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逊逊老师数学课堂 六年级
第一讲

比赛中的推理

本讲中咱们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题，这些问题有各种不同的
形式：有分析 对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至有讨论进球数、
失球数的。不同类型的问题我 们都可能用图表法来处理。
例题1：
编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每 2个人都要赛1盘，
现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号 为6的
同学赛了几盘？
[分析]
为了让问题更加直观，我们可以用
6个点来分别表示这
6
个同学，比赛过的两个同学之
间就把对应的点用线连起来，标 出各自比赛的盘数，使抽象的问题变得直观。



练习1 A、B、 C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进
行友谊比赛，不同学校间只比赛1场， 比赛进行若干天后，A校的队长发现另外4支球
队赛过的场数依次为4、3、2、1。这时候A校足球队 已赛过多少场？



例题2
A、B、C、D、E、F六 年国家的足球队进行单循环比赛（每队都与其他
球队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛。已 知第一天B对D，第二天C对E，
第三天D对F，第四天B对C。那么第五天与A队比赛的是哪个队？
[
分析
]
题目的条件比较多，如何才能化繁为简呢？这种问题我们通常可以 运用列表法来分析。
如图，第二列从上到下依次表示
A
在
5
天分别遇 到的对手，第三列表示
B
在
5
天中遇到的对手，依此
类推，观察表格 ，这个表格中的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？


1
2
3
4
5


A





B
D


C

C

E

B

D
B

F


E

C



F


D


1

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练习2 五个国家足球队A、B、C、D、 E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一
队轮空。已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B 比赛，E轮空；第三天A与
E比赛；第四天A与C比赛；B与以的比赛在B与D的比赛之间进行，那么C 与E在哪
一天比赛？



例题3
甲、乙、丙、丁 四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定：
胜者得2分，平局各得1分，输者得0分。请问 ：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人
最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、 两并列第二，丁最后一名，
那么乙得了多少分？
[
分析
]
（
1
）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四人中挑出两人的方法数（四选二）；（
2< br>）
比赛的胜负情况有多少种可能？那么总分也有多少种可能呢？只要稍加考虑每场比赛双方得分之 和
就清楚了；（
3
）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不 能太大，也不能太
小，那么会是多少呢？



练习3 有A、 B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，比赛规定：
胜一场得2分，平局各得1分，负 一场得0分。全部比赛结束后，A、B两队的总分并列
第一名，以队第二名，D队第三名，C队最多得多 少分？



例题4
4支足球队进行单循环比赛，即每两队之 间都比赛一场，每场比赛胜者得
3分，负者得0分，平局各得1分。比赛结果：各队的总得份恰好是4个 连续的自然数。
总：输给第一名的队的总分是多少？
[
分析
]4
支 球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最小又是多少？由此咱们
可以推断出各队的得 分情况。



2

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练习4 甲、乙、丙、丁四个队举行单循环赛。规定：每场比赛胜者得3分，负者
得 0分，平局各得1分。已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总份
超过其他各队， 名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与两队平局。那么
丁队得了多少分？



选讲1
A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队
的比赛情况如下：

A
B
C
D
场数
3
2
2

胜
2
1
0

平
1
1
0

负
0
0
2

进球
2
4
3

失球
0
3
6

问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？
[
分析
]
对于整个表格来说，总进球数等于失球数，总胜场数应当等于总负场数，平局数为偶数 。
同时，表格中的
A
很特别，两胜一平却只进了两个球，这说明了什么？


选讲2
A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到六年级那位获得 云阳
县数学竞赛第一名的同学的情况：
A打听到的：姓李，是女同学，13岁，杏家湾小学；
B打听到的：姓张，是男同学，11岁，附小；
C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，杏家湾小学；
D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，外国语；
E打听到的：姓张，是男同学，12岁，杏家湾小学。
实际上，该同学的情况在上面都出现过 ，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，
那么这名同学应该是哪所学校的，今年多少岁，性别和姓名分 别是什么？


3

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作业
1．A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每出众 队都要比赛一场，已知A 、B、C
三队的成绩分别是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负，那么D队的成绩是什
么？


2．6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场。比赛规定：胜者得2分 ，平局各得
1分，输者得0分。请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？
（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？


3．六个的参加乒 乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，
没有平局。比赛结束时发现，有两人并 列第二名，两人并列第五名，那么第一名和第四
名各得了多少分？


4． 足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制。即任何两队
分别在主场和客场各比赛 一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分。在联
赛结束后按积分的高低排出名次。那么，在 积分校上第一名与第二名的积分差最多可达
多少分？


5．A、B、C、 D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情
况如下：

A
B
C
D
场数
3
3
2

胜
3
2
0

平
0
0
0

负
0
1
2

进球
3
4
0

失球
0
1
4

那么，D赛了几场？D所参与的各比场比赛的比分分别是什么？请填在上表中。
4

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第二讲

分数巧算

在学习了分数的加减乘除的基本方法后，这一讲我们来学习一些常见巧算 方法在分
数计算中的应用，通过巧算往往能使题目的计算过程变得简洁。分数的巧算主要是根据
凑整和抵消思想。
一、分组加减
如果分数的分母不同，我们需要先通分才能继续计算，但在 计算之前我们适当的分
组，把分母相同的分数放在一起算，就可以减少通分的次数，使计算变得简便。

例1
（÷(2-

)


12317
练习1

(3618)(2)

434320



例2
计算
11
(
23




122
)
+
(
1034

233
)
+
(
1045

3889
)
+…+
()

1091010
练习2

计算
123
(
234
812
)
+
(
934
712
)+
(
945
6121
)
+…+
()

9899



二、乘法分配律和提取公因数的运用
在整数计算中经常会用到提取公因数的方法，分数计算中，提取公因数也是一种
5

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常用的技巧。不过在分数计算中，公因数的样子 会更加多变，要找到它需要炼成一双
“火眼金睛”，多多留意观察。
例题3

计算

练习3

计算

313231
4
241


（1.27÷+4.19
1)2

544343
21



三、换元法
换元，指的 是用字母来代表一块或者一组算式，把版式当成一个整体来进行计算
的解题方法，换元的目的是让我们省 去很多不必要的计算，从而使计算过程得以简化。
当然，有时候不一定要用换元才能够省去计算，只要带 着这个想法考虑问题就行了。
例题4
计算


(


53533135579753
)
×
()
－()
×
()

79755331357975

练习4
计算
1111111
(1)
×
( )
－
(1)
×
()

234523456234562345


四、连分数问题
连分 数计算最重要的就是把分数线减少，其计算顺序是由短分数线开始算，每次算
完，分数线变少，形式变得 越来越简单。
例题5
（1）将下面连分数化简； （2）若下面等式成立，x等于多少？
1
5
4
1
1
3
1
2
6


1
1
2
1< br>1
x
1
4

8

11

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作业：
1．计算：
2152229398
(39)(2)

136212

37237513111311



3233765
24

(5134.5)

757512714





15
1104.521
7
2．计算：
3

80.51.5



3．计算：1.1111×1.9999－0.1111×0.9999




4．（1）计算：

9
3
8
45
1
4

12
7

（ 2）已知
11

1
16
1

5
1x
1
2
43
1
1
1

66
，求
x
。
107




7

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第三讲

不确定性问题

我们以前学的问题都有一个共同的特点，就是数量之间的总有确定 的关系，例
如“甲是乙的3倍”，或者“甲比乙多4”，这样只要知道了甲、乙中的一个量，就可
以求出另一个量的大小。但是还有一类问题，其中包含了一些不那么确定的条件，例
如“甲比乙多”， 通过这个条件我们只能模糊地知道甲在数量上超过乙，却无法确定
甲比乙多多少，因此即使知道了甲、乙 中的一个量，也不可能知道另一个是多少。像
这样条件比较模糊的问题，

我们称之为“不确定性问题”。
一、根据倍比关系确定结果
例题1

小白兔一家三口一共采了200多朵蘑菇，小兔爸爸采了其中的
兔妈妈采了其中的


4
，小
9
5
，那么小白兔采了多少朵蘑菇？
13
练习1
外国语实验小学参加数学竞赛的同学共有20多名，其结果为：
11
得满分，的同学优秀，的同学良好，那么得良好的同学有多少人？
32
1
的同学
8



例题2


学校里菊花与月季花的盆数之比是3：4，月季花与兰花的盆数之比是
5：6，如果 菊花比兰花少50盆，那么月季花比菊花多多少盆？


练习2
悟空、八戒和沙僧三人比赛谁打的妖怪多，数了之后发现，沙僧与八
戒打怪数的比为5：8，八戒与 悟空的打怪数之比为12：13，三个打怪总数和为400
多个，那么悟空与沙僧多打多少个妖怪？


二、利用最值确定范围大小

有些题目，它包含多个不确定性条件，我们需要综合考虑才能得到确定的结果。
8

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还有些题目，我们需要分析极端情况来确定范围 大小，甚至有时极端情况就是我们要
寻找的答案。
例题

3
< br>把48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人，如果把书全
都分给第一组，一部分小朋 友每人能拿到5本，其他小朋友每人能拿到4本；如果把
书全都分给第二组，一部份小朋友每人能拿到4 本，其他小朋友每人能拿到3本。两
组小朋友一共有多少人？



练习

3


王老师买来120个苹果，准备分给幼儿园大 班和小班的小朋友。已知
小班比大班多14人，如果把苹果全部分给大班的小朋友，一部分小朋友每人能 分到
5个苹果，其他小朋友每人能分到4个苹果；如果把苹果全部分给小班的小朋友，一
部分小 朋友每人能分到4个苹果，其他小朋友能分到3个苹果。小班有多少人？



三、数形结合，分段讨论
例题

4


为鼓励 节约用电，某小区按下列方式收取电费：如果每月用电不超过
24度，就按每度9角钱收费；如果超过2 4度，超出部分按每度2元钱收费。已知五
朋份张家比李家多交了9元6角钱电费（不足一度的部分按一 度电计算），那么张家
和李家各交了多少电费？



练习

4


老师给同学们留了一些题目，并规定做对不 超过10道题，每道题给
2分，如果答对超过10道题，超过10道题的部分每道题给3分。李洪比周俞 多得了
7分，请问李洪做对了多少道题？


9

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作业
11
1．五年级（1） 班有四十多人，其中有的同学喜欢看《西游记》，有的同学
68
喜欢看《灰太狼与喜洋洋》。五 年级（1）班共有

人。

2．六年级（3）班有30多人， 其中有
11
的同学喜欢打篮球，有的同学喜欢打
23
乒乓球，那么六年级（3 ）班共有

人。

3．熊大、熊二和光头强三个比赛 钓鱼，比赛结束后发现：光头强钓的鱼的个数
与熊大钓的鱼个数比为5：2，熊大钓的鱼个数与熊二钓的 鱼的个数比为4：1，已知
光头强比熊二多钓了十多条，那么光头强钓了

条鱼。

4．学期要结束了，邹老师买来80块巧克力，准备分给1班和2班的同学 ，已知
2班比1班多9人，如果把巧克力全部分给1班的同学，一部分同学每人有分到5块
巧克 力，其他同学每人能拿到4块巧克力；如果把巧克力全部分给2班的同学，一部
分同学能分到4块巧克力 ，其他同学能分到3块巧克力。1班有

人。

5．某 超市饮料部为鼓励消费，规定买5瓶以下或者5瓶可乐，每瓶10元；如果
买5瓶以上，超出5瓶部分， 每瓶只需要8元。已知小福比小军多花了42元，小福
买了

瓶可乐。


6．小高最近迷上了《水浒传》，三天看了200页不到。已知第二天看的页数是 第
一天看的2倍，第三天看的页数是第二天看的2倍，那么第一天最多看了

页。

7．超市有一批囤积的中性笔，为了促销规定：买7支以下或者7支的，每支 1
元；如果买7支以上的，超出7支的部分，每支只付0.8元。已知彭梓墨比王姝林多
花了6 .6元，彭梓墨买了

支中性笔。

8．琪琪将100枚棋 子分成3堆。已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第
三堆的2倍也要多，那么第三堆最多有

枚棋子。
10

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第四讲

工程问题初步


这一讲我 们学习的问题叫作工程问题。例如：一条地铁线有15千米长，工程队每个月可以
修3千米。同学们立即 就能知道，修好这条地铁需要5个月时间。

在这个例子中，总长度15千米叫作这个工程问 题的工作总量，5个月为工作时间，而工程
队每个月修3千米就叫作工作效率。这三个量之间有以下关系 ：
工作总量=工作效率×工作时间

这三个量的关系是解决所有工程问题的抓手和 出发点，同学们需要牢记。在工程问题中，
经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单 位“1”。例如：一个工程队5天修
完一段公路，我们就可以把修这段公路的工作总量设为单位“1”， 那么工程队每天就能修这段公
路的“
11
”，也就是工作效率为“”。工作效率就是单 位时间内完成的工作量。
55
一、单人完成
例题

1

妈妈给小涵盛了一碗米饭，小涵用了5分钟就吃掉了半碗。小涵吃
饭的工作效率是多少？小涵要 吃掉这碗饭的


2
需要多少分钟？
5
练习1


张师傅修一个花园需要12天，那么他完成这个花园
2
的工作量需要
3
多少天？


二、多人合作问题
当多人合作的时候，完成的 工作总量就是这些人工作量的总和，两个人的工作效
率之和简称为“总工效”。
例题

2

一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完
成。那么两队一起修共需要多少天完成？


练习2


有一堆排骨，老虎单独吃需要10分钟，狮子单独吃需要15分钟。如
果老虎和狮子一起互不影响地吃这 堆排骨，需要多少分钟吃完？
11

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三、工作时间不相同的合作问题
在实际工作当中，往往既有单独工作的时候，也有 多人合作的时候，单独做的时
候只要找到那个人对应的工效和工作量，就能算出那个人单独做的时间。而 合作的时
候，只要找到工效和与对应的工作量也能求出合作时间。但合作时间不相同时，我们
通 过线段图把工作量中单人工作的部分与多人合作的部分分开来算。
例题

3

一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完
成。如果甲、乙两队合修 若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完。
那么乙队一共修了多少天？


练习

3


有一堆排骨，老虎单独吃需要10 分钟，狮子单独吃需要15分钟。如
果老虎和狮子一起吃了3分钟后，老虎就把狮子赶走了，剩下的排骨 可以让老虎单独
吃几分钟？



例题

4


现在要修筑一条公路，如果甲、乙两个工程队同时施工，20天可以< br>完成，如果两队合作15天之后，剩下的全都由乙来完成，由还需要15天才能完成。
那么如果这 条路全部由甲队来修，需要多少天才能完成？



练习4


现在要修筑一条公路，如果乙工程队单独修，需要18天完成。如果
两队合作10天 之后，剩下的全都由乙来完成，则还需要6天才能完成，那么如果这
条路全都由甲队来修，需要多少天才 能完成？



12

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作业
1．甲、乙一起吃包子，如果甲 自己吃，要30分钟能吃完一笼，乙吃包子的速度
是甲的3倍。那么甲、乙一起吃掉一笼包子，需要
分钟。

2．小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2个小时可以 吃完，如果只有老鹿吃的话，3
个小时可以吃完，如果只有小山羊吃的话，

个小时可以吃完。

3．春天的时候，学校组织学生去果园给果树浇水，甲班的学生 单独去做需要12
天完成，乙班的学生单独去做需要15天完成。如果两个班共同作了4天，那么乙班< br>独自做完剩下的工作需要

天。

4．秋天的时候 ，学校组织学生去果园摘果子，甲班的学生单独去摘需要10天完
成，乙班的学生单独去摘需要15天完 成。现在两班合作若干天后，甲班的学生被调
去放牛，乙班的学生又摘了5天才摘完，那么甲班摘了
天。

5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于 乙、丙二人每天的工作效率的和，如果
3人合抄只需要8天就完成了。那么甲一人单独抄需要

天才能完成。

6．思琪与梓墨一起种一种树。如果思琪一个人种，需要6天才能种 完这批树，
梓墨种树的速度是思琪的2倍，那么他们一起种这批树，只需要

天。

7．甲乙两人打印一本书，甲单独打印需要8天完成，乙单独打印需要12天 完成。
现在两人合作若干天后，甲由于其他原因被调走，乙又打印了2天才打完。请问甲打
印了

天。

8．共同完成一件工作，甲乙合做需要10天，乙 丙合做需要12天，甲丙合做需
要15天，如果甲乙丙合做，需要多少天完成？



13

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第五讲 工程问题提高

在上一讲中我们提到，在工程问题中，区分“独做”与“合做”非常重要，我 们往往需要
把“独做”与“合做”时间分开，分别计算其中的工作量。
例题1

有一条公路，甲队独修需要10天，乙队独修需15天。
（1）乙队先修10天，然后甲队加入，需要再修多少天才能修完？
（2）乙队先修12天，然后换甲队来修，甲队需要再修多少天才能修完？



练习1
有一批零件，张师傅单独加工需要6小时，李师傅单独加工需要3小时，
现在张师傅先加工4小时，剩下的交给李师傅来加工，完成这批零件一共需要多少小时？



例题 2
思琪与子涵吃一堆包子。如果两人一起吃需要30分钟吃完 。如果思琪
先吃18分钟，然后由子涵再单独吃38分钟正好吃完。那么由子涵单独吃完这堆包子，需要多少分钟？
[分析]思琪吃18分钟，子涵也吃18分钟，相当于两人一起吃了18分钟嘛。


练习 2
甲乙二人一起完成一项工作需要10天，如果甲先单独工作 6天，然后
乙再单独工作12天也正好完成。乙单独完成这项工作需要多少天？



在解决有些问题的时候，我们可以换一个角度，分开考虑每个工作者各自的工作，计算他们各 自
的工作量，从而找到解决问题的突破口。
例题 3
有一条公路，甲队独修需要12天，乙队独修需要15天。现在让2个队
14

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合修，但其间甲队有别的任务离开了，结果从头 到尾用了10天才把这条公路修完。请问
甲队参与修路多少天？


练习 3
有一堆煤，甲车单独运需要10天运完，乙车单独运需要40天运完。乙
车先开始运，若 干天后甲车加入，到运完时乙车一共运了12天。那么乙车开始几天后甲
车才加入？



例题 4
（1）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要10天。 现在两人按甲、
乙、甲、乙……的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要几天？


（2）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要6天。现在两人按甲、乙、甲、乙……的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要几天？




练习 4
单独完成一项工程，甲需要16天，乙需要4天。现在两人按甲、乙、
甲 、乙……的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要几天？
15

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作业
1．仓库里有一些草，小山 羊单独吃完需要6小时，老鹿单独吃完需要10个。现
在小山羊吃了3个小时，剩下的草老鹿单独吃，那 么老鹿再吃 个小时就可以吃完。

2．小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2小时 可以吃完。如果小山羊先单独吃1个小时，
老鹿再单独吃4个小时也能吃完。老鹿单独吃需要 个小时。

3．有一项工作，甲单独做需要5天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需 要
15天完成。现在三个人一起做这项工作，中间的时候甲离开了，结果用了4天完成了全
部的 工作，那么甲离开了 天。

4．单独完成一项工程，甲需要21天，乙需要 7天。现在两人按甲、乙、甲、乙……
的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要 天。

5．有一项工程由甲、乙两个工程队做，如果让乙工程队单独做需要30天完成，现< br>在先由甲工程队工作10天，然后乙工程队加入一起做，然后又工作了6天完成了整个工
程。那么 甲单独完成这个工程需要 天。

※6．甲、乙两人共同完成一件工作， 如果甲乙两人合做2天后，剩下的由乙单独做，
刚好地规定时间完成；如果甲单独做需要18天完成；如 果乙单独做，则要超过规定时间
3天才能完成。求完成这件工作规定多少天？

※7. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。现
有两个 相同的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬 运，最后两个仓库货物同时搬完。那么丙帮助甲几小时，帮助乙几
小时？

※8.一 项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成；如果甲先做8小时，乙
再做6小时也可完成。如果 甲先做3小时，再由乙做多少小时可以完成？
16

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第六讲 牛吃草问题
解“牛吃草”问题的主要依据：
1．草的每天生长量不变；2．每头牛每天的食草量不变；
3．草的总量＝草场原有的草量＋新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值；
4．新生的草量＝每天生长量×天数。
例题 1
有一片牧场，草每天都在均匀地 生长.如果在牧场上放养24头牛，那么6
天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完 。请问：
(1)使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？
(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？

例题 2
进入冬季 后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在
开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊， 把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃
完需要30天，如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天 ？

例题 3
一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场 上的
草长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；
如果 农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6
公顷的牧场，这块牧 场可供这些牛吃几天？

例题 4
第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5 公顷、7公顷，三个牧场
上的草长得一样密，且生长得一样快.有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草 吃完，又
用5天将二号牧场的草吃完.在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完.如果第一
群牛有15头，那么第二群牛有多少头？


例题 5
一片匀速生长 的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马
和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃 ，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草
量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草， 几天可以将这片牧草吃尽？

17

逊逊老师数学课堂 六年级

例题 6
如图一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部 分，已知
草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①
号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)．之后他让一半牛在②号草地吃草，
一半牛在③号 草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民
把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④ 号草地吃草，
结果发现它们1同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群
牛在整块草地上 吃草，吃完这些草需要多少时间？


例题 7
小方用一个有洞的杯子 从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一
个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶 距水缸有2米，小方用4次恰
好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满？< br>(假设小方走路的
速度不变，水从杯中流出的速度也不变)


例题 8
某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派
250个工人砌砖 墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派
120名工人砌了10天后 ，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？



本讲总结：

1．设定1头牛1天吃草量为“1”；
2．草的生长速度＝ (对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数) ÷(较多天数－较少
天数)；
3．原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
4．吃的天数＝原来的草量÷ (牛的头数－草的生长速度)
5．牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。
18

逊逊老师数学课堂 六年级
第七讲 二元一次方程组

之前我们学习过一元一次方程的解法。在解决实际问题的过程中，我们还会遇到需要设两个
未知数的情形 ，也就是可能要解二元一次方程。所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数，
且未知数的次数是1。 解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，这就是“消
元”。
消元的方法主 要有两种：代入消元法和加减消元法。例如在解方程组
{
xy6
3x4y23
，对于第
一个方程可以作如下变形：
x6y
，然后利用这个式子把第二个 方程中的
X
都用
Y
来替，得到
3(6y)4y23
， 转化成了一个一元一次方程，可以求出
y5
，代入原方程可以得到
x1
。 原
方程组的解就是

x1
y5
。
加减消元法更常用于解方程组中，该方法的步骤和要点可总结如下：
1．若有某个未知数，它 前面的系数在两个议程中恰好相反或者相同，就可以通过把两个方
程相加或者相减的方法抵消去该未知数 ；如果不相同，就可以通过找到两个系数的公倍数根据等
式的性质变成相同来抵消；
2．解消元后得到的一元一次方程；
3．把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数；
4．把解代回原方程检验。
注意：一定要注意解方程组的格式。
例题

1

解下列方程组：
（1）





xy5
3xy9

（2）

2xy14
3xy26

练习1


解下列方程组：

（1）


3x2y7
3x4y11
（2）

x2y7
3x2y29


19

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例题

2


解下列方程组：
（1）






x2y3
3x4y29
（2）

x2y7
2x5y16

练习

2

解下列方程组：
（1）






x3y5
2x5y32
（2）

x3y7
2x7y15

例题

3


解下列方程组：
（1）






9x2y20
3x5y1
（2）

5x2y16
2x3y13

练习

3

解下列方程组：
（1）

20


5x6y3
2x3y12
（2）

3x4y18
4x3y17

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对于多个未知 数的，同学们要根据上面掌握的方法消去多个未知数，得到一个一元一次方程
从而依次解出每个未知数的 值。

xy10
例题

4


解方程组：


yz13


xz16








abc10

bcd14
练习

4


解方程组：




cda16


dab20


21

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作业：

22

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第八讲 分数裂项







23

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第九讲 计算综合


24

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第十讲 行程问题





25

逊逊老师数学课堂 六年级
第十一讲 整除问题



26

逊逊老师数学课堂 六年级
第十二讲 约数与倍数







27

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28

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29

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30

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31

逊逊老师数学课堂 六年级
第一讲

比赛中的推理

本讲中咱们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题，这些问题有各种不同的
形 式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至有讨论进球数、
失球数的。不同类 型的问题我们都可能用图表法来处理。
例题1：
编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围 棋比赛，每2个人都要赛1盘，
现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样 ，那么编号为6的
同学赛了几盘？
[分析]
为了让问题更加直观，我们可以用6
个点来分别表示这
6
个同学，比赛过的两个同学之
间就把对应的点用线 连起来，标出各自比赛的盘数，使抽象的问题变得直观。



练习1 A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进
行友谊比赛，不同学校间只比 赛1场，比赛进行若干天后，A校的队长发现另外4支球
队赛过的场数依次为4、3、2、1。这时候A 校足球队已赛过多少场？



例题2
A、B、C、D、 E、F六年国家的足球队进行单循环比赛（每队都与其他
球队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场 比赛。已知第一天B对D，第二天C对E，
第三天D对F，第四天B对C。那么第五天与A队比赛的是哪 个队？
[
分析
]
题目的条件比较多，如何才能化繁为简呢？这种问题我们 通常可以运用列表法来分析。
如图，第二列从上到下依次表示
A
在
5
天分别遇到的对手，第三列表示
B
在
5
天中遇到的对手，依此
类推， 观察表格，这个表格中的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？


1
2
3
4
5


A





B
D


C

C

E

B

D
B

F


E

C



F


D


1

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练习2 五个国家足球队A、B、C、D、 E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一
队轮空。已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B 比赛，E轮空；第三天A与
E比赛；第四天A与C比赛；B与以的比赛在B与D的比赛之间进行，那么C 与E在哪
一天比赛？



例题3
甲、乙、丙、丁 四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定：
胜者得2分，平局各得1分，输者得0分。请问 ：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人
最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、 两并列第二，丁最后一名，
那么乙得了多少分？
[
分析
]
（
1
）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四人中挑出两人的方法数（四选二）；（
2< br>）
比赛的胜负情况有多少种可能？那么总分也有多少种可能呢？只要稍加考虑每场比赛双方得分之 和
就清楚了；（
3
）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不 能太大，也不能太
小，那么会是多少呢？



练习3 有A、 B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，比赛规定：
胜一场得2分，平局各得1分，负 一场得0分。全部比赛结束后，A、B两队的总分并列
第一名，以队第二名，D队第三名，C队最多得多 少分？



例题4
4支足球队进行单循环比赛，即每两队之 间都比赛一场，每场比赛胜者得
3分，负者得0分，平局各得1分。比赛结果：各队的总得份恰好是4个 连续的自然数。
总：输给第一名的队的总分是多少？
[
分析
]4
支 球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最小又是多少？由此咱们
可以推断出各队的得 分情况。



2

逊逊老师数学课堂 六年级
练习4 甲、乙、丙、丁四个队举行单循环赛。规定：每场比赛胜者得3分，负者
得 0分，平局各得1分。已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总份
超过其他各队， 名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与两队平局。那么
丁队得了多少分？



选讲1
A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队
的比赛情况如下：

A
B
C
D
场数
3
2
2

胜
2
1
0

平
1
1
0

负
0
0
2

进球
2
4
3

失球
0
3
6

问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？
[
分析
]
对于整个表格来说，总进球数等于失球数，总胜场数应当等于总负场数，平局数为偶数 。
同时，表格中的
A
很特别，两胜一平却只进了两个球，这说明了什么？


选讲2
A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到六年级那位获得 云阳
县数学竞赛第一名的同学的情况：
A打听到的：姓李，是女同学，13岁，杏家湾小学；
B打听到的：姓张，是男同学，11岁，附小；
C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，杏家湾小学；
D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，外国语；
E打听到的：姓张，是男同学，12岁，杏家湾小学。
实际上，该同学的情况在上面都出现过 ，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，
那么这名同学应该是哪所学校的，今年多少岁，性别和姓名分 别是什么？


3

逊逊老师数学课堂 六年级
作业
1．A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每出众 队都要比赛一场，已知A 、B、C
三队的成绩分别是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负，那么D队的成绩是什
么？


2．6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场。比赛规定：胜者得2分 ，平局各得
1分，输者得0分。请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？
（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？


3．六个的参加乒 乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，
没有平局。比赛结束时发现，有两人并 列第二名，两人并列第五名，那么第一名和第四
名各得了多少分？


4． 足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制。即任何两队
分别在主场和客场各比赛 一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分。在联
赛结束后按积分的高低排出名次。那么，在 积分校上第一名与第二名的积分差最多可达
多少分？


5．A、B、C、 D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情
况如下：

A
B
C
D
场数
3
3
2

胜
3
2
0

平
0
0
0

负
0
1
2

进球
3
4
0

失球
0
1
4

那么，D赛了几场？D所参与的各比场比赛的比分分别是什么？请填在上表中。
4

逊逊老师数学课堂 六年级
第二讲

分数巧算

在学习了分数的加减乘除的基本方法后，这一讲我们来学习一些常见巧算 方法在分
数计算中的应用，通过巧算往往能使题目的计算过程变得简洁。分数的巧算主要是根据
凑整和抵消思想。
一、分组加减
如果分数的分母不同，我们需要先通分才能继续计算，但在 计算之前我们适当的分
组，把分母相同的分数放在一起算，就可以减少通分的次数，使计算变得简便。

例1
（÷(2-

)


12317
练习1

(3618)(2)

434320



例2
计算
11
(
23




122
)
+
(
1034

233
)
+
(
1045

3889
)
+…+
()

1091010
练习2

计算
123
(
234
812
)
+
(
934
712
)+
(
945
6121
)
+…+
()

9899



二、乘法分配律和提取公因数的运用
在整数计算中经常会用到提取公因数的方法，分数计算中，提取公因数也是一种
5

逊逊老师数学课堂 六年级
常用的技巧。不过在分数计算中，公因数的样子 会更加多变，要找到它需要炼成一双
“火眼金睛”，多多留意观察。
例题3

计算

练习3

计算

313231
4
241


（1.27÷+4.19
1)2

544343
21



三、换元法
换元，指的 是用字母来代表一块或者一组算式，把版式当成一个整体来进行计算
的解题方法，换元的目的是让我们省 去很多不必要的计算，从而使计算过程得以简化。
当然，有时候不一定要用换元才能够省去计算，只要带 着这个想法考虑问题就行了。
例题4
计算


(


53533135579753
)
×
()
－()
×
()

79755331357975

练习4
计算
1111111
(1)
×
( )
－
(1)
×
()

234523456234562345


四、连分数问题
连分 数计算最重要的就是把分数线减少，其计算顺序是由短分数线开始算，每次算
完，分数线变少，形式变得 越来越简单。
例题5
（1）将下面连分数化简； （2）若下面等式成立，x等于多少？
1
5
4
1
1
3
1
2
6


1
1
2
1< br>1
x
1
4

8

11

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作业：
1．计算：
2152229398
(39)(2)

136212

37237513111311



3233765
24

(5134.5)

757512714





15
1104.521
7
2．计算：
3

80.51.5



3．计算：1.1111×1.9999－0.1111×0.9999




4．（1）计算：

9
3
8
45
1
4

12
7

（ 2）已知
11

1
16
1

5
1x
1
2
43
1
1
1

66
，求
x
。
107




7

逊逊老师数学课堂 六年级
第三讲

不确定性问题

我们以前学的问题都有一个共同的特点，就是数量之间的总有确定 的关系，例
如“甲是乙的3倍”，或者“甲比乙多4”，这样只要知道了甲、乙中的一个量，就可
以求出另一个量的大小。但是还有一类问题，其中包含了一些不那么确定的条件，例
如“甲比乙多”， 通过这个条件我们只能模糊地知道甲在数量上超过乙，却无法确定
甲比乙多多少，因此即使知道了甲、乙 中的一个量，也不可能知道另一个是多少。像
这样条件比较模糊的问题，

我们称之为“不确定性问题”。
一、根据倍比关系确定结果
例题1

小白兔一家三口一共采了200多朵蘑菇，小兔爸爸采了其中的
兔妈妈采了其中的


4
，小
9
5
，那么小白兔采了多少朵蘑菇？
13
练习1
外国语实验小学参加数学竞赛的同学共有20多名，其结果为：
11
得满分，的同学优秀，的同学良好，那么得良好的同学有多少人？
32
1
的同学
8



例题2


学校里菊花与月季花的盆数之比是3：4，月季花与兰花的盆数之比是
5：6，如果 菊花比兰花少50盆，那么月季花比菊花多多少盆？


练习2
悟空、八戒和沙僧三人比赛谁打的妖怪多，数了之后发现，沙僧与八
戒打怪数的比为5：8，八戒与 悟空的打怪数之比为12：13，三个打怪总数和为400
多个，那么悟空与沙僧多打多少个妖怪？


二、利用最值确定范围大小

有些题目，它包含多个不确定性条件，我们需要综合考虑才能得到确定的结果。
8

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还有些题目，我们需要分析极端情况来确定范围 大小，甚至有时极端情况就是我们要
寻找的答案。
例题

3
< br>把48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人，如果把书全
都分给第一组，一部分小朋 友每人能拿到5本，其他小朋友每人能拿到4本；如果把
书全都分给第二组，一部份小朋友每人能拿到4 本，其他小朋友每人能拿到3本。两
组小朋友一共有多少人？



练习

3


王老师买来120个苹果，准备分给幼儿园大 班和小班的小朋友。已知
小班比大班多14人，如果把苹果全部分给大班的小朋友，一部分小朋友每人能 分到
5个苹果，其他小朋友每人能分到4个苹果；如果把苹果全部分给小班的小朋友，一
部分小 朋友每人能分到4个苹果，其他小朋友能分到3个苹果。小班有多少人？



三、数形结合，分段讨论
例题

4


为鼓励 节约用电，某小区按下列方式收取电费：如果每月用电不超过
24度，就按每度9角钱收费；如果超过2 4度，超出部分按每度2元钱收费。已知五
朋份张家比李家多交了9元6角钱电费（不足一度的部分按一 度电计算），那么张家
和李家各交了多少电费？



练习

4


老师给同学们留了一些题目，并规定做对不 超过10道题，每道题给
2分，如果答对超过10道题，超过10道题的部分每道题给3分。李洪比周俞 多得了
7分，请问李洪做对了多少道题？


9

逊逊老师数学课堂 六年级
作业
11
1．五年级（1） 班有四十多人，其中有的同学喜欢看《西游记》，有的同学
68
喜欢看《灰太狼与喜洋洋》。五 年级（1）班共有

人。

2．六年级（3）班有30多人， 其中有
11
的同学喜欢打篮球，有的同学喜欢打
23
乒乓球，那么六年级（3 ）班共有

人。

3．熊大、熊二和光头强三个比赛 钓鱼，比赛结束后发现：光头强钓的鱼的个数
与熊大钓的鱼个数比为5：2，熊大钓的鱼个数与熊二钓的 鱼的个数比为4：1，已知
光头强比熊二多钓了十多条，那么光头强钓了

条鱼。

4．学期要结束了，邹老师买来80块巧克力，准备分给1班和2班的同学 ，已知
2班比1班多9人，如果把巧克力全部分给1班的同学，一部分同学每人有分到5块
巧克 力，其他同学每人能拿到4块巧克力；如果把巧克力全部分给2班的同学，一部
分同学能分到4块巧克力 ，其他同学能分到3块巧克力。1班有

人。

5．某 超市饮料部为鼓励消费，规定买5瓶以下或者5瓶可乐，每瓶10元；如果
买5瓶以上，超出5瓶部分， 每瓶只需要8元。已知小福比小军多花了42元，小福
买了

瓶可乐。


6．小高最近迷上了《水浒传》，三天看了200页不到。已知第二天看的页数是 第
一天看的2倍，第三天看的页数是第二天看的2倍，那么第一天最多看了

页。

7．超市有一批囤积的中性笔，为了促销规定：买7支以下或者7支的，每支 1
元；如果买7支以上的，超出7支的部分，每支只付0.8元。已知彭梓墨比王姝林多
花了6 .6元，彭梓墨买了

支中性笔。

8．琪琪将100枚棋 子分成3堆。已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第
三堆的2倍也要多，那么第三堆最多有

枚棋子。
10

逊逊老师数学课堂 六年级
第四讲

工程问题初步


这一讲我 们学习的问题叫作工程问题。例如：一条地铁线有15千米长，工程队每个月可以
修3千米。同学们立即 就能知道，修好这条地铁需要5个月时间。

在这个例子中，总长度15千米叫作这个工程问 题的工作总量，5个月为工作时间，而工程
队每个月修3千米就叫作工作效率。这三个量之间有以下关系 ：
工作总量=工作效率×工作时间

这三个量的关系是解决所有工程问题的抓手和 出发点，同学们需要牢记。在工程问题中，
经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单 位“1”。例如：一个工程队5天修
完一段公路，我们就可以把修这段公路的工作总量设为单位“1”， 那么工程队每天就能修这段公
路的“
11
”，也就是工作效率为“”。工作效率就是单 位时间内完成的工作量。
55
一、单人完成
例题

1

妈妈给小涵盛了一碗米饭，小涵用了5分钟就吃掉了半碗。小涵吃
饭的工作效率是多少？小涵要 吃掉这碗饭的


2
需要多少分钟？
5
练习1


张师傅修一个花园需要12天，那么他完成这个花园
2
的工作量需要
3
多少天？


二、多人合作问题
当多人合作的时候，完成的 工作总量就是这些人工作量的总和，两个人的工作效
率之和简称为“总工效”。
例题

2

一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完
成。那么两队一起修共需要多少天完成？


练习2


有一堆排骨，老虎单独吃需要10分钟，狮子单独吃需要15分钟。如
果老虎和狮子一起互不影响地吃这 堆排骨，需要多少分钟吃完？
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三、工作时间不相同的合作问题
在实际工作当中，往往既有单独工作的时候，也有 多人合作的时候，单独做的时
候只要找到那个人对应的工效和工作量，就能算出那个人单独做的时间。而 合作的时
候，只要找到工效和与对应的工作量也能求出合作时间。但合作时间不相同时，我们
通 过线段图把工作量中单人工作的部分与多人合作的部分分开来算。
例题

3

一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完
成。如果甲、乙两队合修 若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完。
那么乙队一共修了多少天？


练习

3


有一堆排骨，老虎单独吃需要10 分钟，狮子单独吃需要15分钟。如
果老虎和狮子一起吃了3分钟后，老虎就把狮子赶走了，剩下的排骨 可以让老虎单独
吃几分钟？



例题

4


现在要修筑一条公路，如果甲、乙两个工程队同时施工，20天可以< br>完成，如果两队合作15天之后，剩下的全都由乙来完成，由还需要15天才能完成。
那么如果这 条路全部由甲队来修，需要多少天才能完成？



练习4


现在要修筑一条公路，如果乙工程队单独修，需要18天完成。如果
两队合作10天 之后，剩下的全都由乙来完成，则还需要6天才能完成，那么如果这
条路全都由甲队来修，需要多少天才 能完成？



12

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作业
1．甲、乙一起吃包子，如果甲 自己吃，要30分钟能吃完一笼，乙吃包子的速度
是甲的3倍。那么甲、乙一起吃掉一笼包子，需要
分钟。

2．小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2个小时可以 吃完，如果只有老鹿吃的话，3
个小时可以吃完，如果只有小山羊吃的话，

个小时可以吃完。

3．春天的时候，学校组织学生去果园给果树浇水，甲班的学生 单独去做需要12
天完成，乙班的学生单独去做需要15天完成。如果两个班共同作了4天，那么乙班< br>独自做完剩下的工作需要

天。

4．秋天的时候 ，学校组织学生去果园摘果子，甲班的学生单独去摘需要10天完
成，乙班的学生单独去摘需要15天完 成。现在两班合作若干天后，甲班的学生被调
去放牛，乙班的学生又摘了5天才摘完，那么甲班摘了
天。

5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于 乙、丙二人每天的工作效率的和，如果
3人合抄只需要8天就完成了。那么甲一人单独抄需要

天才能完成。

6．思琪与梓墨一起种一种树。如果思琪一个人种，需要6天才能种 完这批树，
梓墨种树的速度是思琪的2倍，那么他们一起种这批树，只需要

天。

7．甲乙两人打印一本书，甲单独打印需要8天完成，乙单独打印需要12天 完成。
现在两人合作若干天后，甲由于其他原因被调走，乙又打印了2天才打完。请问甲打
印了

天。

8．共同完成一件工作，甲乙合做需要10天，乙 丙合做需要12天，甲丙合做需
要15天，如果甲乙丙合做，需要多少天完成？



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第五讲 工程问题提高

在上一讲中我们提到，在工程问题中，区分“独做”与“合做”非常重要，我 们往往需要
把“独做”与“合做”时间分开，分别计算其中的工作量。
例题1

有一条公路，甲队独修需要10天，乙队独修需15天。
（1）乙队先修10天，然后甲队加入，需要再修多少天才能修完？
（2）乙队先修12天，然后换甲队来修，甲队需要再修多少天才能修完？



练习1
有一批零件，张师傅单独加工需要6小时，李师傅单独加工需要3小时，
现在张师傅先加工4小时，剩下的交给李师傅来加工，完成这批零件一共需要多少小时？



例题 2
思琪与子涵吃一堆包子。如果两人一起吃需要30分钟吃完 。如果思琪
先吃18分钟，然后由子涵再单独吃38分钟正好吃完。那么由子涵单独吃完这堆包子，需要多少分钟？
[分析]思琪吃18分钟，子涵也吃18分钟，相当于两人一起吃了18分钟嘛。


练习 2
甲乙二人一起完成一项工作需要10天，如果甲先单独工作 6天，然后
乙再单独工作12天也正好完成。乙单独完成这项工作需要多少天？



在解决有些问题的时候，我们可以换一个角度，分开考虑每个工作者各自的工作，计算他们各 自
的工作量，从而找到解决问题的突破口。
例题 3
有一条公路，甲队独修需要12天，乙队独修需要15天。现在让2个队
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合修，但其间甲队有别的任务离开了，结果从头 到尾用了10天才把这条公路修完。请问
甲队参与修路多少天？


练习 3
有一堆煤，甲车单独运需要10天运完，乙车单独运需要40天运完。乙
车先开始运，若 干天后甲车加入，到运完时乙车一共运了12天。那么乙车开始几天后甲
车才加入？



例题 4
（1）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要10天。 现在两人按甲、
乙、甲、乙……的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要几天？


（2）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要6天。现在两人按甲、乙、甲、乙……的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要几天？




练习 4
单独完成一项工程，甲需要16天，乙需要4天。现在两人按甲、乙、
甲 、乙……的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要几天？
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作业
1．仓库里有一些草，小山 羊单独吃完需要6小时，老鹿单独吃完需要10个。现
在小山羊吃了3个小时，剩下的草老鹿单独吃，那 么老鹿再吃 个小时就可以吃完。

2．小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2小时 可以吃完。如果小山羊先单独吃1个小时，
老鹿再单独吃4个小时也能吃完。老鹿单独吃需要 个小时。

3．有一项工作，甲单独做需要5天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需 要
15天完成。现在三个人一起做这项工作，中间的时候甲离开了，结果用了4天完成了全
部的 工作，那么甲离开了 天。

4．单独完成一项工程，甲需要21天，乙需要 7天。现在两人按甲、乙、甲、乙……
的顺序，一人一天轮流工作，那么完成这项工作需要 天。

5．有一项工程由甲、乙两个工程队做，如果让乙工程队单独做需要30天完成，现< br>在先由甲工程队工作10天，然后乙工程队加入一起做，然后又工作了6天完成了整个工
程。那么 甲单独完成这个工程需要 天。

※6．甲、乙两人共同完成一件工作， 如果甲乙两人合做2天后，剩下的由乙单独做，
刚好地规定时间完成；如果甲单独做需要18天完成；如 果乙单独做，则要超过规定时间
3天才能完成。求完成这件工作规定多少天？

※7. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。现
有两个 相同的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬 运，最后两个仓库货物同时搬完。那么丙帮助甲几小时，帮助乙几
小时？

※8.一 项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成；如果甲先做8小时，乙
再做6小时也可完成。如果 甲先做3小时，再由乙做多少小时可以完成？
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第六讲 牛吃草问题
解“牛吃草”问题的主要依据：
1．草的每天生长量不变；2．每头牛每天的食草量不变；
3．草的总量＝草场原有的草量＋新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值；
4．新生的草量＝每天生长量×天数。
例题 1
有一片牧场，草每天都在均匀地 生长.如果在牧场上放养24头牛，那么6
天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完 。请问：
(1)使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？
(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？

例题 2
进入冬季 后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在
开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊， 把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃
完需要30天，如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天 ？

例题 3
一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场 上的
草长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；
如果 农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6
公顷的牧场，这块牧 场可供这些牛吃几天？

例题 4
第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5 公顷、7公顷，三个牧场
上的草长得一样密，且生长得一样快.有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草 吃完，又
用5天将二号牧场的草吃完.在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完.如果第一
群牛有15头，那么第二群牛有多少头？


例题 5
一片匀速生长 的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马
和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃 ，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草
量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草， 几天可以将这片牧草吃尽？

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例题 6
如图一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部 分，已知
草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①
号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)．之后他让一半牛在②号草地吃草，
一半牛在③号 草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民
把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④ 号草地吃草，
结果发现它们1同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群
牛在整块草地上 吃草，吃完这些草需要多少时间？


例题 7
小方用一个有洞的杯子 从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一
个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶 距水缸有2米，小方用4次恰
好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满？< br>(假设小方走路的
速度不变，水从杯中流出的速度也不变)


例题 8
某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派
250个工人砌砖 墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派
120名工人砌了10天后 ，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？



本讲总结：

1．设定1头牛1天吃草量为“1”；
2．草的生长速度＝ (对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数) ÷(较多天数－较少
天数)；
3．原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
4．吃的天数＝原来的草量÷ (牛的头数－草的生长速度)
5．牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。
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第七讲 二元一次方程组

之前我们学习过一元一次方程的解法。在解决实际问题的过程中，我们还会遇到需要设两个
未知数的情形 ，也就是可能要解二元一次方程。所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数，
且未知数的次数是1。 解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，这就是“消
元”。
消元的方法主 要有两种：代入消元法和加减消元法。例如在解方程组
{
xy6
3x4y23
，对于第
一个方程可以作如下变形：
x6y
，然后利用这个式子把第二个 方程中的
X
都用
Y
来替，得到
3(6y)4y23
， 转化成了一个一元一次方程，可以求出
y5
，代入原方程可以得到
x1
。 原
方程组的解就是

x1
y5
。
加减消元法更常用于解方程组中，该方法的步骤和要点可总结如下：
1．若有某个未知数，它 前面的系数在两个议程中恰好相反或者相同，就可以通过把两个方
程相加或者相减的方法抵消去该未知数 ；如果不相同，就可以通过找到两个系数的公倍数根据等
式的性质变成相同来抵消；
2．解消元后得到的一元一次方程；
3．把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数；
4．把解代回原方程检验。
注意：一定要注意解方程组的格式。
例题

1

解下列方程组：
（1）





xy5
3xy9

（2）

2xy14
3xy26

练习1


解下列方程组：

（1）


3x2y7
3x4y11
（2）

x2y7
3x2y29


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例题

2


解下列方程组：
（1）






x2y3
3x4y29
（2）

x2y7
2x5y16

练习

2

解下列方程组：
（1）






x3y5
2x5y32
（2）

x3y7
2x7y15

例题

3


解下列方程组：
（1）






9x2y20
3x5y1
（2）

5x2y16
2x3y13

练习

3

解下列方程组：
（1）

20


5x6y3
2x3y12
（2）

3x4y18
4x3y17

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对于多个未知 数的，同学们要根据上面掌握的方法消去多个未知数，得到一个一元一次方程
从而依次解出每个未知数的 值。

xy10
例题

4


解方程组：


yz13


xz16








abc10

bcd14
练习

4


解方程组：




cda16


dab20


21

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作业：

22

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第八讲 分数裂项







23

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第九讲 计算综合


24

逊逊老师数学课堂 六年级
第十讲 行程问题





25

逊逊老师数学课堂 六年级
第十一讲 整除问题



26

逊逊老师数学课堂 六年级
第十二讲 约数与倍数







27

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28

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29

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