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数学的思维方式与创新


集合的划分（一）
1
【单选题】数学的整数集合用字母（D）表示。
A、M
B、W
C、N
D、Z
2
【单选题】（B）是第一个被提出的非欧几何。
A、解析几何
B、罗氏几何
C、黎曼几何
D、欧氏几何
3
【单选题】黎曼 几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（A）直线与已知直线
平行。
A、没有直线
B、无数条
C、至少2条

D、一条
4
【判断题】在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。（√）
5
【判断题】代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。（×）


集合的划分（二）
1
【单选题】星期日用数学集合的方法表示是（A）。
A、{7R|R∈Z}
B、{5R|R∈Z}
C、{7R|R∈N}
D、{6R|R∈Z}
2
【单选题】A={1,2}，B={3,4},A∩B=（D）。
A、B
B、{1,2,3,4}
C、A
D、Φ
3
【单选题】将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到（B）。

A、自然数集
B、整数集
C、小数集
D、无理数集
4
【多选题】
集合的性质有（BCD）。
A、
封闭性

B、
互异性

C、
确定性

D、
无序性

5
【判断题】星期二和星期三集合的交集是空集。（√）
6

【判断题】空集属于任何集合。（×）


集合的划分（三）
1
【单选题】S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有（C）种。
A、4
B、2
C、3
D、5
2
【单选题】发明直角坐标系的人是（C）。
A、牛顿
B、伽罗瓦
C、笛卡尔
D、柯西
3
【单选题】如果S、M分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的（B）。
A、牛顿积
B、笛卡尔积
C、莱布尼茨积
D、康拓积

4
【判断题】空集是任何集合的子集。（√）
5
【判断题】任何集合都是它本身的子集。（√）


集合的划分（四）
1
【单选题】如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（B）。
A、x∈a
B、x的等价类=a的等价类
C、x=a
D、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积
2
【单选题】0与{0}的关系是（C）。
A、二元关系
B、等价关系
C、属于关系
D、包含关系
3
【单选题】设～是集合S上的一个等价关 系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定
的（A）。

A、等价类
B、等价集
C、等价积
D、等价转换
4
【判断题】如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。（×）
5
【判断题】A∩Φ=A（×）


等价关系（一）
1
【单选题】x∈a的等价类的充分必要条件是（B）。
A、x=a
B、x～a
C、x与a不相交
D、x>a
2
【单选题】设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（C）。
A、不可能满足
B、一定不满足
C、一定满足

D、不一定满足
3
【单选题】星期一到星期日可以被统称为（B）。
A、模3剩余类
B、模7剩余类
C、模1剩余类
D、模0剩余类
4
【多选题】等价关系具有的性质有（BCD）。
A、反对称性
B、对称性
C、反身性
D、传递性
5
【判断题】所有的二元关系都是等价关系。（×）
6
【判断题】如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。（√）


等价关系（二）
1
【单选题】设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有（C）个。

A、13
B、15
C、12
D、14
2
【单选题】对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为（C）。
A、不确定
B、{x|x∈A}
C、非空集
D、空集
3
【单选题】a与b被m除后余数相同的等价关系式是（A）。
A、a-b是m的整数倍
B、a是b的m倍
C、a*b是m的整数倍
D、a+b是m的整数倍
4
【判断题】整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。（×）
5
【判断题】设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。（×）

模m同余关系（一）
1
【单选题】在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出（D）。
A、a*b与c*d等价类相等
B、a+d与c-b等价类相等
C、a+c与d+d等价类相等
D、a+b与c+d等价类相等
2
【单选题】整数的四则运算不保“模m同余”的是（A）。
A、除法
B、减法
C、加法
D、乘法
3
【单选题】如果今天是星期五，过了370天，是（D）。
A、星期五
B、星期三
C、星期二
D、星期四
4
【判断题】同余理论是初等数学的核心。（√）
5

【判断题】整数的除法运算是保“模m同余”。（×）


模m同余关系（二）
1
【单选题】对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的（B）。
A、整元
B、负元
C、零元
D、正元
2
【单选题】Zm的结构实质是（C）。
A、整数环
B、m个元素
C、模m剩余环
D、一个集合
3
【单选题】集合S上的一个（B）运算是S*S到S的一个映射。
A、一元代数运算
B、二元代数运算
C、对数运算
D、二次幂运算

4
【判断题】中国剩余定理又称孙子定理。（√）
5
【判断题】
如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（）
（√）


模m剩余类环Zm（一）
1
【单选题】设R是一个环，a∈R，则a·0=（B）。
A、1
B、0
C、2
D、a
2
【单选题】Z的模m剩余类环的单位元是（D）。
A、2
B、0
C、3
D、1
3

【单选题】若环R满足交换律则称为（B）。
A、单位环
B、交换环
C、分配环
D、结合环
4
【判断题】设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。（√）
5
【判断题】整数的加法是奇数集的运算。（×）


模m剩余类环Zm（二）
1
【单选题】设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·（-b）=（D）。
A、-ab
B、b
C、a
D、ab
2
【单选题】设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·b=（B）。
A、ab
B、-ab

C、b
D、a
3
【单选题】设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。
A、ab
B、-ab
C、b
D、a
4
【判断题】环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（√）
5
【判断题】Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（√）


环的概念
1
【单选题】
Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。
A、2
B、4
C、1
D、3

2
【单选题】在模5环中可逆元有（D）个。
A、3
B、1
C、2
D、4
3
【单选题】设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。
A、-a
B、-e
C、e
D、a
4
【判断题】一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（×）
5
【判断题】环的零因子是一个零元。（×）


域的概念
1
【单选题】
不属于域的是（A）。

A、(Z,+,·)
B、(C,+,·)
C、(R,+,·)
D、(Q,+,·)
2 【单选题】设F是一个有单位元（不为0）的交换环，如果F的每个非零元都是可逆元，那
么称F是 一个（B）。
A、函数
B、域
C、积
D、元
3
【单选题】
最小的数域是（A）。
A、有理数域
B、整数域
C、实数域
D、复数域
4
【判断题】整环一定是域。（×）
5
【判断题】域必定是整环。（√）

整数环的结构（一）
1
【单选题】对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作（C）。
A、ba
B、b&a
C、b|a
D、b^a
2
【单选题】不属于整环的是（B）。
A、Z[i]
B、Z6
C、Z
D、Z2
3
【单选题】在整数环中没有（A）。
A、除法
B、加法
C、乘法
D、减法
4

【判断题】整数环是具有单位元的交换环。（√）
5
【判断题】整环是无零因子环。（√）


整数环的结构（二）
1
【单选题】能被3整除的数是（A）。
A、102
B、122
C、92
D、112
2
【单选题】不能被5整除的数是（D）。
A、220
B、425
C、115
D、323
3
【单选题】a与0 的一个最大公因数是（D）。
A、2a
B、1

C、0
D、a
4
【多选题】整环具有的性质包括（ACD）。
A、有单位元
B、有零因子
C、无零因子
D、交换环
5
【判断题】在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（×）
6
【判断题】整除关系是等价关系。（×）


整数环的结构（三）
1
【单选题】gac(234,567)=（C）
A、12
B、6
C、9
D、3
2

【单选题】对于a,b∈Z，如果有a =qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。
A、d是q与r的一个最大公因数
B、d是b与r的一个最大公因数
C、d是b与q的一个最大公因数
D、d是a与r的一个最大公因数
3
【单选题】若a=bq+r,则gac(a,b)=（C）。
A、gac(b,q)
B、gac(a,r)
C、gac(b,r)
D、gac(a,q)
4
【判断题】0是0与0的一个最大公因数。（√）
5
【判断题】对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。（√）


整数环的结构（四）
1
【单选题】gcd(56,24)=（A）
A、8
B、2

C、4
D、1
2
【单选题】如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。
A、除数和0
B、余数和1
C、被除数和余数
D、除数和余数
3
【单选题】对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用（）。
A、分解法
B、列项相消法
C、辗转相除法
D、十字相乘法
4
【判断题】计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（×）
5
【判断题】用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（×）


整数环的结构（五）
1

【单选题】若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。
A、3
B、5
C、4
D、2
2
【单选题】若a与b互素，有（B）。
A、(a,b)=a
B、(a,b)=1
C、(a,b)=b
D、（a,b）=0
3
【单选题】由b|ac及gac(a,b)=1有（C）。
A、a|c
B、b|a
C、b|c
D、a|b
4
【判断题】在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.（×）
5
【判断题】任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（×）

整数环的结构（六）
1
【单选题】p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出（C）。
A、(p,ab)=1
B、(p,b)=1
C、p|b
D、p|a
2
【单选题】若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）=（D）。
A、b
B、c
C、a
D、1
3
【单选题】对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于（A）。
A、1或p
B、p
C、1，a，pa
D、1
4
【判断题】所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（√）

5
【判断题】a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。（√）


整数环的结构（七）
1
【单选题】素数的特性之间的相互关系是（C）。
A、单独关系
B、不可逆
C、等价关系
D、不能单独运用
2
【单选题】p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是（D）。
A、复数
B、实数
C、整数
D、素数
3
【单选题】p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。
A、复数
B、实数
C、整数

D、素数
4
【多选题】1不是（BCD）。
A、有理数
B、无理数
C、素数
D、合数
5
【判断题】p是素数则p的正因子只有P。（×）
6
【判断题】合数都能分解成有限个素数的乘积。（√）


Zm的可逆元（一）
1
【单选题】Z6的可逆元是（A）。
A、1
B、3
C、2
D、0
2
【单选题】Z8中的零因子有（C）。

A、1、3、5、7
B、5、6、7、8
C、2、4、6、0
D、1、2、3、4
3
【单选题】在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。
A、互素
B、相反数
C、互合
D、不互素
4
【判断题】Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（√）
5
【判断题】p是素数，则Zp一定是域。（√）


Zm的可逆元（二）
1
【单选题】不属于Z7的可逆元是（A）。
A、7
B、3
C、5

D、1
2
【单选题】Z10的可逆元是（C）。
A、10
B、5
C、7
D、2
3
【单选题】在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。
A、38
B、19
C、91
D、34
4
【判断题】Z91中，34是可逆元。（√）
5
【判断题】Z81中，9是可逆元。（×）


模P剩余类域
1
【单选题】任一数域的特征为（D）。

A、1
B、无穷
C、e
D、0
2
【单选题】在域F中，e是单位元 ，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则F的特征是
（D）。
A、f
B、p
C、任意整数
D、0
3
【单选题】在域F中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。
A、合数
B、偶数
C、素数
D、奇数
4
【判断题】任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（√）
5
【判断题】设域F的单位元e，存在素数p使得pe=0。（√）

域的特征（一）
1
【单选题】域F的特征为p，对于任一a∈F，pa等于（D）。
A、p
B、a
C、1
D、0
2
【单选题】
Cpk=p(p-1)…(p-k-1)k!，其中1<=kA、
p

B、
0

C、
kp

D、
1

3
【单选题】特征为2的域是（A）。
A、Z2
B、Z5
C、Z
D、Z3
4
【判断题】设域F的特征为3，对任意的a，b∈F，有（a+b）^2=a^2+b^2。（×）
5
【判断题】设域F的特征为素数p，对任意的a，b∈F，有（a+b）^p=a^p+b^p。（√）


域的特征（二）
1
【单选题】设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）
A、0
B、p
C、-1
D、1
2
【单选题】68^13≡（D）（mod13）

A、67
B、69
C、66
D、68
3
【单选题】设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。
A、所有合数
B、P
C、所有素数
D、a
4
【判断题】设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（√）
5
【判断题】9877是素数。（×）


中国剩余定理（一）
1
【单选题】剩余定理是（D）人发明的。
A、古埃及
B、古罗马
C、古希腊

D、中国
2
【单选题】中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。
A、中值定理
B、儒歇定理
C、韦达定理
D、孙子定理
3
【单选题】首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。
A、南宋
B、三国
C、汉朝
D、唐朝
4
【判断题】“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（√）
5
【判断题】一次同余方程组在Z中是没有解的。（×）


中国剩余定理（二）
1
【单选题】n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n=（D）。

A、56
B、60
C、54
D、58
2
【单选题】n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n=（B）。
A、177
B、187
C、170
D、180
3
【单选题】最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。
A、秦九识
B、孙武
C、牛顿
D、祖冲之
4
【判断题】一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（√）
5
【判断题】欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（√）

欧拉函数（一）
1
【单选题】Z3的可逆元个数是（A）。
A、2
B、0
C、3
D、1
2
【单选题】Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。
A、1
B、p
C、p-1
D、0
3
【单选题】φ(m)等于（D）。
A、集合{1,2…m-1}中奇数的整数的个数
B、集合{1,2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
C、集合{1,2…m-1}中偶数的整数的个数
D、集合{1,2…m-1}中与m互素的整数的个数
4
【判断题】求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（×）
5

【判断题】在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（√）


欧拉函数（二）
1
【单选题】φ(4)=（A）
A、2
B、4
C、3
D、1
2
【单选题】当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。
A、10
B、7
C、8
D、2
3
【单选题】设p为素数，r为正整数 ，Ω={1，2,3,…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）
个。
A、p
B、r
C、pr

D、pr-1
4
【判断题】 φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（×）
5
【判断题】设p是素数，则φ(p)=p。（×）


欧拉函数（三）
1
【单选题】φ(12)=（B）
A、2
B、4
C、3
D、1
2
【单选题】φ(10)=（B）
A、2
B、4
C、3
D、1
3
【单选题】Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。

A、算术积
B、直和
C、集合
D、平方积
4
【判断题】φ(24)=φ(4)φ(6)（×）
5
【判断题】设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（√）


欧拉函数（四）
1
【单选题】Φ(3)Φ(4)=（D）
A、Φ(3)
B、Φ(4)
C、Φ(24)
D、Φ(12)
2
【单选题】Φ(7）=（D）
A、Φ(1)Φ(6)
B、Φ(2)Φ(5)
C、Φ(3)Φ(4)

D、Φ(2)Φ(9)
3
【单选题】有序元素对相等的映射是一个（D）。
A、散射
B、不对等映射
C、不完全映射
D、单射
4
【判断题】Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（√）
5
【判断题】Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（×）


欧拉函数（五）
1
【单选题】a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。
A、σ（a）是Zm的元素
B、σ（a）是Zm1的元素
C、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
D、σ（a）是Zm2的元素
2
【单选题】若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。

A、双射
B、不完全映射
C、互补映射
D、集体映射
3
【单选题】单射在满足（D）时是满射。
A、两集合元素不相等
B、两集交集为空集
C、两集合交集不为空集
D、两集合元素个数相等
4
【多选题】属于单射的是（ACD）。
A、x →2x + 1
B、x →x^3 − x
C、x → e^x
D、x → ln x
5
【多选题】数学上可以分三类函数包括（ACD）。
A、单射
B、反射
C、满射
D、双射

6
【判断题】对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（√）
7
【判断题】映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（√）


欧拉函数（六）
1
【单选题】根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。
A、480
B、1800
C、180
D、960
2
【单选题】属于双射的是（A）。
A、x →2x + 1
B、x → cosx
C、x → e^x
D、x → x^2
3
【单选题】不属于满射的是（B）。
A、x →2x + 1

B、x → x^2
C、x → x-1
D、x → x+1
4
【判断题】既是单射又是满射的映射称为双射。（√）
5
【判断题】x → ln x不是单射。（×）


环的同构（一）
1
【单选题】环R与环S同构，若R是除环则S（A）。
A、一定是除环
B、不一定是除环
C、可能是除环
D、不可能是除环
2
【单选题】环R与环S同构，若R是域则S（A）。
A、一定是域
B、不一定是域
C、可能是域
D、不可能是域

3
【单选题】环R与环S同构，若R是整环则S（A）。
A、一定是整环
B、不一定是整环
C、可能是整环
D、不可能是整环
4
【判断题】同构映射有保加法和除法的运算。（×）
5
【判断题】环R与环S同构，则R、S在代数性质上完全一致。（√）


环的同构（二）
1
【单选题】Z7中4的平方根有几个（A）。
A、2
B、0
C、3
D、1
2
【单选题】Z77中4的平方根有（B）个。
A、2

B、4
C、3
D、1
3
【单选题】二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。
A、一个
B、不存在
C、无穷多个
D、两个
4
【判断题】在Z77中，6是没有平方根的。（√）
5
【判断题】Z7和Z11的直和，与Z77同构。（√）


Z﹡m的结构（一）
1
【单选题】Z12*=（B）
A、{3,5,7,11}
B、{1,5,7,11}
C、{1,5,9,11}
D、{1,2,5,7}

2
【单选题】当群G满足（C）时，称群是一个交换群。
A、减法交换律
B、加法交换律
C、乘法交换律
D、除法交换律
3
【单选题】
非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。
A、
无数个

B、
有且只有1一个

C、
2个

D、
无法确定

4

【多选题】
群具有的性质包括（ABC）。
A、
结合律

B、
有逆元

C、
有单位元

D、
分配律

5
【判断题】在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（√）
6
【判断题】Z12*是保加法运算。（×）


Z﹡m的结构（二）
1

【单选题】Z12*的阶为（B）。
A、8
B、4
C、6
D、2
2
【单选题】若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。
A、任意次方
B、3
C、6
D、1
3
【单选题】Zm*的结构可以描述成（B）。
A、阶为φ(m)的交换环
B、阶为φ(m)的交换群
C、阶为φ(m)的交换类
D、阶为φ(m)的交换域
4
【判断题】Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（×）
5
【判断题】Zm*是一个交换群。（√）

Z﹡m的结构（三）
1
【单选题】Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。
A、4
B、1
C、3
D、6
2
【单选题】Z5*中2的阶是（B）。
A、2
B、4
C、3
D、1
3
【单选题】Z5*中3的阶是（B）。
A、2
B、4
C、3
D、1
4
【判断题】设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（√）

5
【判断题】在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（×）


欧拉定理循环群（一）
1
【单选题】若整数a与m互素，则aφ(m)模m等于（D）。
A、2
B、2a
C、a
D、1
2
【单选题】Z3*的生成元是（A）。
A、2
B、6
C、3
D、0
3
【单选题】群G中 ，如果有一个元素a使得G中每个元素都可以表示成a的（B）时称G
是循环群。
A、对数和
B、整数指数幂

C、对数幂
D、指数积
4
【判断题】Z9*的生成元是3和7。（×）
5
【判断题】Z1*，Z2*，Z3*，Z5*，Z8*，Z9*，Z12*都是循环群。（×）


欧拉定理循环群（二）
1
【单选题】
Z6的生成元是（D）。
A、
1

B、
7

C、
3

D、

5

2
【单选题】Zm*是具有可逆元，可以称为Zm的（D）。
A、分配群
B、交换群
C、结合群
D、单位群
3
【单选题】环R对于（D）可以构成一个群。
A、除法
B、乘法
C、减法
D、加法
4
【判断题】整数加群Z是有限循环群。（×）
5
【判断题】对于所有P，p为奇数，那么Zp就是一个域。（×）


素数的分布（一）
1

【单选题】小于10的素数有几个（B）。
A、2
B、4
C、3
D、1
2
【单选题】大于10而小于100的素数有（A）个。
A、21
B、23
C、20
D、22
3
【单选题】
素数总共有（C）个。
A、
1000

B、
21

C、
无数多个

数学的思维方式与创新


集合的划分（一）
1
【单选题】数学的整数集合用字母（D）表示。
A、M
B、W
C、N
D、Z
2
【单选题】（B）是第一个被提出的非欧几何。
A、解析几何
B、罗氏几何
C、黎曼几何
D、欧氏几何
3
【单选题】黎曼几何属于费欧几里德几何 ，并且认为过直线外一点有（A）直线与已知直线
平行。
A、没有直线
B、无数条
C、至少2条

D、一条
4
【判断题】在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。（√）
5
【判断题】代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。（×）


集合的划分（二）
1
【单选题】星期日用数学集合的方法表示是（A）。
A、{7R|R∈Z}
B、{5R|R∈Z}
C、{7R|R∈N}
D、{6R|R∈Z}
2
【单选题】A={1,2}，B={3,4},A∩B=（D）。
A、B
B、{1,2,3,4}
C、A
D、Φ
3
【单选题】将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到（B）。

A、自然数集
B、整数集
C、小数集
D、无理数集
4
【多选题】
集合的性质有（BCD）。
A、
封闭性

B、
互异性

C、
确定性

D、
无序性

5
【判断题】星期二和星期三集合的交集是空集。（√）
6

【判断题】空集属于任何集合。（×）


集合的划分（三）
1
【单选题】S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有（C）种。
A、4
B、2
C、3
D、5
2
【单选题】发明直角坐标系的人是（C）。
A、牛顿
B、伽罗瓦
C、笛卡尔
D、柯西
3
【单选题】如果S、M分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的（B）。
A、牛顿积
B、笛卡尔积
C、莱布尼茨积
D、康拓积

4
【判断题】空集是任何集合的子集。（√）
5
【判断题】任何集合都是它本身的子集。（√）


集合的划分（四）
1
【单选题】如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（B）。
A、x∈a
B、x的等价类=a的等价类
C、x=a
D、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积
2
【单选题】0与{0}的关系是（C）。
A、二元关系
B、等价关系
C、属于关系
D、包含关系
3
【单选题】设～是集合S上的一个等价关 系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定
的（A）。

A、等价类
B、等价集
C、等价积
D、等价转换
4
【判断题】如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。（×）
5
【判断题】A∩Φ=A（×）


等价关系（一）
1
【单选题】x∈a的等价类的充分必要条件是（B）。
A、x=a
B、x～a
C、x与a不相交
D、x>a
2
【单选题】设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（C）。
A、不可能满足
B、一定不满足
C、一定满足

D、不一定满足
3
【单选题】星期一到星期日可以被统称为（B）。
A、模3剩余类
B、模7剩余类
C、模1剩余类
D、模0剩余类
4
【多选题】等价关系具有的性质有（BCD）。
A、反对称性
B、对称性
C、反身性
D、传递性
5
【判断题】所有的二元关系都是等价关系。（×）
6
【判断题】如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。（√）


等价关系（二）
1
【单选题】设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有（C）个。

A、13
B、15
C、12
D、14
2
【单选题】对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为（C）。
A、不确定
B、{x|x∈A}
C、非空集
D、空集
3
【单选题】a与b被m除后余数相同的等价关系式是（A）。
A、a-b是m的整数倍
B、a是b的m倍
C、a*b是m的整数倍
D、a+b是m的整数倍
4
【判断题】整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。（×）
5
【判断题】设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。（×）

模m同余关系（一）
1
【单选题】在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出（D）。
A、a*b与c*d等价类相等
B、a+d与c-b等价类相等
C、a+c与d+d等价类相等
D、a+b与c+d等价类相等
2
【单选题】整数的四则运算不保“模m同余”的是（A）。
A、除法
B、减法
C、加法
D、乘法
3
【单选题】如果今天是星期五，过了370天，是（D）。
A、星期五
B、星期三
C、星期二
D、星期四
4
【判断题】同余理论是初等数学的核心。（√）
5

【判断题】整数的除法运算是保“模m同余”。（×）


模m同余关系（二）
1
【单选题】对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的（B）。
A、整元
B、负元
C、零元
D、正元
2
【单选题】Zm的结构实质是（C）。
A、整数环
B、m个元素
C、模m剩余环
D、一个集合
3
【单选题】集合S上的一个（B）运算是S*S到S的一个映射。
A、一元代数运算
B、二元代数运算
C、对数运算
D、二次幂运算

4
【判断题】中国剩余定理又称孙子定理。（√）
5
【判断题】
如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（）
（√）


模m剩余类环Zm（一）
1
【单选题】设R是一个环，a∈R，则a·0=（B）。
A、1
B、0
C、2
D、a
2
【单选题】Z的模m剩余类环的单位元是（D）。
A、2
B、0
C、3
D、1
3

【单选题】若环R满足交换律则称为（B）。
A、单位环
B、交换环
C、分配环
D、结合环
4
【判断题】设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。（√）
5
【判断题】整数的加法是奇数集的运算。（×）


模m剩余类环Zm（二）
1
【单选题】设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·（-b）=（D）。
A、-ab
B、b
C、a
D、ab
2
【单选题】设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·b=（B）。
A、ab
B、-ab

C、b
D、a
3
【单选题】设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。
A、ab
B、-ab
C、b
D、a
4
【判断题】环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（√）
5
【判断题】Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（√）


环的概念
1
【单选题】
Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。
A、2
B、4
C、1
D、3

2
【单选题】在模5环中可逆元有（D）个。
A、3
B、1
C、2
D、4
3
【单选题】设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。
A、-a
B、-e
C、e
D、a
4
【判断题】一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（×）
5
【判断题】环的零因子是一个零元。（×）


域的概念
1
【单选题】
不属于域的是（A）。

A、(Z,+,·)
B、(C,+,·)
C、(R,+,·)
D、(Q,+,·)
2 【单选题】设F是一个有单位元（不为0）的交换环，如果F的每个非零元都是可逆元，那
么称F是 一个（B）。
A、函数
B、域
C、积
D、元
3
【单选题】
最小的数域是（A）。
A、有理数域
B、整数域
C、实数域
D、复数域
4
【判断题】整环一定是域。（×）
5
【判断题】域必定是整环。（√）

整数环的结构（一）
1
【单选题】对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作（C）。
A、ba
B、b&a
C、b|a
D、b^a
2
【单选题】不属于整环的是（B）。
A、Z[i]
B、Z6
C、Z
D、Z2
3
【单选题】在整数环中没有（A）。
A、除法
B、加法
C、乘法
D、减法
4

【判断题】整数环是具有单位元的交换环。（√）
5
【判断题】整环是无零因子环。（√）


整数环的结构（二）
1
【单选题】能被3整除的数是（A）。
A、102
B、122
C、92
D、112
2
【单选题】不能被5整除的数是（D）。
A、220
B、425
C、115
D、323
3
【单选题】a与0 的一个最大公因数是（D）。
A、2a
B、1

C、0
D、a
4
【多选题】整环具有的性质包括（ACD）。
A、有单位元
B、有零因子
C、无零因子
D、交换环
5
【判断题】在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（×）
6
【判断题】整除关系是等价关系。（×）


整数环的结构（三）
1
【单选题】gac(234,567)=（C）
A、12
B、6
C、9
D、3
2

【单选题】对于a,b∈Z，如果有a =qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。
A、d是q与r的一个最大公因数
B、d是b与r的一个最大公因数
C、d是b与q的一个最大公因数
D、d是a与r的一个最大公因数
3
【单选题】若a=bq+r,则gac(a,b)=（C）。
A、gac(b,q)
B、gac(a,r)
C、gac(b,r)
D、gac(a,q)
4
【判断题】0是0与0的一个最大公因数。（√）
5
【判断题】对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。（√）


整数环的结构（四）
1
【单选题】gcd(56,24)=（A）
A、8
B、2

C、4
D、1
2
【单选题】如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。
A、除数和0
B、余数和1
C、被除数和余数
D、除数和余数
3
【单选题】对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用（）。
A、分解法
B、列项相消法
C、辗转相除法
D、十字相乘法
4
【判断题】计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（×）
5
【判断题】用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（×）


整数环的结构（五）
1

【单选题】若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。
A、3
B、5
C、4
D、2
2
【单选题】若a与b互素，有（B）。
A、(a,b)=a
B、(a,b)=1
C、(a,b)=b
D、（a,b）=0
3
【单选题】由b|ac及gac(a,b)=1有（C）。
A、a|c
B、b|a
C、b|c
D、a|b
4
【判断题】在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.（×）
5
【判断题】任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（×）

整数环的结构（六）
1
【单选题】p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出（C）。
A、(p,ab)=1
B、(p,b)=1
C、p|b
D、p|a
2
【单选题】若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）=（D）。
A、b
B、c
C、a
D、1
3
【单选题】对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于（A）。
A、1或p
B、p
C、1，a，pa
D、1
4
【判断题】所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（√）

5
【判断题】a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。（√）


整数环的结构（七）
1
【单选题】素数的特性之间的相互关系是（C）。
A、单独关系
B、不可逆
C、等价关系
D、不能单独运用
2
【单选题】p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是（D）。
A、复数
B、实数
C、整数
D、素数
3
【单选题】p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。
A、复数
B、实数
C、整数

D、素数
4
【多选题】1不是（BCD）。
A、有理数
B、无理数
C、素数
D、合数
5
【判断题】p是素数则p的正因子只有P。（×）
6
【判断题】合数都能分解成有限个素数的乘积。（√）


Zm的可逆元（一）
1
【单选题】Z6的可逆元是（A）。
A、1
B、3
C、2
D、0
2
【单选题】Z8中的零因子有（C）。

A、1、3、5、7
B、5、6、7、8
C、2、4、6、0
D、1、2、3、4
3
【单选题】在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。
A、互素
B、相反数
C、互合
D、不互素
4
【判断题】Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（√）
5
【判断题】p是素数，则Zp一定是域。（√）


Zm的可逆元（二）
1
【单选题】不属于Z7的可逆元是（A）。
A、7
B、3
C、5

D、1
2
【单选题】Z10的可逆元是（C）。
A、10
B、5
C、7
D、2
3
【单选题】在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。
A、38
B、19
C、91
D、34
4
【判断题】Z91中，34是可逆元。（√）
5
【判断题】Z81中，9是可逆元。（×）


模P剩余类域
1
【单选题】任一数域的特征为（D）。

A、1
B、无穷
C、e
D、0
2
【单选题】在域F中，e是单位元 ，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则F的特征是
（D）。
A、f
B、p
C、任意整数
D、0
3
【单选题】在域F中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。
A、合数
B、偶数
C、素数
D、奇数
4
【判断题】任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（√）
5
【判断题】设域F的单位元e，存在素数p使得pe=0。（√）

域的特征（一）
1
【单选题】域F的特征为p，对于任一a∈F，pa等于（D）。
A、p
B、a
C、1
D、0
2
【单选题】
Cpk=p(p-1)…(p-k-1)k!，其中1<=kA、
p

B、
0

C、
kp

D、
1

3
【单选题】特征为2的域是（A）。
A、Z2
B、Z5
C、Z
D、Z3
4
【判断题】设域F的特征为3，对任意的a，b∈F，有（a+b）^2=a^2+b^2。（×）
5
【判断题】设域F的特征为素数p，对任意的a，b∈F，有（a+b）^p=a^p+b^p。（√）


域的特征（二）
1
【单选题】设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）
A、0
B、p
C、-1
D、1
2
【单选题】68^13≡（D）（mod13）

A、67
B、69
C、66
D、68
3
【单选题】设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。
A、所有合数
B、P
C、所有素数
D、a
4
【判断题】设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（√）
5
【判断题】9877是素数。（×）


中国剩余定理（一）
1
【单选题】剩余定理是（D）人发明的。
A、古埃及
B、古罗马
C、古希腊

D、中国
2
【单选题】中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。
A、中值定理
B、儒歇定理
C、韦达定理
D、孙子定理
3
【单选题】首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。
A、南宋
B、三国
C、汉朝
D、唐朝
4
【判断题】“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（√）
5
【判断题】一次同余方程组在Z中是没有解的。（×）


中国剩余定理（二）
1
【单选题】n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n=（D）。

A、56
B、60
C、54
D、58
2
【单选题】n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n=（B）。
A、177
B、187
C、170
D、180
3
【单选题】最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。
A、秦九识
B、孙武
C、牛顿
D、祖冲之
4
【判断题】一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（√）
5
【判断题】欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（√）

欧拉函数（一）
1
【单选题】Z3的可逆元个数是（A）。
A、2
B、0
C、3
D、1
2
【单选题】Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。
A、1
B、p
C、p-1
D、0
3
【单选题】φ(m)等于（D）。
A、集合{1,2…m-1}中奇数的整数的个数
B、集合{1,2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
C、集合{1,2…m-1}中偶数的整数的个数
D、集合{1,2…m-1}中与m互素的整数的个数
4
【判断题】求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（×）
5

【判断题】在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（√）


欧拉函数（二）
1
【单选题】φ(4)=（A）
A、2
B、4
C、3
D、1
2
【单选题】当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。
A、10
B、7
C、8
D、2
3
【单选题】设p为素数，r为正整数 ，Ω={1，2,3,…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）
个。
A、p
B、r
C、pr

D、pr-1
4
【判断题】 φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（×）
5
【判断题】设p是素数，则φ(p)=p。（×）


欧拉函数（三）
1
【单选题】φ(12)=（B）
A、2
B、4
C、3
D、1
2
【单选题】φ(10)=（B）
A、2
B、4
C、3
D、1
3
【单选题】Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。

A、算术积
B、直和
C、集合
D、平方积
4
【判断题】φ(24)=φ(4)φ(6)（×）
5
【判断题】设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（√）


欧拉函数（四）
1
【单选题】Φ(3)Φ(4)=（D）
A、Φ(3)
B、Φ(4)
C、Φ(24)
D、Φ(12)
2
【单选题】Φ(7）=（D）
A、Φ(1)Φ(6)
B、Φ(2)Φ(5)
C、Φ(3)Φ(4)

D、Φ(2)Φ(9)
3
【单选题】有序元素对相等的映射是一个（D）。
A、散射
B、不对等映射
C、不完全映射
D、单射
4
【判断题】Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（√）
5
【判断题】Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（×）


欧拉函数（五）
1
【单选题】a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。
A、σ（a）是Zm的元素
B、σ（a）是Zm1的元素
C、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
D、σ（a）是Zm2的元素
2
【单选题】若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。

A、双射
B、不完全映射
C、互补映射
D、集体映射
3
【单选题】单射在满足（D）时是满射。
A、两集合元素不相等
B、两集交集为空集
C、两集合交集不为空集
D、两集合元素个数相等
4
【多选题】属于单射的是（ACD）。
A、x →2x + 1
B、x →x^3 − x
C、x → e^x
D、x → ln x
5
【多选题】数学上可以分三类函数包括（ACD）。
A、单射
B、反射
C、满射
D、双射

6
【判断题】对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（√）
7
【判断题】映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（√）


欧拉函数（六）
1
【单选题】根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。
A、480
B、1800
C、180
D、960
2
【单选题】属于双射的是（A）。
A、x →2x + 1
B、x → cosx
C、x → e^x
D、x → x^2
3
【单选题】不属于满射的是（B）。
A、x →2x + 1

B、x → x^2
C、x → x-1
D、x → x+1
4
【判断题】既是单射又是满射的映射称为双射。（√）
5
【判断题】x → ln x不是单射。（×）


环的同构（一）
1
【单选题】环R与环S同构，若R是除环则S（A）。
A、一定是除环
B、不一定是除环
C、可能是除环
D、不可能是除环
2
【单选题】环R与环S同构，若R是域则S（A）。
A、一定是域
B、不一定是域
C、可能是域
D、不可能是域

3
【单选题】环R与环S同构，若R是整环则S（A）。
A、一定是整环
B、不一定是整环
C、可能是整环
D、不可能是整环
4
【判断题】同构映射有保加法和除法的运算。（×）
5
【判断题】环R与环S同构，则R、S在代数性质上完全一致。（√）


环的同构（二）
1
【单选题】Z7中4的平方根有几个（A）。
A、2
B、0
C、3
D、1
2
【单选题】Z77中4的平方根有（B）个。
A、2

B、4
C、3
D、1
3
【单选题】二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。
A、一个
B、不存在
C、无穷多个
D、两个
4
【判断题】在Z77中，6是没有平方根的。（√）
5
【判断题】Z7和Z11的直和，与Z77同构。（√）


Z﹡m的结构（一）
1
【单选题】Z12*=（B）
A、{3,5,7,11}
B、{1,5,7,11}
C、{1,5,9,11}
D、{1,2,5,7}

2
【单选题】当群G满足（C）时，称群是一个交换群。
A、减法交换律
B、加法交换律
C、乘法交换律
D、除法交换律
3
【单选题】
非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。
A、
无数个

B、
有且只有1一个

C、
2个

D、
无法确定

4

【多选题】
群具有的性质包括（ABC）。
A、
结合律

B、
有逆元

C、
有单位元

D、
分配律

5
【判断题】在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（√）
6
【判断题】Z12*是保加法运算。（×）


Z﹡m的结构（二）
1

【单选题】Z12*的阶为（B）。
A、8
B、4
C、6
D、2
2
【单选题】若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。
A、任意次方
B、3
C、6
D、1
3
【单选题】Zm*的结构可以描述成（B）。
A、阶为φ(m)的交换环
B、阶为φ(m)的交换群
C、阶为φ(m)的交换类
D、阶为φ(m)的交换域
4
【判断题】Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（×）
5
【判断题】Zm*是一个交换群。（√）

Z﹡m的结构（三）
1
【单选题】Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。
A、4
B、1
C、3
D、6
2
【单选题】Z5*中2的阶是（B）。
A、2
B、4
C、3
D、1
3
【单选题】Z5*中3的阶是（B）。
A、2
B、4
C、3
D、1
4
【判断题】设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（√）

5
【判断题】在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（×）


欧拉定理循环群（一）
1
【单选题】若整数a与m互素，则aφ(m)模m等于（D）。
A、2
B、2a
C、a
D、1
2
【单选题】Z3*的生成元是（A）。
A、2
B、6
C、3
D、0
3
【单选题】群G中 ，如果有一个元素a使得G中每个元素都可以表示成a的（B）时称G
是循环群。
A、对数和
B、整数指数幂

C、对数幂
D、指数积
4
【判断题】Z9*的生成元是3和7。（×）
5
【判断题】Z1*，Z2*，Z3*，Z5*，Z8*，Z9*，Z12*都是循环群。（×）


欧拉定理循环群（二）
1
【单选题】
Z6的生成元是（D）。
A、
1

B、
7

C、
3

D、

5

2
【单选题】Zm*是具有可逆元，可以称为Zm的（D）。
A、分配群
B、交换群
C、结合群
D、单位群
3
【单选题】环R对于（D）可以构成一个群。
A、除法
B、乘法
C、减法
D、加法
4
【判断题】整数加群Z是有限循环群。（×）
5
【判断题】对于所有P，p为奇数，那么Zp就是一个域。（×）


素数的分布（一）
1

【单选题】小于10的素数有几个（B）。
A、2
B、4
C、3
D、1
2
【单选题】大于10而小于100的素数有（A）个。
A、21
B、23
C、20
D、22
3
【单选题】
素数总共有（C）个。
A、
1000

B、
21

C、
无数多个