辽宁政法职业学院-学习和工作简历

陈晓辉．微波技术备课笔记
习题课
1.1 设一特性阻抗为50Ω的均匀传 输线终端接负载R
l
=100Ω，求负载反射系数Γ
l
，在
离负载0 .2λ、0.25λ及0.5λ处的输入阻抗及反射系数分别为多少？
解：根据终端反射系数与终端阻抗的关系

l

Z
1Z
0
100501


Z
1
Z
0
100503
根据传输线上任一点的反射系数与输入阻抗的关系
G(z)=G
l
e
-j2bz

Z
in
=Z
0
1+G(z)

1-G(z)
得到离负载0.2λ、0.25λ及0.5λ处的输入阻抗及反射系数分别为 < br>G(0.2λ)=G
l
e
-j2
2π
0.2λ
λ=
1
-
e
3
j0.8π

Z
in
(0.2λ)=29.43?23.79Ω

G(0.25λ )=G
l
e
-j2
2π
0.25λ
λ
=-
1

3
Z
in
(0.25l)=25Ω

G(0. 5λ)=G
l
e
-j2
2π
0.5λ
λ
=
1
（反射系数具有λ2周期性）
3
Z
in
(0.5l)=100Ω
（输入阻抗具有λ2周期性）
1.2 求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm的空气同轴线的特性阻抗；若在两导体间< br>填充介电常数εr=2.25的介质，求其特性阻抗及300MHz时的波长。
解：空气同轴线的特性阻抗为
Z
0
=60ln
b0.75
=60ln=65.9Ω

a0.25
填充相对介电常数εr=2.25的介质后，其特性阻抗为
Z
0
=
f=300Mhz时的波长
60b
ln=
e
r
a
600.75
ln=43.9Ω

2.25
0.25
1

陈晓辉．微波技术备课笔记
l=
cf
=0.67m

e
r
1.4 有一特性阻 抗Z
0
=50Ω的无耗均匀传输线,导体间的媒质参数εr=2.25，μr=1，终
端接有R
l
=1Ω的负载。当f=100MHz时，其线长度为λ4。试求：
① 传输线实际长度；
② 负载终端反射系数；
③ 输入端反射系数；
④ 输入端阻抗。
解：①传输线上的波长为
l
g
=
所以，传输线的实际长度为
cf
=2m

e
r
l=
l
g
4
=0.5m

②根据终端反射系数与终端阻抗的关系

l

Z
1
Z
0
15049


Z
1
Z
0
15051
③根据传输线上任一点的反射系数与终端反射系数的关系
G(z)= G
l
e
-j2bz
49
-
=-e
51
j2
2p
0.25l
l
=
49

51
④传输线上任一点的反射系数与输入阻抗的关系
49
1+G(z)
51
=2500Ω

Z
in=Z
0
=50
49
1-G(z)
1-
51
1+
1.10 特性阻抗为Z
0
=150Ω的均匀无耗传输线, 终端接有负载Z
l
=250+j100Ω，用λ4
阻抗变换器实现阻抗匹配（如图所示），试求λ4阻抗变换器 的特性阻抗Z
01
及离终端距离。
解：先把阻感性负载，通过一段特性阻抗为Z0的 传输线，变为纯阻性负载。由于终端
反射系数为
G
l
=
Z
l
-Z
0
250+j100-150
==0.343?0.54
< br>Z
l
+Z
0
250+j100+150
离波腹点较近。第一个 波腹点离负载的距离为
l
max
=
ll
f
l
=0 .54=0.043l

4p4p
R
max
=Z
0
r

即在距离负载l=0.043λ可以得到一个纯电阻阻抗，电阻值为
2

陈晓辉．微波技术备课笔记
r=
1+|G
l
|
=2.0441

1-|Gl
|
在此处插入一个λ4阻抗变换器即可实现阻抗匹配，其可特性阻抗为
Z01
=Z
0
R
max
=
2
rZ
0=214.46Ω

1.12在特性阻抗为600Ω的无耗双导线上测得|U|
max
为200 V，|U |
min
为40V，第一个电
压波节点的位置l
min1
=0.15 λ，求负载Z
l
。今用并联支节进行匹配，求出支节的位置和长度。
解：传输线上驻波比
r=
第一组解
|U|
max
=5

|U|
min
l
1< br>'


1
arctan0.0669

2


l
2


4


1

arctan0.4189


2


l
1
=l
1
′+l
min1
=0.2169λ
l
2
=0.4189λ
另一组解
l
1
'


2π
arctan
1

0.0669


l
2


4


2π
arctan
1


0.0811


l
1
=l
1
′+l
min1
= 0.1831λ
l
2
=0.0811λ
2.1 试说明规则金属波导内不能传播TEM波的原因
答：空心波导内不能存在TEM波。这是因为，如果内 部存在TEM波，则要求磁场应
完全在波导的横截面内，而且是闭合回线。由麦克斯韦方程可知，b闭合 曲线线磁场的环路
积分应等于与回路交链的轴向电流。此处是空心波导，不存在轴向的传导电流，故必要 求有
轴向的位移电流，由位移电流的定义式
J
d
=
¶
D知，这时必有轴向变化的电场存在。这与
¶
t
TEM波电场、磁场仅存在于垂直于 传播方向的横截面内的命题是完全矛盾的，所以波导内
不能存在TEM波。
2.2矩形波导的横截面尺寸为a=22.86mm, b=10.16mm, 将自由空间波长为20mm、30mm
和50mm的信号接入此波导，能否传输？若能，出现哪些模式？
解：当λ<λc时信号能传播，矩形波导中各模式的截止波长为
3

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l
cTE
10
=2a= 45.72mm
l
cTE
20
=a=22.86mm
l
cT E
01
=2b=20.32mm
l
cTE
11
=l
cTM
11
=
2
骣
1
鼢
骣
1
珑< br>+
鼢
珑
珑
桫
a
鼢
桫
b
22
=
2ab
a+b
22

=18.5687mm
因此 当λ=50mm时，所有模式都截止；λ=30mm时，只有主模TE10模成为传导模；当λ
=20m m时，TE10、TE20、TE01三种模式为传导模。
2.3 矩形波导截面尺寸为a×b=23mm×10 mm，波导内充满空气，信号源频率为10
GHz，试求：
① 波导中可以传播的模式；
② 该模式的截止波长λc、相移常数β、波导波长λg及相速v
p
。
解：①信号的工作波长
λ=cf=3cm=30mm
各模式的截止波长
l
cTE
10
=2a=46mm
l
cTE
20
=a =23mm

l
cTE
01
=2b=20mm
所以当频率为 3GHz时，波导内只有TE10模
②截止波长
λc==2a=46mm
相移常数
2p
l
2
骣骣
mpnp
2
鼢< br>珑
k
c
=
珑
鼢
+
珑
桫
a< br>鼢
桫
a
k=
波导波长
2
骣
p
?

=
?
?
?
?
?
桫
a
2
b=k
2
-k
c
2=158.8 radm
2p
=39.5mm

b
l
g
=
相速
v
p
=
w2pf
==3.95?10
8
ms

bb
2.12 什么叫模式简并？矩形波导和圆形波导中模式简并有何异同？
答：波导中，场结构不同但传输特性相同 的两种模式称为简并模，这里传输特性相同，
主要指的是截止波数kc相同。矩形波导中TEmn模和T Mmn模的截止波数
4

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k
c< br>=
骣
mp
鼢
骣
np
珑
+
鼢
珑
珑
桫
a
鼢
桫
a
22
，因此在矩形波导中 对于同一组m、n，TEmn模和TMmn构成简并模。
在圆形波导中，TE
0n
和T M
1n
构成E-H简并，而对于m≠0的非圆对称模式存在极化简并。
2.13 圆波导中最低次模是什么模式？旋转对称模式中最低阶模是什么模式？损耗最小
的模式是什么模式？ < br>答：圆波导中最低次模是TE
11
模；旋转对称模式中最低阶模是TM
01模；损耗最小的
模式是TE
01
模。
2.15 在波导激励中常用哪三种激励方式？
答：电激励、磁激励和电流激励。
3.2一根以聚四氟乙烯(εr=2.1)为填充介质的带状线，已知b=5 mm，t=0.25 mm，w=2
mm，求此带状线的特性阻抗及其不出现高次模式的最高工作频率。
解：各参数的含义如图所示

根据p61页3-1-4由下向上进行计算可得：Z< br>0
=69.4Ω。带状线的主模为TEM模，但若工作
频率过高也会引起高次模，最短工 作波长应满足
l
min
>max(l
cTE
10
,lcTM
10
)

根据62页3-1-9式和3-1-10式
l
cTE
10
=2we
r
=5.8mm
l
cTM10
=2be
r
=14.5mm
所以最高工作频率

f
max
=
c
l
min
3
´
10
8
==20GHz

-3
14.5
´
10
3.3 已知某微带的导带宽度为w=2mm，厚度t→0，介质基片厚度h=1mm，相对介电常
数εr=9， 求此微带的有效填充因子q和有效介电常数εe及特性阻抗Z
0
（设空气微带特性
阻抗 Z
0
a
=88Ω）
解：根据66页3-1-25式，由于这里wh=2，因此应使用第二式来计算填充因子
q
11

12h



1

22

w



1
2
0.689

有效介电常数，根据63页3-1-27

e
1q(

r
1)6.5

5

陈晓辉．微波技术备课笔记
特性阻抗
Z
0

Z
0

e
34.5

4.5 设某系统 如图所示，双端口网络为无耗互易对称网络，在终端参考面T2处接匹配
负载，测得距参考面T1距离l
1
=0.125 λ
g
处为电压波节点，驻波系数为1.5，试求该双端口
网络的散射矩阵。

解：可以先求S11，它就是T1面的反射系数。根据驻波比可以求出反射系数的模值。

l


1
0.2


1
在smith圆图上，画驻波比为0.2的圆，与负实轴的交点为波节点，从波节点朝负载（逆时
针）走0.125λ，也就是90°，到T1面，可以看出T1面反射系数的相角应为-π2，所以
S
11
=G
T1
=0.2e
-j
p
2
=- j0.2

由于网络对称：S11=S22；由于网络互易S12=S21，所以只需求出S2 1即可，由于网络无耗
[S]
+
[S]=[I]
轾轾
轾
-j0.2S
21
-j0.2S
21
10
犏犏
=
犏
犏
S
21
-j0.2
犏
-j0.2
犏
01
臌
臌臌
S
21
*
轾
j0.2S
轾
轾
-j0.2S
21
10
21
犏
犏
犏
=< br>犏
*
-j0.2
犏
01
Sj0.2
犏
犏臌
臌
S
21
臌
21
0.04+S
21
=1
*
j0.2S
21
-j0.2S
21
=0
2< br>+

?S
21
*
S
21
=0
可以得 出S21=±0.98，所以S矩阵为
轾轾
-j0.20.98-j0.2-0.98
犏
或
犏
< br>犏犏
0.98-j0.2
臌
-0.98-j0.2
臌
4.7求 如图所示网络的［S］矩阵。
6

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< br>解：可以先求出各网络归一化a矩阵，相乘得到整个网络a，矩阵，通过S与a的关系，
得到网络 的S矩阵。
轾
cosq
1
jsinq
1
轾
cos q
2
jsinq
2
10
轾
犏犏
犏
[a]=
犏
jsinq
1
cosq
1
犏
jsinq
2
cosq
2
y1
犏
臌
臌臌

轾
cos(q+q
2
)+jysinq
1
cosq
2
jsin (q
1
+q
2
)-ysinq
1
sinq
2
=
犏
1
犏
ycosq
1
cosq
2
+j sin(q
1
+q
2
)cos(q
1
+q
2
)+jycosq
1
sinq
2
臌
根据a矩阵和S矩阵的关系 < br>轾
y
-j2q
1
犏
-e
犏
2+y
[ S]=
犏
犏
y
-j(q
1
+q
2
)
犏
e
犏
2+y
臌
y
-j(q
1
+q2
)
e
2+y

y
-j2q
2
-e
2+y
4.8 设双端口网络［S］已知，终端接有负载Z
l
，如图所示，求输入端反射系数。

解：终端负载为Z
l
，那么终端反射系数
G
l
=
那么根据93页4-4-22，输入端反射系数
Z
l
-Z
0

Z
l
+Z
0
2
S
12
G
l

G
in
=S
1 1
+
1-S
22
G
l


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习题课
1.1 设一特性阻抗为50Ω 的均匀传输线终端接负载R
l
=100Ω，求负载反射系数Γ
l
，在
离负载0.2λ、0.25λ及0.5λ处的输入阻抗及反射系数分别为多少？
解：根据终端反射系数与终端阻抗的关系

l

Z
1Z
0
100501


Z
1
Z
0
100503
根据传输线上任一点的反射系数与输入阻抗的关系
G(z)=G
l
e
-j2bz

Z
in
=Z
0
1+G(z)

1-G(z)
得到离负载0.2λ、0.25λ及0.5λ处的输入阻抗及反射系数分别为 < br>G(0.2λ)=G
l
e
-j2
2π
0.2λ
λ=
1
-
e
3
j0.8π

Z
in
(0.2λ)=29.43?23.79Ω

G(0.25λ )=G
l
e
-j2
2π
0.25λ
λ
=-
1

3
Z
in
(0.25l)=25Ω

G(0. 5λ)=G
l
e
-j2
2π
0.5λ
λ
=
1
（反射系数具有λ2周期性）
3
Z
in
(0.5l)=100Ω
（输入阻抗具有λ2周期性）
1.2 求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm的空气同轴线的特性阻抗；若在两导体间< br>填充介电常数εr=2.25的介质，求其特性阻抗及300MHz时的波长。
解：空气同轴线的特性阻抗为
Z
0
=60ln
b0.75
=60ln=65.9Ω

a0.25
填充相对介电常数εr=2.25的介质后，其特性阻抗为
Z
0
=
f=300Mhz时的波长
60b
ln=
e
r
a
600.75
ln=43.9Ω

2.25
0.25
1

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l=
cf
=0.67m

e
r
1.4 有一特性阻 抗Z
0
=50Ω的无耗均匀传输线,导体间的媒质参数εr=2.25，μr=1，终
端接有R
l
=1Ω的负载。当f=100MHz时，其线长度为λ4。试求：
① 传输线实际长度；
② 负载终端反射系数；
③ 输入端反射系数；
④ 输入端阻抗。
解：①传输线上的波长为
l
g
=
所以，传输线的实际长度为
cf
=2m

e
r
l=
l
g
4
=0.5m

②根据终端反射系数与终端阻抗的关系

l

Z
1
Z
0
15049


Z
1
Z
0
15051
③根据传输线上任一点的反射系数与终端反射系数的关系
G(z)= G
l
e
-j2bz
49
-
=-e
51
j2
2p
0.25l
l
=
49

51
④传输线上任一点的反射系数与输入阻抗的关系
49
1+G(z)
51
=2500Ω

Z
in=Z
0
=50
49
1-G(z)
1-
51
1+
1.10 特性阻抗为Z
0
=150Ω的均匀无耗传输线, 终端接有负载Z
l
=250+j100Ω，用λ4
阻抗变换器实现阻抗匹配（如图所示），试求λ4阻抗变换器 的特性阻抗Z
01
及离终端距离。
解：先把阻感性负载，通过一段特性阻抗为Z0的 传输线，变为纯阻性负载。由于终端
反射系数为
G
l
=
Z
l
-Z
0
250+j100-150
==0.343?0.54
< br>Z
l
+Z
0
250+j100+150
离波腹点较近。第一个 波腹点离负载的距离为
l
max
=
ll
f
l
=0 .54=0.043l

4p4p
R
max
=Z
0
r

即在距离负载l=0.043λ可以得到一个纯电阻阻抗，电阻值为
2

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r=
1+|G
l
|
=2.0441

1-|Gl
|
在此处插入一个λ4阻抗变换器即可实现阻抗匹配，其可特性阻抗为
Z01
=Z
0
R
max
=
2
rZ
0=214.46Ω

1.12在特性阻抗为600Ω的无耗双导线上测得|U|
max
为200 V，|U |
min
为40V，第一个电
压波节点的位置l
min1
=0.15 λ，求负载Z
l
。今用并联支节进行匹配，求出支节的位置和长度。
解：传输线上驻波比
r=
第一组解
|U|
max
=5

|U|
min
l
1< br>'


1
arctan0.0669

2


l
2


4


1

arctan0.4189


2


l
1
=l
1
′+l
min1
=0.2169λ
l
2
=0.4189λ
另一组解
l
1
'


2π
arctan
1

0.0669


l
2


4


2π
arctan
1


0.0811


l
1
=l
1
′+l
min1
= 0.1831λ
l
2
=0.0811λ
2.1 试说明规则金属波导内不能传播TEM波的原因
答：空心波导内不能存在TEM波。这是因为，如果内 部存在TEM波，则要求磁场应
完全在波导的横截面内，而且是闭合回线。由麦克斯韦方程可知，b闭合 曲线线磁场的环路
积分应等于与回路交链的轴向电流。此处是空心波导，不存在轴向的传导电流，故必要 求有
轴向的位移电流，由位移电流的定义式
J
d
=
¶
D知，这时必有轴向变化的电场存在。这与
¶
t
TEM波电场、磁场仅存在于垂直于 传播方向的横截面内的命题是完全矛盾的，所以波导内
不能存在TEM波。
2.2矩形波导的横截面尺寸为a=22.86mm, b=10.16mm, 将自由空间波长为20mm、30mm
和50mm的信号接入此波导，能否传输？若能，出现哪些模式？
解：当λ<λc时信号能传播，矩形波导中各模式的截止波长为
3

陈晓辉．微波技术备课笔记
l
cTE
10
=2a= 45.72mm
l
cTE
20
=a=22.86mm
l
cT E
01
=2b=20.32mm
l
cTE
11
=l
cTM
11
=
2
骣
1
鼢
骣
1
珑< br>+
鼢
珑
珑
桫
a
鼢
桫
b
22
=
2ab
a+b
22

=18.5687mm
因此 当λ=50mm时，所有模式都截止；λ=30mm时，只有主模TE10模成为传导模；当λ
=20m m时，TE10、TE20、TE01三种模式为传导模。
2.3 矩形波导截面尺寸为a×b=23mm×10 mm，波导内充满空气，信号源频率为10
GHz，试求：
① 波导中可以传播的模式；
② 该模式的截止波长λc、相移常数β、波导波长λg及相速v
p
。
解：①信号的工作波长
λ=cf=3cm=30mm
各模式的截止波长
l
cTE
10
=2a=46mm
l
cTE
20
=a =23mm

l
cTE
01
=2b=20mm
所以当频率为 3GHz时，波导内只有TE10模
②截止波长
λc==2a=46mm
相移常数
2p
l
2
骣骣
mpnp
2
鼢< br>珑
k
c
=
珑
鼢
+
珑
桫
a< br>鼢
桫
a
k=
波导波长
2
骣
p
?

=
?
?
?
?
?
桫
a
2
b=k
2
-k
c
2=158.8 radm
2p
=39.5mm

b
l
g
=
相速
v
p
=
w2pf
==3.95?10
8
ms

bb
2.12 什么叫模式简并？矩形波导和圆形波导中模式简并有何异同？
答：波导中，场结构不同但传输特性相同 的两种模式称为简并模，这里传输特性相同，
主要指的是截止波数kc相同。矩形波导中TEmn模和T Mmn模的截止波数
4

陈晓辉．微波技术备课笔记
k
c< br>=
骣
mp
鼢
骣
np
珑
+
鼢
珑
珑
桫
a
鼢
桫
a
22
，因此在矩形波导中 对于同一组m、n，TEmn模和TMmn构成简并模。
在圆形波导中，TE
0n
和T M
1n
构成E-H简并，而对于m≠0的非圆对称模式存在极化简并。
2.13 圆波导中最低次模是什么模式？旋转对称模式中最低阶模是什么模式？损耗最小
的模式是什么模式？ < br>答：圆波导中最低次模是TE
11
模；旋转对称模式中最低阶模是TM
01模；损耗最小的
模式是TE
01
模。
2.15 在波导激励中常用哪三种激励方式？
答：电激励、磁激励和电流激励。
3.2一根以聚四氟乙烯(εr=2.1)为填充介质的带状线，已知b=5 mm，t=0.25 mm，w=2
mm，求此带状线的特性阻抗及其不出现高次模式的最高工作频率。
解：各参数的含义如图所示

根据p61页3-1-4由下向上进行计算可得：Z< br>0
=69.4Ω。带状线的主模为TEM模，但若工作
频率过高也会引起高次模，最短工 作波长应满足
l
min
>max(l
cTE
10
,lcTM
10
)

根据62页3-1-9式和3-1-10式
l
cTE
10
=2we
r
=5.8mm
l
cTM10
=2be
r
=14.5mm
所以最高工作频率

f
max
=
c
l
min
3
´
10
8
==20GHz

-3
14.5
´
10
3.3 已知某微带的导带宽度为w=2mm，厚度t→0，介质基片厚度h=1mm，相对介电常
数εr=9， 求此微带的有效填充因子q和有效介电常数εe及特性阻抗Z
0
（设空气微带特性
阻抗 Z
0
a
=88Ω）
解：根据66页3-1-25式，由于这里wh=2，因此应使用第二式来计算填充因子
q
11

12h



1

22

w



1
2
0.689

有效介电常数，根据63页3-1-27

e
1q(

r
1)6.5

5

陈晓辉．微波技术备课笔记
特性阻抗
Z
0

Z
0

e
34.5

4.5 设某系统 如图所示，双端口网络为无耗互易对称网络，在终端参考面T2处接匹配
负载，测得距参考面T1距离l
1
=0.125 λ
g
处为电压波节点，驻波系数为1.5，试求该双端口
网络的散射矩阵。

解：可以先求S11，它就是T1面的反射系数。根据驻波比可以求出反射系数的模值。

l


1
0.2


1
在smith圆图上，画驻波比为0.2的圆，与负实轴的交点为波节点，从波节点朝负载（逆时
针）走0.125λ，也就是90°，到T1面，可以看出T1面反射系数的相角应为-π2，所以
S
11
=G
T1
=0.2e
-j
p
2
=- j0.2

由于网络对称：S11=S22；由于网络互易S12=S21，所以只需求出S2 1即可，由于网络无耗
[S]
+
[S]=[I]
轾轾
轾
-j0.2S
21
-j0.2S
21
10
犏犏
=
犏
犏
S
21
-j0.2
犏
-j0.2
犏
01
臌
臌臌
S
21
*
轾
j0.2S
轾
轾
-j0.2S
21
10
21
犏
犏
犏
=< br>犏
*
-j0.2
犏
01
Sj0.2
犏
犏臌
臌
S
21
臌
21
0.04+S
21
=1
*
j0.2S
21
-j0.2S
21
=0
2< br>+

?S
21
*
S
21
=0
可以得 出S21=±0.98，所以S矩阵为
轾轾
-j0.20.98-j0.2-0.98
犏
或
犏
< br>犏犏
0.98-j0.2
臌
-0.98-j0.2
臌
4.7求 如图所示网络的［S］矩阵。
6

陈晓辉．微波技术备课笔记
< br>解：可以先求出各网络归一化a矩阵，相乘得到整个网络a，矩阵，通过S与a的关系，
得到网络 的S矩阵。
轾
cosq
1
jsinq
1
轾
cos q
2
jsinq
2
10
轾
犏犏
犏
[a]=
犏
jsinq
1
cosq
1
犏
jsinq
2
cosq
2
y1
犏
臌
臌臌

轾
cos(q+q
2
)+jysinq
1
cosq
2
jsin (q
1
+q
2
)-ysinq
1
sinq
2
=
犏
1
犏
ycosq
1
cosq
2
+j sin(q
1
+q
2
)cos(q
1
+q
2
)+jycosq
1
sinq
2
臌
根据a矩阵和S矩阵的关系 < br>轾
y
-j2q
1
犏
-e
犏
2+y
[ S]=
犏
犏
y
-j(q
1
+q
2
)
犏
e
犏
2+y
臌
y
-j(q
1
+q2
)
e
2+y

y
-j2q
2
-e
2+y
4.8 设双端口网络［S］已知，终端接有负载Z
l
，如图所示，求输入端反射系数。

解：终端负载为Z
l
，那么终端反射系数
G
l
=
那么根据93页4-4-22，输入端反射系数
Z
l
-Z
0

Z
l
+Z
0
2
S
12
G
l

G
in
=S
1 1
+
1-S
22
G
l


7