（第1室）向体外排除的速率系
数 ……………3分
渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
则


1
(t) k
12
x
1
k
13
x
1
k21
x
2
f
0
(t)

x
……（ 1） ……………6分


x
2
(t)k
12x
1
k
21
x
2
（其中
f
0(t)
是给药速率） 及
x
i
(t)V
i
ci
(t)(2)

f
0
(t)
v
2

c(t)(kk)ckc

(3)
12 131212

1
v
1
v
1

于是：
…………4分
v

c

2
(t)
1
k
12
c
1
k
21
c
2

v
2


2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小 时后生产A产品2公斤，A产品可获
利30元公斤，或加工8小时可生产B产品3公斤，B产品可获利1 8元公斤，或加工6小时
可生产C产品4公斤，C产品可获利12元公斤，现每天可供加工的原料为60 桶，加工工时至
多为460小时，且A产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生 产计划？
请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。
铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。

答：设每天安排
x
1
桶原料生产A产品，
x
2< br>桶原料生产B产品，
x
3
桶原料生产C产品，则有：
maxz60x
1
54x
2
48x
3

2x
1
3x
2
4x
3
60

10x8x6x460

23
s.t.

1
2x
1
58


x
1
,x
2
, x
3
0


参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分

年12月）第5 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

数学模型B试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模 型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型
检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．； （3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；
（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1、某人 早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一
路 径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分)
矚慫< br>润厲钐瘗睞枥庑赖。
证明:
记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t) ,g(t)在
[a,b]是连续函数。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，
则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0,
由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳 二人，由他们自己划行，随从们秘约，
在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何 乘船渡河的大权掌握在商人
们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)
残骛楼諍锩瀨濟溆 塹籟。
解:模型构成
记第k次渡河前此岸的商人数为
x
k
， 随从数为
y
k
，k=1，2,........，
x
k
，< br>y
k
=0，1，2，3。将二
维向量
s
k
=（
x
k
，
y
k
）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状 态集合，记做S。
S=

x,y

|x0,y0,1,2,3 ;x3,y0,1,2,3;xy1,2
桧猪訣锥。

（3分）
酽锕极額閉镇
记第k次渡船上的商人数为
u
k
随从数为v
k
将二维向量
d
k
=（
u
k
，v
k
）定义为决策。允许
决策集合记作D，由小船的容量可知

年12月）第1 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

D =

u,v

|1uvv,u,v0,1,2

（3分）
k
状态
s
k
随
d
k
的变化规律是：
s
k1
=
s
k
+

1

d
k
（3分）
模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）



三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）

13

1

14

试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）1、
A

1
。

13141



13

1

14

中各列归一化 答：
A

1

13141


374938



374948


< br>171918



1.248

4.328< br>

各行求和

1.373

=
w
2分 而
Aw

4.897

，（1分） 所以最大特征根为

0.569

1.328


1
3(Aw)
i
14.3284.8971.328



()3.123
2分
3
i1
w
i
31.248 1.3730.569
其一致性指标为： CI=


3
31

3.1233
0.061
2分
2

年12月）第2 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

CR=

CI0.061
0.1060.1
所以A不通过一致性检验。 2分
RI0.58
一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收 200元。
若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收
入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分)
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C
1
,每天每件产品贮存费用为C
2,
缺货损失费为C
3
，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（ 9分）
2、
謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C
3
，当t=T
1
时产品已用完
4.
生产周期为T，产量为Q (2分)
厦礴恳蹒
骈時盡继價骚。
模型建立
2
一周期总费用如下:
CC
1

C
2
T
1
Q

C
3
r(TT
1
)
(2分)
22
C
1
C
2
Q
2
C
3
(rTQ)
2
一周期平均费用为
f(T,Q)
(2分)

T2rT2rT
模型求解: 用微分法解得周期
T
产量
Q
2C
1
(C
2
C
3
)
(1分)
rC
2
C
3
2rC
1
C
3
(1分)
C
2
(C
2
C
3
)
4、人的 状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。
设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健 康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今
年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为 0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，
并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。
茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
解：状态
i1

健康

,i 2

患病

，i
3

死亡



0.8
0.18
0.02


依歇易得转移概 率阵为
P

0.65
0.25
0.1

2分

0
0
1



年12月）第3 页（共5页） 数学模型B参考答案（电气05

记

n

a
1

n

,a
2
( n),a
3
(n)
， 则



n1< br>


(n)P
(n1,2,)
………… （1分）
马氏链是吸收链
。
（2分） 易是：
i3

死亡

是吸收状态
，
P


Q
R



O
I



Q


0.80.18



0.650.25



0.02


R

< br>
0.1




1
M
IQ

1



0.2
0.18


1

0.75
0.18

0.65
0.25





0.043

< br>
0.65
0.2




yMe1

0.043

0.93



0 .85



（3分）

由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为
930850
43
和
43
。
5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）
x

(t)rx(1(
x
2
N
))h

(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况
(2)如何获得最大持续产量
解: < br>(x)rx(1(
3x
2
令
F
x
N
)< br>2
)h
，
F

(x)r(1
N
2)

f(x)rx(1(
x
N
)
2
)h
的最大值点为
(
N2rN
3
,
3
)

当
h2rN3
时,无平衡点
娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
当
h2rN3
时,有两个平衡点
x
1
(N3)
和
x
2
(N3)
,
经过判断x
1
不稳定,x
2
稳定
妈羥为贍偾蛏练淨。
当
h2rN3
时,平衡点
x
0N3
,由
F

(x
0
)0
不能判断它稳定 性
数学模型B参考答案（电气05

年12月）第4 页（共5页）

1分）
（2分）
（1分）
（2分）
籟丛
（2分）
（


鹅

(2)为了获得最大持续产量,应使< br>xN3
且尽量
xN3
接近,但操作困难 （2分）

四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之 间的血药相互转移，转移速率与该室的血药
浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排 除的速率与该室的血药浓度成正
比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）
預頌圣鉉 儐歲龈讶骅籴。
解：假设
c
i
(t)
、
x
i(t)
和
V
i
分别表示第
i
室
(i1.2)
的血药浓度，药量和容积，
k
12
和k
21
是
两室 之间药物转移速率系数，
k
13
是从中心室（第1室）向体外排除的速率系
数 ……………3分
渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
则


1
(t) k
12
x
1
k
13
x
1
k21
x
2
f
0
(t)

x
……（ 1） ……………6分


x
2
(t)k
12x
1
k
21
x
2
（其中
f
0(t)
是给药速率） 及
x
i
(t)V
i
ci
(t)(2)

f
0
(t)
v
2

c(t)(kk)ckc

(3)
12 131212

1
v
1
v
1

于是：
…………4分
v

c

2
(t)
1
k
12
c
1
k
21
c
2

v
2


2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小 时后生产A产品2公斤，A产品可获
利30元公斤，或加工8小时可生产B产品3公斤，B产品可获利1 8元公斤，或加工6小时
可生产C产品4公斤，C产品可获利12元公斤，现每天可供加工的原料为60 桶，加工工时至
多为460小时，且A产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生 产计划？
请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。
铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。

答：设每天安排
x
1
桶原料生产A产品，
x
2< br>桶原料生产B产品，
x
3
桶原料生产C产品，则有：
maxz60x
1
54x
2
48x
3

2x
1
3x
2
4x
3
60

10x8x6x460

23
s.t.

1
2x
1
58


x
1
,x
2
, x
3
0


参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分

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