石家庄学院地址-三角形教案

六年级数学上册知识点复习（人教版）
分数乘法
一、分数乘法
（一）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不
变。（整数和分母约分）
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的
积做分母。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分
数再进行计算。
（二）、规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这
个数。
一个数（0除外）乘1，积等于这个数。
（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数
乘法也同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c
a c + b c = （ a + b ）×c
二、分数乘法的解决问题
（已知单位―1‖的量（用乘法），求单位―1‖的几分之几是多
少）
1、找单位―1‖： 在分率句中分率的前面； 或 ―占‖、―是‖、
―比‖的后面
2、求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的几
分之几是多少： 一个数× 。
3、写数量关系式技巧：
（1）―的‖ 相当于 ―×‖ ―占‖、―是‖、―比‖相当于― = ‖
（2）分率前是―的‖： 单位―1‖的量×分率=分率对应量
（3）分率前是―多或少‖的意思：
单位―1‖的量×（1 分率）=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，
倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：交换分子 分母的位置。（2）、求
整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分

母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，
再求倒数。
（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为1×1=1；0乘任何
数都得0， （分母不能为0）
4、 对于任意数 ，它的倒数为 ；非零整数 的倒数为 ；
分数 的倒数是 ；
5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带
分数的倒数小于1。

分数除法

一、 分数除法
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积
和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘
这个数的倒数。
3、 规律（分数除法比较大小时）：
（1）、当除数大于1，商小于被除数；
（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

（3）、当除数等于1，商等于被除数。
4、 ― ‖叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中
括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
（未知单位―1‖的量（用除法）： 已知单位―1‖的几分之几
是多少，求单位―1‖的量。 ）
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是―的‖： 单位―1‖的量×分率=分率对应量
（2）分率前是―多或少‖的意思：
单位―1‖的量×（1 分率）=分率对应量
2、解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）：
分率对应量÷对应分率 = 单位―1‖的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：
① 求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1
- 小数÷大数
或① 求多几分之几（大数-小数）÷小数② 求少几分之几：
（大数-小数）÷大数
三、比和比的应用
（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前 面的数叫做比的前项，比号后
面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做
比值。
例如 15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以
用小数或整数表示）
∶ ∶ ∶ ∶
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量 的关系，即倍数关系。也可以表
示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时
间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分
数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以
是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形
式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项 比号―：‖ 后 项 比值
除 法 被除数 除号―÷‖ 除 数 商
分 数 分 子 分数线―—‖ 分 母 分数值

7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个
数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为
0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形
式，不表示两个数相除的关系。
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0
除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的
数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0
除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，
这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，
再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比

再化简。
（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。
如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2
5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这
种方法通常叫做按比例分配。
如： 已知两个量之比为 ，则设这两个量分别为 。
6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，
速度比是4：5，时间比则为5：4）
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。
（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则
是2：3）



圆
一、 认识圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的
一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般
用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一
般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有
的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长
度是直径的 。
用字母表示为：d＝2r或r ＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重
合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条
直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些
图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰
梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;

有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母
C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚
动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数
（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固
定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值
是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈
3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是
3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家
祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π
或C=2π r r = C ÷ 2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形
的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的
宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2
计算方法：2π r ÷ 2 即 π r
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：πr＋2r
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母
S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做
扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为
直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为
具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成
的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
S圆 = πr × r
圆的面积公式： S圆 = πr2
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r
＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ² 或
环形的面积公式： S环 = π（R²－ｒ²）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或
缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大
3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于
这比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比

都 是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定
值，即：4∶π
8、当长方 形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正
方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形
的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
9、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周
长 + 两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条
跑道的总长度。（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽
度
（4）、当一个圆 的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２
πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增
加πａ厘米。
11、常用各π值结果：
π = 3.14
2π = 6.28
3π = 9.42
5π = 15.7
6π = 18.84

7π = 21.98
9π = 28.26
10π = 31.4
16π = 50.24
36π = 113.04
64π = 200.96
96π = 301.44

4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5
12、常用平方数结果
= 121 = 144 = 169 = 196 = 225
= 256 = 289 = 324 = 361

百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。
3、 百分数和分数的主要联系与区别：
（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2） 区别：

① 、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表
示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表
示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后
面加上―％‖来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面
添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百
分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的
分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是
100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），

再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
0.5 = 50% 0.2 = 20% 0.625 = 62.5%
0.25 = 25% 0.4 = 40% 0.125 = 12.5%
0.75 = 75% 0.6 = 60% 1.375 = 37.5%
0.0625 = 6.25% 0.8 = 80% 0.875 = 87.5%
0.04 = 4﹪ 0.08 = 8﹪ 0 .12 = 12﹪ 0.16 = 16﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率 = ②发芽率 =
③出勤率 = ④达标率 =
⑤成活率 = ⑥出粉率 =
⑦烘干率 = ⑧含水率 =
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确 率能达到100%，
出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几
等可以超过10 0%。（一般出粉率在70、80%，出油率在
30、40%。）
2、已知单位―1‖的量（用乘法），求单位―1‖的百分之几是
多少的问题：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是―的‖： 单位―1‖的量×分率=分率对

应量
（2）分率前是―多或少‖的意思： 单位―1‖的量×（1 分率）
=分率对应量
3、未知单位―1‖的量（用除法），已知单位―1‖的百分之几
是多少，求单位―1‖。
解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位―1‖
的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位―1‖的量 × 100% 或：
① 求多百分之几：(大数-小数)÷小数
② 求少百分之几：（大数-小数）÷大数
（二）、折扣
1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通
称―打折‖。
几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折= =80
﹪,六折五=0.65=65﹪
2、 一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之
三点五，也就是35%
（三）、纳税
1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比

率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一 。国
家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全
等事业。
3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率
（四）利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的 钱存入银行或信用
社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人
用钱更加安全和有计 划，还可以增加一些收入。
3、本金：存入银行的钱叫做本金。
4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率：利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），
则：
税后利息=利息- 利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利
息×（1-利息税率）
扇形统计图
一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示 各部
分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清
晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间
的关系。
三、扇形的面积 大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个
扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因
此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度
数占圆周角度数的百分比。）
圆柱与圆锥
一、圆柱的特征：
1、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是
平面，侧面是曲面，。
2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高
有无数条。
3、圆柱的侧 面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形，
长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的< br>高，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方

形。
4、圆柱的侧面积 = 底面周长×高 即S侧=Ch 或 2πr×h
5、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 +底面积×2 即S表
=S侧+S底×2或2πr×h + 2×πr2
6、圆柱的体积=圆柱的底面积×高， 即V=sh或 πr2×h
7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形
进行旋转一般也有两种。
（进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，
因此，要保留数的时候，省略的位 上的是4或者比4小，
都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。）
二、圆锥的特征：
1、圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。
2 、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有
一条高。（测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平 ，用一块
平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面
之间的距离。）
3 、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。4、圆锥的体积等于
与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V锥= Sh 或V
锥= πr2×h
5、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积（ 求
侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、
水桶铁皮（求侧面积和一个底面积 ）；④、厨师帽（求侧

面积和一个底面积）；通风管（求侧面积）。
6、圆柱和圆锥的特征
圆柱 圆锥
底面 两个底面完全相同，都是圆形。 一个底面，是圆形。
侧面 曲面，沿高剪开，展开后是长方形。 曲面，沿顶点到
底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。
高 两个底面之间的距离，有无数条。 顶点到底面圆心的距
离，只有一条。
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100
厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米
=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘
米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤

人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012
月 小月(30天)的有:46911月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天,
全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
闰年

六年级数学上册知识点复习（人教版）
分数乘法
一、分数乘法
（一）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不
变。（整数和分母约分）
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的
积做分母。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分
数再进行计算。
（二）、规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这
个数。
一个数（0除外）乘1，积等于这个数。
（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数
乘法也同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c
a c + b c = （ a + b ）×c
二、分数乘法的解决问题
（已知单位―1‖的量（用乘法），求单位―1‖的几分之几是多
少）
1、找单位―1‖： 在分率句中分率的前面； 或 ―占‖、―是‖、
―比‖的后面
2、求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的几
分之几是多少： 一个数× 。
3、写数量关系式技巧：
（1）―的‖ 相当于 ―×‖ ―占‖、―是‖、―比‖相当于― = ‖
（2）分率前是―的‖： 单位―1‖的量×分率=分率对应量
（3）分率前是―多或少‖的意思：
单位―1‖的量×（1 分率）=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，
倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：交换分子 分母的位置。（2）、求
整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分

母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，
再求倒数。
（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为1×1=1；0乘任何
数都得0， （分母不能为0）
4、 对于任意数 ，它的倒数为 ；非零整数 的倒数为 ；
分数 的倒数是 ；
5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带
分数的倒数小于1。

分数除法

一、 分数除法
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积
和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘
这个数的倒数。
3、 规律（分数除法比较大小时）：
（1）、当除数大于1，商小于被除数；
（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

（3）、当除数等于1，商等于被除数。
4、 ― ‖叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中
括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
（未知单位―1‖的量（用除法）： 已知单位―1‖的几分之几
是多少，求单位―1‖的量。 ）
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是―的‖： 单位―1‖的量×分率=分率对应量
（2）分率前是―多或少‖的意思：
单位―1‖的量×（1 分率）=分率对应量
2、解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）：
分率对应量÷对应分率 = 单位―1‖的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：
① 求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1
- 小数÷大数
或① 求多几分之几（大数-小数）÷小数② 求少几分之几：
（大数-小数）÷大数
三、比和比的应用
（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前 面的数叫做比的前项，比号后
面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做
比值。
例如 15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以
用小数或整数表示）
∶ ∶ ∶ ∶
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量 的关系，即倍数关系。也可以表
示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时
间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分
数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以
是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形
式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项 比号―：‖ 后 项 比值
除 法 被除数 除号―÷‖ 除 数 商
分 数 分 子 分数线―—‖ 分 母 分数值

7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个
数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为
0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形
式，不表示两个数相除的关系。
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0
除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的
数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0
除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，
这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，
再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比

再化简。
（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。
如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2
5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这
种方法通常叫做按比例分配。
如： 已知两个量之比为 ，则设这两个量分别为 。
6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，
速度比是4：5，时间比则为5：4）
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。
（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则
是2：3）



圆
一、 认识圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的
一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般
用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一
般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有
的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长
度是直径的 。
用字母表示为：d＝2r或r ＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重
合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条
直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些
图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰
梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;

有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母
C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚
动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数
（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固
定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值
是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈
3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是
3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家
祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π
或C=2π r r = C ÷ 2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形
的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的
宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2
计算方法：2π r ÷ 2 即 π r
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：πr＋2r
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母
S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做
扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为
直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为
具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成
的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
S圆 = πr × r
圆的面积公式： S圆 = πr2
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r
＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ² 或
环形的面积公式： S环 = π（R²－ｒ²）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或
缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大
3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于
这比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比

都 是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定
值，即：4∶π
8、当长方 形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正
方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形
的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
9、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周
长 + 两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条
跑道的总长度。（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽
度
（4）、当一个圆 的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２
πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增
加πａ厘米。
11、常用各π值结果：
π = 3.14
2π = 6.28
3π = 9.42
5π = 15.7
6π = 18.84

7π = 21.98
9π = 28.26
10π = 31.4
16π = 50.24
36π = 113.04
64π = 200.96
96π = 301.44

4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5
12、常用平方数结果
= 121 = 144 = 169 = 196 = 225
= 256 = 289 = 324 = 361

百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。
3、 百分数和分数的主要联系与区别：
（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2） 区别：

① 、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表
示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表
示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后
面加上―％‖来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面
添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百
分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的
分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是
100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），

再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
0.5 = 50% 0.2 = 20% 0.625 = 62.5%
0.25 = 25% 0.4 = 40% 0.125 = 12.5%
0.75 = 75% 0.6 = 60% 1.375 = 37.5%
0.0625 = 6.25% 0.8 = 80% 0.875 = 87.5%
0.04 = 4﹪ 0.08 = 8﹪ 0 .12 = 12﹪ 0.16 = 16﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率 = ②发芽率 =
③出勤率 = ④达标率 =
⑤成活率 = ⑥出粉率 =
⑦烘干率 = ⑧含水率 =
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确 率能达到100%，
出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几
等可以超过10 0%。（一般出粉率在70、80%，出油率在
30、40%。）
2、已知单位―1‖的量（用乘法），求单位―1‖的百分之几是
多少的问题：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是―的‖： 单位―1‖的量×分率=分率对

应量
（2）分率前是―多或少‖的意思： 单位―1‖的量×（1 分率）
=分率对应量
3、未知单位―1‖的量（用除法），已知单位―1‖的百分之几
是多少，求单位―1‖。
解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位―1‖
的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位―1‖的量 × 100% 或：
① 求多百分之几：(大数-小数)÷小数
② 求少百分之几：（大数-小数）÷大数
（二）、折扣
1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通
称―打折‖。
几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折= =80
﹪,六折五=0.65=65﹪
2、 一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之
三点五，也就是35%
（三）、纳税
1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比

率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一 。国
家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全
等事业。
3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率
（四）利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的 钱存入银行或信用
社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人
用钱更加安全和有计 划，还可以增加一些收入。
3、本金：存入银行的钱叫做本金。
4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率：利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），
则：
税后利息=利息- 利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利
息×（1-利息税率）
扇形统计图
一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示 各部
分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清
晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间
的关系。
三、扇形的面积 大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个
扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因
此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度
数占圆周角度数的百分比。）
圆柱与圆锥
一、圆柱的特征：
1、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是
平面，侧面是曲面，。
2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高
有无数条。
3、圆柱的侧 面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形，
长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的< br>高，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方

形。
4、圆柱的侧面积 = 底面周长×高 即S侧=Ch 或 2πr×h
5、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 +底面积×2 即S表
=S侧+S底×2或2πr×h + 2×πr2
6、圆柱的体积=圆柱的底面积×高， 即V=sh或 πr2×h
7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形
进行旋转一般也有两种。
（进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，
因此，要保留数的时候，省略的位 上的是4或者比4小，
都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。）
二、圆锥的特征：
1、圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。
2 、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有
一条高。（测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平 ，用一块
平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面
之间的距离。）
3 、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。4、圆锥的体积等于
与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V锥= Sh 或V
锥= πr2×h
5、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积（ 求
侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、
水桶铁皮（求侧面积和一个底面积 ）；④、厨师帽（求侧

面积和一个底面积）；通风管（求侧面积）。
6、圆柱和圆锥的特征
圆柱 圆锥
底面 两个底面完全相同，都是圆形。 一个底面，是圆形。
侧面 曲面，沿高剪开，展开后是长方形。 曲面，沿顶点到
底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。
高 两个底面之间的距离，有无数条。 顶点到底面圆心的距
离，只有一条。
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100
厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米
=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘
米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤

人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012
月 小月(30天)的有:46911月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天,
全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
闰年